Vari+íveis complexas - Luqu+®sio P. M. Jorge

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Notas de Aulas - Po´s-Graduac¸a˜o em Matema´tica -
UFC
Author One
Departamento de Matema´tica - UFC, Campus do Pici bloco 914,
60455-760 Fortaleza - Ce Brasil
Current address: Departamento de Matema´tica, Universidade Federal do Ceara´,
Campus do Pici bloco 914, 60455-760 Fortaleza - Ce Brasil
E-mail address: ljorge@mat.ufc.br
1991 Mathematics Subject Classification. Primary 54C40, 14E20;
Secondary 46E25, 20C20
Key words and phrases. amsbook, AMS-LATEX
The first author was supported in part by NSF Grant #000000.
Abstract. This paper is a sample prepared to illustrate the use of the Amer-
ican Mathematical Society’s LATEX document class amsbook and publication-
specific variants of that class.
Contents
Preface vii
Part 1. Topologia do Plano Complexo 1
Chapter 1. O Plano Estendido 3
Notac¸a˜o 3
1.1. Domı´nios no plano estendido 3
1.2. Formas diferenciais em domı´nios 5
1.3. Singularidades e exemplos de func¸o˜es 9
This is an unnumbered first-level section head 12
This is a Special Section Head 12
1.4. This is a numbered first-level section head 12
Exercises 13
1.5. Some more list types 14
Part 2. Func¸o˜es Holomorfas 17
Chapter 2. Holomorfia 19
2.1. Derivada Complexa 19
EXERCI´CIOS 23
2.2. Primeiro Resultado de Regularidade: Analiticidade de Func¸o˜es
Holomorfas 24
EXERCI´CIOS 30
2.3. Segundo Resultado de Regularidade 31
EXERCI´CIOS 34
2.4. Aplicac¸o˜es 35
Bibliography 37
v
Preface
O objetivo destas notas e´ fcilitar o trabalho dos estudantes de graduac¸a˜o e os
que iniciam o nosso programa de mestrado vindos de outros centros. Existe uma
vasta bibliografia sobre o assunto mas acreditamos ser necessa´rio uma adequac¸a˜o aos
nossos curr´ıculos adaptadando os conteudos a`s formac¸o˜es t´ıpicas do nosso ensino.
Tambe´m temos necessidade de fixar melhor os conteudos das disciplinas ajudando
o professor.
Luquesio P. Jorge
vii
Part 1
Topologia do Plano Complexo
CHAPTER 1
O Plano Estendido
Notac¸a˜o
Usaremos o ja´ consagrado s´ımbolo C para indicar o plano complexo obtido
atravez da indentificac¸a˜o com o espac¸o euclideano R2 onde z = x + iy ∈ C corre-
sponde ao par ordenado (x, y) ∈ R2. Admitiremos que o leitor esta´ familiarizado
com a estrutura de corpo natural em C e com suas operac¸o˜es elementares.
1.1. Domı´nios no plano estendido
O plano complexo estendido e´ uma compactificac¸a˜o do plano complexo obtida
acrescentando um ponto que na˜o pertence a ele. Este tipo de compactificac¸ ao
e´ conhecida como compactificac¸a˜o de Alexandroff e e´ obtida do seguinte modo.
Tomemos o s´ımbolo ∞ que na˜o pertence ao plano complexo e definimos C∗ :=
C ∪ {∞}. Sabemos que todo compacto K de C e´ um fechado e portanto Kc e´
um aberto. Definimos enta˜o as vizinhanc¸as abertas do infinito como sendo os
conjuntos Kc ∪ {∞}. Acrescentando a esta famı´lia os abertos usuais de C obtemos
uma topologia em C∗. Obviamente AR∞ := {z ∈ C| |z| > R} ∪ {∞} formam uma
base desta topologia centrada no infinito.
Lema 1.1. Seja C∗ a compactificac¸a˜o de Alexandroff do plano complexo C.
(1) C∗ e´ compacto.
(2) Qualquer outra compactificac¸a˜o de C preservando a topologia e acrescendo
um ponto e´ homeomorfa a C∗
(3) C∗ e´ homeomorfo a S2 = {x ∈ R3 | |x| = 1} e portanto e´ metriza´vel. A
me´trica induzida do R3 em C∗ e´ dada por
ρ(z, w) =
2|z − w|√|z|2 + 1√|w|2 + 1 , z, w 6=∞
e
ρ(z,∞) = 2√|z|2 + 1 .
Proof. Dado uma cobertura aberta de C tome A∞ como sendo um aberto
desta cobertura contendo o ponto do infinito. Enta˜o existe um AR∞ ⊂ A∞. O
complementar AcR∞ e´ um compacto de C e portanto esta´ contido em uma unia˜o
de abertos A1, · · · , An desta cobertura. Acrescentando A∞ a esta famı´lia obtemos
uma subcobertura finita o que prova o primeiro ı´tem. O segundo ı´tem e´ o´bvio pois
retirando o ponto adicionado obetemos um homeomorfismo com C que estende-se
ao complemento. Para provarmos o u´ltimo ı´tem precisamos deduzir a expressa˜o
da projec¸a˜o estereogra´fica. Por definic¸a˜o pi : S2 \ {(0, 0, 1)} → R2 e´ a projec¸a˜o do
ponto de intersec¸a˜o da reta que liga x ∈ S2 ao polo norte sobre a intersec¸a˜o como o
3
4 1. O PLANO ESTENDIDO
plano horizontal. Escolhendo o ponto t ∈ R tal que (0, 0, 1) + t(x1, x2, x3 − 1) fura
o plano horizontal, isto e´, 1 + t(x3 − 1) = 0 encontramos
(1.1) pi(x) = (
x1
1− x3 ,
x2
1− x3 ), x ∈ S
2 \ {(0, 0, 1)}
Esta aplicac¸a˜o e´ obviamente cont´ınua como restric¸a˜o de aplicac¸o˜es cont´ınuas e o
mesmo acontece com sua inversa
(1.2) ϕ(z) = (
2x
|z|2 + 1 ,
2y
|z|2 + 1 ,
|z|2 − 1
|z|2 + 1), z = x+ iy.
Podemos enta˜o estender este homeomorfismo entre C e S2 \{(0, 0, 1)} a um homeo-
morfismo entre C∗ e a esfera unita´ria S2. O ca´lculo da distaˆncia induzida deixamos
a cargo do leitor. �
Um domı´nio em C ou C∗ e´ qualquer aberto conexo. Como C e´ localmente
convexo segue-se que todo domı´nio e´ conexo por caminho. Lembramos que um
caminho e´ qualquer aplicac¸a˜o cont´ınua de um intervalo da reta em C ou C∗. De
fato podemos ligar dois pontos quaisquer de um domı´nio por uma poligonal ou
mesmo por um caminho infinitamente diferencia´vel.
Lema 1.2. Seja α : [a, b] → U um caminho em um domı´nio U. Existe � > 0 e
um caminho β : [a, b] → U, C∞, tal que |α(t) − β(t)| < �, ∀t ∈ [a, b]. Em outras
palavras β(t) ∈ B(α(t); �), a ≤ t ≤ b.
Proof. A imagem α([a, b]) e´ um compacto de U. Se 0 < 2�′ < d(α([a, b]), U c)
onde d(X,Y ) e´ a distaˆncia entre estes conjuntos, enta˜o B(α(t), �′) ⊂ U, ∀t ∈ [a, b].
Pela continuidade uniforme de α existe um δ > 0 tal que α(t) ∈ B(α(u); �), ∀a ≤
u ≤ b, e |t − u| < δ. Em particular qualquer partic¸a˜o {t0 = a < t1, · · · , < tn = b}
com |tj − tj+1| < δ e´ tal que α([tj , tj+1]) ⊂ B(α(tj), �′), 0 ≤ j ≤ n − 1. Enta˜o a
poligonal ligando os pontos zj = α(tj), 0 ≤ j ≤ n, satisfaz as condic¸o˜es do lema
a menos da diferenciabilidade e escolha adequada de �′. Seja α1 esta poligonal.
Vejamos como aproximar α1 por um caminho C∞.
E´ sabido que a func¸a˜o φ : R → R definida por φ(t) = 0, t ≤ 0, e φ(t) =
exp(−1/t2), t > 0, e´ de classe C∞. Obviamente φab(t) := φ(t−a)/(φ(t−a)+φ(b−t))
e´ C∞, 0 ≤ φab(t) ≤ 1, sendo que φ(t) = 0,∀t ≤ a, e φ(t) = 1,∀t ≥ b, onde a, b, a < b,
sa˜o pontos arbrita´rios da reta. Consideremos agora duas retas L1(t) = z0 + tz1 e
L2(t)−w0+ tw1 com L1(t0) = L2(t0) e um nu´mero δ > 0. Se z1 = w1 as duas retas
parametrizadas sa˜o iguais e portanto C∞ em vizinhanc¸a de t0. Seja z1 6= w1. Tome
a = t0 − δ, b = t0 + δ, β(t) = (1− φab(t))L1(t) + φab(t)L2(t) e
L1 ∧ L2(t) :=
{
L1(t), se t ≤ t0,
L2(t), se t ≥ t0.
Portanto obtemos
|β(t)− L1 ∧ L2(t)| ≤
{
0, se |t− t0| ≥ δ,
|L1(t)− L2(t)|, se |t− t0| < δ.
Como L1(t0)− L2(t0) = 0 o caminho β pode ser tomado ta˜o pro´ximo da poligonal
quanto se queira. Procedendo assim em cada ve´rtice da poligonal α1 obtemos a
curva β anunciada no lema. �
Corola´rio 1.3. Seja α : [a, b] → U uma poligonal dada por α(t) = zj + (t −
tj)wj , tj ≤ t ≤ tj+1, wj = (zj+1− zj)/(tj+1− tj) onde {tj} e´ uma partic¸a˜o de [a, b].
