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Aula Balanço de Energia Teoria e Exemplos

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Professora : Elisângela Moraes 
 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA - EEL 
Objetivos desta Unidade 
Ao concluir esta unidade, espera-se que o aluno adquira as seguintes 
habilidades: 
 Listar e definir os componentes da energia total de um sistema de processo e 
as formas de transferência de energia; 
 Calcular a energia cinética de um corpo de massa m, movendo-se com uma 
velocidade υ ou a taxa de transporte de energia cinética por uma corrente 
movendo-se com vazão mássica ṁ e velocidade υ. 
 Calcular a energia potencial gravitacional de um corpo de massa m na altura 
Z, ou a taxa de transporte de energia potencial gravitacional por uma 
corrente movendo-se com vazão mássica ṁ e altura Z. 
 Escrever a primeira Lei da Termodinâmica para um sistema de processo 
fechado e estabelecer as condições sob as quais cada um dos termos da 
equação pode ser desprezado. 
BALANÇO DE ENERGIA 
Toda transformação química ou física de um material ou de uma mistura de 
materiais envolve energia e alguns questionamentos são levantados: 
Quanto de potência é necessário para bombear 1000 m3/h de água a partir de 
um tanque para certa unidade de processo? 
 
Qual a quantidade de carvão deve ser queimado por dia para produzir calor 
suficiente para gerar vapor para movimentar as turbinas para produzir 
eletricidade para suprir uma cidade com 50.000 habitantes? 
Problemas como esses, e tantos outros presentes na indústria química podem 
ser respondidos a partir da formulação e aplicação de balanços de energia. 
 
Esses balanços são muito importantes na indústria, como no primeiro caso, em 
que a partir dele se encontra a potência a fim de se escolher o melhor 
equipamento a ser empregado no processo. 
INTRODUÇÃO 
Exemplo de um sistema 
Sistema: um sistema termodinâmico é definido como uma quantidade 
de matéria, com massa e identidades fixas, sobre a qual nossa atenção 
é dirigida. É delimitado fisicamente por superfícies geométricas 
arbitrárias reais ou imaginárias, que podem ser fixas ou móveis. 
SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE 
Sistema e Volume de Controle 
A análise de equipamentos que apresentam escamento de massa para 
dentro e/ou para fora é um procedimento usual em engenharia. O 
procedimento seguido em tal análise consiste em especificar um 
volume de controle que envolve o equipamento a ser considerado. A 
superfície desse volume de controle é chamada de superfície de 
controle. 
Sistema fechado: composto por uma quantidade de matéria com 
massa e identidade fixas; apenas calor e trabalho podem cruzar a 
fronteira do sistema. 
Sistema e Volume de Controle 
Sistema Fechado 
Pode trocar energia 
com sua vizinhança 
Energia sistema 
Vizinhança 
sistema Matéria 
Energia 
Pode trocar matéria e energia 
com sua vizinhança 
Sistema Aberto 
Vizinhança 
Sistema aberto (ou Volume de controle): massa, assim como calor e 
trabalho, podem atravessar a superfície de controle 
Sistema e Volume de Controle 
Propriedade é qualquer grandeza específica de um sistema que 
pode ser medida, tal como pressão, volume ou temperatura, ou 
pode ser calculada, como as energias cinética e potencial, e é 
independente do caminho. 
 
