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Notas de Aulas - Po´s-Graduac¸a˜o em Matema´tica -
UFC
Author One
Departamento de Matema´tica - UFC, Campus do Pici bloco 914,
60455-760 Fortaleza - Ce Brasil
Current address: Departamento de Matema´tica, Universidade Federal do Ceara´,
Campus do Pici bloco 914, 60455-760 Fortaleza - Ce Brasil
E-mail address: ljorge@mat.ufc.br
1991 Mathematics Subject Classification. Primary 54C40, 14E20;
Secondary 46E25, 20C20
Key words and phrases. amsbook, AMS-LATEX
The first author was supported in part by NSF Grant #000000.
Abstract. This paper is a sample prepared to illustrate the use of the Amer-
ican Mathematical Society’s LATEX document class amsbook and publication-
specific variants of that class.
Contents
Preface vii
Part 1. Topologia do Plano Complexo 1
Chapter 1. O Plano Estendido 3
1.1. Introduc¸a˜o e Notac¸a˜o 3
EXERCI´CIOS 8
1.2. O Plano Estendido 8
EXERCI´CIOS 11
1.3. Topologia do plano: Introduc¸a˜o 11
EXERCI´CIOS 18
1.4. Formas diferenciais em domı´nios 18
EXERCI´CIOS 25
1.5. Topologia do Plano: Cohomologia de De Rham 25
EXERCI´CIOS 28
Part 2. Func¸o˜es Holomorfas 29
Chapter 2. Holomorfia 31
2.1. Derivada Complexa 31
EXERCI´CIOS 35
2.2. Primeira Regularidade: Analiticidade de Func¸o˜es Holomorfas 36
EXERCI´CIOS 44
2.3. Segundo Resultado de Regularidade 46
EXERCI´CIOS 48
2.4. Aplicac¸o˜es 49
Bibliography 51
v
Preface
O objetivo destas notas e´ fcilitar o trabalho dos estudantes de graduac¸a˜o e os
que iniciam o nosso programa de mestrado vindos de outros centros. Existe uma
vasta bibliografia sobre o assunto mas acreditamos ser necessa´rio uma adequac¸a˜o aos
nossos curr´ıculos adaptadando os conteudos a`s formac¸o˜es t´ıpicas do nosso ensino.
Tambe´m temos necessidade de fixar melhor os conteudos das disciplinas ajudando
o professor.
Luquesio P. Jorge
vii
Part 1
Topologia do Plano Complexo
CHAPTER 1
O Plano Estendido
1.1. Introduc¸a˜o e Notac¸a˜o
Usaremos o ja´ consagrado s´ımbolo C para indicar o plano complexo obtido
atravez da indentificac¸a˜o com o espac¸o euclideano R2 onde z = x + iy ∈ C corre-
sponde ao par ordenado (x, y) ∈ R2. Admitiremos que o leitor esta´ familiarizado
com a estrutura de corpo natural em C e com suas operac¸o˜es elementares. Assim,
se z = x+ iy enta˜o
x = <(z) = z + z¯
2
, y = =(z) = z − z¯
2i
sa˜o as partes real e imagina´ria de z e z¯ = x−iy e´ o seu conjugado. O valor absoluto
e´ dado por
|z| = √zz¯ =
√
x2 + y2.
Obviamente o inverso multiplicativo de z 6= 0 e´ dado por z−1 = z¯/|z|2. Segue-se
das relac¸o˜es acima que toda func¸a˜o f : R2 → R2 pode ser vista como uma aplicac¸a˜o
f : C→ C pois
f(x, y) = f(
z + z¯
2
,
z − z¯
2i
),
ou seja, escreveremos simplificadamente
(1.1) f(x, y) = f(z, z¯).
Podemos dizer que o nosso objetivo e´ um estudo elementar das func¸o˜es f : C→ C
que dependem somente de um dos paraˆmetros z ou z¯. Por simplicidade estudaremos
as func¸o˜es f = f(z), uma vez que depender somente de z¯ na˜o traria nenhuma
novidade, todas as propriedades sa˜o similares. O importante e´ a dependeˆncia de
somente um paraˆmetro e o escolhido e´ z. A func¸a˜o |z|2 = zz¯ por exemplo na˜o se
enquadra nesta categoria. Veremos como caracterizar estas func¸o˜es, como trabalhar
com elas e tambe´m algumas aplicac¸o˜es. Obviamente polinoˆmios
P (z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn,
onde aj , 0 ≤ j ≤ n sa˜o constantes complexas e z ∈ C sa˜o exemplos delas. Se temos
polinoˆmios nada mais natural do que fazer o quociente deles para obtermos func¸o˜es
racionais complexas. Na realidade muitas func¸o˜es reais induzem func¸o˜es similares
no plano complexo de uma forma natural. Entre elas esta˜o a func¸a˜o exponencial e
as func¸o˜es trigonome´tricas. Vejamos a seguir como isto funciona. Uma func¸a˜o real
f : (a, b) ⊂ R → R e´ dita anal´ıtica se em uma visinhanc¸a de cada ponto x0 de seu
domı´nio os valores f(x) sa˜o dados por uma se´rie, ou seja,
f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · · , |x− x0| < �
Sabemos do ca´lculo que as func¸o˜es infinitamente diferenciaveis possuem uma se´rie
de Taylor em cada ponto do seu domı´nio e que esta se´rie e´ u´nica. Portanto uma
3
4 1. O PLANO ESTENDIDO
func¸a˜o e´ anal´ıtica se e somente se a se´rie de Taylor tem desenvolvimento infinito
em cada ponto e converge ao valor da func¸a˜o em uma vizinhanc¸a. E´ fa´cil obter este
desenvolvimento em se´rie para algumas func¸o˜es reais ou complexas. Vejamos um
exemplo. A identidade alge´brica
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ · · ·+ bn−1)
nos da´ que
1
1− z = 1 + z + z
2 + · · · , |z| < 1(1.2)
1
(1− z)n =
∞∑
k=0
(
k + n− 1
k
)
zk, |z| < 1(1.3)
onde a expressa˜o dentro do somato´rio e´ o coeficiente do binoˆmio de Newton dado
por (
k + n− 1
k
)
=
(k + n− 1)!
k!(n− 1)!
Para provar esta u´ltima igualdade observe que (1−z)n+1 = (1−z)n(1−z). Sabemos
que o produto de duas se´ries
∑
aj(x− x0)j e
∑
bj(x− x0)j , ambas absolutamente
convergente, e´ absolutamente convergente (ver [L]) e dada por
∑
cj(x− x0)j onde
cn =
∑n
j=0 an−jbj . Utilizando a regra do binoˆmio segundo a qual a soma de duas
posic¸o˜es vizinhas do triaˆngulo de Pascal da´ a posic¸a˜o abaixo da segunda obtemos
que o coeficiente da se´rie produto e´ dado por
k∑
j=0
(
j + n− 1
j
)
=
(k + n)!
k!n!
Portanto o princ´ıpio de induc¸a˜o garante o desenvolvimento acima. Considere agora
a func¸a˜o 1/z definida no plano complexo menos a origem. O seu desenvolvimento
em torno de z0 6= 0 e´ dado por
1
z
=
1
z0
1
1 + (z − z0)/z0(1.4)
=
∑ (−1)n
(z0)n+1
(z − z0)n(1.5)
De maneira ana´loga obtemos que a func¸a˜o z−n e´ tambe´m anal´ıtica no plano menos
a origem pois
(1.6)
1
zn+1
=
∞∑
k=0
(−1)k
zk+n+10
(
k + n
k
)
(z − z0)k
Vejamos um crite´rio para decidir quando uma func¸a˜o real e´ anal´ıtica. Este mesmo
crite´rio vale em situac¸o˜es bem mais geral. Entretanto neste caso particular e´ im-
portante para justificar o que queremos fazer agora. Antes pore´m necessitamos de
um resultado sobre se´ries absolutamente convergentes que nem sempre apare nos
livros textos como anunciamos abaixo.
Lema 1.1. Uma func¸a˜o f : (a, b) → R de classe C∞ e´ anal´ıtica se e somente
se existe uma constante K e um nu´mero real r, 0 < r ≤ min{x0 − a, b − x0} tais
1.1. INTRODUC¸A˜O E NOTAC¸A˜O 5
que
(1.7) sup
|x−x0|<r
|f (n)(x)| ≤ K n!
rn
, ∀n
Proof. Seja f : (a, b)→ R satisfazendo a condic¸a˜o do lema. Pelo desenvolvi-
mento de Taylor com resto de Lagrange (ver Teorema 10 do Cap´ıtulo 8 de [L])
temos
f(x) =
f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + · · ·+ 1n!f (n)(x0)(x− x0)n
+ 1n!f
(n)(c)(x− x0)n(1.8)
= Sn(x) +
1
n!
f (n)(c)(x− x0)n(1.9)
onde c esta´ entre x0 e x. Tome o intervalo fechado I = [x0−r′, x0 +r′], r′ = λr, 0 <
λ < 1. Enta˜o, usando a norma do supremo no intervalo I obtemos
||f − Sn||I ≤ (r
′)n
n!
||f (n)||I(1.10)
≤ K(r
′
r
)n(1.11)
= Kλn(1.12)
Portanto Sn converge uniformemente no intervalo I para f o que assegura a sua
analiticidade.
Assuma agora que f e´ anal´ıtica e tem o desenvolvimento dado acma. Sabemos
do ca´lculo (ver [L]) que
f (n)(x) =
∑
k≥n
k(k − 1) · · · (k − n+ 1)ak(x− x0)k−n, |x− x0| < �
Tomemos r tal que 0 < 2r < �. Como a se´rie converge em x = 2r segue-se que
|ak|(2r)k ≤
∑
j≥0
|aj |(2r)j = K, ∀k ≥ 0.
Para |x− x0| ≤ r temos enta˜o
|f (n)(x)| ≤
∑
k≥n
k!
(k − n)! |ak|r
k−n(1.13)
≤ K
∑
k≥n
k!
(k − n)! (2r)
−krk−n(1.14)
≤ Kn!
2nrn
∑
k≥n
k!
n!(k − n)! (
1
2
)k−n(1.15)
≤ 2Kn!
rn
(1.16)
pois o u´ltimo somato´rio e´ o desenvolvimento de (1 − x)n+1 no ponto x = 1/2
provando assim a desigualdade. �
Corola´rio 1.2. Soma, produto, inversa˜o e composic¸a˜o de func¸o˜es ananl´ıticas
e´ anal´ıtica onde estiverem definidas.
6 1. O PLANO ESTENDIDO
Proof. A demonstrac¸a˜opara somas ou diferenc¸as segue-se imediatamente da
desigualdade do lema. Tomemos h = fg. Seja K e � tais que a desigualdade do
lema vale com estes valores para as duas func¸o˜es. Fixemos r tal que 0 < 2r < �.
Temos
|h(n)(x)| ≤
n∑
j=0
(
n
j
)
|fn−j(x)||gj(x)|, |x− x0| < r(1.17)
≤ K2
n∑
j=0
(
n
j
)
(n− j)!
�n−j
j!
�j
(1.18)
≤ K
2nn!
2nrn
(1.19)
≤ K
2n!
rn
(1.20)
o que prova que produto de func¸o˜es anal´ıticas e´ anal´ıtica. Para encerrar a prova
basta mostrar que a composta de func¸o˜es anal´ıticas e´ anal´ıtica. Usaremos o seguinte
crite´rio para se´ries absolutamente convergente:
Lema 1.3. Seja s =
∑
sn absolutamente convergente. Considere uma partic¸a˜o
de N feita por conjuntos {kjn}, kj1 < kj2 < · · · , e defina zjn := zkln . Enta˜o a se´rie∑
zjn e´ absolutamente convergente e s =
∑
j
∑
n zjn
Para uma demonstrac¸a˜o ver [L] ou qualquer outro livro cobrindo os prerreq-
uisito. Seja aj e bj os coeficientes dos desenvolvimento de f e g respectivamente.
Escolha δ > 0 tal que |f(z) − f(z0)| ≤ r, onde r e´ estritamente menor que o raio
de convergeˆncia de g. A existeˆncia de δ e´ garantida pela continuidade de f ou
diretamente observando que
∑
aj(z− z0)j = (z− z0)
∑
aj(z− z0)j−1 cujo limite e´
zero quando z tende a zero. Substituindo uma se´rie dentro da outra obtemos uma
nova se´rie definida formalmente por∑
cnX
n :=
∑
aj(
∑
k≥1
bkX
k)j .
Para obtermos uma func¸a˜o fazemos simplesmente a substituic¸a˜o X = z−z0. Como∑
cnX
n e´ majorada por ∑
|bj |(
∑
k≥1
|ak|δk)j ≤
∑
|bj |rj
obtemos que ela e´ absolutamente convergente e sua soma na˜o depende de rear-
rumac¸o˜es garantindo a analiticidade da composta. A analiticidade da inversa˜o 1/f
e´ garantida pela composic¸a˜o de f com a aplicac¸a˜o anal´ıtica z 7→ 1/z. �
Lema 1.4. Seja
∑
ajX
j uma se´rie formal com ra´io de convergeˆncia R. Dado
z0 ∈ C a func¸a˜o f(z) :=
∑
aj(z − z0)j , |z − z0| < R, e´ anal´ıtica.
