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Martinazzo 2009   Bioestatistica

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Considerando um jogo de futebol ou 
basquetebol ou handebol: 
 
 Qualquer um desses jogos acima tem três 
Bioestatística A – Noções de Estatística Descritiva, Probabilidade e Amostragem – URI – Campus de Erechim 
 
Professor: Claodomir Antonio Martinazzo – mclao@uri.com.br – www.uricer.edu.br/~mclao 
 
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resultados possíveis: 
 S = {Vencer, perder, empatar}. 
 
 
 
 - a probabilidade de um time vencer é: 
 S = {Vencer, perder, empatar}. 
 D = {Vencer} 
 
 Temos: 
 
3
1)( =DP 
 
 Pelos exemplos que acabamos de ver, 
podemos concluir que, sendo n(S) = n: 
a. a probabilidade do evento certo é igual a l: 
P(S} = 1 
 
a probabilidade do evento impossível é igual a 
zero: 
P(∅) = 0 
 
c. a probabilidade de um evento E qualquer (E ⊂ 
S) é um número real P(E), tal que: 
 
0 ≤ P(E) ≤ 1 
 
d. a probabilidade de um evento elementar E 
qualquer é, lembrando que n(E) = 1: 
 
n
EP 1)( = 
 
 
6.7. Regras de Contagem, Combinações e 
Permutações. 
 
 A possibilidade de determinar e contar os 
resultados experimentais é uma etapa necessária na 
atribuição de probabilidades. Vamos discutir agora 
três regras de cálculo que são úteis. 
 
 
6.7.1. Experimentos de Múltipla Etapa. O 
Princípio da Multiplicação. Considere o 
experimento de jogar duas moedas. Quantos 
resultados experimentais são possíveis para este 
experimento? Se usarmos C para coroa e K para 
cara, (K, K) indica resultado experimental com 
cara na primeira moeda e cara na segunda moeda. 
Podemos escrever, então, o espaço amostral (S) 
para este experimento de arremesso de moedas 
como segue: 
 
S = {(K,K), (K, C), (C, K), (C, C)} 
 
 A regra de contagem para experimentos de 
múltipla etapa torna possível determinar o número 
de resultados experimentais sem listá-los. 
 
 A regra é: C = Nn, ou seja, o número de 
resultados (C) para n lançamentos de um 
experimento aleatório com N resultados possíveis 
em um evento (por exemplo, no lançamento de 
uma moeda, N = 2, pois existem dois resultados 
possíveis, cara e coroa. 
 Para dois lançamentos, C = 2² = 4; para 
três lançamentos, C = 2³ = 8; e assim por diante. 
 Um diagrama de árvore pode mostrar a 
configuração dos resultados: 
 
 
 
 
 Para o lançamento de dois dados, C = 6² = 
36 resultados possíveis. Veja no esquema a seguir. 
 
 
 
6.8. EVENTOS COMPLEMENTARES 
 
 Sabemos que um evento pode ocorrer ou 
não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra 
(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra 
(insucesso), para um mesmo evento existe sempre 
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a relação: 
 
p + q = 1 ⇒ q = 1 – p 
 Assim, se a probabilidade de se realizar 
um evento é 5
1
=P , a probabilidade de que ele 
não ocorra é: 
5
4
5
11 =−=⇒−= qpq 
 
 Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 
no lançamento de um dado é 6
1
=P . Logo, a 
probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de 
um dado é: 
 
6
5
6
11 =−=q 
 
6.9. PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
 O problema da interseção entre eventos 
não mutuamente exclusivos requer o emprego da 
probabilidade condicional, expressa matematica-
mente assim: 
 
 )( ABP ou probabilidade de ocorrer o 
evento B desde que (dado que) tenha ocorrido o 
evento A. A probabilidade condicional é utilizada 
para determinar a ocorrência de um evento quando 
este é afetado por outra condição. 
 Por exemplo, no caso da retirada de um rei 
no jogo de cartas, considerando-se um total de 52 
cartas, sendo 13 de cada naipe: 
 
 
221
1
663
3
51
3
13
1)Reº2º1()|(
0588,0
51
3)Reº2()|(
13
1
52
4)Reº1()(
====∩
===
===
xiePABAP
iPABP
iPAP
 
 
 A probabilidade de retirar um rei, tendo 
sido previamente retirado um rei, é assim 
determinada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 que é o mesmo valor determinado 
inicialmente (p/2º Rei)=0,0588. 
 