Matematicamente: 
 Propriedade Intensiva: independente da massa, ou seja, não varia com o 
 tamanho do sistema. 
 ex.: pressão, temperatura, concentração, massa específica 
 Propriedade Extensiva: é aquela cujo valor depende da massa do sistema. 
 ex.: massa, volume total, comprimento 
(1) 
PROPRIEDADE 
Como visto, no sistema fechado não ocorre transferência de massa através de 
seu limites mas pode ocorrer transferência de energia, que pode ser de duas 
formas: calor e trabalho. 
1. Calor é definido como uma quantidade que escoa através da fronteira de 
um sistema durante uma mudança de estado em virtude de uma 
diferença de temperatura entre o sistema e suas vizinhanças e escoa de 
um ponto de temperatura mais alta a um ponto de temperatura mais 
baixa. 
O calor é definido como positivo quando 
é transferido da vizinhança para o 
sistema (q > 0) e negativo quando 
contrário (q < 0). 
Vizinhança 
Calor q >0 
Sistema 
Calor q < 0 
CALOR E TRABALHO 
2. Trabalho é definido como qualquer quantidade que escoa através da 
fronteira de um sistema durante uma mudança de estado e é 
completamente conversível na elevação de uma massa nas vizinhanças. 
Nota: a convenção de sinal oposto é frequentemente usada. A escolha é 
arbitrária, desde que seja usada de forma consistente. 
O trabalho é definido como positivo 
quando é exercido pela vizinhança sobre 
o sistema (W > 0) e negativo quando 
contrário (W < 0). 
Vizinhança 
Trabalho w > 0 
Sistema 
Trabalho w < 0 
Calor e trabalho 
Exemplo de um sistema com 
volume de controle, onde há 
calor e trabalho 
Calor e trabalho 
Calor e trabalho referem-se a formas de energia que está sendo 
transferida, mas não tem nenhum significado falar de calor ou trabalho 
possuído ou contido por um sistema. 
Alguns fatos importantes sobre calor e trabalho 
Calor Trabalho 
Aparecem apenas na fronteira do sistema 
Aparecem apenas durante uma mudança de estado 
Se manifesta por um efeito nas 
vizinhanças 
Se manifesta através de um efeito nas 
vizinhanças 
Para modificações infinitesimais, a energia do sistema variará de modo 
infinitesimal: 
dU = dq + dw 
Trabalho 
Energia transferida 
como calor 
Para usar essa expressão, é preciso relacionar as variações de dq e dW a eventos 
que ocorrem na vizinhança. 
dZ 
A 
P1 
Pext 
V1 
dV = AdZ 
A 
V2 P2 
(2) 
TRABALHO E EXPANSÃO 
Trabalho de expansão 
Considerando que: 
W = - Fext . Z 
dW = - Fext . dz 
dW = - Pext . dV 
Integrando: Sendo: Pext = constante 
W = - Pext (V2 - V1) 
Lembrete: 
, F = P . A 
 W = -Pext . ∆V (3) 
Ao analisar a expansão isotérmica reversível de um gás perfeito, observa-se que 
a expansão é isotérmica graças ao contato térmico entre o sistema e suas 
vizinhanças. 
Como a equação de estado é pV = nRT, sabe-se que em cada etapa da 
expansão p = nRT/V, onde V é o volume do gás em cada etapa da expansão. 
A temperatura T é constante numa expansão isotérmica, de modo que pode 
sair da integral, bem como n e R. Segue-se, então o trabalho de expansão 
isotérmica reversível de um gás perfeito do volume V1, até o volume V2, na 
temperatura T, é: 
(4) 
EXPANSÃO ISOTÉRMICA REVERSÍVEL 
A energia total de um sistema tem três componentes: 
Energia cinética (Ec): é a energia devida ao movimento do sistema como um 
todo, em relação a um determinado sistema de referência. 
A energia cinética de um objeto de massa m(kg) movendo-se com uma 
velocidade υ(m/s), em relação à superfície da terra, é dada por: 
(5) 
Se um fluido entra em um sistema com uma vazão mássica ṁ(kg/s) movendo-se 
com uma velocidade υ(m/s), em relação à superfície da terra, é dada por: 
Ėc pode ser entendida como a taxa na qual a 
energia cinética é transportada para o sistema pela 
corrente de fluido. 
(6) 
FORMAS DE ENERGIA 
Energia potencial (Ep): é a energia devida à posição do sistema em um 
campo potencial, gravitacional ou magnético. 
Formas de energia 
A energia potencial gravitacional de um objeto de massa m(kg) é dada por: 
(7) 
Se um fluido entra em um sistema com uma vazão mássica ṁ(kg/s) e uma altura 
Z em relação ao plano de referência da energia potencial, então: 
Ėp pode ser imaginada como a taxa na qual a 
energia potencial gravitacional é transportada para 
o sistema pelo fluido 
(8) 
Normalmente estamos interessados na mudança da energia potencial quando 
um corpo ou um fluido se move de uma altura para outra, assim: 
(9)Formas de energia 
Energia interna (U): é a energia devida ao movimento e interações 
entre átomos, moléculas e constituintes subatômicos em relação ao 
centro de massa do sistema. A energia interna não pode ser medida, 
apenas calculada a partir de outras variáveis que podem ser medidas 
macroscopicamente. 
A energia interna é uma função do temperatura e do volume. 
U = f(T, V). Tomando a diferencial: 
(10) 
Como e, na maioria dos casos, 
e pode ser desprezado, sendo nulo para gases ideais: 
é muito pequeno 
Cv: capacidade calorífica 
É a função de estado resultado da combinação de U + pV. Ou seja 
H = U + pV (11) 
Para a entalpia específica, consideramos a entalpia uma função com 
diferencial exata. 
H = H(T, p), diferenciando-se: 
(12) 
Como: e considerando-se que a pressões moderadas é: 
relativamente pequeno chega-se a: 
ENTALPIA 
1. Água flui para dentro de uma unidade de processo através de 
uma tubulação de 2cm de diâmetro interno (DI), com uma vazão 
de 2,0 m3/h. Calcule a Ėc para esta corrente em joules/segundo. 
DI = 2cm 
Inicialmente, vamos calcular a velocidade linear, que é a vazão volumétrica 
dividida pela área da seção transversal da tubulação. Assim, tem-se: 
 
EXEMPLOS 
 
Substituindo os valores na equação de Ėc, tem-se: 
Ėc = 
0,556 kg/s (1,77)2 m2 1N 
2 s2 1 kg.m/s2 
Ėc =0,870 N.m/s = 0,870 J/s 
Tendo que: 
2. Petróleo cru é bombeado com uma vazão de 15 kg/s de um 
poço a 220m de profundidade até um tanque de 
armazenamento situado a 20 m acima do nível do chão. Calcule 
a taxa de aumento da energia potencial. 
Z =240m 
ΔĖp = 
15 kg 9,81m [20 – (–220)]m 
s s2 
ΔĖp = = 35.316 N.m/s (J/s) 
ΔĖp = = 35,316 kN.m/s (J/s)  35,3 kW 
Balanço de Energia em Sistemas Fechados 
Desde que a energia não pode ser criada nem destruída, a equação 
geral de balanço define que: 
Ao deduzir o balanço de massa para sistemas fechados, onde não há 
passagem de matéria pela fronteira do sistema, o termo ACÚMULO é 
igual a zero, então: ENTRADA = SAÍDA 
Entretanto, para o balanço de energia para sistemas fechados, pode 
ocorrer transferência de calor ou trabalho através da fronteira do 
sistema, então o termo ACÚMULO (E) é diferente de zero. 
ACÚMULO (E) = ENTRADA (E) – SAÍDA (E) (13) 
No balanço de energia, o termo ACÚMULO (E) é dado pela diferença 
entre os valores final e inicial do sistema (neste caso, a energia do 
sistema). Assim, tem-se: 
Balanço de Energia em Sistemas Fechados 
Agora: 
 Energia inicial do sistema: Ei = Ui + Eci + Epi 
 Energia final do sistema: Ef = Uf + Ecf + Epf 
 Energia transferida: Q + W 
Ef – Ei = ΔElt
 