Proof. Tome z1, r e λ tais que |z1− z0|+ r ≤ λ < R, Podemos escrever enta˜o
f(z) =
∑
aj((z − z1) + (z1z0))j(1.21)
=
∑
aj
j∑
k=0
(
j
k
)
(z − z1)j−k(z1 − z0)k(1.22)
1.1. INTRODUC¸A˜O E NOTAC¸A˜O 7
Enta˜o se |z − z1| ≤ r obtemos∑
|aj |
j∑
k=0
(
j
k
)
|z − z1|j−k|z1 − z0|k ≤
∑
|aj |
j∑
k=0
(
j
k
)
rj−k|z1 − z0|k
≤
∑
|aj |λj <∞
ou seja, esta se´rie converge absolutamente. Enta˜o podemos fazer o seguinte rear-
ranjamento
(1.23) f(z) =
∑
k
∑
j≥k
(
j
k
)
aj(z1 − z0)j−k
 (z − z1)k
o que garante a analiticidade de f na bola. �
Definimos um domm´inio Ω como sendo qualquer aberto conexo do plano com-
plexo.
Lema 1.5. Seja f : Ω → C uma func¸a˜o anal´ıtica definida em um domı´nio do
plano complexo. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(1) f e´ identicamente nula, ou seja, Z = Ω.
(2) Existe um ponto onde os coeficientes aj do desenvolvimento de f neste
ponto sa˜o todos identicamente nulos.
(3) Z tem ponto de acumulac¸a˜o em Ω.
Em particular f e´ uma constante c se e so´ se f−1(c) tem ponto de acumulac¸a˜o em
Ω.
Proof. Observe que (1) e (2) implicam (3) trivialmente. Seja {aj} os coefi-
cientes do desenvolvimento de f em torno de um ponto z0 ∈ Ω. Se existe um k tal
que ak 6= 0 e aj = 0, j ≤ k, enta˜o
f(z) = (z − z0)k
∑
j≥k
aj(z − z0)j−k, |z − z)| < r0(1.24)
= (z − z0)kQ(z)(1.25)
e podemos diminuir o raio r0, se necessa´rio, para obtermos Q(z) 6= 0, |z − z0| < r0.
Enta˜o z0 e´ ponto isolado o que garante que (3) implica (2). Tambe´m temos que o
conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de Z e´ um aberto pois f(z) = 0, |z − z0| < r0.
Como o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de Z e´ um fechado e Ω e´ conexo segue-se
que Z = Ω encerrando a prova do lema. �
Corola´rio 1.6. Seja f : Ω→ C uma func¸a˜o anal´ıtica definida em um domı´nio
e seja Z o conjunto dos zeros de f . Se f na˜o e´ identicamete nula enta˜o em cada
ponto z0 ∈ Z existe r0 e uma func¸a˜o anal´ıtica Q tal que
(1.26) f(z) = (z − z0)nQ(z), Q(z) 6= 0, |z − z0| < r0
ou seja, os zeros de f sa˜o isolados
Finalmente podemos estender todas as func¸o˜es anal´ıticas da reta a func¸o˜es
anal´ıticas no plano complexo preservando todas as suas propriedades. Seja f : I →
R anal´ıtica. Para cada ponto x ∈ I existe Rx > 0 que e´ o ra´io de convergeˆncia da
representac¸a˜o
∑
aj(x− x0)j de f. Definimos U = ∪BRx(x) e f(z) =
∑
aj(z − x)j .
Na intersec¸a˜o de duas bolas as duas func¸o˜es anal´ıticas estendendo f coincidem sobre
8 1. O PLANO ESTENDIDO
os pontos do eixo-x e portanto sa˜o iguais assegurando que f esta´ bem definida e
e´ anal´ıtica. Todas as relac¸o˜es que f satisfazia na reta sa˜o enta˜o va´lidas no plano
complexo. Por exemplo, as func¸o˜es seno e cosseno continuam satisfazendo que a
soma do seus quadrados e´ 1. Na realidade novas relac¸o˜es surgem como a equac¸a˜o
de Euler
eiz = cos z + i sin z
.
.
EXERCI´CIOS
(1) Mostre que o produto de func¸o˜es anal´ıticas e´ anal´ıtica utilizando produto de
se´ries.
(2) Mostre que a func¸a˜o
φ(x) =
{
e−x
2
, x > 0
0, x ≤ 0
e´ infinitamente deriva´vel mas na˜o e´ anal´ıtica.
(3) Dado os nu´meros a < b < c < d construa uma func¸a˜o real φ, 0 ≤ φ ≤ 1, de
classe C∞ tal que
φ(x) =
{
0, x ∈ [−∞, a] ∪ [d,∞]
1, b ≤ x ≤ c
Esta func¸a˜o pode ser construida crescente em [a, b] e decrescente em [c, d] e
satisfazendo a desigualdade
sup |φ′(x)| ≤ 2 max{ 1
b− a,
1
d− c}
(4) Sejam U1 e U2 respectivamente os abertos obtidos retirando do plano complexo
o semi-eixo real negativo e o imagina´rio positivo. Encontre extenso˜es anal´ıticas
do logaritmo neperiano a ambos. Como se comportam estas extenso˜es nas
componentes conexas de U1 ∩ U2?
(5) Demonstre a equac¸a˜o de Euler.
(6) Deduza as expresso˜es do seno e cosseno em termos da func¸a˜o da exponencial.
1.2. O Plano Estendido
O plano complexo estendido e´ uma compactificac¸a˜o do plano complexo obtida
acrescentando um ponto que na˜o pertence a ele. Este tipo de compactificac¸ ao
e´ conhecida como compactificac¸a˜o de Alexandroff e e´ obtida do seguinte modo.
Tomemos o s´ımbolo ∞ que na˜o pertence ao plano complexo e definimos C∗ :=
C ∪ {∞}. Sabemos que todo compacto K de C e´ um fechado e portanto Kc e´
um aberto. Definimos enta˜o as vizinhanc¸as abertas do infinito como sendo os
conjuntos Kc ∪ {∞}. Acrescentando a esta famı´lia os abertos usuais de C obtemos
uma topologia em C∗. Obviamente AR∞ := {z ∈ C| |z| > R} ∪ {∞} formam uma
base desta topologia centrada no infinito.
Lema 1.7. Seja C∗ a compactificac¸a˜o de Alexandroff do plano complexo C.
(1) C∗ e´ compacto.
(2) Qualquer outra compactificac¸a˜o de C preservando a topologia e acrescendo
um ponto e´ homeomorfa a C∗
1.2. O PLANO ESTENDIDO 9
(3) C∗ e´ homeomorfo a S2 = {x ∈ R3 | |x| = 1} e portanto e´ metriza´vel. A
me´trica induzida do R3 em C∗ e´ dada por
ρ(z, w) =
2|z − w|√|z|2 + 1√|w|2 + 1 , z, w 6=∞
e
ρ(z,∞) = 2√|z|2 + 1 .
Proof. Dado uma cobertura aberta de C tome A∞ como sendo um aberto
desta cobertura contendo o ponto do infinito. Enta˜o existe um AR∞ ⊂ A∞. O
complementar AcR∞ e´ um compacto de C e portanto esta´ contido em uma unia˜o
de abertos A1, · · · , An desta cobertura. Acrescentando A∞ a esta famı´lia obtemos
uma subcobertura finita o que prova o primeiro ı´tem. O segundo ı´tem e´ o´bvio pois
retirando o ponto adicionado obetemos um homeomorfismo com C que estende-se
ao complemento. Para provarmos o u´ltimo ı´tem precisamos deduzir a expressa˜o
da projec¸a˜o estereogra´fica. Por definic¸a˜o pi : S2 \ {(0, 0, 1)} → R2 e´ a projec¸a˜o do
ponto de intersec¸a˜o da reta que liga x ∈ S2 ao polo norte sobre a intersec¸a˜o como o
plano horizontal. Escolhendo o ponto t ∈ R tal que (0, 0, 1) + t(x1, x2, x3 − 1) fura
o plano horizontal, isto e´, 1 + t(x3 − 1) = 0 encontramos
(1.27) pi(x) = (
x1
1− x3 ,
x2
1− x3 ), x ∈ S
2 \ {(0, 0,1)}
Esta aplicac¸a˜o e´ obviamente cont´ınua como restric¸a˜o de aplicac¸o˜es cont´ınuas e o
mesmo acontece com sua inversa
(1.28) ϕ(z) = (
2x
|z|2 + 1 ,
2y
|z|2 + 1 ,
|z|2 − 1
|z|2 + 1), z = x+ iy.
Podemos enta˜o estender este homeomorfismo entre C e S2 \{(0, 0, 1)} a um homeo-
morfismo entre C∗ e a esfera unita´ria S2. O ca´lculo da distaˆncia induzida deixamos
a cargo do leitor. �
Sejea f : Ω→ C uma aplicac¸a˜o anal´ıtica e z0 ∈ Ω. Sabemos que
f(z) =
∞∑
j=0
aj(z − z0)j , |z − z0| < δ
onde δ e´ o mı´nimo entre a distaˆncia de z0 a fronteira de Ω e o ra´io de convergeˆncia
que e´ definido por
(1.29)
1
R
= lim sup |an|1/n
Admita que esta aplicac¸a˜o f esta´ definida em Ω a excec¸a˜o de pontos isolados. Enta˜o
dizemos que cada ponto isolado onde f na˜o esta´ definida e´ uma singularidade de f,
ou seja, se f esta´ definida em z para 0 < |z − z0| < � enta˜o z0 e´ uma singularidade
de f. Duas situac¸o˜es merecem destaque: ∃ limz→z0 f(z) em C∗ ou na˜o existe tal
limite. Caso na˜o exista tal limite dizemos que z0 e´ singularidade essencial de f.
Se existe o limite enta˜o dizemos que z0 e´ polo de f se limz→a0 f(z) = ∞. Se este
limite for um ponto finito enta˜o dizemos que z0 e´ uma singularidade remov´ıvel
de f, podemos estende-la continuamente a este ponto. Veremos mais tarde como
efetuar esta extensa˜o analiticamente. Observe que se z0 na˜o e´ uma singularidade
essencial enta˜o podemos estender f a z0 cont´ınuamente tomando valores no plano
estendido C∗.
10 1. O PLANO ESTENDIDO
Exemplo 1.8. Seja p(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn um polinoˆmio de grau n. Se
P (z) na˜o e´ constante enta˜o estende-se a uma aplicac¸a˜o P : C∗ → C∗ cont´ınua e
tem um polo no infinito. Com efeito,
|P (z)| ≥ |z|n(|an| −
∑n−1
j=0
|aj |
|z|n−j ),
≥ |z|n(|an| −
Pn−1
j=0 |aj |
R ),
≥ |an|2 |z|n
se |z| ≥ R ≥ 1, e 2∑n−1j=0 |aj | ≤ R|an|. Portanto lim|z|→∞ P (z) = ∞ como afir-
mamos.
Exemplo 1.9. Seja f uma func¸a˜o racional, isto e´, uma func¸a˜o que e´ o quo-
ciente de dois polinoˆmios f(z) = P (z)/Q(z). Sempre podemos assumir que estes
polinoˆmios sa˜o primos entre si, na˜o possuem fatores comum. Portanto P e Q
na˜o possuem zeros em comum e todos os zeros de Q sa˜o singularidades de f ,
ou melhor, sa˜o polos. Com efeito, se Q(z0) = 0 enta˜o existe uma decomposic¸a˜o
Q(z) = (z − z0)nQ0(z) onde |Q(z)| ≥ a > 0, |z − z0| < �, e n e´ a multiplicidade do
zero. Se |P (z)| ≥ b > 0, |z − z0| < �, se necessa´rio diminuindo o valor de � enta˜o
|f(z)| ≥ b
a|z − z0|n , |z − z0| < �
o que mostra que z0 e´ polo. Quanto ao ponto do infinito temos as seguintes pos-
sibilidades: Se o grau de P e´ maior que o de Q enta˜o f tem polo no infinito. Se
o grau de P e´ menor que o de Q enta˜o f tem um zero no infinito e se os graus
sa˜o iguais obtemos o valor f(∞) = an/bn onde an e bn sa˜o os coeficientes lider dos
polinoˆmios.
Exemplo 1.10. Um caso particular do exemplo anterior e´ quando os polinoˆmios
P e Q possuem graus na˜o maiores que 1. Se
f(z) =
az + b
cz + d
, z ∈ C, ad− bc 6= 0,
chamamos f de transformac¸a˜o homogra´fica. A composta de duas aplicac¸o˜es deste
tipo ainda e´ uma transformac¸a˜o homogra´fica cujos coeficientes sa˜o obtidos multiplicando-
se as matrizes formadas pelos coeficientes das duas outras aplicac¸o˜es. Portanto elas
sa˜o invers´ıveis, ou melhor, sa˜o homeomorfismo do plano estendido. Existe de fato
um homomorfismo do grupo das matrizes invers´ıveis 2× 2 com a operac¸a˜o produto
no grupo dos homeomorfismo de C∗ com a operac¸a˜o composic¸a˜o.
Exemplo 1.11. Considere f(z) := exp(1/z). A origem e´ uma singularidade.
Observe que z → 1/z aplica a vizinhanc¸a do infinito AR∞ na bola B(0; 1/R) e
portanto infinitas faixas sa˜o aplicadas dentro desta bola. Dado � > 0 podemos
tomar 1/R < � e portanto f cobre C \ {0} infinitas veˆzes. Logo a origem e´ uma
singularidade essencial de f. Veremos mais tarde que toda singularidade essencial
de uma func¸a˜o holomorfa tem sempre um coportamento similar.
Exemplo 1.12. Ja´ vimos quando um somato´rio converge. E que se pode dizer
de um produto´rio? Sejam z1, z2, · · · nu´meros complexos e defina pn =
∏n
j=1 zj .
1.3. TOPOLOGIA DO PLANO: INTRODUC¸A˜O 11
Dizemos que existe o produto infinito dos zn’s se existe o limite da sequ¨eˆncia for-
mada pelos pn’s e postamos ∏
zn = lim
n→∞
n∏
j=1
zj
Se existe λ > 0 tal que |zj | ≤ λ < 1 enta˜o
∏
zn = 0 obviamente. Esta e´ uma
situac¸a˜o que na˜o tem utilidade pra´tica. Admita que existe
∏
zn e que e´ na˜o nulo.