1.2. FORMAS DIFERENCIAIS EM DOMI´NIOS 5
Se wj , wj+1 sa˜o linearmente independentes enta˜o a curva β(t) que aproxima α(t)
e´ regular, ou seja, β′(t) 6= 0,∀t.
Proof. E´ suficiente mostrar que β′ 6= 0 pro´ximo dos pontos tj onde β(t) e´ do
tipo β(t) = (1− φ)Lj + φLj+1. Enta˜o
β′ = φ′(Lj+1 − Lj) + (1− φ)wj+1 + φwj
= (1− φ− (t− tj+1)φ′)wj + (φ+ (t− tj+1)φ′)wj+1
e sendo wj , wj+1 linearmente independentes na˜o podemos ter β′ = 0. �
1.2. Formas diferenciais em domı´nios
O espac¸o euclideano R2 possui duas func¸o˜es lineares que descrevem a posic¸a˜o
do ponto. Se p ∈ R2 e e1, e2 e´ uma base ortogonal podemos descrever a posic¸a˜o
de p em relac¸a˜o a esta base utilizando as func¸o˜es x = x(p) =< p, e1 > e y =
y(p) =< p, e2 > determinando totalmente p utilizando os eixos gerados pelos ve-
tores desta base como eixos coordenados. Nenhumanovidade ate´ aqui. Agora
observe que a derivada de qualquer uma destas func¸o˜es coordenadas e´ constante:
dx = d < ·, e1 >, dy = d < ·, e2 > em qualquer p ∈ R2. Em paticular temos que
a segunda derivada ddx ≡ 0 e ddy ≡ 0 sa˜o nulas. Chamamos dx e dy de diferen-
ciais do R2 e podemos usalas para descrever quaisquer formas multilineares sobre
domı´nios quer sejam alternadas ou sime´tricas. O nosso maior interesse e´ nas for-
mas alternadas que sa˜o aplicac¸o˜es multilineares alternadas, Q : Πkj=1R2 → R satis-
fazendo Q(· · · , p, · · · , q, · · · ) = −Q(· · · , q, · · · , p · · · ). Obviamente se duas posic¸o˜es
sa˜o ocupadas por um mesmo ponto teremos Q = 0. Se o ponto de uma posic¸a˜o e´
combinac¸a˜o linear de valores das outras posic¸o˜es tambe´m teremos Q = 0. Portanto
os u´nicos valores de k para os quais existem k-formas alternadas na˜o triviais no R2
sa˜o k = 1 que sa˜o as 1-formas ou k = 2 que sa˜o as 2-formas alternadas. Em geral
denotamos o espac¸o das k-formas alternadas por ∧kR2. O espac¸o ∧1R2 e´ gerado
por dx e dy ou seja, uma 1-forma e´ do tipo ω = adx+ bdy onde a e b sa˜o nu´meros
reais. Para descrever o espac¸o das 2-formas alternadas definimos
dx ∧ dy(p, q) := det
(
dx(p) dx(q)
dy(p) dy(q)
)
Observe que dx∧ dy = −dy ∧ dx e portanto qualquer 2-forma alternada e´ dada por
adx ∧ dy onde a ∈ R2. Resumindo temos
∧1R2 = {adx+ bdy | a, b ∈ R}
∧2R2 = {adx ∧ dy | a ∈ R}
Podemos fazer o produto de duas 1-formas para obter uma 2-forma obdecendo
a regra o´bvia que dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0 e dx ∧ dy = −dy ∧ dx. Portanto se
ωj = ajdx+ bjdy, j = 1, 2, e η = adx ∧ dy teremos
ω1 ∧ ω2 = (a1b2 − a2b1)dx ∧ dy
ω1 ∧ η = 0
Na realidade esta operac¸a˜o “∧′′ nos da´ um produto bilinear entre ∧kΩ × ∧lΩ em
∧k+lΩ mas no nosso caso as possibilidades sa˜o muito poucas. Uma 1-forma so-
bre um domı´nio Ω e´ qualquer aplicac¸a˜o ω : Ω → ∧1R2 que pode ser descrita
utiliazando a base {dx, dy} como ω(z) = a(z)dx+ b(z)dy, z ∈ Ω, onde a, b : Ω→ R
sa˜o func¸o˜es. Dizemos que ω e´ de classe Ck, k ≥ 0, se as suas coordenadas a(z) e
6 1. O PLANO ESTENDIDO
b(z) sa˜o func¸o˜es de classe Ck. Analogamente uma 2-forma alternada sobre Ω
e´ uma aplicac¸a˜o ω : Ω → ∧2R2 que pode ser descrita como ω(z) = a(z)dx ∧ dy
e e´ de classe Ck se e so´ se a : Ω → R e´ uma func¸a˜o de classe Ck. Simplificare-
mos a notac¸a˜o utilizando ∧0Ω para descrever o espac¸o de func¸oˆes C∞ definidas em
Ω, ∧1Ω para as 1-formas e ∧2Ω para as 2-formas alternadas C∞ sobre Ω. Existe
uma derivac¸a˜o natural entre estes espac¸os chamada de derivada exterior. Se f e´
uma func¸a˜o C∞ em Ω enta˜o df = ∂f∂xdx+
∂f
∂y dy e´ a diferencial de f. Toda 1-forma
ω tal que existe f ∈ ∧0Ω satisfazendo df = ω e´ chamada de 1-forma exata. Se
ω = adx + bdy satisfaz dω = 0 enta˜o dizemos que ω e´ uma 1-forma fechada.
Indicando a derivada partial por um sub´ındice temos que ω e´ fechada se e so´ se
by − ax = 0. A simetria das derivadas parciais de uma func¸a˜o garantem enta˜o que
toda 1-forma exata e´ fechada pois
ddf = (
∂2f
∂x∂y
− ∂
2f
∂y∂x
)dx ∧ dy = 0.
Seja F : U → Ω uma aplicac¸a˜o diferencia´vel. Existe uma operac¸a˜o natural que
traz formas sobre Ω em formas sobre U dada por F ∗ω = ω ◦F (dF ) para 1-formas e
similarmente F ∗ω = ω◦F (dF, dF ). E´ curioso como a derivada exterior se comporta
com esta operac¸a˜o. Um ca´lculo direto nos da´ que
dF ∗ω = F ∗dω
seja ω qualquer k-forma.
Seja γ : [t0, t1]→ Ω uma curva ou caminho de classe C1 por partes. A imagem
Γ = γ([t0, t1]) recebe uma orientac¸a˜o dada pelo percurso da curva γ(t). A integral
de ω sobre Γ na orientac¸a˜o definida por γ e´ dada por
∫
Γ
ω : =
∫
γ
ω
=
∫
[t0,t1]
γ∗ω
=
∫ t1
t0
ω(γ(t))(γ′(t))dt
=
∫ t1
t0
(a(x(t), y(t))x′(t) + b(x(t), b(t))y′(t))dt
onde γ(t) = (x(t), y(t)). Qualquer reparametrizac¸a˜o h : [s0, s1] → [t0, t1] tal que
h(s0) = t0 e h(s1) = t1 ou que tenha derivada na˜o negativa na˜o muda a orientac¸a˜o
de γ e preserva o valor da integral. Portanto
∫
Γ
ω na˜o depende de parametrizac¸o˜es
ou reparametrizac¸o˜es que preservam a orientac¸a˜o escolhida para Γ.
Seja ω = df onde f : Ω→ R e´ de classe C1 e γ : [a, b]→ Ω um caminho C1 por
partes ligando z0 e z1. Seja {tj} uma partic¸a˜o de [a, b] de modo que γ seja C1 em
1.2. FORMAS DIFERENCIAIS EM DOMI´NIOS 7
cada intervalo [tj , tj+1]. Enta˜o∫
γ
ω =
=
∑∫ tj+1
tj
γ∗ω
=
∑∫ tj+1
tj
(f ◦ γ)′dt
=
∑
(f(γ(tj+1))− f(γ(tj)))
= f(z1)− f(z0)
Em particular se γ for um caminho fechado que significa z0 = z1 teremos
∫
γ
ω = 0.
Este crite´rio e´ suficiente para decidir se uma 1-forma fechada e´ exata.
Teorema 1.4. Uma 1-forma cont´ınua e fechada ω sobre Ω e´ exata se e somente
se sua integral sobre todo caminho fechado e´ nula.
Proof. Obviamente se ω e´ fechada e γ e´ um caminho ligando z0 e z1 enta˜o∫
γ
ω = f(z1)− f(z0) = 0 onde f e´ tal que df = ω.
Seja agora ω uma 1-forma fechada cuja integral sobre todo caminho fechado e´
nula. Fixemos z0 em Ω. Dado z ∈ Ω e dois caminhos γ1 e γ2 ligando ambos temos
que γ1 ∧ γ−12 e´ um caminho fechado donde 0 =
∫
γ1∧γ−12 ω =
∫
γ1
− ∫
γ2
. Portanto
podemos definir f : Ω → R por f(z) := ∫
γ
ω onde γ e´ qualquer caminho em Ω
ligando z0 e z. Seja β(t) = z + (t− t1)h e γ ∧ β um caminho ligando z0 e z + h em
Ω. Fazendo a derivada direcional de f em z na direc¸a˜o de h obtemos pelo teorema
fundamental do ca´lculo que Dhf(z) = ω(z)(h). Em particular as derivadas parciais
existem e sa˜o cont´ınuas o que prova ser f de classe C1 e ainda df = ω. �
No caso de curvas fechadas a orientac¸a˜o e´ estabelicida a priori. O teorema da
curva de Jordan garante que toda curva fechada Γ do R2 divide o ambiente em dois
domı´nios sendo um limitado e o outro ilimitado. Seja ν(t) uma rotac¸a˜o positiva de
pi/2 do vetor velocidade Γ′ de uma parametrizac¸a˜o de Γ, isto e´, o determinante da
matriz formada por Γ′ e ν e´ positivo. Se ν aponta para dentro da regia˜o limitada
de R2 \ Γ, isto e´, uma curva comec¸ando em Γ com velocidade inicial ν entra nesta
regia˜o, enta˜o dizemos que Γ esta´ orientada positivamente. Tambe´m convencionamos
que a orientac¸a˜o positiva de um domı´nio e´ obtida quando o vetor ν en cada compo-
nente da fronteira aponta para o interior da regia˜o. Intuitivamente significa que ao
percorrermos a fronteira no sentido positvo a sombra do brac¸o esquerdo estendido
contra o corpo projetada verticalmente deve cair dentro do domı´nio. Se Ω e´ obtido
retirando um pequeno disco do interior de outro disco maior enta˜o a orientac¸a˜o
positiva corresponde a orientac¸a˜o positiva da circunfereˆncia maior e negativa na
menor que fica dentro do disco grande.