Onde: 
 Ef: energia final do sistema 
 Ei: energia inicial do sistema 
 ΔElt: energia líquida transferida ao sistema (entrada – saída)
 
(14) 
Balanço de Energia em Sistemas Fechados 
Substituindo os valores na equação 14, tem-se: 
(Uf – Ui) + (Ecf – Eci) + (Epf – Epi) = Q + W (15) 
Onde: 
 Uf: energia interna final 
 Ui: energia interna inicial 
 Q: calor transferido da vizinhança para o sistema (+) 
 W: trabalho exercido pela vizinhança sobre o sistema (+) 
Vizinhança 
Calor q >0 
Sistema 
Trabalho w > 0 ΔU 
ΔU + ΔEc + ΔEp = ΔE = Q + W (16) 
Balanço de Energia em Sistemas Fechados 
A equação 1.25 é a forma básica da Primeira Lei da 
Termodinâmica para um sistema fechado. Ao aplicar esta 
equação, alguns pontos importantes devem ser observados: 
 1. A energia interna (U) depende da composição química, do estado de 
agregação e da temperatura. É independente da pressão para gases 
ideais e praticamente independente da pressão para líquidos e sólidos. 
(Se não há variação de temperatura, mudança de fase ou reação química em um 
sistema fechado, e se as variações de pressão são mínimas, então ΔU ≈ 0); 
2. Se um sistema não está acelerando, então ΔEc = 0; 
3. Se sistema não está subindo ou descendo, então ΔEp = 0; 
4. Se sistema e vizinhança estão à mesma temperatura ou sistema está 
isolado, então Q = 0; 
5. O trabalho feito sobre ou pelo sistema fechado é acompanhado de um 
movimento de sua fronteira ou pela passagem de corrente elétrica ou 
radiação. (Se não há partes moveis, corrente elétrica ou radiação através da 
fronteira, então W = 0). 
1. O fluido contido num tanque é movimentado por um agitador. O 
trabalho fornecido ao agitador é 5090KJ. O calor transferido do tanque 
é de 1500 KJ. Considerando o tanque e o fluido como sistema, 
determine a variação de energia do sistema nesse processo. 
Solução: 
(Uf – Ui) + (Ecf – Eci) + (Epf – Epi) = Q + W 
Seja a equação 1.24: 
Reescrevendo esta equação, tem-se: 
U2 – U1 + m(υ2
2 – υ1
2 ) + m.g(Z2 – Z1) = 1Q2 + 1W2 
 2 
Como não há variação de energia cinética e nem de energia potencial, essa 
equação fica reduzida a: 
U2 – U1 = 1Q2 + 1W2 
U2 – U1 = – 1500 + 5090 = 3590 KJ 
EXEMPLOS 
2. Um gás está contido em um cilindro provido de um pistão. A 
temperatura inicial do gás é 30oC. O cilindro é colocado em um banho a 
100oC, com o pistão fixo em uma determinada posição. Transfere-se 
calor na quantidade de 12 Kcal para o sistema até que este atinja o 
equilíbrio a 100 oC, fazendo com que haja aumento da pressão . Então, o 
pistão é liberado e o gás exerce 18.000 J de trabalho sobre a vizinhança. 
Obtenha a energia interna total do processo, em J. 
Estado final (1) 
trava 
100oC 
Estado inicial 
trava 
30oC 
Estágio 1 
Aquecimento do sistema 
Solução: 
Estado final (2) 
100oC 
Estágio 2 
Expansão do sistema à temperatura constante 
Estado inicial (2) 
ΔU + ΔEc + ΔEp = ΔE = Q + W 
Usando a equação 1.25, tem-se: 
Desprezando as variações de Ep e de Ec e assumindo que o gás se 
comporta como gás ideal, tem-se para o estágio 1: W = 0; Q > 0 (o gás 
recebe calor da vizinhança), logo: 
ΔU1 = Q1 = 12 kcal = 50,2 KJ 
Estágio 1 
No estágio 2: Q = 0 (expansão isotérmica), U varia com T e W < 0 (gás 
realiza trabalho sobre a vizinhança), logo: 
Estágio 2 
ΔU2 = – W = – 18 kJ 
Então, a variação de energia interna do processo é dada por: ΔU = ΔU1 + ΔU2 
 