Certamente temos zn 6= 0,∀n. Alem disso
lim zn = lim pnpn−1
= 1
Portanto estas duas condic¸o˜es necessa´rias devem ser impostas para termos um
produto infinito na˜o nulo. De fato, zn → 1, garante que <(zn) > 0 a menos de um
nu´mero finito de termos. Em algumas situac¸o˜es e´ conveniente impor esta restric¸a˜o.
EXERCI´CIOS
(1) Mostre que a projec¸a˜o esterogra´fica leva c´ırculos passando pelo polo norte em
retas e c´ırculos que na˜o passam no polo norte em c´ırculos do plano complexo.
(2) Utilize a aplicac¸a˜o exponencial para encontrar um homeomorfismo entre uma
faixa infinita {z|0 ≤ =(z) ≤ b < 2pi} e um setor circular. O logaritmo e´ a inversa
da exponencial. Encontre todas as inversas, ou seja, todos os logaritmos deste
setor circular na faixa.
(3) Considere o setor circular S = {z|0 < arg z/z0 < 2pi/n} e w0 = zn0 e U =
C \ {tw0|t > 0}. Encontre a inversa n
√
w de zn de U em S. Quantas inversas
semelhantes existem?
(4) Encontre a projec¸a˜o estereogra´fica baseada no polo sul. Qual a mudanc¸a de
coordenada entre as projec¸o˜es baseadas nos dois polos?
(5) Uma aplicac¸a˜o diferencia´vel e´ conforme se sua derivada e´ uma aplicac¸a˜o linear
conforme entre os espac¸os tangentes correspondes. Mostre que a projec¸a˜o es-
tereogra´fica e´ uma aplicac¸a˜o conforme. Qual o aˆngulo no infinito de duas retas
equidistantes?
(6) Justifique todas as afirmac¸o˜es dos exemplos acima.
(7) Seja U o conjunto das matrizes complexas 2× 2 com determinante ±1. Mostre
que U e´ um subgrupo do grupo das matrizes invers´ıveis. Quem e´ o nu´cleo
do homomorfismo original? Por que para estudarmos as transformac¸o˜es ho-
mogra´ficas e´ suficiente estudar as associadas a este grupo?
(8) Mostre que para cada δ > 0 a imagem de Aδ = {z|0 < |z| < δ} por exp(1/z)
cobre o plano menos a origem.
(9) Por que a func¸a˜o sin(1/z) na˜o contradiz o lema (1.5)?
(10) Mostre que sin(1/z) tem a seguinte propriedade: Dado δ > 0 a imagem da bola
Bδ(0) e´ sobre o plano complexo.
1.3. Topologia do plano: Introduc¸a˜o
Um conceito importante e´ o de ramo de uma func¸a˜o que tambe´m esta´ rela
cionado com o princ´ıpio da continuac¸a˜o anal´ıtica e a construc¸a˜o de superf´ıcies
de Riemann. E´ ba´sico portanto entender bem este conceito e ficar familiarizado
com ele. O conceito de ramo de func¸a˜o e´ formalizado na teoria das aplicac¸o˜es de
recobrimento que passaremos a introduzi-la agora. Sejam U e V abertos de C e f :
12 1. O PLANO ESTENDIDO
U → V uma aplicac¸a˜o cont´ınua e sobrejetiva. Dizemos que f e´ um recobrimento
se para cada ponto w ∈ V existe um aberto W 3 w tal que f−1(W ) = ∪Uj onde
os Uj sa˜o disjuntos e f |Uj : Uj → W e´ um homeomorfismo. A colec¸a˜o U ′js e´ finita
ou enumera´vel e sem perda de generalidade podemos tomar todos estes conjuntos
conexos por caminho. Isto porque C e´ um espac¸o me´trico separa´vel e localmente
convexo. A fibra sobre w e´ o conjunto f−1(w) que e´ sempre finito ou enumera´vel.
Seja g : X → V uma aplicac¸a˜o cont´ınua de um espac¸øtopolo´gico em V. Dizemos
que uma func¸a˜o cont´ınua G : X → U e´ um levantamento de g se f ◦ G = g. Nem
sempre existem levatamentos. Em geral sua existeˆncia depende de todos os espac¸os
e func¸o˜es envolvidos. Se tomarmos g como a inclusa˜o de subconjuntos de U os
levantamentos sera˜o os ramos da func¸a˜o recobrimento.
Exemplo 1.13. Coordenadas polares ϕ : (0,∞)× R → C \ {0} dada por
ϕ(r, t) = reit e´ um exemplo t´ıpico de recobrimento. Para cada w = reiθ, r > 0,
tomamos W = {z| | arg(z/w)| < �} e Uj = {(r, t + 2pij)|θ − � < t < θ + �}.
Obviamente 0 ≤ θ < 2pi e 0 < � < 2pi. Fibra em cada ponto e´ sempre infinito e
enumera´vel pois f−1(w) = (θ + 2pi)iZ.
Exemplo 1.14. As seguintes aplicac¸o˜es sa˜o de fa´cil comprovac¸a˜o que sa˜o re-
cobrimentos: f : C → C \ {0}, f(z) = ez, e g : C \ {[0} → C \ {0}, g(z) = zn.
A fibra para f e´ infinita mas para g tem n pontos. Na˜o existe um levantamento
de g por f(prove!). Entretanto se restringirmos g a C \ {z|<(z) ≤ 0} a func¸a˜o
G(reit) = n log r + int,−pi < t < pi, e´ um levantamento de g.
Exemplo 1.15. Seja f : C\{0,±1} → C\{−1, 0} dada por f(z) = (z2−1)−1.
E´ fa´cil ver que f tem duas inversas locais dadas por g(w) =
√
(w + 1)/w que sa˜o
cont´ınuas, ou seja, f e´ um recobrimento duplo (a fibra tem sempre dois pontos).
Lema 1.16. Sejam f : U → V um recobrimento e g : X → V uma aplicac¸a˜o
cont´ınua definida em um espac¸o topolo´gico conexo X. Se existem levantamentos G1
e G2 de g enta˜o ou G1(X) ∩G2(X) = ∅, ou G1 = G2.
Proof. Admita que as imagens de G1 e G2 se intersetam contendo um ponto
u0. Seja v0 = f(u0) e F o subconjunto de X onde f = g. Sendo f um recobrimento
existem abertos U ′ 3 u0 e V ′ 3 v0 tais que f |U ′ : U ′ → V ′ e´ um homeomorfismo e
as outras componentes conexas de f−1(V ′) na˜o intersetam U ′(tomando V ′ conexo).
Pela continuidade de G1 e G2 existe um aberto A 3 x0, G1(x0) = G2(x0) = u0, tal
que Gj(A) ⊂ U ′. Enta˜o Gj |A = (f |U ′)−1 ◦ (g|A), o que mostra que F e´ aberto.
Como F e´ o conjunto de zeros de G1 −G2 ele e´ fechado. Sendo X conexo segue-se
que F = X. �
Lema 1.17 (Levantamento de Caminhos). Seja f : U → V um recobrimento e
α : [a, b] → V uma aplicac¸a˜o cont´ınua. Seja v0 = α(a). Escolhido um ponto u0 ∈
f−1(v0) existe um u´nico caminho cont´ınuo α˜ : [a, b] → U satisfacendo α˜(a) = u0
tal que f ◦ α˜ = α.
Proof. A compacidade da imagem de α garante a existeˆncia de um � > 0 tal
que a bola centrada em α(t) de raio � fac¸a o papel da vizinhanc¸a V ′ da definic¸a˜o
do recobrimento. A continuidade uniforme de α garante a existeˆncia de uma
partic¸a˜o {tj} de [a, b] tal que α([tj , tj+1]) esta´ contido na bola Bj de centro α(tj)
e raio �. Se U0 e´ a compnente conexa de f−1(B0) que contem u0 enta˜o definimos
α˜(t) = (f |U0)−1 ◦ α(t), a ≤ t ≤ t1. Tomando U1 como sendo a componente conexa
1.3. TOPOLOGIA DO PLANO: INTRODUC¸A˜O 13
de f−1(B1) que contem α˜(t1) estendemos α˜ a [a, t2] e assim por diante. Como
f |U0 = f |U1 em U0 ∩ U1 esta extensa˜o e´ cont´ınua. Deste modo construimos um
levantamento α˜ de α que contem o ponto u0. O lema anterior garante a unicidade
de α˜. �
Por simplicidade podemos considerar todos os caminhos definidos no intervalo
I = [0, 1]. Sejam α e β dois caminhos em um aberto Ω ligando dois pontos a =
α(0) = β(0) e b = α(1) = β(1). Dizemos que a aplicac¸a˜o cont´ınua F : I × I → Ω, e´
uma homotopia entre α e β com extremos fixos se
F (t, s) =

α(t), s = 0
β(t), s = 1
a, t = 0
b, t = 1
Escreveremos F : α ' β ou simplesmente α ' β para significar que existe uma
homotopia entre estas curvas deixando os extremos fixos.
Lema 1.18 (Levantamento de Homotopia). Seja f : U → V um recobrimento
e F : I × I → V uma aplicac¸a˜o cont´ınua com v0 = F (0, 0). Escolhido o ponto
u0 ∈ f−1(v0) existe uma u´nica aplicac¸a˜o cont´ınua F˜ : I × I → U tal que f ◦ F˜ = F
satisfazendo F˜ (0, 0) = u0.
Proof. Sendo F (I × I) compacto existe uma � > 0 tal que a bola de centro
F (p) e raio � pode ser tomada como o aberto V ′ da definic¸a˜o de recobrimento,
independente do ponto p ∈ I × I. A equicontinuidade de F permite encontrar uma
partic¸a˜o Rjk de I× I por retaˆngulos de modo que F (Rjk) ⊂ Bjk onde Bjk e´ a bola
de raio � e centro no ve´rtice inferior esquerdo. Procedemos de maneira similar ao
levantamento de caminhos: Dfinimos F˜ no retaˆngulo R00 como (f |U00)−1 ◦ F |R00
onde U00 e´ a componente conexa de f−1(B00) que contem u0. Os respectivos levan-
tamentos de F restrito a R01, R11 ou R10 estendem F˜ pois coincidem na fronteira
comum. Com este procedimento estendemos F˜ a todo I × I. �
Corola´rio 1.19. Sejam α e β caminhos em um aberto U e F uma homotopia
entre estes caminhos com extremos fixos. Enta˜o a aplicac¸a˜o F˜ e´ uma homotopia
entre os levantamentos α˜ e β˜ dos caminhos α e β com extremos fixos.
Proof. Basta observar que se F e´ constante em 0× I e 1× I enta˜o F˜ tambe´m
o e´. �
Como antes um domı´nio em C ou C∗ e´ qualquer aberto conexo. Como C e´
localmente convexo segue-se que todo domı´nio e´ conexo por caminho. Lembramos
que um caminho e´ qualquer aplicac¸a˜o cont´ınua de um intervalo da reta em C ou
C∗. De fato podemos ligar dois pontos quaisquer de um domı´nio por uma poligonal
ou mesmo por um caminho infinitamente diferencia´vel e regular (o vetor velocidade
na˜o se anula). Na realidade podemos deformar um caminho quaquer a um outro
pro´ximo dele que e´ C∞ e regular sem sair de Ω.
Lema 1.20. Seja α(t) uma caminho cont´ınua em uma aberto U conectando dois
pontos z0 e z1. Seja r(t) = dist(α(t),C \U) a distaˆncia de r(t) ao complementar de
U. Se β(t) e´ outro caminho cont´ınuo ligando os mesmos pontos e satisfazendo
|α(t)− β(t)| < r(t),∀t,
14 1. O PLANO ESTENDIDO
enta˜o α e β sa˜o homoto´picas com extremos fixos. Alem disso, F possui a mesma
classe de diferenciabilidade que a das duas curvas.
Proof. Basta tomar F (t, s) = (1− s)α(t)− sβ(t). �
Corola´rio 1.21. Sejam X um espac¸o topolo´gico e f, g : X → U duas aplicac¸o˜es
cont´ınuas tais que f |X0 = g|X0 para algum subconjunto X0 ⊂ X. Seja r(x) =
dist(f(x), ∂U). Se |g(x)− f(x)| < r(x),∀x ∈ X, enta˜o existe uma homotopia entre
f e g deixando f(X0) fixo.
Lema 1.22. Seja α : [a, b] → U um caminho em um domı´nio U. Existe � > 0
e um caminho β : [a, b] → U, C∞, tal que |α(t) − β(t)| < �, ∀t ∈ [a, b]. Em outras
palavras β(t) ∈ B(α(t); �), a ≤ t ≤ b. Alem disso α e β sa˜o homoto´picas com
extremos fixos e β e´ regular, ou seja, β′(t) 6= 0 para todo t.
Proof. A imagem α([a, b]) e´ um compacto de U. Se 0 < 2� < d(α([a, b]), U c)
onde d(X,Y ) e´ a distaˆncia entre estes conjuntos, enta˜o B(α(t), �) ⊂ U, ∀t ∈ [a, b].
Pela continuidade uniforme de α existe um δ0 > 0 tal que α(t) ∈ B(α(u); �), ∀a ≤
u ≤ b, e |t − u| < δ. Em particular qualquer partic¸a˜o {t0 = a < t1, · · · , < tn = b}
com |tj − tj+1| < δ e´ tal que α([tj , tj+1]) ⊂ B(α(tj), �), 0 ≤ j ≤ n − 1. Escolha
pontos z0 = α(a), zn = α(b) e zj ∈ B(α(tj), �) ∩ B(α(tj+1, �), j = 1, · · · , n − 1
de modo que wj = (zj+1 − zj)/(tj+1 − tj) tenham sempre wj e wj+1 linearmente
independentes. Seja γ(t) = zj + (t − tj)wj a poligonal formada por estes pontos.