Teorema 1.5 (Teorema de Stokes). Se ω e´ uma 1-forma C1 por partes e Ω e´
um domı´nio limitado com fronteira C1 por partes enta˜o∫
Ω
dω =
∫
∂Ω
ω
8 1. O PLANO ESTENDIDO
Proof. Se ω = adx + bdy e Ω e´ um retaˆngulo R = [x0, x1] × [y0, y1] enta˜o o
teorema de Stokes e´ trivial pois∫
R
dω =
∫ x1
x0
∫ y1
y0
(bx − ay)dxdy
=
∫ y1
y0
(b(x1, y)− b(x0, y))dy −
∫ x1
x0
(a(x, y1)− a(x, y0))dx
=
∫
∂R
ω
Sendo a fronteira do domı´nio C1 por partes podemos cobrir Ω por uma malha de
retaˆngulos ta˜o pequenos de modo que cada retaˆngulo R interseptando a fronteira
tem as seguintes porpriedades: ∂Ω corta os lados opostos de R e ∂Ω ∩ R e´ gra´fico
sobre um dos lados. Em uma primeira etapa escolhemos os retaˆngulos cujos ve´rtices
esta˜o sobre a malha dada por λZ × λZ. Como cada ponto da fronteira ∂Ω possui
uma vizinhanc¸a que pode ser escrita como gra´fico sobre um dos eixos e ∂Ω e´ com-
pacto tomamos λ menor que o nu´mero de Lebesgue desta cobertura. Em seguida
diminuimos os tamanho dos retaˆngulos que interseptam a fronteira para que os la-
dos opostos sejam atingidos pela fronteira de modo que o arco dentro do retaˆngula
seja gra´fico sobre o outro lado. Admita que ∂Ω∩R e´ gra´fico de f : [x0, x1]→ [y0, y1].Definia F : [x0, x1]× [y0, y1]→ R por
F (x, y) := (x,
y − y0
y1 − y0 f(x) +
y1 − y
y1 − y0x).
Enta˜o ∫
R∩Ω dω =
∫
[x0,x1]×[y0,y1] F
∗dω
=
∫
[x0,x1]×[y0,y1] dF
∗ω
=
∫
∂[x0,x1]×[y0,y1] F
∗ω
=
∫
∂R∩Ω ω
Seja {Rj} a famı´lia de retaˆngulos escolhida acima cobrindo Ω. Enta˜o∫
Ω
dω =
∑∫
Rj∩Ω dω
=
∑∫
∂Rj∩Ω ω
=
∫
∂Ω
ω
pois a integral sobre cada lado ou segmento de lado que esta´ contida em Ω aparece
duas veˆzes e com sinais contra´rios anulando-se na soma. Sobra somente a parte da
fronteira o que prova a fo´rmula. �
Corola´rio 1.6. Se ω uma 1-forma fechada definida sobre um domı´nio Ω e α
e β sa˜o duas curvas fechadas e homoto´picas em Ω enta˜o∫
α
ω =
∫
β
ω.
Proof. Seja F : [0, 1]×[0, 1]→ Ω uma homotopia entre a duas curvas fechadas.
Segue-se de dF ∗ω = F ∗dω = 0 que
∫
∂[0,1]×[0,1] ω = 0. Como t 7→ F (0, t) e t 7→
F (t, 1) sa˜o a mesma curva e aparecem com orientac¸o˜es diferentes obtemos
0 =
∫
[0,1]×0 F
∗ω − ∫
[0,1]×1 F
∗ω
=
∫
α
ω − ∫
β
ω
como quer´ıamos demonstrar. �
Corola´rio 1.7. Se Ω e´ simplesmente conexo enta˜o toda 1-forma fechada em
Ω e´ exata.
1.3. SINGULARIDADES E EXEMPLOS DE FUNC¸O˜ES 9
Proof. Todo caminho fechado em Ω e´ homoto´pico a uma constante e pelo
corola´rio anterior a integral de uma 1-forma fechada e´ nula. O teorema(1.5) conclui
o resultado. �
Em coordenadas polares escrevemos as coordenadas de um ponto como x =
r cos(t) e y = r sin(t) onde r =
√
x2 + y2 e´ a distaˆncia do ponto a origem e t =
arctan(y/x) e´ o aˆngulo entre o ponto e o eixo das abcissas. Se x = 0 podemos
descrever t como arccotg(x/y) e assim obtemos que o aˆngulo pode ser descrito
localmente por uma func¸a˜o. Portanto as formas dr e θ = dt sa˜o fechadas pois sa˜o
localmente exatas (dr e´ exata). Escrevendo z = reit e dz = eitdr + izdt obtemos
que ∫
γ
dz
z =
∫
γ
(drr + idt)
= i
∫
γ
θ
onde γ e´ uma curva fechada em C\{0}. A aplicac¸a˜o F (t, s) = (s+(1−s)/|γ(t)|)γ(t)
e´ uma homotopia entre γ e uma curva fechada eu(t) em S1 onde t ∈ [0, 2pi] e
u : [0, 2pi] → R e´ um levantamento pela exponencial da curva fechada no c´ırcula
unita´rio. Portanto, se u(0) = ϑ0 enta˜o u(2pi) = n+ ϑ0, n ∈ Z e∫
γ
θ =
∫ 2pi
0
u′(t)dt
= 2pin
onde n e´ o nu´mero de voltas que γ da´ em torno da origem. Em geral teremos que
o nu´mero de voltas que γ da´ em torno de um ponto z0 fora da curva e´ dado por
n(γ, z0) =
1
2pii
∫
γ
dz
z − z0 .
Lema 1.8. Seja γ uma curva fechada em C com imagem =(γ). Enta˜o n(γ, z)
e´ constante em cada componente conexa de C \ =(γ) e n(γ, z) = 0 na componente
conexa ilimitada.
Proof. Sendo n(γ, z) uma func¸a˜o cont´ınua de C \=(γ) em Z com a topologia
induzida da reta segue-se que ela e´ constante em cada componente conexa. Seja
R0 > 0 tal que |w| ≤ R0, w ∈ =(γ), e |z| ≥ R+R0 enta˜o
| ∫
γ
dw
w−z | ≤
∫
γ
|dw|
|w−z|
≤ R0`(γ)R
< 1
para R0`(γ) < R e consequentemente n(γ, z) = 0. �
1.3. Singularidades e exemplos de func¸o˜es
Uma aplicac¸a˜o f : Ω→ C e´ anal´ıtica se em cada ponto z0 ∈ Ω existe um δ > 0
tal que
f(z) =
∞∑
j=0
aj(z − z0)j , |z − z0| < δ
onde esta se´rie converge absolutamente. Obviamente o raio de convergeˆncia satisfaz
1
R = lim sup |an|1/n≤ 1/δ
Admita que uma aplicac¸a˜o f esta´ definida em um domı´nio U a excec¸a˜o de pontos
isolados. Enta˜o dizemos que cada ponto isolado onde f na˜o esta´ definida e´ uma
10 1. O PLANO ESTENDIDO
singularidade de f, ou seja, se f esta´ definida em z para 0 < |z − z0| < � enta˜o
z0 e´ uma singularidade de f. Duas situac¸o˜es merecem destaque: ∃ limz→z0 f(z) em
C∗ ou na˜o existe tal limite. Caso na˜o exista tal limite dizemos que z0 e´ singu-
laridade essencial de f. Se existe o limite enta˜o dizemos que z0 e´ polo de f se
limz→a0 f(z) = ∞. Se este limite for um ponto finito enta˜o dizemos que z0 e´ uma
singularidade remov´ıvel de f, podemos estende-la continuamente a este ponto.
Observe que se z0 na˜o e´ uma singularidade essencial enta˜o podemos estender f a
z0 cont´ınuamente tomando valores no plano estendido C∗.
Examplo 1.9. Seja p(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn um polinoˆmio de grau n. Se
P (z) na˜o e´ constante enta˜o estende-se a uma aplicac¸a˜o P : C∗ → C∗ cont´ınua e
tem um polo no infinito. Com efeito,
|P (z)| ≥ |z|n(|an| −
∑n−1
j=0
|aj |
|z|n−j ),
≥ |z|n(|an| −
Pn−1
j=0 |aj |
R ),
≥ |an|2 |z|n
se |z| ≥ R ≥ 1, e 2∑n−1j=0 |aj | ≤ R|an|. Portanto lim|z|→∞ P (z) = ∞ como afir-
mamos.