 ΔU = 50,2 -18 = 32,2 KJ 
3. Considere uma pedra de massa 10 kg e um tanque que contém 100 
kg de água. Inicialmente, a pedra está 10,2 m acima da água e ambas 
estão à mesma temperatura (estado 1). Então, a pedra cai dentro da 
água. Admitindo que a aceleração da gravidade é igual a 9,81, 
determine ΔU, ΔEc, ΔEp, Q e W. para os seguintes estados finais: 
a) A pedra imediatamente antes de penetrar na água (estado 2); 
b) A pedra acabou de entrar em repouso no tanque (estado 3); 
c) O calor foi transferido para o ambiente de modo que a pedra e 
a água apresentam temperaturas uniformes e iguais à 
temperatura inicial (estado 4). 
Solução: 
ΔU + ΔEc + ΔEp = ΔE = 1Q2 + 1W2 
Usando a equação 1.25, tem-se: 
Os termos da equação devem ser identificados para cada mudança de estado, 
assim, tem-se: 
a) A pedra está prestes a penetrar na água (2) 
Admitindo que não tenha havido transferência de calor para a pedra ou dela, 
durante a sua queda, concluímos que durante essa mudança de estado: 
ΔU = 0 1W2 = 0 1Q2 = 0 
Assim, a equação 1.25 fica reduzida a: 
0 + ΔEc + ΔEp = ΔE = 0 + 0 
– ΔEc = ΔEp = m.g.(Z2 – Z1) 
– ΔEc = ΔEp = 10 kg . 9,81 m/s2. (0 – 10,2)m 
– ΔEc = ΔEp = – 1000, 62 kg .m2/s2 = – 1 kJ 
 ΔEc = 1 kJ 
ΔEp = – 1 kJ 
b) Imediatamente após a pedra parar no tanque (3) 
Admitindo que não tenha havido transferência de calor para a pedra ou dela, 
durante a sua queda, concluímos que durante essa mudança de estado: 
ΔEp = 0 2W3 = 0 2Q3 = 0 
Assim, a equação 1.25 fica reduzida a: 
ΔU + ΔEc = 0 
ΔU = – ΔEc = – 1 kJ 
 
c) No estado final(4), não há energia cinética ou potencial, e a energia 
interna é a mesma do estado 3. 
ΔU + 0+ 0 = 3Q4 + 0 
ΔU = 3Q4 = – 1 kJ 
4. Suponha que certa quantidade de gás ideal a 300K e 200KPa esteja 
contido em um cilindro dotado de pistão sem atrito. O gás empurra 
lentamente o pistão, de forma que o volume se expanda de 0,1 a 0,2 
m3. Calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão, admitindo 
duas possíveis trajetórias diferentes na evolução do estado inicial ao 
estado final: 
Trajetória A: a expansão ocorre a pressão constante (isobárica): P = 200KPa 
Trajetória B: a expansão ocorre a temperatura constante (isotérmica): T = 
300K 
Solução: 
Estado 1 
V1 = 0,1m3 
Estado 2 
V1 = 0,2m3 n = 
200 x 103 Pa 0,1 m3 1 Kmol .K 
300 K 8,314 KPa.m3 
Tendo o volume e a pressão, calcula-se n: n = 
P.V 
RT 
n = 0,00802 kmol 
Trajetória B: T = cte, gás ideal. Logo: 
W = - 20 KJ 
W = 
200 x 103 Pa 1 N 0,1 m3 1 J 
1m2.Pa N.m 
Trajetória A: p = 200 KPa (cte): 
W = 
0,00802 kmol 8,314 kJ 300k 
ln 2 
Kmol.k 
W = - 13,86 KJ 
Balanço de Energia 
Balanço de energia em sistemas abertos 
Do ponto de vista industrial, os processos mais importantes são os que 
envolvem o escoamento permanente de um fluido através de um ou mais 
equipamentos. Nestes processos, é preciso usar a expressão geral da primeira 
lei da termodinâmica. 
A expressão geral da primeira lei da termodinâmica (equação: ΔU + 
ΔEc + ΔEp = ΔE = Q + W), quando aplicada a sistemas fechados, os 
quais, frequentemente, não sofrem variações das energias potencial 
ou cinética (em relação a um nível de referência). 
A equação 16 é a forma básica da primeira lei da termodinâmica para um 
sistema fechado (processos estacionários, em que a massa no interior do 
sistema é constante), onde só ocorrem modificações da energia interna do 
sistema. 
Inicialmente, considerando-se os processos físicos, sem reação 
química, em que a massa e energia atravessam a fronteira do sistema, 
como o apresentado no esquema abaixo, onde ... 
Processo contínuo (sem reação química) e sistema aberto 
Turbina 
Trocador 
de calor 
We (trabalho de eixo) 
Δz 
1 
2 
Pe (N/m
2) 
Ps (N/m
2) 
We  é o trabalho transmitido pelo eixo através da superfície de controle 
VC 
Q 
Balanço de Energia 
Além do trabalho de eixo, há o trabalho feito pela vizinhança sobre o 
sistema para introduzir o fluido no sistema e do sistema sobre a 
vizinhança para retirar o fluido do sistema. 
Assim, o trabalho líquido por unidade de tempo (Ẇ) realizado sobre um 
sistema aberto pelas vizinhanças pode ser escrito como: 
Ẇ = Ẇe + Ẇf (17) 
Onde: 
 Ẇ : trabalho líquido realizado pela vizinhança sobre o sistema 
 Ẇe : trabalho de eixo ou trabalho realizado sobre ou pelo fluido por 
partes móveis dentro do sistema (ex.: rotor de uma bomba ou uma 
turbina) 
 Ẇf : é o trabalho de fluxo ou PV. É o trabalho líquido devido ao fluxo de 
matéria pelo sistema ou o trabalho realizado sobre o fluido na entrada 
menos o trabalho realizado pelo fluido na saída do sistema 
. 
Balanço de Energia 
Bomba centrífuga 
Foto: www.google.com.br 
Balanço de Energia 
Turbina hidráulica 
Fotos: www.google.com.br 
Pás da 
turbina 
Balanço de Energia 
Voltando ao processo contínuo (sem reação química) e sistema 
aberto, conforme representado abaixo: 
UP 
VC 
Pe (N/m
2) Ps (N/m
2) 
Como Ẇf é o trabalho de fluxo ou PV, tem-se que: 
. 
Fluido que entra na unidade de processo 
Fluido que deixa a unidade de processo 
Balanço de Energia 
Logo, o fluxo líquido de trabalho realizado sobre o sistema será: 
(18) 
Se várias correntes entram e saem de uma unidade de processo, o trabalho de 
fluxo (Ẇf) será então: 
(19) 
O balanço de energia para sistema aberto em regime permanente é dado pela 
expressão: 
ENTRA (E) = SAI (E) 
 