Vejamos como trnsformar γ em um caminho regular e C∞.
E´ sabido que a func¸a˜o φ : R → R definida por φ(t) = 0, t ≤ 0, e φ(t) =
exp(−1/t2), t > 0, e´ de classe C∞. Obviamente φab(t) := φ(t−a)/(φ(t−a)+φ(b−t))
e´ C∞, 0 ≤ φab(t) ≤ 1, sendo que φ(t) = 0,∀t ≤ a, e φ(t) = 1,∀t ≥ b, onde a, b, a < b,
sa˜o pontos arbrita´rios da reta. Consideremos agora duas retas L1(t) = z0 + tz1 e
L2(t) = w0 + tw1 com L1(t0) = L2(t0) e um nu´mero δ > 0. Se z1 = w1 as duas
retas parametrizadas sa˜o iguais e portanto C∞ em vizinhanc¸a de t0. Seja z1 6= w1.
Tome a = t0 − δ, b = t0 + δ, β(t) = (1− φab(t))L1(t) + φab(t)L2(t) e
L1 ∧ L2(t) :=
{
L1(t), se t ≤ t0,
L2(t), se t ≥ t0.
Portanto obtemos
|β(t)− L1 ∧ L2(t)| ≤
{
0, se |t− t0| ≥ δ,
|L1(t)− L2(t)|, se |t− t0| < δ.
Como L1(t0)− L2(t0) = 0 o caminho β pode ser tomado ta˜o pro´ximo da poligonal
quanto se queira. Procedendo assim em cada ve´rtice da poligonal γ obtemos a
curva β anunciada no lema. Para provar a regularidade observe que
β′ = φ′(Lj+1 − Lj) + (1− φ)wj+1 + φwj
= (1− φ− (t− tj+1)φ′)wj + (φ+ (t− tj+1)φ′)wj+1
e sendo wj , wj+1 linearmente independentes na˜o podemos ter β′ = 0. A homotopia
segue-se do lemaanterior. �
Lema 1.23. Seja F : α ' β em um aberto U. Enta˜o existe um � > 0 e uma
homotopia G : α1 ' β1 tais que
(1) ||α− α1||I , ||β − β1||I×I , ||F −G||I < � onde ||f ||X = supx∈X |f(x)|.
(2) α ' α1 e β ' β1
1.3. TOPOLOGIA DO PLANO: INTRODUC¸A˜O 15
(3) α1 e β1 sa˜o poligonais e existe uma partic¸a˜o de I × I tal que G e´ linear
em cada retaˆngulo. Alem disso podemos regularizar G de modo que na
varia´vel t temos α1, β1 e t→ Gt, s) curvas imersas de classe C∞ e todas
elas infinitamente diferencia´veis.
Proof. Seja F uma homotopia em U entre α e β com extremos fixos. Seja
� > 0 tal que 3� < dist(F (I × I), ∂U). Pela continuidade uniforme de F existe
um δ > 0 tal que |p − q| < δ enta˜o |F (p) − F (q)| < �. Tome agora uma partic¸a˜o
{(tj , tk)} de I × I tal que o retaˆngulo Rjk com ve´rtice inferior esquerdo no ponto
(tj , tk) tem diaˆmetro menor que δ. Seja Fjk = F (tj , tk). Defina z0k = z0 e znk = z.
Para j, k ≤ n− 2, defina z(j+1)k e zj(k+1) da seguinte maneira: definido zjk escolha
z(J+1)K ∈ B�(Fjk) ∩ B�(F(j+1)k) e zj(k+1) ∈ B�(Fjk) ∩ B�(Fj(k+1)) de modo que
z(j+1)k− zjk e zj(k+1)− zjk sa˜o linearmente independentes. Os pontos zj0 e zj1 sa˜o
escolhidos sobre as curvas α e β respectivamente. Defina
(1.30)
G(t, s) = sk+1−ssk+1−sk
(
tj+1−t
tj+1−tj zjk +
t−tj
tj+1−tj z(j+1)k
)
+ s−sksk+1−sk
(
tj+1−t
tj+1−tj z(j+1)k +
t−tj
tj+1−tj z(j+1)(k+1)
)
Observe que G e´ uma homotopia entre as poligonais α1 e β1 que sa˜o homoto´picas
respectivamente a α e β em Ω. A regularizac¸a˜o segue-se de forma similar aos u´ltimos
resultados. �
Duas curvas fechadas α e β em um conjunto X ⊂ C sa˜o homoto´picas livre-
mente se existe uma aplicac¸a˜o cont´ınua F (t, s), 0 ≤ t, s ≤ 1, tomando valores em
X tal que F (t, 0) = α(t), F (t, 1) = β(t) e F (0, s) = F (1, s), 0 ≤ s ≤ 1. Dizemos que
X conexo e´ simplesmente conexo se existe um ponto z0 tal que todo caminho
fechado em z0 e´ homoto´pico com extremos fixos caminho constante z0.
A homotopia F : α ' β e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia tanto para homotopias
com extremos fixos como para homotopias livres. No caso de homotopias com
extremos fixos o produto
αβ(t) =
{
α(2t), 0 ≤ t ≤ 1/2
β(2t− 1), 1/2 ≤ t ≤ 1
com α(1) = β(0) preserva esta relac¸a˜o de equivaleˆncia. Se Xzw deonta o espac¸o
de todos os caminhos ligando z e w defina χzw = Xzw/ ' . Enta˜o ' define um
produto natural entre χzw × χwy em χzy dado por
[α][β] = [αβ]
que gosa das seguintes propriedades:
(1) [z][α] = [α][w] = [α] onde z e w respresnetam caminhos constantes
(2) [α][α−1] = [z] e [α−1][α] = [w] onde α−1(t) = α(1− t)
(3) [α]([β][γ]) = ([α][β])[γ]
(4) O conjunto pi(U, z) = χzz e´ um grupo com elemento identidade [z] e
inverso [α]−1 = [α−1] chamado de primeiro grupo de homotopia de
U com base em z.
(5) Se U e´ conexo por arco e σ e´ um caminho ligando z e w enta˜o hσ :
pi(U, z)→ pi(U,w) dado por
hσ([α]) = [σ−1][α][σ]
e´ um isomorfismo entre estes grupos.
16 1. O PLANO ESTENDIDO
(6) Se f : U → V e´ uma aplicac¸a˜o cont´ınua enta˜o f? : pi(U, u)→ pi(V, v), f(u) =
v, e´ um homomorfismo entre grupos. Em particular se f e´ um homeomor-
fismo enta˜o f? e´ um isomorfismo o que mostra que o primeiro grupo de
homotopia e´ um invariante topolo´gico.
(7) Levantamento de aplicac¸a˜o: construc¸a˜o de ramos de uma func¸a˜o.
Sejam f : U → V um recobrimento, g : Ω → V uma aplicac¸a˜o cont´ınua
e z ∈ Ω, v ∈ V, u ∈ U tais que g(z) = v = f(u). Existe um levantamento
G; Ω→ U de g com G(z) = u se e so´ se
g?(pi(Ω, z)) ⊂ f?(pi(U, u))
(8) Se U e´ conexo e f : U → V e´ um recobrimento enta˜o a cardinalidade de
f−1(v1) e de f−1(v2) sa˜o iguais quaisquer que sejam os pontos v1 e v2 de
V.
Recomendamos olhar estes fatos em [L2] onde uma exposic¸a˜o clara e concisa e´ feita.
Exemplo 1.24. Seja α um caminho em C \ {0} fechado em um ponto z0 per-
tencente ao c´ırculo unita´rio S1. Se β = α/|α| enta˜o F (t, s) = (1 − s)β(t) + sα(t)
e´ uma homotopia ou seja β ' α. Em particular pi(C \ {0}, z0) = pi(S1, z0). Seja
θ0 = θ(z0) onde θ(z) e´ o argumento principal de z. Sabemos que existe um u´nico
levantamento u(t) = arg(β(t)) satisfazendo u(0) = θ0 e obviamente u(1) = spin
para algum n inteiro. Como
G(t, s) = ei[(1−s)u(t)+s(2pint+θ0)]
e´ uma homotopia segue-se que
pi(C \ {0}, z0) = {[ei(2pint+θ0)]|n ∈ Z}
Neste caso o primeiro grupo fundamental e´ c´ıclico infinito, portanto isomorfo aos in-
teiros, tendo como gerador σ(t) = exp(2piit+θ0i) ou σ−1. Obtemos um isomorfismo
natural entre pi1(C \ {0}, z0) e Z por [α] 7→
∫
α
dθ onde dθ e´ a formula aˆngulo. Este
isomorfismo mostra que a poteˆncia do gerador e´ exatamente o nu´mero de voltas
que a curva da´ em torno da origem. Se α(t) = z0 exp(2piiu(t)) enta˜o∫
α
dθ =
∫
α
−ydc+xdy
x2+y2
=
∫ 2pi
0
u′dt
= 2pin
Exemplo 1.25. Para o conjunto C \ [a, b] vale um racioc´ınio similar e encon-
tramos que o primeiro grupo de homologia e´ o mesmo do exemplo anterior. Com
efeito, tomando como origem o ponto me´dio do seguimento [a, b] e uma circun-
fereˆncia centrada neste ponto com raio maior que |b − a|/2 podemos projetar as
curvas sobre esta circunfereˆncia e seguir o racioc´ınio anterior.
O conceito de conjunto simplesmente conexo possui va´rias equivaleˆncias. Por
definic¸a˜o U conexo e´ simplesmente conexo se existe u0 ∈ U tal que pi(U, u0) = [u0].
Pelas afirmac¸o˜es acima simplesmente conexo equivale a pi(U, u) = [u],∀u ∈ U.
Tambe´m temos que simplesmente conexo e´ equivalente a quaisquer duas curvas
curvas com os mesmos extremos sa˜o homoto´picas com extremos fixos ou toda curva
fechada e´ livremente homoto´pica a uma curva constante.
Algumas consequ¨eˆncias importantes para o nosso estudo sera˜o anunciadas nos
pro´ximos lemas.
1.3. TOPOLOGIA DO PLANO: INTRODUC¸A˜O 17
Lema 1.26. Seja X um subconjunto simplesmente conexo de C e f : U → V
um recobrimento. Toda aplicac¸a˜o cont´ınua g : X → V possui um levantamento
u´nico G : X → U satisfazendo G(z0) = u0 onde u0 ∈ f−1(v0), v0 = g(z0).
Proof. Como pi(X, z0) = {[z0]} o crite´rio de levantamento de homotopia
aplica-se trivialmente. �
Exemplo 1.27. Seja U um subconjunto simplesmente conexo, um aberto por
exemplo, e g : U → C\{0} uma aplicac¸a˜o cont´ınua. Enta˜o os levantamentos G(z) =
|g(z)|+ i arg(g(z)) de g pelas coordenadas polares esta´ em correspondencia com Z.
A parte imagina´ria arg(g) e´ chamada de ramo do argumento de g. Se fixarmos os
pontos z0, v0 e u0 satisfazendo g(z0) = v0 = |g(z0)|eiθ0 existe somente um ramo
satisfazendo esta condic¸a˜o. Analogamente existem finitos ramos da raiz n-e´sima
g1/n obtidos pelos levantamentos de g por zn e infinitos logaritmos log(g(z)) =
log(|g(z)|) + i arg(g(z)) obtidos pelos levantamentos da exponencial. Tomemos um
caso particular com g(z) = z e U = {z ∈ C|z 6= i,=(z) > 0}. Os ramos do logaritmo
e do argumento de g(z) = z existem embora o domı´nio de g na˜o seja simplesmente
conexo. Isto porque g?(pi(U, z0)) e´ trivial ou tambe´m porque estes levantamentos
sa˜o restric¸o˜es de outros levantamentos definidos em domı´nios maiores. Costumamos
chamar de argumento principal de z ao ramo θ(z) satisfazendo arg(1) = 0.
Exemplo 1.28. Seja g : C \ {0} → C \ {0} dada por g = zn, n, inteiro. Temos
g?pi(C\{0}, 1) = {[σ]jn|j ∈ Z} onde σ(t) = e2piit. Enta˜o se n e´ par podemos fazer o
levantamento de g por f = z2. Em geral se k divide n podemos faze o levantamento
de g = zn por f = zk, ou seja, podemos extrair a k-e´sima raiz de g = zn.
Lema 1.29. Seja Γ homeomorfo a um intervalo compacto. Enta˜o C\Γ e´ conexo.
Proof. Dados z1, z2 ∈ C \ Γ queremos construir um caminho ligando estes
pontos. Podemos reduzir a nossa construc¸a˜o a construir um caminho ligando os
pontos ±1 admitindo que ±1 /∈ Γ. Basta tomar o homeomorfismo ϕ(z) = (2z−z1−
z2)/(z2 − z1) e resolvr este problema para ±1 e Γ˜ = ϕ(Γ).
Sejam U = C \ {−1, 0, 1}, V = C \ {−1, 0} e F : U → V, f(z) = (z2 −
1)−1. Sabemos queF e´ um recobrimento. Sejam δ, 0 < δ < dist({−1, 1},Γ), z =√
1 + δ, w = −√1 + δ, e α(t) = exp(it), 0 ≤ t ≤ pi um caminho em U ligando
z e w. Enta˜o F (Γ) ⊂ B onde B e´ a bola centrada na origem com raio 1/δ e
F (z) = f(w) /∈ B. Temos que α˜(t) = F (α(t)) e´ um caminho fechado em V. Sabe-
mos que o primeiro grupo de homotopia de V com base em
√
1 + w = F (z) e´ um
grupo c´ıclico gerado pela classe de homotopia de
√
1 + weit, 0 ≤ t ≤ 2pi. Segue-se
que α˜ ' √1 + δ exp(nt), 0 ≤ t ≤ pi onde o inteiro n e´ o nu´mero de voltas que α˜ da´
em torno da origem. Seja β(t) = −1− (√1 + δ − δ) exp(−2piint), 0 ≤ t ≤ 1. Enta˜o
β˜ = F (α∧β) e´ um caminho em V fechado em F (z) e homoto´pico a uma constante.