Examplo 1.10. Seja f uma func¸a˜o racional, isto e´, uma func¸a˜o que e´ o quo-
ciente de dois polinoˆmios f(z) = P (z)/Q(z). Sempre podemos assumir que estes
polinoˆmios sa˜o primos entre si, na˜o possuem fatores comum. Portanto P e Q
na˜o possuem zeros em comum e todos os zeros de Q sa˜o singularidades de f ,
ou melhor, sa˜o polos. Com efeito, se Q(z0) = 0 enta˜o existe uma decomposic¸a˜o
Q(z) = (z − z0)nQ0(z) onde |Q(z)| ≥ a > 0, |z − z0| < �, e n e´ a multiplicidade do
zero. Se |P (z)| ≥ b > 0, |z − z0| < �, se necessa´rio diminuindo o valor de � enta˜o
|f(z)| ≥ b
a|z − z0|n , |z − z0| < �
o que mostra que z0 e´ polo. Quanto ao ponto do infinito temos as seguintes pos-
sibilidades: Se o grau de P e´ maior que o de Q enta˜o f tem polo no infinito. Se
o grau de P e´ menor que o de Q enta˜o f tem um zero no infinito e se os graus
sa˜o iguais obtemos o valor f(∞) = an/bn onde an e bn sa˜o os coeficientes lider dos
polinoˆmios.
Examplo 1.11. Um caso particular do exemplo anterior e´ quando os polinoˆmios
P e Q possuem graus na˜o maiores que 1. Se
f(z) =
az + b
cz + d
, z ∈ C, ad− bc 6= 0,
chamamos f de transformac¸a˜o homogra´fica. A composta de duas aplicac¸o˜es deste
tipo ainda e´ uma transformac¸a˜o homogra´fica cujos coeficientes sa˜o obtidos multiplicando-
se as matrizes formadas pelos coeficientes das duas outras aplicac¸o˜es. Portanto elas
sa˜o invers´ıveis, ou melhor, sa˜o homeomorfismo do plano estendido. Existe de fato
um homomorfismo do grupo das matrizes invers´ıveis 2× 2 com a operac¸a˜o produto
no grupo dos homeomorfismo de C∗ com a operac¸a˜o composic¸a˜o.
A func¸a˜o exponencial exp : R → R tem o seu desenvolvimento em torno da
origem dada por exp(t) =
∑
tn/n!, t ∈ R. O raio de convergeˆncia desta se´rie e´
1.3. SINGULARIDADES E EXEMPLOS DE FUNC¸O˜ES 11
infinito. Sendo C completo as somas parciais de
∑
zn/n! formam sequ¨eˆncias de
Cauchy e portanto convergem. Neste caso podemos estender a func¸a˜o exponencial
a uma aplicac¸a˜o definida em todo o plano complexo pondo exp(z) =
∑
zn/n!.
Lembramos que se duas se´ries nume´ricas
∑
an e
∑
bn convergem absolutamente
enta˜o o produto tambe´m converge absolutamente e e´ dado por
∑
cn, onde cn =∑n
j=0 ajbn−j . Segue-se que o termo geral do produto das se´ries de exp(z) e exp(w)
e´
cn =
∑
zj
j!
wn−j
(n−j)!
= 1n!
∑n
j=0
n!
j!(n−j)!z
jwn−j
= (z+w)
n
n!
Portanto exp(z + w) = exp(z) exp(w) mostrando que a func¸a˜o exponencial con-
tinua sendo um homomorfismo de C como grupo aditivo em C \ {0} como grupo
multiplicativo. Este fato fica melhor representado se usarmos a expressa˜o ez em
vez de exp(z) para descrever a func¸a˜o exponencial complexa. De fato toda func¸a˜o
anal´ıtica real pode ser estendida a uma func¸a˜o complexa definida em um aberto
de C pondo simplesmente f(z) :=
∑
aj(z − t0)j como fizemos com a exponen-
cial. Se a func¸a˜o esta´ definida em toda a reta, ou equivalentemente, o seu raio de
convergeˆncia e´ infinito enta˜o ela estende-se a todo o plano complexo. E´ suficiente
usar a expansa˜o de Taylor em torno da origem e estende-la ao plano atravez desta
se´rie. Por exemplo, cos(z) =
∑
(−1)kz2k/(2k)! e sin(z) =∑(−1)kz2k+1/(2k + 1)!,
definem o cosseno e o seno complexos e portanto todas as func¸o˜es trigonome´tricas
complexas. Ao fazermos esta complexificac¸a˜o de func¸o˜es reais anal´ıticas aparecemalgumas relac¸o˜es antes impercept´ıveis. Uma delas e´ bem conhecida e envolve a
exponencial, seno e cosseno. Segue-se de e±z = cos(z)± i sin(z) que
cos(z) = e
iz+e−iz
2
sin(z) = e
iz−e−iz
2i
Se restringirmos z ao eixo imagina´rio na expressa˜o da exponencial obtemos enta˜o
a fo´rmula de Moivre.
Lema 1.12 (Fo´rmula de Moivre). Temos eit = cos(t) + i sin(t), t ∈ R. Em
particular ez = ex(cos y + i sin y), z = x + iy, e´ uma func¸a˜o perio´dica com per´ıodo
2pii.
Proof. Substituindo z = it, t ∈ R, na expansa˜o da exponencial obtemos a
expressa˜o do lema ao pormos o i em evideˆncia. Portanto ez = exeiy = ex(cos y +
i sin y) como queriamos demonstrar. �
Examplo 1.13. Considere f(z) := exp(1/z). A origem e´ uma singularidade.
Observe que z → 1/z aplica a vizinhanc¸a do infinito AR∞ na bola B(0; 1/R) e
portanto infinitas faixas sa˜o aplicadas dentro desta bola. Dado � > 0 podemos
tomar 1/R < � e portanto f cobre C \ {0} infinitas veˆzes. Logo a origem e´ uma
singularidade essencial de f. Veremos mais tarde que toda singularidade essencial
de uma func¸a˜o holomorfa tem sempre um coportamento similar.
12 1. O PLANO ESTENDIDO
This is an unnumbered first-level section head
This is an example of an unnumbered first-level heading.
This is a Special Section Head
This is an example of a special section head1.
1.4. This is a numbered first-level section head
This is an example of a numbered first-level heading.
1.4.1. This is a numbered second-level section head. This is an example
of a numbered second-level heading.
This is an unnumbered second-level section head. This is an example
of an unnumbered second-level heading.
1.4.1.1. This is a numbered third-level section head. This is an example of a
numbered third-level heading.
This is an unnumbered third-level section head. This is an example of an un-
numbered third-level heading.
Lema 1.14. Let f, g ∈ A(X) and let E, F be cozero sets in X.
(1) If f is E-regular and F ⊆ E, then f is F -regular.
(2) If f is E-regular and F -regular, then f is E ∪ F -regular.
(3) If f(x) ≥ c > 0 for all x ∈ E, then f is E-regular.
The following is an example of a proof.
Proof. Set j(ν) = max(I\a(ν))− 1. Then we have
∑
i/∈a(ν)
ti ∼ tj(ν)+1 =
j(ν)∏
j=0
(tj+1/tj).
Hence we have∏
ν
( ∑
i/∈a(ν)
ti
)|a(ν−1)|−|a(ν)|
∼
∏
ν
j(ν)∏
j=0
(tj+1/tj)|a(ν−1)|−|a(ν)|
=
∏
j≥0
(tj+1/tj)
P
j(ν)≥j(|a(ν−1)|−|a(ν)|).
(1.3)
By definition, we have a(ν(j)) ⊃ c(j). Hence, |c(j)| = n − j implies (5.4). If
c(j) /∈ a, a(ν(j))c(j) and hence we have (5.5). �
This is an example of an ‘extract’. The magnetization M0 of the
Ising model is related to the local state probability P (a) : M0 =
P (1)− P (−1). The equivalences are shown in Table 1.
1Here is an example of a footnote. Notice that this footnote text is running on so that it can
stand as an example of how a footnote with separate paragraphs should be written.
And here is the beginning of the second paragraph.
EXERCISES 13
Table 1
−∞ +∞
f+(x, k) e
√−1kx + s12(k)e−
√−1kx s11(k)e
√−1kx
f−(x, k) s22(k)e−
√−1kx e−
√−1kx + s21(k)e
√−1kx
Definic¸a˜o 1.15. This is an example of a ‘definition’ element. For f ∈ A(X),
we define
(1.4) Z(f) = {E ∈ Z[X] : f is Ec-regular}.
Observac¸a˜o 1.16. This is an example of a ‘remark’ element. For f ∈ A(X),
we define
(1.5) Z(f) = {E ∈ Z[X] : f is Ec-regular}.
Examplo 1.17. This is an example of an ‘example’ element. For f ∈ A(X),
we define
(1.6) Z(f) = {E ∈ Z[X] : f is Ec-regular}.
Exerc´ıcio 1.18. This is an example of the xca environment. This environment
is used for exercises which occur within a section.
Some extra text before the xcb head. The xcb environment is used for exercises
that occur at the end of a chapter. Here it contains an example of a numbered list.
Exercises
(1) First item. In the case where in G there is a sequence of subgroups
G = G0, G1, G2, . . . , Gk = e
such that each is an invariant subgroup of Gi.
(2) Second item. Its action on an arbitrary element X = λαXα has the form
(1.7) [eαXα, X] = eαλβ [XαXβ ] = eαc
γ
αβλ
βXγ ,
(a) First subitem.
−2ψ2(e) = cδαγcγβδeαeβ .
(b) Second subitem.
(i) First subsubitem. In the case where in G there is a sequence of
subgroups
G = G0, G1, G2, . . . , Gk = e
such that each subgroup Gi+1 is an invariant subgroup of Gi and each
quotient group Gi+1/Gi is abelian, the group G is called solvable.
(ii) Second subsubitem.
(c) Third subitem.
(3) Third item.
Here is an example of a cite. See [A].
Teorema 1.19. This is an example of a theorem.
14 1. O PLANO ESTENDIDO
Figure 1. This is an example of a figure caption with text.
Figure 2
Teorema 1.20 (Marcus Theorem). This is an example of a theorem with a
parenthetical note in the heading.
1.5. Some more list types
This is an example of a bulleted list.