(20) 
Isso porque não há acúmulo de energia, estado estacionário, e também não 
aparecem os termos de geração e consumo de energia, visto que a energia 
não pode ser criada e nem destruída. 
Balanço de Energia 
E sabendo que: 
Energia que entra no sistema: 
Energia que sai do sistema: 
Em se tratando de fluxo de energia entre sistema e vizinhança, bem 
como considerando várias correntes que entram e saem do sistema, 
tem-se: 
Tem-se: 
(22) 
(21) 
sai entra 
Balanço de Energia 
Vale lembrar que são propriedades extensivas, isto é, são 
proporcionais à massa do material. É interessante expressá-las com 
base nas propriedades específicas ou intensivas. Logo, tem-se: 
(1.33) 
(1.34) 
(1.35) 
(1.36) 
Substituindo a equação 1.36 na equação 1.29, tem-se: 
(23) 
Balanço de Energia 
Substituindo as equações, tem-se: 
(24) 
Substituindo as equações novamente as equações, tem-se: 
Reorganizando a equação, tem-se: 
(25) 
Ẇf 
Balanço de Energia 
Sendo: 
(26) 
A equação 26 é a entalpia específica do sistema, logo: 
(27) 
sai entra 
As equações 27 e 28 são as formas gerais de balanço de energia para sistemas 
abertos no estado estacionário 
(28) 
Balanço de Energia 
Tendo-se apenas uma corrente entrando na UP e uma corrente saindo 
dela a equação 1.42 pode ser escrita como: 
(29) 
Ou ainda: 
(30) 
Simplificações importantes 
Se não há partes móveis no sistema: Ẇe = 0 
Se o sistema é isolado termicamente ou o sistema e as 
vizinhanças estão à mesma temperatura: 
Se as velocidades lineares são as mesmas: ΔĖc = 0 
Se não há diferença de altura entre as correntes de entrada e 
saída 
ΔĖp = 0 
Balanço de Energia 
EXERCÍCIOS 
1. Ao passar por uma turbina adiabática, vapor inicialmente a 500°C e 3,5 MPa se 
expande até 200°C e 0,3 MPa, para gerar 750 kW. Qual deve ser a vazão de vapor 
para se atender a essa demanda? 
Dados: para o vapor, nas condições iniciais, H1 = 3450,9 kJ/kg; nas condições 
finais, 
 H2 = 2865,6 kJ/kg; 1 kW = 1 kJ/s-1. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA - Turbina adiabática movida a vapor 
2. Água inicialmente a 40°C é bombeada a partir de um tanque de 
armazenagem a uma vazão de 100 kg/min e deve atingir um segundo tanque, 
localizado 25 m acima do primeiro, a 25°C. Qual deve ser a potência da bomba 
utilizada nesse transporte de água, se no caminho entre o primeiro e o 
segundo tanques ocorre uma perda de calor à taxa de 200 kJ/s? 
Dados: entalpia da água líquida: 104,89 kJ/kg a 25°C, entalpia da água líquida: 
167,50 kJ/kg a 40°C 
 
 
 
 
 