Como F (z) ∈ ∂B podemos tomar uma curva γ˜ em V fechada em F (z) e contida em
uma pequena bola contida em V que na˜o intersecta F (Γ). Seja G˜ uma homotopia
entre γ˜ e β˜ com extremos fixos. Seja G o levantamento por F desta homotopia.
Enta˜o G e´ uma homotopia entre α∧β e um levantamento γ com os extremos z e w
fixos. Como γ projeta-se dentro de uma bola que na˜o interseta F (Ω) segue-se que
γ e´ uma curva em U legando z e w na˜o intersetando Γ. Ligando z ao ponto 1 e w
ao ponto −1, radialmente obtemos o caminho procurado. �
18 1. O PLANO ESTENDIDO
Lema 1.30 (Partic¸a˜o da Unidade). Sejam U1, U2, · · · abertos e U = ∪Uj . Enta˜o
existe uma famı´lia enumera´vel de func¸o˜es C∞ ϕj : C→ R, 0 ≤ ϕj ≤ 1, localmente
finita tal que supt(ϕj) ⊂ Un, para algum n, e
∑
ϕj = 1.
EXERCI´CIOS
(1) Se a fronteira de um aberto U ⊂ Rn, n ≥ 2, tem um ponto isolado p enta˜o
existe um δ > 0 tal que
Bδ(p) \ {p} ⊂ U.
(2) Mostre que o conjunto dos pontos isolados da fronteira de um aberto do Rn, n ≥
2, e´ enumera´vel e na˜o possui ponto de acumalc¸a˜o pertencente ao conjunto.
(3) Mostre que um aberto tem um nu´mero enumera´vel de componentes conexas e
que cada componente conexa e´ um aberto.
(4) Mostre que todo aberto U de C∗ pode ser escrito como uma exausta˜o de com-
pactos, isto e´, existem compactos {Kj} tais que Kj ⊂ int(Kj+1) e U = ∪Kj .
(5) Sejam α e β caminhos em C\{z0} ligando dois pontos z0 e z1 e rt = |α(t)−z0|.
Mostre que se |α(t)− β(t)| < rt enta˜o eles sa˜o homoto´picos com extremo fixo.
Generalize este resultado para uma domı´nio qualquer.
(6) Demonstre as 7 afirmac¸o˜es acima sobre homotopia.
(7) Mostre que o conceito de U ser simplesmente e´ equivalente a quaquer das
seguintes afirmac¸o˜es:
(a) pi(U, u) = {[u]},∀u.
(b) Duas curvas com os mesmos extremos sa˜o homoto´picas com extremos
fixos.
(c) Toda curva fechada e´ livremente homoto´pica a uma curva constante.
(8) Seja p(z) um polinoˆmio com raizes {a1, · · · , ak} e U = C \ {aj}. Se todas
as raizes de p(z) tem multiplicidade par mostre que e´ poss´ıvel extrair a raiz
quadrada de p(z) em U.
1.4. Formas diferenciais em domı´nios
O espac¸o euclideano R2 possui duas func¸o˜es lineares que descrevem a posic¸a˜o
do ponto. Se p ∈ R2 e e1, e2 e´ uma base ortogonal podemos descrever a posic¸a˜o
de p em relac¸a˜o a esta base utilizando as func¸o˜es x = x(p) =< p, e1 > e y =
y(p) =< p, e2 > determinando totalmente p utilizando os eixos gerados pelos ve-
tores desta base como eixos coordenados. Nenhuma novidade ate´ aqui. Agora
observe que a derivada de qualquer uma destas func¸o˜es coordenadas e´ constante:
dx = d < ·, e1 >, dy = d < ·, e2 > em qualquer p ∈ R2. Em paticular temos que
a segunda derivada ddx ≡ 0 e ddy ≡ 0 sa˜o nulas. Chamamos dx e dy de diferen-
ciais do R2 e podemos usalas para descrever quaisquer formas multilineares sobre
domı´nios quer sejam alternadas ou sime´tricas. O nosso maior interesse e´ nas for-
mas alternadas que sa˜o aplicac¸o˜es multilineares alternadas, Q : Πkj=1R2 → R satis-
fazendo Q(· · · , p, · · · , q, · · · ) = −Q(· · · , q, · · · , p · · · ). Obviamente se duas posic¸o˜es
sa˜o ocupadas por um mesmo ponto teremos Q = 0. Se o ponto de uma posic¸a˜o e´
combinac¸a˜o linear de valores das outras posic¸o˜es tambe´m teremos Q = 0. Portanto
os u´nicos valores de k para os quais existem k-formas alternadas na˜o triviais no R2
sa˜o k = 1 que sa˜o as 1-formas ou k = 2 que sa˜o as 2-formas alternadas. Em geral
denotamos o espac¸o das k-formas alternadas por ∧kR2. O espac¸o ∧1R2 e´ gerado
por dx e dy ou seja, uma 1-forma e´ do tipo ω = adx+ bdy onde a e b sa˜o nu´meros
1.4. FORMAS DIFERENCIAIS EM DOMI´NIOS 19
reais. Para descrever o espac¸o das 2-formas alternadas definimos
dx ∧ dy(p, q) := det
(
dx(p) dx(q)
dy(p) dy(q)
)
Observe que dx∧ dy = −dy ∧ dx e portanto qualquer 2-forma alternada e´ dada por
adx ∧ dy onde a ∈ R2. Resumindo temos
∧1R2 = {adx+ bdy | a, b ∈ R}
∧2R2 = {adx ∧ dy | a ∈ R}
Podemos fazer o produto de duas 1-formas para obter uma 2-forma obdecendo
a regra o´bvia que dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0 e dx ∧ dy = −dy ∧ dx. Portanto se
ωj = ajdx+ bjdy, j = 1, 2, e η = adx ∧ dy teremos
ω1 ∧ ω2 = (a1b2 − a2b1)dx ∧ dy
ω1 ∧ η = 0
Na realidade esta operac¸a˜o “∧′′ nos da´ um produto bilinear entre ∧kΩ × ∧lΩ em
∧k+lΩ mas no nosso caso as possibilidades sa˜o muito poucas. Uma 1-forma so-
bre um domı´nio Ω e´ qualquer aplicac¸a˜o ω : Ω → ∧1R2 que pode ser descrita
utiliazando a base {dx, dy} como ω(z) = a(z)dx+ b(z)dy, z ∈ Ω, onde a, b : Ω→ R
sa˜o func¸o˜es. Dizemos que ω e´ de classe Ck, k ≥ 0, se as suas coordenadas a(z) e
b(z) sa˜o func¸o˜es de classe Ck. Analogamente uma 2-forma alternada sobre Ω e´
uma aplicac¸a˜o ω : Ω→ ∧2R2 que pode ser descrita como ω(z) = a(z)dx∧ dy e e´ de
classe Ck se e so´ se a : Ω→ R e´ uma func¸a˜o de classe Ck. Simplificaremos a notac¸a˜o
utilizando ∧0Ω para descrever o espac¸o de func¸oˆes C∞ definidas em Ω, ∧1Ω para
as 1-formas e ∧2Ω para as 2-formas alternadas C∞ sobre Ω.
Existe uma derivac¸a˜o natural entre estes espac¸os chamada de derivada exte-
rior. Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em Ω e ω e´ uma 1-forma definimos enta˜o
df =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy(1.31)
d(fω) = df ∧ ω + fdω(1.32)
A 1-forma df e´ a diferencial de f. A simetria das derivadas parciais de uma func¸a˜o
garantem enta˜o que
ddf = (
∂2f
∂x∂y
− ∂
2f
∂y∂x
)dx ∧ dy = 0.
Obviamente a derivada exterior de uma 2-forma e´ sempre nula. Sendo d2x = d2y =
0 segue-se que d2ω = 0 para toda forma ω.
Seja F : U → Ω uma aplicac¸a˜o diferencia´vel. Existe uma operac¸a˜o natural que
traz formas sobre Ω em formas sobre U dada por F ∗ω = ω ◦F (dF ) para 1-formas e
similarmente F ∗ω = ω◦F (dF, dF ). E´ curioso como a derivada exterior se comporta
com esta operac¸a˜o. Um ca´lculo direto nos da´ que
dF ∗ω = F ∗dω
seja ω qualquer k-forma. Na realidade esta identidade e´ consequ¨eˆncia da regra da
cadeia e deixamos a demonstrac¸a˜o a cargo do leitor.
Seja γ : [t0, t1] → Ω uma curva ou caminho de classe C1. A imagem Γ =
γ([t0, t1]) recebe uma orientac¸a˜o dada pelo percurso da curva γ(t). A integral de
20 1. O PLANO ESTENDIDO
ω sobre Γ na orientac¸a˜o definida por γ e´ dada por∫
Γ
ω : =
∫
γ
ω
=
∫
[t0,t1]
γ∗ω
=
∫ t1
t0
ω(γ(t))(γ′(t))dt
=
∫ t1
t0
(a(x(t), y(t))x′(t) + b(x(t), b(t))y′(t))dt
onde γ(t) = (x(t), y(t)). Qualquer reparametrizac¸a˜o h : [s0, s1] → [t0, t1] tal que
h(s0) = t0 e h(s1) = t1 ou que tenha derivada na˜o negativa na˜o muda a orientac¸a˜o
de γ e preserva o valor da integral. Portanto
∫
Γ
ω na˜o depende de parametrizac¸o˜es
ou reparametrizac¸o˜es que preservam a orientac¸a˜o escolhida para Γ. Se revertermos
a orientac¸a˜o esta integral muda de sinal (ver [L1]).
Seja ω = df onde f : Ω→ R e´ de classe C1 e γ : [a, b]→ Ω um caminho C1 por
partes ligando z0 e z1. Seja {tj} uma partic¸a˜o de [a, b] de modo que γ seja C1 em
cada intervalo [tj , tj+1]. Enta˜o∫
γ
ω =
=
∑∫ tj+1
tj
γ∗ω
=
∑∫ tj+1
tj
(f ◦ γ)′dt
=
∑
(f(γ(tj+1))− f(γ(tj)))
= f(z1)− f(z0)
Lema 1.31. Seja U um aberto do plano complexo e ω uma 1-forma cont´ınua.
Se α : [a, b]→ U e´ um caminho C1 enta˜o existe uma func¸a˜of : [a, b]→ R de classe
C1 tal que df = α∗ω. Em outras palavras a func¸a˜o
f(t) =
∫ t
t0
α∗ω
esta´ bem definida, e´ de classe C1 e u´nica satisfazendo a condic¸a˜o f(t0) = c0.
Proof. Basta integrar α∗ω sobre o intervalo [a, b] e usar o teorema fundamen-
tal do ca´lculo. �
Corola´rio 1.32. Se ω e´ cont´ınua e α : [a, b] → U e´ C1 por partes enta˜o f e´
tambe´m C1 por partes e df = α∗ω onde for diferencia´vel.
A forma aˆngulo medido a partir de z0 ∈ C definida por
(1.33) dθz0 :=
−(y − y0)dx+ (x− x0)dy
(x− x0)2 + (y − y0)2 , z = x+ iy 6= z0 = x0 + iy0
gera uma func¸a˜o aˆngulo ao longo de qualquer caminho C1 por partes.
Corola´rio 1.33. Seja α : [a, b]→ C \ {z0} um caminho C1 por partes ligando
dois pontos z1 e z. Seja αt a restric¸a˜o do caminho ao intervalo [a, t], e θ0 um dos
1.4. FORMAS DIFERENCIAIS EM DOMI´NIOS 21
aˆngulos que z1 − z0 faz com o eixo-x. Enta˜o existe uma u´nica func¸a˜o θ : [a, b]→ R
dada por
(1.34) θ(t) = θ0 +
∫
αt
dθz0
Esta func¸a˜o θ(t) e´ chamada de func¸a˜o aˆngulo e mede o aˆngulo entre a posic¸a˜o α(t)
e o eixo-x no sentido positivo. Em particular, se z = z1 enta˜o θ(b) − θ(a) = 2pin,
onde n e´ um inteiro.
A derivada exterior aumenta a ordem da forma. Em geral chamamos uma k-
forma ω de exata se exite uma (k − 1)-forma η tal que dη = ω e dizemos que ω e´
fechada se dω = 0. Toda 2-forma em ∧2Ω e´ fechada. Uma 1-forma ω e´ exata se
e so´ se existe f ∈ ∧0Ω satisfazendo df = ω. Alem disso ω = adx + bdy e´ fechada,
ou melhor,satisfaz dω = 0, se e so´ se by − ax = 0. Em particular toda forma exata
e´ fechada. A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira. A 1-forma aˆngulo dθz0 e´ fechada mas
na˜o e´ exata. Com efeito, se γ e´ um caminho com coordenadas x(t) = x0 + cos(t) e
y(t) = y0 + sin(t) enta˜o
(1.35)
∫
γ
dθz0 =
∫ 2pi
0
dt = 2pi
Acontece que para toda 1-forma exata ω = df e todo caminho α C1 por partes
ligando dois pontos z0 e z temos
(1.36)
∫
α
ω = f(z)− f(z0)
como vimos acima. Portanto dθz0 na˜o e´ exata pois esta integral sobre o circulo
unita´rio em torno de z0 na˜o e´ nula.
Exemplo 1.34. Um aberto U e´ dito estrelado se existe um ponto z0 tal que
para todo z ∈ U o segmento [z0, z] ⊂ U. Por comodidade tomaremos a origem em
z0. A simplicidade de um estrelado permite mostrar que
(a) Dado uma 2-forma ω = adx ∧ dy existe uma 1-forma η tal que dη = ω.