• Jg of dimension 3g − 3;
• E2g = {Pryms of double covers of C = with normalization of C hyper-
elliptic of genus g − 1} of dimension 2g;
• E21,g−1 = {Pryms of double covers of C = HP 1 with H hyperelliptic of
genus g − 2} of dimension 2g − 1;
• P2t,g−t for 2 ≤ t ≤ g/2 = {Pryms of double covers of C = C
′
C′′ with
g(C ′) = t− 1 and g(C ′′) = g − t− 1} of dimension 3g − 4.
This is an example of a ‘description’ list.
Zero case: ρ(Φ) = {0}.
Rational case: ρ(Φ) 6= {0} and ρ(Φ) is contained in a line through 0 with
rational slope.
Irrational case: ρ(Φ) 6= {0} and ρ(Φ) is contained in a line through 0 with
irrational slope.
1.5. SOME MORE LIST TYPES 15
e
Part 2
Func¸o˜es Holomorfas
CHAPTER 2
Holomorfia
2.1. Derivada Complexa
Seja Ω um domı´nio no plano complexo C. A varia´vel z tem partes real e ima-
gina´ria dadas respectivamente por x = (z + z¯)/2 e y = (z − z¯)/2i, ou seja, x e y
dependem naturalmente de z e de z¯ embora na˜o precisemos explicitar este fato.
Portanto uma func¸a˜o f : Ω → C com partes real u e imagina´ria v dependem
naturalmente de z e de z¯. Veremos agora como definir uma aproximac¸a˜o linear
infinitesimal de f em um ponto z, ou seja, como calcular uma derivada complexa
neste ponto. As func¸o˜es que possuem esta derivada complexa em todos os pontos
do seu domı´nio sa˜o chamadas de func¸o˜es holomorfas.
Adotaremos o mesmo procedimento para definir a derivada de uma func¸a˜o de
varia´vel real, ou melhor, olhando para C como corpo verificamos a existeˆncia do
limite do quociente de Newton. Dizemos que f e´ deriva´vel em um ponto z ∈ Ω se
existe o limite
lim
w→z
f(w)− f(z)
w − z
e caso exista tal limite o denotamos por f ′(z). A existeˆncia deste limite e´ equivalente
a dizer que o resto R(w) definido pela equac¸a˜o
f(w) = f(z) + f ′(z)(w − z) +R(w)
satisfaz
lim
w→z
R(w)
w − z = 0,
Existindo f ′(z) enta˜o podemos encontrar um δ > 0 tal que
|f(w)− f(z)| ≤ (1 + |f ′(z)|)|w − z|, |w − z| < δ,
o que mostra a continuidade de f em z.
Se tomarmos os caminhos particulares z(t) = z + t ou z(t) = z + it obtemos
que f tem derivadas parciais no ponto z e que sa˜o dadas por ∂xf(z) = f ′(z) e
∂yf(z) = if ′(z). Enta˜o
1
2 (∂x − i∂y)f(z) = f ′(z)
1
2 (∂x + i∂y)f(z) = 0
Portanto temos tres maneiras de calcular f ′(z) dadas pelas expresso˜es acima. A
segunda equac¸a˜o e´ conhecida como equac¸a˜o de Cauchy-Riemann e e´ satisfeita
por toda f que possui derivada. Se f = u + iv enta˜o esta equac¸a˜o transforma-se
19
20 2. HOLOMORFIA
em um sistema dado por
Equac¸o˜es de Cauchy-Riemann

ux = vy
uy = −vx
A existeˆncia de f ′(z) e a equac¸a˜o de Cauchy-Riemann garantem que como aplicac¸a˜o
do R2 f possui derivada e na˜o somente as derivadas parciais no ponto z. Com efeito,
seja f uma aplicac¸a˜o que possui derivadas parciais em um ponto z. Definimos os
operadores
∂ = 12 (∂x − i∂y)
∂¯ = 12 (∂x + i∂y)
A aproximac¸a˜o infinitesimal de f no ponto z em notac¸a˜ocomplexa e´ dada por
(2.1) f(w) = f(z) + ∂f(z)(w − z) + ∂¯f(z)w − z +R(w)
onde limR(w)/(w − z) = 0 desde que f seja diferencia´vel como aplicac¸a˜o do
R2. Portanto se existe f ′(z) temos ∂¯f(z) = 0 e a igualdade acima garante que
limw→z R(z)/(w − z) = 0, ou seja, f e´ diferencia´vel.
Observe que na˜o existe limw→z w − z/(w − z). Podemos escrever a igualdade
acima como
f(w)− f(z)
w − z − ∂f(z) = ∂¯f(z)
w − z
w − z +
R(z)
w − z
Portanto se f e´ diferencia´vel em z como aplicac¸a˜o do R2 temos que existe f ′(z) se e
so´ se ∂¯f(z) = 0. Resumindo, se f e´ diferencia´vel como aplicac¸a˜o do R2 enta˜o exite
f ′ se e so´ se as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann sa˜o satisfeitas. Tambe´m podemos
dizer que as func¸o˜es holomorfas sa˜o aquelas que na˜o dependem de z¯, ou ainda, sa˜o
constantes em relac¸a˜o a z¯.
Os operadores ∂ e ∂¯ satisfazem relac¸o˜es o´bvias de derivac¸a˜o como
∂f = ∂¯f¯ , ∂¯f = ∂f¯ .
Sa˜o va´lidas tambe´m as seguintes regras.
Lema 2.1. Sejam f, g e h func¸o˜es diferencia´veis tais que h = g ◦ f. Enta˜o
df = ∂fdz + ∂¯fdz¯(2.2)
∂h = ∂g(f)∂f + ∂¯g(f)∂f¯(2.3)
∂¯h = ∂g(f)∂¯f + ∂¯g(f)∂¯f¯(2.4)
Em particular se f e´ holomorfa enta˜o ω = fdz e´ uma 1-forma fechada. Ainda mais
se f, g sa˜o holomorfas e h = f ◦ g enta˜o h e´ holomorfa e vale
h′ = g′(f)f ′.
2.1. DERIVADA COMPLEXA 21
Proof. Tomemos a curva z(t) como z + tw para valores de t suficientemente
pequenos para obtermos uma curva dentro do domı´nio de f. Usando (2.1) obtemos
Df(z)(w) = lim
t→0
f(z + tw)− f(z)
t
(2.5)
= ∂fw + ∂fw¯ + lim
t→0
R(z + tw)
t
(2.6)
= ∂fw + ∂fw¯(2.7)
onde Df significa a derivada como aplicac¸a˜o do R2. Portanto vale a primeira ex-
pressa˜o do lema. As outras duas expresso˜es sa˜o a regra da cadeia na notac¸a˜o
complexa. Quando f e g sa˜o holomorfas obtemos ∂¯h = 0 e ∂h = ∂g(f)∂f como
queriamos demonstrar. �
A func¸a˜o |z|2 = zz¯ satisfaz ∂¯|z|2 = z e portanto e´ holomorfa somente na origem.
Os operadores ∂ e ∂¯ funcionam como derivadas no espac¸o das func¸o˜es diferencia´veis
e obedecem as regras de derivac¸a˜o. Por exemplo, ∂¯(fg) = ∂¯fg+ f∂¯g, o que mostra
que se f e g sa˜o holomorfas enta˜o o produto e´ uma fucc¸a˜o holomorfa. Alem disso
(fg)′ = f ′g + fg′.
Tambe´m obtemos que f ± g sa˜o holomorfas e f/g e´ holomorfa nos pontos onde
g 6= 0. Suas derivadas sa˜o
(f ± g)′ = f ′ ± g′, (1/g)′ = −g′/g2.
Toda func¸a˜o constante e´ holomorfa e possui derivada identicamente nula. Quando
f esta´ definida sobre um aberto conexo e f ′ = 0 enta˜o f e´ constante pois se z(t) e´
uma curva C∞ ligando z0 e z1 dentro do domı´nio enta˜o
d
dt
f(z(t)) = ∂f(z(t))z′(t) = 0.
Como f(z(t)) e´ uma curva C∞ temos f(z1)− f(z0) =
∫
d
dtf(z(t))dt = 0 provando
que f e´ constante. Portanto, se o domı´nio de f e´ conexo enta˜o f ′ ≡ 0 e´ equivalente
a dizer que f e´ constante.
Se aplicarmos os operadores ∂ e ∂¯ em func¸o˜es duas veˆzes diferencia´veis O
teorema de Schwarz diz que as derivadas mistas ∂x∂y e ∂y∂x de uma func¸aˆo duas
veˆzes diferencia´vel sa˜o iguais. Sobre o espac¸o das func¸o˜es duas veˆzes diferenciaveis
teremos
∂∂¯ = ∂¯∂ =
1
4
(∂2x + ∂
2
y)
ou melhor 4∂¯∂ = 4 onde 4 e´ o laplaciano do plano. Para vermos como e´ grande o
nu´mero de func¸o˜es holomorfas observe o seguinte. Se u : Ω→ R e´ harmoˆnica enta˜o
4∂¯(∂u) = 4u = 0 donde segue-se que ∂u e´ uma func¸a˜o holomorfa.
Exemplos desta natureza na˜o sa˜o excec¸a˜o. Existe um estreito relacionamento
entre func¸o˜es holomorfas e func¸o˜es harmoˆnicas. Seja f = u + iv uma func¸a˜o duas
vezes diferencia´vel. Se f e´ holomorfa enta˜o 4f = 4∂∂¯f = 0 donde 4u = 4v = 0,
ou seja, as partes real e imagina´ria de f sa˜o harmoˆnicas. Neste caso chamamos u
e v de harmoˆnicas conjugadas.
Lema 2.2. Seja Ω um domı´nio e u : Ω → R uma func¸a˜o harmoˆnica. Dado
z0 ∈ Ω e B(z0, δ) ⊂ Ω existe uma func¸a˜o harmoˆnica v : B(z0, δ) → R conjugada a
u, isto e´, v e´ tal que f = u + iv e´ holomorfa. Em particular se Ω e´ simplesmente
conexo enta˜o v esta´ definida em todo Ω.