3. Bocais são tubos com uma redução de diâmetro na extremidade de saída 
que proporcionam um aumento de velocidade do fluido (Figura 3). Dessa 
forma, a energia interna do fluido que passa por um bocal é parcialmente 
convertida em energia cinética, acarretando um aumento de velocidade do 
fluido e a diminuição de sua pressão. Por possibilitar esse aumento de 
velocidade, esses dispositivos estão presentes em máquinas de decapagem 
(retirada de tinta de equipamentos), de limpeza a jato de água, em turbinas e 
nos sistemas de agitação de suspensões líquidas em tanques. Quando o bocal é 
instalado no interior de um tubo conectado a um “tê” (no caso dos ejetores), a 
diminuição da pressão é suficiente para permitir o transporte de materiais 
particulados e até mesmo o resfriamento de outras substâncias, como nos 
sistemas antigos de refrigeração que utilizavam vapor para resfriar água em 
navios. Calcule a velocidade de uma corrente de vapor na saída de um bocal 
sabendo-se que na entrada do dispositivo as condições são 300 kPa e 250°C 
(H1 = 2967,6 kJ/kg) e 75 m/s; e na saída, 200 kPa e 200°C (H2 = 2870,5 kJ/kg). 
4. Os compressores são equipamentos empregados para se deslocar gases e 
vapores, eprincipalmente para aumentar a pressão dos gases e vapores. Suas 
aplicações incluem uso em sistemas de pintura, acionamento de turbinas, 
compressão do ar para operação de ferramentas industriais (como furadeiras, 
esmerilhadeiras e prensas), oxigenação de unidades de tratamento de águas 
residuárias e de tanques de piscicultura, entre outras aplicações. São 
fundamentais nos sistemas de ar condicionado, que visam o conforto térmico, 
preservação de equipamentos e documentos, manter salas limpas para fabricação 
de componentes eletrônicos, usinagem fina e sistemas de refrigeração para 
conservação de alimentos e produtos químicos. São bastante usados também nos 
processos criogênicos para obtenção de oxigênio, nitrogênio e argônio a partir do 
ar. Calcule a vazão mássica de ar que passa por um compressor de um processo 
criogênico de 5000 hp com as condições do ar de entrada de 1,0 atm e 25°C (298 
K) e de saída de 5,5 atm e 212°C (485 K). É dada a vazão volumétrica do ar de 
saída de 2,0 m3/s em um duto de 25 cm de diâmetro. Dados: Ar → Cp = 0,24 
kcal/kg.K. 
 
5. Os trocadores de calor são equipamentos nos quais ocorre a transferência 
de energia térmica de um fluido quente para um outro de menor 
temperatura. Os modelos mais simples consistem em uma tubulação contida 
em outro tubo, nos quais os fluidos quente e frio circulam individualmente, 
trocando calor através da superfície externa do tubo interno. São 
empregados nas indústrias químicas e petroquímicas para aquecer ou 
arrefecer produtos químicos, nos processos de pasteurização do leite, 
derivados e sucos de frutas, nos sistemas de refrigeração para conservação de 
alimentos e produtos industriais. Amônia, inicialmente a 0°C e 100 kPa 
(HNH3,1 = 1472,6 kJ/kg) passa por um condensador resfriado com uma 
corrente de água (Figura 4) e o deixa a -20 °C e 75 kPa (HNH3,2 = 1431,7 
kJ/kg). A água utilizada apresenta como condições iniciais 25°C e 3,2 kPa 
(HH2O,1 = 104,87 kJ/kg) e 40°C e 7,4 kPa (HH2O,2 = 167,54 kJ/kg) como 
condições finais. Determine a vazão de água necessária para se resfriar 
amônia à vazão de 5 kg/s. 
6. As caldeiras são unidades geradoras de vapor d'água, e podem ser do tipo 
elétricas, fogo-tubulares ou água-tubulares. Nas caldeiras fogo-tubulares, a 
água é aquecida diretamente com os gases produzidos na queima de um 
combustível. As do tipo água-tubulares utilizam a chama proveniente da 
combustão para aquecer indiretamente água que circula por uma tubulação. 
O vapor produzido nas caldeiras pode ser utilizado nos trocadores de calor 
como fluido quente, em colunas de destilação, nos tanques aquecidos por 
camisas ou serpentinas e em turbinas para geração de energia 
eletromecânica. Uma caldeira multitubular produz vapor com velocidade de 
70,0 m/s à temperatura de 310°C e à pressão manométrica de 19,0 kgf/cm2 
(H2 = 3045,12 kJ/kg). Sabendo-se que a água a ser vaporizada entra com 
velocidade média de 3,0 m/s e temperatura de 30,0°C (H1 = 125,64 kJ/kg), 
calcule a quantidade de calor consumido por massa de vapor produzido. O 
desnível entre a entrada de água e a saída de vapor é de 9,0 m. Desconsidere 
as perdas de calor nos gases de combustão, nas cinzas e pelas paredes. 
7. Um problema que muitas vezes deve ser enfrentado em engenharia é a 
interpolação de valores. Nem todos os valores de propriedades físicas estão 
tabelados, e é comum precisarmos de um valor que não está tabelado. Neste 
caso é preciso obter este valor via interpolação entre os dois valores 
tabelados mais próximos. Um exemplo desta aplicação é para vapor d’água 
saturado. O balanço de massa e energia de evaporadores pode depender da 
necessidade de valores obtidos por interpolação, especialmente quando se 
utiliza vapor troca térmica, ou quando vapor é retirado de uma mistura sendo 
concentrada. Calcule a entalpia do vapor d’água a 13 kPa que sai de um 
processo de concentração de café. Qual é a temperatura do vapor saturado 
nesta pressão? 
Dados: entalpia do vapor d'água saturado a 10 kPa e 45,81°C é 2584,7 kJ/kg 
entalpia do vapor d’água saturado a 15 kPa e 53,97°C é 2599,1 kJ/kg 
8. O tratamento de águas residuárias por processo anaeróbio gera, 
pela oxidação bioquímica da matéria orgânica, o gás metano (CH4, 
hidrocarboneto incolor) que pode ser usado como combustível. No 
projeto de um aquecedor à gás é necessário se determinar a variação 
de entalpia (ΔH) e o calor específico médio (Cpmed) para uma faixa de 
temperatura. Calcule o ΔH e o Cpmed para se aquecer 1 kg de metano 
de 32,0°C até 150,0°C e a potência para se aquecer 12 kg desse gás 
em 60 segundos. 
Dados: MCH4 = 16,04 g/mol 
Cp (A) = −160,82 +105,10 ⋅A0,25 − 5,9452 ⋅A0,75 + 77,408 ⋅A-0,5 cal/mol.K 
A = T (Kelvin)/100 
9. Os evaporadores (Figura 9) são equipamentos utilizados em indústrias 
químicas para promover a evaporação da água de uma corrente diluída e, 
assim, produzir soluções concentradas. Estão presentes nas indústrias de 
processamento de açúcar, papel e celulose, de sucos de frutas, na purificação 
de água para geração de vapor em caldeiras, na destilação de águas salinas e 
na concentração de produtos químicos (ácidos e bases). Calcule a carga 
térmica de um evaporador operando a 75°C para concentrar 2000 kg/h de 
uma solução de ácido fosfórico (H3PO4), inicialmente a 20% e 90°C, até 50% 
em massa. 
Dados: Entalpia do vapor d'água saturado a 75°C → H = 629,14 kcal/kg 
Calores específicos das soluções de ácido fosfórico → Cp = 0,8489 cal/g.K a 
20% e 
Cp = 0,6350 cal/g.K a 50%. 
10. Uma planta de ácido sulfúrico produz ácido sulfúrico a 85% (em mol) 
como composição primária, sendo que esta solução fica estocada a 
temperatura ambiente (26oC). Num tanque de mistura produz-se ácido 
sulfúrico a 20% (em mol). Para diluir o ácido sulfúrico concentrado, a fábrica 
utiliza água vinda de uma torre de lavagem dos gases do reator que possui 
uma concentração de 5% (em mol) de H2SO4, corrente que entra a 45
oC no 
tanque de mistura. Calcule a temperatura da corrente de saída. 
Dados: Produção = 100 kg/h de H2SO4 a 20% (em mol) 
Cp H2SO4 = 1,40 J/g.K 
Cp H2O = 4,18 J/g.K 
H(298 K) H2SO4 = -811320 J/mol 
H(298 K) H2O = -242000 J/mol 
Professora : Elisângela Moraes 
 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA - EEL 
 Um sistema pode ser considerado em estado transiente (não 
estacionário) quando qualquer variável do sistema muda com o tempo. 
Os processos em batelada e batelada alimentada são inerentemente 
transientes. Os processos contínuos são transientes quando iniciados ou 
finalizados, podendo apresentar características transientes ao longo da 
operação decorrentes de flutuações impostas por mudanças nas 
condições do processo. 
 