(b) Dado uma 1-forma fehcada ω = fdx+ gdy existe uma func¸a˜o h : U → R
tal que dh = ω.
Com efeito, se ω = adx ∧ dy defina
η = x
(∫ 1
0
ta(tx, ty)dt
)
dy − y
(∫ 1
0
ta(tx, ty)dt
)
dx
Enta˜o
dη =
[
2
∫ 1
0
tadt+ x
∫ 1
0
t2
∂a
∂x
dt+ y
∫ 1
0
t2
∂a
∂y
dt
]
dx ∧ dy(1.37)
=
[∫ 1
0
d
dt
(
t2a(tx, ty)
)
dt
]
dx ∧ dy(1.38)
= a(x, y)dx ∧ dy(1.39)
Para o segundo caso consideremos ω = fdx+ gdy com fy = gx que e´ a condic¸a˜o de
ser fechada. Definimos
h(x, y) = x
∫ 1
0
f(tx, ty)dt+ y
∫ 1
0
g(tx, ty)dt
22 1. O PLANO ESTENDIDO
Enta˜o
hx =
∫ 1
0
f(tx, ty)dt+ x
∫ 1
0
tfx)tx, ty)dt+ y
∫ 1
0
tgx(tx, ty)dt(1.40)
=
∫ 1
0
f(tx, ty)dt+ x
∫ 1
0
tfx)tx, ty)dt+ y
∫ 1
0
tfx(tx, ty)dt(1.41)
=
∫ 1
0
d
dt
[tf(tx, ty)] dt(1.42)
= f(x, y)(1.43)
Analogamente encontramos hy = g estabelecendo (b). Este exemplo e´ um caso
particular do lema de Poincare´.
Vimos que se γ for um caminho fechado que significa z0 = z e ω e´ fechada
teremos
∫
γ
ω = 0. Este crite´rio e´ suficiente para decidir se uma 1-forma fechada e´
exata.
Teorema 1.35 (Crite´rio de ser exata). As seguintes afirmac¸o˜es a respeito de
uma 1-forma cont´ınua ω definida em um aberto U sa˜o equivalentes:
(1) ω e´ exata, ou seja, existe f : U → R tal que ω = df
(2) A integral de ω sobre todo caminho fechado e´ nula
(3)
∫
α
ω na˜o depende do caminho α somente dos extremos.
.
Proof. Obviamente se ω e´ fechada e γ e´ um caminho ligando z0 e z1 enta˜o∫
γ
ω = f(z1) − f(z0) = 0 onde f e´ tal que df = ω, ou seja, (1) implica (2). Para
mostrar que (2) implica (3) observe que se α e β possuem os mesmos extremos
enta˜o α ∧ β−1 e´ uma curva fechada donde∫
α
ω −
∫
β
ω =
∫
α∧β−1
ω = 0
garantindo isto.
Assuma que (3) e´ verdadeiro. Podemos definir f : Ω → R por f(z) := ∫
γ
ω
onde γ e´ qualquer caminho em Ω ligando z0 e z. Seja β(t) = z + (t − t1)h e γ ∧ β
um caminho ligando z0 e z + h em Ω. Fazendo a derivada direcional de f em z na
direc¸a˜o de h obtemos pelo teorema fundamental do ca´lculo que Dhf(z) = ω(z)(h).
Em particular as derivadas parciais existem e sa˜o cont´ınuas o que prova ser f de
classe C1 e ainda df = ω. �
Corola´rio 1.36. Sejam U1 e U2 dois abertos e ω uma 1-forma definida em
ambos. Se ω|U1 e ω|U2 sa˜o exatas e U1 ∩ U2 e´ conexo enta˜o ω e´ exata na unia˜o
U1 ∪ U2.
Proof. Sejam fj , j = 1, 2, func¸o˜es em Uj tais que dfj = ω. A diferenc¸a f2−f1
possui diferencial nula na intersec¸a˜o dos dois conjuntos. Sendo esta intersec¸a˜o
conexa obtemos que (f2 − f1)|U1 ∩ U2 = c.c constante. Definimos f : U1 ∪ U2 → R
por f(z) = f1(z) + c, z ∈ U1, e f(a) = f2(z), z ∈ U2. Enta˜o f esta´ bem definida na
unia˜o dos dois conjuntos e df = ω como queriamos demonstrar. �
Corola´rio 1.37. Seja U = U1 ∪ · · · ∪Uk uma unia˜o de abertos tais que (U1 ∪
· · · ∪Uj)∩Uj+1, j = 1, · · · , k− 1, e´ conexo. Se ω e´ uma 1-forma exata em cada Uj
enta˜o ω e´ exata em U.
1.4. FORMAS DIFERENCIAIS EM DOMI´NIOS 23
Proof. Segue-se imediatamente da hipo´tese de induc¸a˜o e do lemma. �
No caso de curvas fechadas que sa˜o fronteira de um disco topolo´gico a orientac¸a˜o
e´ estabelicida a priori. O teorema da curva de Jordan garante que toda curva
fechada Γ mergulhada no R2 divide o ambiente em dois domı´nios sendo um limitado
e o outro ilimitado. Seja ν(t) uma rotac¸a˜o positiva de pi/2 do vetor velocidade Γ′
de uma parametrizac¸a˜o de Γ, isto e´, o determinante da matriz formada por Γ′ e ν
e´ positivo. Se ν aponta para dentro da regia˜o limitada de R2 \Γ, isto e´, uma curva
comec¸ando em Γ com velocidade inicial ν entra nesta regia˜o, enta˜o dizemos que Γ
esta´ orientada positivamente. Tambe´m convencionamos que a orientac¸a˜o positiva
de um domı´nio e´ obtida quando o vetor ν en cada componente da fronteira aponta
para o interior da regia˜o. Intuitivamente significa que ao percorrermos a fronteira
no sentido positvo a sombra do brac¸o esquerdo estendido contra o corpo projetada
verticalmente deve cair dentro do domı´nio. Se Ω e´ obtido retirando um pequeno
disco do interior de outro disco maior enta˜o a orientac¸a˜o positiva corresponde a
orientac¸a˜o positiva da circunfereˆncia maior e negativa na menor que fica dentro do
disco grande.
Teorema 1.38 (Teorema de Stokes). Se ω e´ uma 1-forma C1 e Ω e´ um domı´nio
limitado com fronteira C1 por partes enta˜o∫
Ω
dω =
∫
∂Ω
ω
Proof. Se ω = adx + bdy e Ω e´ um retaˆngulo R = [x0, x1] × [y0, y1] enta˜o o
teorema de Stokes e´ trivial pois∫
R
dω =
∫ x1
x0
∫ y1
y0
(bx − ay)dxdy
=
∫ y1
y0
(b(x1, y)− b(x0, y))dy −
∫ x1
x0
(a(x, y1)− a(x, y0))dx
=
∫
∂R
ω
Sendo a fronteira do domı´nio C1 por partes podemos cobrir Ω por uma malha de
retaˆngulos ta˜o pequenos de modo que cada retaˆngulo R interseptando a fronteira
tem as seguintes porpriedades: ∂Ω ∩ R e´ gra´fico sobre um dos lados. Faremos a
prova somente no caso em que ∂Ω corta os lados opostos de R. Se cortar lados
adjacentes a prova e´ similar mas deixamos a cargo do leitor. Em uma primeira
etapa escolhemos os retaˆngulos cujos ve´rtices esta˜o sobre a malha dada por λZ×λZ.
Como cada ponto da fronteira ∂Ω possui uma vizinhanc¸a que pode ser escrita como
gra´fico sobre um dos eixos e ∂Ω e´ compacto tomamos λ menor que o nu´mero de
Lebesgue desta cobertura. Em seguida diminuimos os tamanho dos retaˆngulos que
interseptam a fronteira para que os lados opostos sejam atingidos pela fronteira demodo que o arco dentro do retaˆngula seja gra´fico sobre o outro lado. Admita que
∂Ω ∩R e´ gra´fico de f : [x0, x1]→ [y0, y1]. Definia F : [x0, x1]× [y0, y1]→ R por
F (x, y) := (x,
y − y0
y1 − y0 f(x) +
y1 − y
y1 − y0x).
Enta˜o ∫
R∩Ω dω =
∫
[x0,x1]×[y0,y1] F
∗dω
=
∫
[x0,x1]×[y0,y1] dF
∗ω
=
∫
∂[x0,x1]×[y0,y1] F
∗ω
=
∫
∂R∩Ω ω
24 1. O PLANO ESTENDIDO
Seja {Rj} a famı´lia de retaˆngulos escolhida acima cobrindo Ω. Enta˜o∫
Ω
dω =
∑∫
Rj∩Ω dω
=
∑∫
∂Rj∩Ω ω
=
∫
∂Ω
ω
pois a integral sobre cada lado ou segmento de lado que esta´ contida em Ω aparece
duas veˆzes e com sinais contra´rios anulando-se na soma. Sobra somente a parte da
fronteira o que prova a fo´rmula. �
Corola´rio 1.39. Se ω uma 1-forma fechada e de classe C1 definida sobre um
domı´nio Ω e α e β sa˜o duas curvas fechadas e livremente homoto´picas em Ω enta˜o∫
α
ω =
∫
β
ω.
Proof. Seja F : [0, 1] × [0, 1] → Ω uma homotopia livre entre a duas curvas
fechadas. Segue-se de dF ∗ω = F ∗dω = 0 que
∫
∂[0,1]×[0,1] ω = 0. Como t 7→ F (0, t)
e t 7→ F (t, 1) sa˜o a mesma curva e aparecem com orientac¸o˜es diferentes obtemos
0 =
∫
[0,1]×0 F
∗ω − ∫
[0,1]×1 F
∗ω
=
∫
α
ω − ∫
β
ω
como quer´ıamos demonstrar. �
Corola´rio 1.40. Se Ω e´ simplesmente conexo enta˜o toda 1-forma fechada e
C1 em Ω e´ exata. Em particular toda 1-forma ω de classe C1 e fechada definida
em C e´ exata, ou seja, existe f : C→ R de classe C2 tal que df = ω.
Proof. Todo caminho fechado em Ω e´ homoto´pico a uma constante e pelo
corola´rio anterior a integral de uma 1-forma fechada e´ nula. O teorema(1.38) conclui
o resultado. �
Em coordenadas polares escrevemos as coordenadas de um ponto como x =
r cos(t) e y = r sin(t) onde r =
√
x2 + y2 e´ a distaˆncia do ponto a origem e t =
arctan(y/x) e´ o aˆngulo entre o ponto e o eixo das abcissas. Se x = 0 podemos
descrever t como arccotg(x/y) e assim obtemos que o aˆngulo pode ser descrito
localmente por uma func¸a˜o. Portanto as formas dr e dθ = dt sa˜o fechadas pois sa˜o
localmente exatas (dr e´ exata). Escrevendo z = reit e dz = eitdr + izdt obtemos
que ∫
γ
dz
z =
∫
γ
(drr + idt)
= i
∫
γ
dθ
onde γ e´ uma curva fechada em C\{0}. A aplicac¸a˜o F (t, s) = (s+(1−s)/|γ(t)|)γ(t)
e´ uma homotopia entre γ e uma curva fechada eu(t) em S1 onde t ∈ [0, 2pi] e
u : [0, 2pi] → R e´ a func¸a˜o aˆngulo ao longo do c´ırcula unita´rio. Portanto, se
u(0) = ϑ0 enta˜o u(2pi) = n+ ϑ0, n ∈ Z e∫
γ
dθ =
∫ 2pi
0
u′(t)dt
= 2pin
onde n e´ o nu´mero de voltas que γ da´ em torno da origem. Observe que esta integral
depende somente da classe de homotopia com extremos fixos da curva γ. Em geral
1.5. TOPOLOGIA DO PLANO: COHOMOLOGIA DE DE RHAM 25
teremos que o nu´mero de voltas que γ da´ em torno de um ponto z0 fora da curva
e´ dado por
n(γ, z0) =
1
2pii
∫
γ
dz
z − z0 .
Lema 1.41. Seja γ uma curva fechada em C com imagem ~γ. Enta˜o n(γ, z) e´
constante em cada componente conexa de C\~γ e n(γ, z) = 0 na componente conexa
ilimitada.
Proof. Sendo n(γ, z) uma func¸a˜o cont´ınua de C \ ~γ em Z com a topologia
induzida da reta segue-se que ela e´ constante em cada componente conexa. Seja
R0 > 0 tal que |w| ≤ R0, w ∈ =(γ), e |z| ≥ R+R0 enta˜o
| ∫
γ
dw
w−z | ≤
∫
γ
|dw|
|w−z|
≤ R0`(γ)R
< 1
para R0`(γ) < R e consequentemente n(γ, z) = 0. �
EXERCI´CIOS
(1) Prove que ∧1R2 e ∧2R2 sa˜o gerados respectivamente por dx, dy e dx ∧ dy.
(2) Complete a prova do teorema de Stokes.
(3) Uma func¸a˜o com gradiente nulo definida em um aberto U e´ constante em cada
componente conexa de U.
(4) Encontre dois abertos U e V e uma 1-forma ω que seja exata em cada um dos
domı´nios mas na˜o na unia˜o.
(5) Sejam α e β caminhos homoto´picos com extremos fixos em C\{z0} ligando z1 e
z. Mostre que as duas func¸o˜es aˆngulo ao longo destes caminhos ambas iniciando
com o mesmo θ0, sa˜o iguais em z. Vale a rec´ıproca?
(6) Seja Ω ⊂ C \ {z1} um domı´nio simplesmente conexo. Mostre que escolhido o
aˆngulo θ0 em z0 existe uma u´nica func¸a˜o aˆngulo θ : Ω→ R.