22 2. HOLOMORFIA
Proof. A 1-forma ω = −uydx+ uxdy e´ fechada pois dω = (4u)dx ∧ dy = 0.
Pelo corola´rio (1.7) existe v : B(z0, δ) → R tal que dv = ω, ou seja, vx = −uy e
vy = ux. Portanto f := u + iv e´ holomorfa. Se Ω e´ simplesmente conexo enta˜o f
esta´ definida em Ω pelo mesmo corola´rio. �
Corola´rio 2.3. Toda func¸a˜o harmoˆnica u : C → R e´ parte real de uma
aplicac¸a˜o holomorfa f : C→ C.
Lema 2.4. Seja u : Ω→ R uma func¸a˜o harmoˆnica com singularidades isoladas
definida em um domı´nio. Se a 1-forma complexa ∂udz e´ tal que
∫
γ
∂udz = 0 para
todo caminho fechado γ em Ω na˜o passando nas singularidades de u enta˜o existe
uma func¸a˜o holomorfa f : Ω→ C tal que u e´ a parte real de f e f ′ = 2∂u.
Proof. Por hipo´tese a func¸a˜o f(z) = 2
∫ z
z0
∂udz esta´ bem definida e e´ C1.
Enta˜o
f(z + w)− f(z)− w2∂u(z) = 2
∫ z+w
z
(∂u(ζ)− ∂u(z))dζ(2.8)
donde
|f(z + w)− f(z)− w2∂u(z)| ≤ 2|w| sup
ζ∈[z,z+w]
|∂u(ζ)− ∂u(z)|.(2.9)
e a continuidade de ∂u prova ser f holomorfa possuindo a derivada indicada. �
Examplo 2.5. Seja f : Ω→ C uma aplicac¸a˜o anal´ıtica. Em cada ponto z0 ∈ Ω
existe um nu´mero R tal que
f(z) =
∑
aj(z − z0)j , |z − z0| < R,
sendo R o raio de convergeˆncia da se´rie. A se´rie
∑
nan(z− z0)n−1 possui o mesmo
raio de convergeˆncia pois lim sup(n+ 1)1/n|an+1|1/n = lim sup |an|1/n uma vez que
lim(n+ 1)1/n = 1. Por simplicidade podemos tomar z0 = 0. Tomemos |z| < r < R
e δ = r − |z|. Estas duas sries convergem uniformemente para |w| ≤ δ. Se |w| ≤ δ
enta˜o
|f(z + w)− f(z)− w∑nanzn−1| = |∑ an [(w + z)n − zn − nwzn−1|]
≤ |w|∑n |an|∑n−1j=0 | [(w + z)n−1−j − zn−1−j] zj |
≤ |w|2∑n(n− 1)2|an|rn−1
≤ K|w|2
onde K =
∑
n(n− 1)2|an|rn−1 e´ uma constante pois esta se´rie converge absoluta-
mente. Portanto existe f ′ e e´ dado pela se´rie
f ′(z) =
∑
nan(z − z0)n−1, |z − z0| < R.
Continuando este processo encontramos que f possui todas as derivadas e elas sa˜o
holomorfas e anal´ıticas dadas por
f (n)(z) =
∑
j>n
j(j − 1) · · · (j − n)an(z − z0)j−n, |z − z0| ≤ R.
Em particular o raio de convergeˆncia desta se´rie e´ o mesmo da expansa˜o de F em
torno de z0 e os coeficientes sa˜o dados por
an =
1
n!
f (n)(z0), n ≥ 0,
garantindo a unicidade dos an.
EXERCI´CIOS 23
Todas as func¸o˜es nos exerc´ıcios abaixo sa˜o de classe pelo menos C2 como
aplicac¸o˜es do R2.
EXERCI´CIOS
(1) Seja f : Ω→ C holomorfa e Ω um domı´nio. Se |f | e´ constante mostre que f e´
constante.
(2) Mostre que a func¸a˜o f(z) = |z|2 e´ holomorfa somente na origem.
(3) Mostre que se f : C→ C e´ holomorfa e real enta˜o f e´ constante.
(4) Mostre que se f e´ holomorfa enta˜o log |f | e´ harmoˆnica nos pontos onde f e´
diferente de zero.
(5) Seja f : Ω → C uma aplicac¸a˜o diferencia´vel. Em cooordenadas polares temos
z = reiθ e f˜(r, θ) = f(reiθ). Deduza:
(a)  r∂r = z∂ + z¯∂¯
∂θ = iz∂ − iz¯∂¯
ou
 ∂ =
1
z (r∂r − i∂θ)
∂¯ = 1z¯ (r∂r + i∂θ)
(b) As equac¸o˜es de Cauchy-Riemann em coordenadas polares
(c) A expressa˜o do laplaciano em coordenadas polares.
(6) Seja f : Ω→ C holomorfa. Mostre que
(a) Vista como aplicac¸a˜o do R2 temos df(z)w = wf ′(z), ou seja, f e´ uma
aplicac¸a˜o linear conforme.
(b) f preserva aˆngulo entre curvas diferencia´veis.
(c) O determinante da matriz jacobiana de f em um ponto z ∈ Ω e´ dado
por |f ′(z)|2.
(d) Se f ′(z) 6= 0 enta˜o f e´ um difeomorfismo em vizinhanc¸a de z e sua
inversa local g e´ tambe´m holomorfa. Alem disso g′(f(z)) = 1/f ′(z).
(e) Mostre que log(z) e´ holomorfa e que log′(z) = 1/z.
24 2. HOLOMORFIA
2.2. Primeiro Resultado de Regularidade: Analiticidade de Func¸o˜es
Holomorfas
As func¸o˜es holomorfas possuem propriedades muito fortes. A existeˆncia da
derivada complexa implica na analiticidade da func¸a˜o, e´ o que provaremos agora.
Resultados deste tipo na˜o sa˜o va´lidos para func¸o˜esreais onde cada classe de difer-
enciabilidade e´ pro´pria. Entretanto todas as func¸o˜es holomorfas possuem a mesma
classe de diferenciabilidade.
Teorema 2.6. Toda func¸a˜o f : Ω → C holomorfa em todos os pontos de Ω e´
anal´ıtica.
Proof. Seja f : Ω→ C uma aplicac¸a˜o que possui derivada complexa em todos
os pontos de Ω. Sabemos que f e´ cont´ınua o que garante a continuidade da 1-forma
complexa ω = fdz. Mostremos primeiro que
∫
γ
fdz = 0 sendo γ a fronteira de
um retaˆngulo R ⊂ Ω de lados com comprimentos a e b e diagonal ρ = √a2 + b2 e
per´ımetro l = 2(a + b). Adotaremos o seguinte processo: dividimos R em quatro
retaˆngulos congruentes tomando o ponto me´dio de cada lado. Chamamos de R1
ao retaˆngulo desta subdivisa˜o tal que o valor absoluto | ∫
γ1
fdz| e´ o maior poss´ıvel
sendo γ1 a fronteira de R1. Enta˜o∣∣∣∣∫
γ
fdz
∣∣∣∣ ≤ 4 ∣∣∣∣∫
γ1
fdz
∣∣∣∣
e o comprimento `(γ1) = l/2 e o diaˆmetro diam(γ1) = ρ/2. Na etapa n-e´sima
obtemos ∣∣∣∣∫
γ
fdz
∣∣∣∣ ≤ 4n ∣∣∣∣∫
γn
fdz
∣∣∣∣
e o comprimento `(γn) = l/2n e o diaˆmetro diam(γn) = ρ/2n. Como Rn ⊃ Rn+1 e
limdiam(Rn) = 0 temos ∩Rn = {z0}. A diferenciabilidade de f garante que para
cada � > 0 existe um δ > 0 tal que |f(z)− f(z0)− f ′(z0)(z − z0)| < �|z − z0| desde
que |z − z0| < δ. Tomemos n tal que ρ/2n < δ. Como z0 ∈ Rn e diam(Rn) < δ
segue-se que Rn ⊂ B(z0, δ). Enta˜o
| ∫
γ
fdz| ≤ 4n| ∫
γn
(f(z)− f(z0)− f ′(z0)(z − z0))dz|
≤ 4n� ∫
γn
|z − z0||dz|
≤ 4n�`(γn)diam(Rn)
< lρ�
para cada � > 0. Segue-se que
∫
∂R
f(z)dz = 0 para cada retaˆngulo R ⊂ Ω.