 As características dos processos transientes são as mesmas dos 
balanços materiais desenvolvidos anteriormente. A diferença principal é 
que o termo de acumulação passa a ter um valor diferente de zero. O 
termo de acumulação é derivativo, portanto as técnicas para resolução de 
balanços transientes são um pouco mais complexas que aquelas 
desenvolvidas até o momento. 
 
 
INTRODUÇÃO 
 A equação geral foi definida anteriormente como: 
{entra} – {sai} + {geração} – {consumo} = {acumula} (1) 
 
 Duas formas desta equação podem ser implementadas: 
i) balanços diferenciais, que são aplicáveis em um determinado 
instante do processo e 
ii) balanços integrais, que consideram um período de tempo do 
processo. 
INTRODUÇÃO 
 Supondo o componente A envolvido em um processo e considerando 
que qe (kg/s) e qs (kg/s) as taxas de entrada e saída do componente através dos 
limites do sistema e considerando também rg e rc as taxas de geração e consumo 
do componente A por reação química, podemos assumir que as variáveis qe, qs, 
rg e rc podem variar com o tempo. 
 Podemos então escrever o balanço para um período de tempo variandode t até t+Δt, supondo uma pequena variação de Δt onde as quantidades de qe, 
qs, rg e rc podem ser consideradas constantes. 
Desta forma os termos do balanço podem ser calculados: 
{entra} = qe (kg/s) * Δt (s); 
{sai} = qs (kg/s) * Δt (s) 
{geração} = rg (kg/s) * Δt (s) 
{consumo} = rc (kg/s) * Δt (s) 
BALANÇOS DIFERENCIAIS 
 
 Supondo o componente A envolvido em um processo e considerando 
que qe (kg/s) e qs (kg/s) as taxas de entrada e saída do componente através dos 
limites do sistema e considerando também rg e rc as taxas de geração e consumo 
do componente A por reação química, podemos assumir que as variáveis qe, qs, 
rg e rc podem variar com o tempo. 
 Podemos então escrever o balanço para um período de tempo variando 
de t até t+Δt, supondo uma pequena variação de Δt onde as quantidades de qe, 
qs, rg e rc podem ser consideradas constantes. 
Desta forma os termos do balanço podem ser calculados: 
{entra} = qe (kg/s) * Δt (s); 
{sai} = qs (kg/s) * Δt (s) 
{geração} = rg (kg/s) * Δt (s) 
{consumo} = rc (kg/s) * Δt (s) 
BALANÇOS DIFERENCIAIS 
BALANÇOS DIFERENCIAIS 
 Podemos supor também que a massa de A no sistema muda em uma 
quantidade Δm(kg), desta forma a equação de balanço pode ser escrita como: 
 
m = (qe – qs + rg – rc) * t (2) 
 