(7) Seja Ω ⊂ C \ {0} um domı´nio simplesmente conexo. Escolhido z0 e w0 tais
que ez0 = w0 mostre que existe uma u´nica func¸a˜o logaritmo log : Ω → C sat-
isfazendo log(z0) = w0. Quantas outras func¸o˜es logaritmo podem ser definidas
em Ω?
1.5. Topologia do Plano: Cohomologia de De Rham
A derivada exterior d define uma sequ¨eˆncia de aplicac¸o˜es entre os espac¸os
∧jΩ, j = 0, 1, 2 dada pela cadeia
∧0Ω d
1
−→ ∧1Ω d
2
−→ ∧2Ω d
3
−→ 0
onde o ı´ndice acima indica somente a posic¸a˜o em que a derivada exterior e´ realizada.
Esta notac¸a˜o geralmente e´ substituida por d simplesmente. Neste caso consideramos
somente as formas de classe C∞, ou seja, as formas cujos coeficientes sa˜o func¸o˜es
infinitamente deriva´veis. A imagem de d e´ composta pelas formas C∞ exatas e
o nu´cleo pelas formas C∞ fechadas. Os grupos Hj(Ω) formados pelo quociente
da imagem de dj−1 com o nu´cleo de dj sa˜o chamados de grupos de cohomologia
de De Rham de Ω. Como sa˜o cocientes de espac¸os vetoriais por subespac¸os eles
posuem uma estrutura natural de espac¸os vetoriais. Denotaremos por [ω] a classe
de equivaleˆncia de ω.
26 1. O PLANO ESTENDIDO
Para esclarecer melhor podemos calcular H0(U) onde U e´ um aberto de C. Seja
{Uj} a colec¸a˜o enumera´vel de compnonentes conexas de U. Uma func¸a˜o f pertence a
H0(U) se df = 0, ou seja, e´ localmente constante. Enta˜o χj , a func¸a˜o caracter´ıstica
de Uj e´ um elemento de H0(U) e qualquer outro elemento f se escreve de maneira
u´nica como
f =
∑
j
cjχj
Portanto obtemos
(1.44) H0(U) =
⊕
j
R[χj ]
Segue-se que H0(U) conta quantas componentes conexas U possue. Sua dimensa˜o
como espac¸o vetorial sobre R e´ a cardinalidade do conjunto de suas componentes
conexas.
Sabemos que se U e´ um aberto simplesmente conexo enta˜o toda 1-forma fechada
e´ exata (Corola´rio 1.40). Neste caso H1(U) = {0}. O que acontece se tirarmos
alguns pontos de U?
Lema 1.42. Seja R um retaˆngulo [a1, a2]× [b1, b2] com um ponto z0 removido
e γ(t) = z0 + reit uma circunferencia dentro de R. Uma 1-forma fechada ω e´ exata
em R se e so´ se
(1.45)
∫
γ
ω = 0
Proof. Basta mostrar que se
∫
γ
= 0 enta˜o ω e´ exata. Dividimos R em duas
componentes conexas V1 e V2 ao retirarmos uma reta vertical passando por z0 sendo
a primeira a direita e a segunda a esquerda desta reta. Anlogamente retiramos
uma reta horizontal passando por z0 e obtemos duas componentes conexas H1 e H2
retirando uma reta horizontal passando por z0 sendo a primeira acima e a segunda
abaixo desta reta. Pelo Corola´rio (1.40) ω e´ fechada em cada um destes conjuntos.
Enta˜o pelo Corola´rio (1.37) existe uma func¸a˜o f : H1∪V2∪H2 → R tal que df = ω.
Analogamente encontramos uma func¸a˜o g que estende f |H2 a H2 ∪V1 satisfazendo
ainda dg = ω. Obviamente g − f = c em H1 ∩ V1. Integrando ω sobre γ tomando
como ponto inicial um ponto z1 ∈ H1 ∩ V1 obetemos
c = g(z1)− f(z1)(1.46)
=
∫
γ
ω(1.47)
= 0(1.48)
Portanto a func¸a˜o f esta´ definida em R e satisfaz df = ω como queriamos demon-
strar. �
Teorema 1.43. Seja Ω um aberto simplesmente conexo e X um subconjunto
de pontos isolados sem pontos de acumulac¸a˜o. Seja U = Ω \ X. Em cada ponto
x ∈ X seja γx uma circunfereˆncia centrada em x isolando-o dos outros pontos.
Enta˜o uma 1-forma fechada ω em U e´ exata se e so´ se∫
γx
ω = 0, ∀x ∈ X
1.5. TOPOLOGIA DO PLANO: COHOMOLOGIA DE DE RHAM 27
Proof. Podemos assumir que X na˜o intersta os eixos coordenados. Seja G o
subgrupo de R gerado pelas coordenadas dos pontos de X com coeficientes sobre os
racionais. Tome δ ∈ R\G, δ > 0. Enta˜o G∩δQ = {0}. Considere todas as partic¸o˜es
do plano obtidas pelas escalas δ/n, n = 1, 2, · · · . Selecione agora a seguinte sub-
colec¸a˜o C adotando o procedimento que passamos a descrever. Dividindoo plano
em retaˆngulos de lado δ descarte todos que na˜o intersetam Ω e inclua em C todos
que esta˜o contidos em Ω e que possuem no ma´ximo um ponto de X. Como cada
retaˆngulo contido em Ω contem no ma´ximo um nu´mero finito de pontos de X pode-
mos subdividi-lo usando frac¸o˜es da escala δ e inclui-los em C. Repetimos o mesmo
processo com a escala δ/2 nos retaˆngulos que na˜o foram descartados e assim por
diante. No final obtemos a colec¸a˜o C com as seguintes propriedades:
(1) Cada retaˆngulo de C esta´ contido em Ω e contem no ma´ximo um ponto
de X no seu interior.
(2) Dois retaˆngulos ou na˜o se intersetam ou sua intersec¸a˜o e´ um ve´rtice ou
um lado de um deles.
(3) Ω = ∪R∈CR.
Sabemos pelo u´ltimo lema que ω e´ exata em cada retaˆngulo de C, ou seja, dado R
existe fR : R→ R satisfazendo dfR = ω. Fixemos um retaˆngulo R0 e seja f = fR0 .
Tome agora um outro retaˆngulo R e dois caminhos α, β em U ligando um ponto
z0 ∈ R0 a um ponto z ∈ R sem passar por nenhum dos pontos de X. Sendo U
simplesmente conexo existe uma homotopia F em U entre α e β com extremos
fixos. Seja � > 0 tal que 3� < dist(F (I × I), ∂U) e que a bola centrada em algum
ponto de X que esteja sobre a imagem de F de raio � esteja contida dentro do c´ırculo
γx (existem somente finitos pontos nesta condic¸a˜o). Pela continuidade uniforme de
F existe um δ > 0 tal que |p − q| < δ enta˜o |F (p) − F (q)| < �. Tome agora uma
partic¸a˜o {(tj , tk)} de I × I tal que o retaˆngulo Rjk com ve´rtice inferior esquerdo
no ponto (tj , tk) tem diaˆmetro menor que δ. Seja Fjk = F (tj , tk). Defina z0k = z0
e znk = z. Para j, k ≤ n− 2, defina z(j+1)k e zj(k+1) da seguinte maneira: definido
zjk escolha z(J+1)K ∈ B�(Fjk) ∩ B�(F(j+1)k) e zj(k+1) ∈ B�(Fjk) ∩ B�(Fj(k+1)) de
modo que z(j+1)k − zjk e zj(k+1) − zjk sa˜o linearmente independentes. Os pontos
zj0 e zj1 sa˜o escolhidos sobre as curvas α e β respectivamente. Defina
(1.49)
G(t, s) = sk+1−ssk+1−sk
(
tj+1−t
tj+1−tj zjk +
t−tj
tj+1−tj z(j+1)k
)
+ s−sksk+1−sk
(
tj+1−t
tj+1−tj z(j+1)k +
t−tj
tj+1−tj z(j+1)(k+1)
)
Observe que G e´ uma homotopia entre as poligonais α1 e β1 que sa˜o homoto´picas
respectivamente a α e β em Ω. Temos
∫
α
ω =
∫
α1
ω e
∫
β
ω =
∫
β1
ω. Enta˜o∫
α
ω − ∫
β
ω =
∫
α1
ω − ∫
β1
ω
=
∑∫
∂Rjk
G?ω
=
∑∫
G(∂Rjk)
ω
=
∑∫
R′jk
ω
onde R′jk e´ a imagem por G de Rjk que contem um ponto de X no seu interior. Se
x ∈ R′jk e´ um destes pontos e existe somente um nestas condic¸o˜es enta˜o∫
∂R′jk
ω =
∫
γx
ω = 0
28 1. O PLANO ESTENDIDO
pois ω e´ fechada e estas curvas sa˜o homoto´picas. Portanto estendendo f ao longo
de qualquer caminho em Ω ligando z0 e z obtemos o mesmo valor. Redefinindo fR
em R obtemos uma func¸a˜o f globalmente definida em Ω satisfazendo df = ω.
�
Corola´rio 1.44. Seja U um aberto simplesmente conexo com os pontos z1, · · · , zk
removidos. Seja
dθj =
1
2pii
dz
z − zj
Enta˜o
(1.50) H1(U) = R[dθ1]⊕ · · · ⊕ R[dθk]
Proof. Seja ω fechada. Defina cj =
∫
|z−zj |=r ω onde r e´ escolhido suficiente-
mente pequeno para a circunfereˆncia isolar zj dos demais pontos removidos. Enta˜o
η = ω −∑ cjdθj e´ fechada e ∫
|z−zj |=r
η = 0
garantindo que e´ exata. Portanto estas formas geram H1(U). Seja
∑
cjdθj = 0.
Integrando esta combinac¸a˜o sobre a circunfereˆncia |z− zk| = r encontramos ck = 0
o que garante que estas formas formam uma base. �
1.5.1. O Teorema da Curva de Jordan.
EXERCI´CIOS
(1) Domı´nios homeomorfos possuem grupos de homologia isomorfos.
(2) Se U e´ um aberto enta˜o H2(U) = {0}.
(3) Seja U um aberto simplesmente conexo com um conjunto infinito de pontos
isolados removidos. Seja dθj as 1-formas aˆngulo correspondentes aos pontos
removidos. Mostre que ω =
∑
2−jdθj e´ fechada e na˜o e´ finitamente gerada.
(4) Seja U = C \ [a, b]. Calcule H1(U).
(5) Se Ω = C\Z quem e´ H1(Ω)? Que se pode fazer para que {dθj} seja uma base?
Part 2
Func¸o˜es Holomorfas
CHAPTER 2
Holomorfia
2.1. Derivada Complexa
Nos cursos de ca´lculo a derivada de uma func¸a˜o e´ definida como o limite do
quociente de Newton. Esta noc¸a˜o de derivac¸a˜o funciona perfeitamente bem quando
se trabalha sobre corpos com uma dada topologia. Ela na˜o e´ adequada para levar o
conceito de derivada para espac¸os vetoriais em geral. No caso particular do corpo
dos reais a existeˆncia do limite do quociente de Newton e´ equivalente a existeˆncia
da aproxima infinitesimal. Este sim trata-se de um conceito que pode ser definido
em qualquer espac¸o vetorial normado e completo. Vejamos o caso particular dos
complexos C que e´ um corpo e tambe´m um espac¸o vetorial de dimensa˜o dois sobre
R. Como corpo com a estrutura me´trica usual podemos perguntar pelo limite do
quociente de Newton de uma dada func¸a˜o e introduzir a noc¸a˜o de derivada por
(2.1) f ′(z) = lim
w→z
f(w)− f(z)
w − z
caso este limite exista. As func¸o˜es que possuem esta derivada complexa em todos
os pontos do seu domı´nio sa˜o chamadas de func¸o˜es holomorfas. A sua derivada
f ′(z) e´ uma nova func¸a˜o complexa calculada pelo limite acima. Resumindo, dizemos
que f e´ deriva´vel em um ponto z ∈ Ω se existe o limite
lim
w→z
f(w)− f(z)
w − z
e caso exista tal limite o denotamos por f ′(z). A existeˆncia deste limite e´ equivalente
a dizer que o resto R(w) definido pela equac¸a˜o
f(w) = f(z) + f ′(z)(w − z) +R(w)
satisfaz
lim
w→z
R(w)
w − z = 0.
Vejamos algumas consequ¨eˆncias imediatas da exsiteˆncia do limite do quociente de
Newton. Existindo f ′(z) enta˜o podemos encontrar um δ > 0 tal que
|f(w)− f(z)| ≤ (1 + |f ′(z)|)|w − z|, |w − z| < δ,
o que mostra a continuidade de f em z. Portanto toda func¸a˜o holomorfa e´ cont´ınua
extamente como acontece com as func¸o˜es reais.
Se tomarmos os caminhos particulares z(t) = z + t ou z(t) = z + it obtemos
que f tem derivadas parciais no ponto z e que sa˜o dadas por
∂xf(z) = f ′(z)(2.2)
∂yf(z) = if ′(z).(2.3)
31
32 2. HOLOMORFIA
Enta˜o
1
2 (∂x − i∂y)f(z) = f ′(z)
1
2 (∂x + i∂y)f(z) = 0
Portanto temos tres maneiras de calcular f ′(z) dadas pelas expresso˜es acima. A
segunda equac¸a˜o e´ conhecida como equac¸a˜o de Cauchy-Riemann e e´ satisfeita
por toda f holomorfa. Se f = u + iv enta˜o esta equac¸a˜o transforma-se em um
sistema dado por
Equac¸o˜es de Cauchy-Riemann

ux = vy
uy = −vx
E´ conveniente introduzir os operadores
∂ = 12 (∂x − i∂y)
∂¯ = 12 (∂x + i∂y)
Enta˜o as func¸o˜es holomorfas satisfazem o seguinte sistema de equac¸o˜es
∂f(z) = f(z)(2.4)
∂¯f(z) = 0(2.5)
A existeˆncia de f ′(z) e a equac¸a˜o de Cauchy-Riemann garantem que como
aplicac¸a˜o do R2 f possui derivada e na˜o somente as derivadas parciais no ponto z.