Tomemos z0 ∈ Ω e r > 0 tal que B(z0, r) ⊂ Ω. Dado z, |z − z0| < r, existe um
retaˆngulo R ⊂ B(z0, r) com ve´rtices opostos em z0 e z. Defina F : B(z0, r) → C
por F (z) :=
∫
γ
f(z)dz onde γ e´ formado por quaisquer dos dois lados da fronteira
de R ligando z0 e z. Segue-se de
∫
∂R
f(z)dz = 0 que F esta´ bem definida e pode-
mos escrever simplesmente F (z) =
∫ z
z0
f(z)dz subentendendo que a integral e´ feita
seguindo os lados da fronteira do retaˆngulo definido por z0 e z. Pela continuidade
de f em z para cada � > 0 existe δ, 0 < δ < r − |z − z0|, tal que |f(w)− f(z)| < �
2.2. PRIMEIRO RESULTADO DE REGULARIDADE: ANALITICIDADE DE FUNC¸O˜ES HOLOMORFAS25
desde que |w − z| < δ. Enta˜o∣∣∣F (w)−F (z)w−z − f(z)∣∣∣ = ∣∣∣ 1w−z ∫ wz (f(w)− f(z))dw∣∣∣
≤ � 1|w−z|
∫ w
z
|dw|
≤ 2�
donde existe F ′(z) = f(z), ou seja, F e´ holomorfa e de classe C1. Em particular
podemos aplicar o teorema de Stokes a Fdz o que na˜o podemos fazer em princ´ıpio
com fdz. Admita que o fecho de B(z0, r) ainda esta´ contida em Ω. Dado z ∈ B(z0, r)
e � > 0 existe δ, 0 < δ < r−|z− z0|, tal que |F (w)−F (z)| < � se |w− z| < δ. Enta˜o
aplicando Stokes e usando que Fdz e´ fechada temos∣∣∣∫|w−z0|=r F (w)w−z dw − 2piiF (z)∣∣∣ = ∣∣∣∫|w−z|=δ/2 F (w)−F (z)w−x dw∣∣∣
≤ 2pi�
Portanto vale a expressa˜o
(2.10) F (z) =
1
2pii
∫
|w−z|=r
F (w)
w − z dw
conhecida como fo´rmula integral de Cauchy. Ja´ sabemos que
1
w − z =
1
w − z0
1
1− z−z0w−z0
(2.11)
=
∞∑
n=0
(z − z0)n
(w − z0)n+1(2.12)
e esta se´rie converge absolutamente para |z − z0| < |w − z0|. Portanto
(2.13) F (z) =
∞∑
n=0
(
1
2pii
∫
|w−z0|=r
F (w)
(w − z0)n+1 dw
)
(z − z0)n
provando a analiticidade de F e portanto a de f = F ′ segundo o exemplo anterior
ao teorema. �
Corola´rio 2.7. Se f : Ω → C e´ holomorfa e γ ⊂ C e´ uma curva fechada
homoto´pica a uma constante enta˜o∫
γ
f(z)dz = 0.
Proof. Tome F uma homotopia entre γ e uma curva constante. Pelo teorema
f e´ anal´ıtica e portanto a 1-forma complexa fdz e´ de classe C1 e fechada. O
resultado segue-se aplicando-se o corola´rio do teorema de Stokes. �
Corola´rio 2.8. Seja Ω um domı´nio e f : Ω→ C holomorfa. Existe um ponto
de acumulac¸a˜o de zeros de f em Ω se e so´ se f e´ identicamente nula. Em particular
se f na˜o e´ identicamente nula todos os seus zeros sa˜o isolados. Precisamente, se
z0 e´ um zero de uma func¸a˜o holomorfa na˜o nula definida em um domı´nio enta˜o
existem n0 > 0 inteiro, δ > 0 e Q(z), |z − z0| ≤ δ, holomorfa zem zeros tais que
f(z) = (z − z0)nQ(z), |z − z0| ≤ δ.
26 2. HOLOMORFIA
Proof. Seja f(z) =
∑
an(z − z0)n, |z − z0| ≤ r. Por definic¸a˜o os coeficientes
an sa˜o func¸o˜es cont´ınuas de z0. Enta˜o o conjunto
X = ∩n≥0{z|an(z) = 0}
e´ fechado em Ω. Este conjunto e´ claramente um aberto pois se an(z0) = 0,∀n,
teremos f ≡ 0 em B(z0, r) donde an(z) ≡ 0, |z − z0| ≤ r/2. Portanto X e´ um
aberto e fechado de Ω. Por outro lado, se z0 e´ um zero de f enta˜o pelo menos
a0(z0) = 0. Seja n0 o maior dos n′s tais que aj(z0) = 0, 0 ≤ j ≤ n0 e an0+1(z0) 6= 0.
A se´rie
∑
n>n0
an(z−z0)n−n0 tem o mesmo raio de convergeˆncia e define uma func¸a˜o
holomorfa Q(z), |z − z0| ≤ r, que podemos afirmar na˜o anular-se para |z − z0| ≤
δ ≤ r, uma vez que Q(z0) = an0+1(z0) 6= 0. Esta situac¸a˜o ocorre se e so´ se o zero z0
de f e´ isolado. Portanto se existe um ponto de acumulac¸a˜o z0 de zeros de f em Ω
enta˜o na˜o existe tal n0 e teremos z0 ∈ X, ou seja, X 6= ∅. A conexidade de Ω enta˜o
garante X = Ω como queriamos demonstrar. �
Os pro´ximos dois resultados sa˜o esco´lios da demonstrac¸a˜o do primeiro teorema
de regularidade. Vamos destaca-los como lemas devido a sua importaˆncia. Sa˜o a
base de todas as te´cnicas prima´rias em varia´veis complexas.
Lema 2.9 (Fo´rmula Integral de Cauchy). Seja f : Ω → C uma aplicac¸a˜o
holomorfa, z0 ∈ Ω e R = dist(z0,Ωc). Enta˜o
f (n)(z) =
n!
2pii
∫
|w−z0|=r
f(w)
(w − z)n+1 dw(2.14)
0 < r < R e f(z) =
∑
an(z−z0)n, |z−z0| < R, onde f (n)(z0) = n!an. Alem disso,
se γ e´ uma curva fechada em Ω homoto´pica a uma circunfereˆncia Cr(z) : |w−z| = r
dando m voltas em torno de z enta˜o
mf (n)(z) =
n!
2pii
∫
γ
f(w)
(w − z)n+1 dw(2.15)
Em particular a u´ltima fo´rmula vale para toda curva de Jordan γ em Ω, C1 por
partes, homoto´pica a uma curva constante e z ∈ γ∗, sendo γ∗ o disco limitado por
γ.
Seja Ω um domı´nio no plano complexo e ρ : Ω → C a func¸a˜o distaˆncia a
fronteira
(2.16) ρ(z) := inf{|z − w| |w ∈ Ωc}
Definindo Ωr; = {z ∈ Ω | |z| ≤ 1/r, ρ(z) ≥ r > 0} temos int(Ωs) ⊃ Ωr, s < r, e
Ω = ∪r>0Ωr. Independente de Ω ser limitado cada Ωr, r > 0, e´ compacto. Toda
func¸a˜o holomorfa f : Ω→ C possui
(2.17) Mf (r) := sup{|f(z)| | z ∈ Ωr}
finito. Temos enta˜o a seguinte estimativa para f e suas derivadas f (n) :
Lema 2.10 (Estimativas de Cauchy).
(2.18) |f (n)(z)| ≤ n!Mf (λr)
(1− λ)nrn ,∀z ∈ Ωr, 0 < λ < 1.
Se Ω = C estas estimativas tornam-se
(2.19) |f (n)(z) ≤ n!
rn
sup
|w−z|=r
|f(w)|, ∀z ∈ C.
2.2. PRIMEIRO RESULTADO DE REGULARIDADE: ANALITICIDADE DE FUNC¸O˜ES HOLOMORFAS27
Proof. Se o disco B(z, r) tem seu fecho contido em Ω enta˜o a fo´rmula integral
de Cauchy nos da´
|f (n)(z)| ≤ n!
2pi
∫
|w−z|=r
|f(w)|
|w − z|n+1 |dw|(2.20)
≤ n!
rn
sup
|w−z|=r
|f(w)|(2.21)
o que prova a segunda desigualdade. Para a primeira observe que se z ∈ Ωr
enta˜o o fecho do disco B(z, (1−λ)r) esta´ contido em Ω(1−λ)r e 0 resultado segue-se
da desigualdade anterior. �
Vejamos aplicac¸o˜es destas estimativas. A primeira delas sera´ o famoso teorema
de Liouville. Uma func¸a˜o holomorfa definida em C e´ chamada de func¸a˜o inteira.
Teorema 2.11 (Liouville). Toda func¸a˜o inteira limitada e´ constante.
Proof. Seja f : C → C holomorfa e M > 0 tal que |f(z)| ≥ M,∀z. As
estimativas de Cauchy do Corola´rio (2.10) nos da˜o |f ′(z)| ≤ M/r, r = |w − z|.
Fazendo r →∞ obtemos que f ′ ≡ 0 e portanto f e´ constante. �
Todo polinoˆmio satisfaz |P (z)| ≤ (∑nj=0 |aj |)|z|n,∀|z| ≥ 1, mostrando ter um
crescimento controlado por uma poteˆncia finita de |z|. Relatamos isto dizendo que
P (z) tem crescimento polinomial, o que faz sentido pois toda func¸a˜o inteira com
crescimento polinomial e´ de fato um polinoˆmio.
Teorema 2.12. Seja f uma func¸a˜o inteira tal que |f(z)| ≤ M |z|n,∀|z| ≥ r0,onde M e´ uma constante. Enta˜o f e´ um polinoˆmio.
Proof. Seja an os coeficientes do desenvolvimento de Taylor de f em torno
da origem. As estimativas de Cauchy nos d
|am| ≤ m!M |z|n−m, |z| ≥ r0.
Fazendo |z| convergir ao infinito obtemos am = 0,∀m > n, provando que o desen-
volvimento de Taylor tem somente finitos termos possivelmente na˜o nulos. �
Teorema 2.13 (Teorema Fundamental da Algebra). Se P (z) = a0 + a1z +
· · ·+ anzn, n ≥ 1, enta˜o existem z1, · · · , zn tais que P (z) = an(z − z1) · · · (z − zn).
Proof. Se z1 e´ uma raiz de P (z) enta˜o z− z1 divide o polinoˆmio o que nos da´
a decomposic¸a˜o acima desde que P (z) tenha n raizes provavelmente com multiplici-
dade. Suponha enta˜o que P (z) 6= 0,∀z, e que n ≥ 1. A func¸a˜o inteira f(z) = 1/P (z)
satisfaz limz→∞ f(z) = 0, ou seja, f e´ limitada. Pelo teorema de Liouville f e´ con-
stante e na˜o podemos ter n ≥ 1, provando o resultado. �
Teorema 2.14 (Teorema do Mo´dulo Ma´ximo). Seja f : Ω → C uma func¸a˜o
holomorfa definida em um domı´nio Ω. Se |f |; Ω → R assume um ma´ximo local
enta˜o f e´ constante.