MAIS UM EXEMPLO: 
 
 Consideremos 250 alunos que cursam o 
primeiro ciclo de uma faculdade. Desses alunos 
100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 
cursam física (F) e 140 cursam química (Q). A 
distribuição dos alunos é a seguinte: 
Disciplin
a 
F Q Total 
Sexo 
H 40 60 100 
M 70 80 150 
Total 110 140 250 
 Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a 
probabilidade de que esteja cursando química, 
dado que é mulher? 
 Pelo quadro percebemos que esta 
probabilidade é 150
80
 e representamos: 
 
 
150
80)/( =MQP (Probabilidade de que o 
aluno curse química, condicionado ao fato de ser 
mulher). 
 Observamos, porém, que: 
 
 
150
80
250
150
250
80
)/( ==MQP 
 
 Logo 
 
 
 )(
)()/(
MP
QMPMQP ∩= 
 
 Sejam A ⊂ Ω e B ⊂ Ω. Definimos 
Probabilidade Condicional de A dado que B ocorre 
(A/B) como segue: 
 
 
 0 P(B) se ,)(
)()|( ≠∩=
BP
BAPBAP 
 Também: 
 
0 P(A) se ,)(
)()|( ≠∩=
AP
ABPABP 
0588,0
13
1
221
1
)Reº1Reº2(
)(
)|()|(
==
∩
=
iiP
AP
ABAPBAP
 
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6.10. EVENTOS DEPENDENTES E INDE-
PENDENTES 
 
 A utilização da probabilidade condicional 
P(B|A) está intimamente relacionada ao conceito 
de eventos dependentes e independentes. De um 
modo geral, dizemos que dois eventos são 
independentes quando a ocorrência de um não tem 
o menor efeito na probabilidade de ocorrência do 
outro. Dando um exemplo do nosso cotidiano, se 
um casal tem três filhos do sexo masculino e 
deseja que o próximo seja do sexo feminino, a 
ocorrência anterior de três filhos do sexo 
masculino influi na probabilidade de que, na quarta 
gestação, a criança seja do sexo feminino? 
Evidentemente não, pois a chance de nascer uma 
menina continua sendo p = ½, independentemente 
do sexo dos filhos que nasceram anteriormente. 
 
 Consideremos mais um exemplo de 
probabilidade condicional relacionando-o aos 
eventos dependentes e independentes. Seja um 
experimento de lançar dois dados: A é o evento em 
que, no primeiro dado, aparece um número par, e B 
o evento em que a soma dos pontos de ambos os 
dados é quatro. 
 
 A = {2, 4, 6} B = {1,3; 2,2; 3,1} 
 
 O espaço amostral do evento A abrange 
três elementos: dois, quatro e seis; como o total de 
possibilidade é seis, temos P (A) =3/6=1/2 . Em 
relação ao evento B, o espaço amostral 
compreende os seguintes elementos: 1,3; 2,2; 3,1, 
cada soma totalizando quatro. Cada dado tem seis 
números. A combinação dos seis números dois a 
dois, pois trata-se de dois dados, leva a trinta e seis 
resultados. Como são três elementos em 36 
combinações possíveis, teremos para o evento B: 
P(B) = 3/36=1/12. 
 Examinemos agora a probabilidade 
condicional para essa situação. Os eventos são 
dependentes, pois desejamos saber a probabilidade 
de uma soma de quatro pontos dos dois dados, 
sendo que no primeiro ocorreu um número par. 
Traduzindo esta frase para a linguagem da 
probabilidade condicional teremos: 
 
 P(B I A)= 1/36. 
 
 Então, ao fazermos 36 lançamentos de dois 
dados, apenas o elemento (2,2) atende aos critérios 
referidos nos eventos A e B. Temos, como regra 
geral, que para eventos dependentes, P (B) ≠ P (B / 
A); isto quer dizer que o fato de um evento influir 
no outro afeta a probabilidade de ocorrência desse 
outro. Neste caso constatamos que realmente 
 
 
36
1)(
12
1)( =≠= ABPBP 
 
 No exemplo a seguir, ilustraremos o 
assunto utilizando uma mesma