 Dividindo a equação por Δt e aproximando-o de zero, temos que a razão 
Δm/Δt se torna a derivada de m com relação a t (dm/dt) e a equação pode ser 
escrita como: 
 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
 = (qe – qs + rg – rc) (3) 
 
 Nesta equação geral de balanço, m é a parcela da quantidade 
balanceada no sistema e os quatro termos a direita na equação são taxas que 
podem variar com o tempo. 
 A equação (3) anteriormente deduzida é uma equação diferencial 
ordinária de primeira ordem. Para resolvê-la uma condição de contorno deve 
ser fornecida. Para resolver a equação temos o valor da variável dependente 
m(t) para um determinado valor da variável m usualmente temos o valor de m 
para o tempo t=0. 
 Quando analisamos um sistema transiente, nossa avaliação não está 
completa a menos que a equação diferencial obtida esteja acompanhada de 
uma condição de contorno semelhante a que foi mostrada. 
 Concluímos então que a equação de balanço para um sistema em 
estado não estacionário em um instante de tempo é uma equação diferencial 
(daí o termo balanço diferencial). 
BALANÇOS DIFERENCIAIS 
BALANÇOS INTEGRAIS 
 Considerando a equação diferencial de balanço mostrada 
anteriormente podemos reescrevê-la da seguinte forma: 
dm = qe*dt – qs*dt + rg*dt – rc*dt (6) 
e integrando a expressão de um tempo inicial to a um tempo tf obtemos: 
 
 𝑑𝑚 = 𝑚 𝑡𝑓 − 𝑡0 = 
𝑡𝑓
𝑡0
 𝑞𝑒 ∗ 𝑑𝑡 − 
𝑡𝑓
𝑡0 𝑞𝑠 ∗ 𝑑𝑡 + 𝑟𝑔 ∗ 𝑑𝑡 − 
𝑡𝑓
𝑡0
 
𝑡𝑓
𝑡0 𝑟𝑐 ∗ 𝑑𝑡 
𝑡𝑓
𝑡0
(7) 
 
 Esta é a equação de balanço integral, assim por exemplo, a integral 
 𝑞𝑒 ∗ 𝑑𝑡 , 
𝑡𝑓
𝑡0
 representa a quantidade total de material que entra no sistema entre t0 e 
tf. 
 Dois dos passos na formulação de uma solução para balanços 
diferenciais de massa são: i) expressar matematicamente um termo de 
acumulação e integrar a equação diferencial resultante. 
1. Um tanque de 5 m3 de capacidade, contendo um líquido, é esvaziado 
à uma taxa que aumenta linearmente com o tempo. No início (t=0), o 
tanque contém 750 kg de líquido e a taxa de retirada é 750 kg/h. 
Passadas 5 horas, a taxa de retirada foi determinada como sendo 1000 
kg/h. O tanque é constantemente alimentado com A (reposição), à taxa 
de 1200 kg/h. Dado: = 1080 liq ρ kg/m3. 
a) Escreva uma expressão para a taxa de retirada de líquido do tanque, 
ms(t) [kg/h]. 
b) Escreva e resolva o balanço de massa diferencial para o líquido. 
c) Após 5 horas, quanto de líquido resta no tanque? 
d) Quanto tempo leva para que o nível do tanque alcance seu valor 
máximo? 
e) Qual o tempo necessário para esvaziar o tanque? 
EXEMPLO 
EXEMPLO 
2. O nível de água em um reservatório municipal tem diminuído 
sistematicamente durante um período de seca, que pode continuar por 
outros 60 dias. A companhia de água local estima que a taxa de consumo 
na cidade é de aproximadamente 107 L/ dia. A Agência Estadual do Meio 
Ambiente estima que a chuva e a contribuição das correntes para o 
reservatório aliadas à evaporação do mesmo devem fornecer uma taxa 
líquida de entrada de água de 106exp(-t/100) L/ dia, onde t é o tempo 
em dias desde o início do período de seca, quando o reservatório 
continha um volume estimado de 109 L de água. 
a) Escreva um balanço diferencial no reservatório; 
b) Integre o balanço para calcular o volume do reservatório no fim dos 
60 dias de seca contínua. 
EXEMPLO 
3. Um reator a batelada bem agitado, coberto com uma manta elétrica 
de aquecimento, é carregado com uma mistura reativa líquida. Os 
reagentes devem ser aquecidos desde uma temperatura inicial de 25ºC 
até 250ºC antes que a reação possa ocorrer com uma taxa mensurável. 
Use os dados abaixo para determinar o tempo necessário para que este 
aquecimento aconteça. 
Reagentes: Massa: 1,50 Kg 
 Cv: 0,900 cal/(g.ºC) 
Reator: Massa: 3,0 Kg 
 Cv: 0,120 cal/(g.ºC) 
Taxa de Aquecimento: Q: 500,0 W 
Obs1: A reação é desprezível e não há mudanças de fase durante o 
período de aquecimento. 
Obs2: A energia adicionada ao sistema pelo agitador é desprezível

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