Com efeito, seja f uma aplicac¸a˜o que possui derivadas parciais em um ponto z. A
aproximac¸a˜o infinitesimal de f no ponto z em notac¸a˜o complexa e´ dada por
(2.6) f(w) = f(z) + ∂f(z)(w − z) + ∂¯f(z)w − z + ρ(w)
onde lim ρ(w)/(w − z) = 0 desde que f seja diferencia´vel como aplicac¸a˜o do
R2. Portanto se existe f ′(z) temos ∂¯f(z) = 0 e a igualdade acima garante que
limw→z ρ(z)/(w − z) = 0, ou seja, f e´ diferencia´vel.
Observe que na˜o existe limw→z w − z/(w − z). Podemos escrever a igualdade
acima como
f(w)− f(z)
w − z − ∂f(z) = ∂¯f(z)
w − z
w − z +
ρ(z)
w − z
Portanto se f e´ diferencia´vel em z como aplicac¸a˜o do R2 temos que existe f ′(z) se e
so´ se ∂¯f(z) = 0. Resumindo, se f e´ diferencia´vel como aplicac¸a˜o do R2 enta˜o exite
f ′ se e so´ se as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann sa˜o satisfeitas. Tambe´m podemos
dizer que as func¸o˜es holomorfas sa˜o aquelas que na˜o dependem de z¯, ou ainda, sa˜o
constantes em relac¸a˜o a z¯.
Os operadores ∂ e ∂¯ satisfazem relac¸o˜es o´bvias de derivac¸a˜o como
∂f = ∂¯f¯ , ∂¯f = ∂f¯ .
Sa˜o va´lidas tambe´m as seguintes regras.
2.1. DERIVADA COMPLEXA 33
Lema 2.1.Sejam f, g e h func¸o˜es diferencia´veis tais que h = g ◦ f. Enta˜o
df = ∂fdz + ∂¯fdz¯(2.7)
∂h = ∂g(f)∂f + ∂¯g(f)∂f¯(2.8)
∂¯h = ∂g(f)∂¯f + ∂¯g(f)∂¯f¯(2.9)
Em particular se f e´ holomorfa enta˜o ω = fdz e´ uma 1-forma fechada. Ainda mais
se f, g sa˜o holomorfas e h = f ◦ g enta˜o h e´ holomorfa e vale
h′ = g′(f)f ′.
Proof. Tomemos a curva z(t) como z + tw para valores de t suficientemente
pequenos para obtermos uma curva dentro do domı´nio de f. Usando (2.6) obtemos
Df(z)(w) = lim
t→0
f(z + tw)− f(z)
t
(2.10)
= ∂fw + ∂fw¯ + lim
t→0
R(z + tw)
t
(2.11)
= ∂fw + ∂fw¯(2.12)
onde Df significa a derivada como aplicac¸a˜o do R2. Portanto vale a primeira ex-
pressa˜o do lema. As outras duas expresso˜es sa˜o a regra da cadeia na notac¸a˜o
complexa. Quando f e g sa˜o holomorfas obtemos ∂¯h = 0 e ∂h = ∂g(f)∂f como
queriamos demonstrar. �
A func¸a˜o |z|2 = zz¯ satisfaz ∂¯|z|2 = z e portanto e´ holomorfa somente na origem.
Os operadores ∂ e ∂¯ funcionam como derivadas no espac¸o das func¸o˜es diferencia´veis
e obedecem as regras de derivac¸a˜o. Por exemplo, ∂¯(fg) = ∂¯fg+ f∂¯g, o que mostra
que se f e g sa˜o holomorfas enta˜o o produto e´ uma fucc¸a˜o holomorfa. Alem disso
(fg)′ = f ′g + fg′.
Tambe´m obtemos que f ± g sa˜o holomorfas e f/g e´ holomorfa nos pontos onde
g 6= 0. Suas derivadas sa˜o
(f ± g)′ = f ′ ± g′, (1/g)′ = −g′/g2.
Toda func¸a˜o constante e´ holomorfa e possui derivada identicamente nula. Quando
f esta´ definida sobre um aberto conexo e f ′ = 0 enta˜o f e´ constante pois se z(t) e´
uma curva C∞ ligando z0 e z1 dentro do domı´nio enta˜o
d
dt
f(z(t)) = ∂f(z(t))z′(t) = 0.
Como f(z(t)) e´ uma curva C∞ temos f(z1)− f(z0) =
∫
d
dtf(z(t))dt = 0 provando
que f e´ constante. Portanto, se o domı´nio de f e´ conexo enta˜o f ′ ≡ 0 e´ equivalente
a dizer que f e´ constante.
Se aplicarmos os operadores ∂ e ∂¯ em func¸o˜es duas veˆzes diferencia´veis O
teorema de Schwarz diz que as derivadas mistas ∂x∂y e ∂y∂x de uma func¸aˆo duas
veˆzes diferencia´vel sa˜o iguais. Sobre o espac¸o das func¸o˜es duas veˆzes diferenciaveis
teremos
∂∂¯ = ∂¯∂ =
1
4
(∂2x + ∂
2
y)
ou melhor 4∂¯∂ = 4 onde 4 e´ o laplaciano do plano. Para vermos como e´ grande o
nu´mero de func¸o˜es holomorfas observe o seguinte. Se u : Ω→ R e´ harmoˆnica enta˜o
4∂¯(∂u) = 4u = 0 donde segue-se que ∂u e´ uma func¸a˜o holomorfa.
34 2. HOLOMORFIA
Exemplos desta natureza na˜o sa˜o excec¸a˜o. Existe um estreito relacionamento
entre func¸o˜es holomorfas e func¸o˜es harmoˆnicas. Seja f = u + iv uma func¸a˜o duas
vezes diferencia´vel. Se f e´ holomorfa enta˜o 4f = 4∂∂¯f = 0 donde 4u = 4v = 0,
ou seja, as partes real e imagina´ria de f sa˜o harmoˆnicas. Neste caso chamamos u
e v de harmoˆnicas conjugadas.
Lema 2.2. Seja Ω um domı´nio e u : Ω → R uma func¸a˜o harmoˆnica. Dado
z0 ∈ Ω e B(z0, δ) ⊂ Ω existe uma func¸a˜o harmoˆnica v : B(z0, δ) → R conjugada a
u, isto e´, v e´ tal que f = u + iv e´ holomorfa. Em particular se Ω e´ simplesmente
conexo enta˜o v esta´ definida em todo Ω.
Proof. A 1-forma ω = −uydx + uxdy e´ fechada pois dω = (4u)dx ∧ dy = 0.
Pelo corola´rio (1.40) existe v : B(z0, δ) → R tal que dv = ω, ou seja, vx = −uy e
vy = ux. Portanto f := u + iv e´ holomorfa. Se Ω e´ simplesmente conexo enta˜o f
esta´ definida em Ω pelo mesmo corola´rio. �
Corola´rio 2.3. Toda func¸a˜o harmoˆnica u : C → R e´ parte real de uma
aplicac¸a˜o holomorfa f : C→ C.
Lema 2.4. Seja u : Ω→ R uma func¸a˜o harmoˆnica com singularidades isoladas
definida em um domı´nio. Se a 1-forma complexa ∂udz e´ tal que
∫
γ
∂udz = 0 para
todo caminho fechado γ em Ω na˜o passando nas singularidades de u enta˜o existe
uma func¸a˜o holomorfa f : Ω→ C tal que u e´ a parte real de f e f ′ = 2∂u.
Proof. Por hipo´tese a func¸a˜o f(z) = 2
∫ z
z0
∂udz esta´ bem definida e e´ C1.
Enta˜o
f(z + w)− f(z)− w2∂u(z) = 2
∫ z+w
z
(∂u(ζ)− ∂u(z))dζ(2.13)
donde
|f(z + w)− f(z)− w2∂u(z)| ≤ 2|w| sup
ζ∈[z,z+w]
|∂u(ζ)− ∂u(z)|.(2.14)
e a continuidade de ∂u prova ser f holomorfa possuindo a derivada indicada. �
Exemplo 2.5. Seja f : Ω→ C uma aplicac¸a˜o anal´ıtica. Em cada ponto z0 ∈ Ω
existe um nu´mero R tal que
f(z) =
∑
aj(z − z0)j , |z − z0| < R,
sendo R o raio de convergeˆncia da se´rie. A se´rie
∑
nan(z− z0)n−1 possui o mesmo
raio de convergeˆncia pois lim sup(n+ 1)1/n|an+1|1/n = lim sup |an|1/n uma vez que
lim(n+ 1)1/n = 1. Por simplicidade podemos tomar z0 = 0. Tomemos |z| < r < R
e δ = r − |z|. Estas duas sries convergem uniformemente para |w| ≤ δ. Se |w| ≤ δ
enta˜o
|f(z + w)− f(z)− w∑nanzn−1| = |∑ an [(w + z)n − zn − nwzn−1|]
≤ |w|∑n |an|∑n−1j=0 | [(w + z)n−1−j − zn−1−j] zj |
≤ |w|2∑n(n− 1)2|an|rn−1
≤ K|w|2
onde K =
∑
n(n− 1)2|an|rn−1 e´ uma constante pois esta se´rie converge absoluta-
mente. Portanto existe f ′ e e´ dado pela se´rie
f ′(z) =
∑
nan(z − z0)n−1, |z − z0| < R.
EXERCI´CIOS 35
Continuando este processo encontramos que f possui todas as derivadas e elas sa˜o
holomorfas e anal´ıticas dadas por
f (n)(z) =
∑
j>n
j(j − 1) · · · (j − n)an(z − z0)j−n, |z − z0| ≤ R.
Em particular o raio de convergeˆncia desta se´rie e´ o mesmo da expansa˜o de F em
torno de z0 e os coeficientes sa˜o dados por
an =
1
n!
f (n)(z0), n ≥ 0,
garantindo a unicidade dos an.
Todas as func¸o˜es nos exerc´ıcios abaixo sa˜o de classe pelo menos C2 como
aplicac¸o˜es do R2.
EXERCI´CIOS
(1) Seja f : Ω→ C holomorfa e Ω um domı´nio. Se |f | e´ constante mostre que f e´
constante.
(2) Mostre que a func¸a˜o f(z) = |z|2 e´ holomorfa somente na origem.
(3) Mostre que se f : C→ C e´ holomorfa e real enta˜o f e´ constante.
(4) Mostre que se f e´ holomorfa enta˜o log |f | e´ harmoˆnica nos pontos onde f e´
diferente de zero.
(5) Seja f : Ω → C uma aplicac¸a˜o diferencia´vel. Em cooordenadas polares temos
z = reiθ e f˜(r, θ) = f(reiθ). Deduza:
(a)  r∂r = z∂ + z¯∂¯
∂θ = iz∂ − iz¯∂¯
ou
 ∂ =
1
2z (r∂r − i∂θ)
∂¯ = 12z¯ (r∂r + i∂θ)
(b) As equac¸o˜es de Cauchy-Riemann em coordenadas polares
(c) A expressa˜o do laplaciano em coordenadas polares.
(6) Seja f : Ω→ C holomorfa. Mostre que
(a) Vista como aplicac¸a˜o do R2 temos df(z)w = wf ′(z), ou seja, f e´ uma
aplicac¸a˜o linear conforme.
(b) f preserva aˆngulo entre curvas diferencia´veis.
(c) O determinante da matriz jacobiana de f em um ponto z ∈ Ω e´ dado
por |f ′(z)|2.
(d) Se f ′(z) 6= 0 enta˜o f e´ um difeomorfismo em vizinhanc¸a de z e sua
inversa local g e´ tambe´m holomorfa. Alem disso g′(f(z)) = 1/f ′(z).
(e) Mostre que log(z) e´ holomorfa e que log′(z) = 1/z.
(7) Seja f : U → R anal´ıtica real, onde U e´ um aberto do plano complexo. Mostre
dado z0 ∈ U vale o desenvolvimento
f(z0 + z) =
∑
ajkz
j z¯k
onde |z| < δ, para algum δ. Como fica este desenvolvimento quando f e´
harmoˆnica?
36 2. HOLOMORFIA
2.2. Primeira Regularidade: Analiticidade de Func¸o˜es Holomorfas
As func¸o˜es holomorfas possuem propriedades muito fortes. A existeˆncia da
derivada complexa implica na analiticidade da func¸a˜o, e´ o que provaremos agora.
Resultados deste tipo na˜o sa˜o va´lidos para func¸o˜es reais onde cada classe de difer-
enciabilidade e´ pro´pria. Entretanto todas as func¸o˜es holomorfas possuem a mesma
classe de diferenciabilidade.
Teorema 2.6. Toda func¸a˜o f : Ω → C holomorfa em todos os pontos de Ω e´
anal´ıtica.
Proof. Seja f : Ω→ C uma aplicac¸a˜o que possui derivada complexa em todos
os pontos de Ω. Sabemos que f e´ cont´ınua o que garante a continuidade da 1-forma
complexa ω = fdz. Mostremos primeiro que
∫
γ
fdz = 0 sendo γ a fronteira de
um retaˆngulo R ⊂ Ω de lados com comprimentos a e b e diagonal ρ = √a2 + b2 e
per´ımetro l = 2(a + b). Adotaremos o seguinte processo: dividimos R em quatro
retaˆngulos congruentes tomando o ponto me´dio de cada lado. Chamamos de R1
ao retaˆngulo desta subdivisa˜o tal que o valor absoluto | ∫
γ1
fdz|