28 2. HOLOMORFIA
Proof. Seja z0 um ponto onde |f | assume um ma´ximo local. Seja δ > 0 tal
que |f(z)| ≤ |f(z0)|, |z − z0| < δ. Pela fo´rmula integral de Cauchy temos
|f(z0)| =
∣∣∣∣∣ 12pii
∫
|z−z0|=r
f(z)
z − z0 dz
∣∣∣∣∣ , 0 < r ≤ δ(2.22)
≤ 1
2pi
∫ 2pi
0
|f(reiθ|dθ ≤ |f(z0)|(2.23)
Enta˜o
2pi|f(z0)| =
∫ 2pi
0
|f(reiθ|dθ
ou ainda ∫ 2pi
0
(|f(z0)| − |f(reiθ|)dθ = 0
Como o integrando e´ na˜o negativo e cont´ınuo obtemos que |f(z)| e´ constante em
B(z0, δ). Como f ′f¯ = ∂|f |2 = 0 teremos necessariamente que f e´ constante nesta
bola. Segue-se da analiticidade e conexidade de Ω que f e´ constante. �
O desenvolvimento
f(z) =
∑
an(z − z0)n,
an = 1n!f
(n)(z0)
= 12pii
∫
|w−z0|=r
f(w)
(w−z0)n+1 dw,
sendo |z − z0| < r < dist(z0,Ωc), e´ chamado de desenvolvimento de Taylor
de f em torno de z0. O desenvolvimento de Taylor so´ existe quando a func¸a˜o e´
holomorfa em todo o disco contido em seu domı´nio. Entretanto se estivermos em
torno de uma singularidade da func¸a˜o este desenvolvimento na˜o pode ser calculado
pelo menos como aplicac¸a˜o da fo´rmula integral de Cauchy. Mesmo assim podemtos
ter um desenvolvimento em torno de uma singularidade de uma func¸a˜o holomorfa
aparecendo entretanto termos com poteˆncia negativa do tipo (z − z0)−n. Estes
desenvolvimentos sa˜o chamados de desenvolvimento de Laurent de f . Seja f :
Ω→ C holomorfa com singularidades. Admita que o anel ArR = {z | r ≤ |z−z0| ≤
R} esta´ contido em Ω e que f na˜o tem singularidades sobre ele. Se z ∈ ArR podemos
construir uma curva fechada γ ⊂ ArR conectando as duas circunfereˆncias Cr(z0) e
CR(z0) por um segmento de ra´io percorrido duas vezes em sentidos contra´rios com
z ∈ γ∗. Pela fo´rmula integral de Cauchy temos
f(z) =
1
2pii
∫
γ
f(w)
w − z dw(2.24)
=
1
2pii
∫
CR
f(w)
w − z dw −
1
2pii
∫
Cr
f(w)
w − z dw(2.25)
2.2. PRIMEIRO RESULTADO DE REGULARIDADE: ANALITICIDADE DE FUNC¸O˜ES HOLOMORFAS29
As func¸o˜es gr(z) e gR(z) definidas por
gR(z) =
1
2pii
∫
CR
f(w)
w − z dw, z ∈ DR(2.26)
gr(z) = − 12pii
∫
Cr
f(w)
w − z dw, z ∈ Ar(2.27)
onde DR = {w | |w− z0| < R} e´ o disco limitado por CR e Ar = {w | |w− z0| > r}
e´ o anel infinito limitado por Cr sa˜o holomorfas e satisfazem
f(z) = gR(z) + gr(z), z ∈ DR ∩Ar.(2.28)
Elas admitem desenvolvimentos dados por
gR(z) =
1
2pii
∫
CR
f(w)
w − z0
1
1− z−z0w−z0
dw,(2.29)
=
∑
n≥0
an(z − z0)n, |z − z0| < R(2.30)
gr(z) =
1
2pii
∫
CR
f(w)
1− w−z0z−z0
1
z − z0 dw,(2.31)
=
∑
n≥0
a−(n+1)(z − z0)−(n+1), |z − z0| > r(2.32)
onde os an, n ∈ Z, sa˜o dados por
an =
1
2pii
∫
CR
f(w)
(w − z0)n+1 dw, n ∈ Z, n ≥ 0,(2.33)
a−n =
1
2pii
∫
Cr
f(w)(w − z0)ndw, n ∈ Z, n ≥ 1.(2.34)
Seja M = sup|w−z0|=r |f(w)|. Enta˜o se λ = |w − z0| > r temos |a−n| ≤ Mrn+1 e
obtemos a seguinte estimativa
|gr(z)| ≤ rM
∑
n≥1
(
r
|z − z0|
)n
(2.35)
= M
r2
|z − z0| − r , |z − z0| > r,(2.36)
Portanto
(2.37) lim
z→∞ gr(z) = 0.
A expressa˜o de f(z), z ∈ ArR, e´ conhecida como desenvolvimento de Laurent
de f em ArR. Este desenvolvimento e´ u´nico se impusermos a condic¸a˜o (2.37).
Teorema 2.15 (Desenvolvimento de Laurent). Seja f : Ω → C holomorfa
e ArR ⊂ Ω. Sejam g : Ar → C e h : DR → C aplicac¸o˜es holomorfas tais que
f(z) = g(z) + h(z),∀z ∈ ArR, onde g satisfaz limz→∞ g(z) = 0. Enta˜o g = gr e
h = gR, ou seja, o desenvolvimento de Laurent e´ u´nico satisfazendo esta condic¸a˜o.
30 2. HOLOMORFIA
Proof. Defina F : C→ C por F (z) = g(z)− gr(z), z ∈ Ar, e F (z) = gR(z)−
h(z), z ∈ DR. Segue-se de g(z) + h(z) = gr(z) + gR(z), s ∈ ArR = Ar ∩ DR, que
F esta´ bem definida e e´ holomorfa, ou melhor, e´ uma func¸a˜o inteira. Por hipo´tese
temos limz→∞ F (z) = 0 donde segue-se que F e´ limitada. Pelo teorema de Liouville
segue-se que F e´ constante. E sendo F zero no infinito segue-se que esta constante
e´ nula, provando o resultado. �
Seja z0 ∈ Ω uma singularidade isolada de uma func¸a˜o holomorfa singular
f : Ω → C. E´ poss´ıvel termos va´rios aneis fechados A1, A2, · · · contidos em Ω e
centrados em z0 com singularidades de f entre eles separando-os. O teorema acima
mostra que o desenvolvimento de Laurent e´ u´nico em cada anel mas mudara´ se
mudarmos de anel. Seja ArR ⊂ B(z0, δ) onde z0 e´ a u´nica singularidade de f nesta
bola. Enta˜o podemos fazer r → 0 e os coeficientes negativos na˜o mudaram, sa˜o
indenpendentes de r. Em particular temos∫
|z−z0|=λ
f(z)dz = 2piia−1
e este nu´mero a−1 e´ conhecido como o res´ıduo de f em z0 e denotado por
Resid{f, z0}. Portanto
Resid{f, z0} = 12pii
∫
|z−z0|=λ
f(z)dz, 0 < λ < δ.
Devemos ter cuidado pois o termo a−1 de outros desenvolvimentos de Laurent
poss´ıvelmente na˜o e´ o res´ıduo em z0.
EXERCI´CIOS
(1) Mostre que toda func¸a˜o harmoˆnica limitada superiormente ou inferiormente
definida globalmente no plano e´ constante.
(2) Encontre os va´rios desenvolvimentos de Laurent para f(z) = 1/[z(z−1)(z−2)]
em torno da origen. Qual e´ o res´ıduo de f na origem?
(3) Forma local das func¸o˜es holomorfas. Seja f : Ω → C holomorfa com
f(z0) = w0.
(a) Mostre que para δ > 0 pequeno existe uma func¸a˜o holomorfaQ(z), |z−
z0| < δ, sem zeros tal que f(z) = [(z − z0)Q(z)]n + w0, |z − z0| < δ.
(b) Existe um difeomorfismo holomorfo φ : B(0, �) → B(z0, δ) tal que
f(φ(w)) = wn + w0.
(c) Deduza que localmente o nu´mero de pontos na pre-imagem de f e´
constante a menos de multiplicidade.
O nu´mero n− 1 e´ chamado de ramificac¸a˜o de f em z0. A ramificac¸a˜o e´ zero
se e so´ se f e´ homeomorfismo em vizinhanc¸a de z0.
(4) Mostre que e´ poss´ıvel termos um mı´nimo em Ω para |f |, f : Ω→ C holomorfa,
sem que f seja constante. Que condic¸o˜es devemos impor sobre f para termos
um ”princ´ıpio do mo´dulo mı´nimo”?
(5) Seja f uma func¸a˜o inteira e Ωc = {z| |f(z)| ≤ c}, c > 0. Mostre que se f na˜o
e´ identicamente nula enta˜o f tem pelo menos um zero em cada componente
conexa compacta de Ωc.
(6) Use o exerc´ıcio anterior para provar o teorema fundamental da a´lgebra.
2.3. SEGUNDO RESULTADO DE REGULARIDADE 31
2.3. Segundo Resultado de Regularidade
Com a hipo´tese adicional que f : Ω → C e´ cont´ınua podemos exigir menos
quanto a existeˆncia de derivada complexa e ainda ganhar a analicidade de f. Um
resultado cla´ssico garante que se existe a derivada complexa fora da unia˜o de um
nu´mero finito de retas e f e´ cont´ınua enta˜o f e´ de fato holomorfa. Veremos isto em
uma situac¸a˜o um pouco mais geral. Toda func¸a˜o cont´ınua e holomorfa a menos de
um fechado com medida de Lebesgue nula e´ de fato holomorfa. As singularidades
sobre este conjunto sa˜o todas remov´ıveis.
Teorema 2.16. Seja Ω um domı´nio e X um subconjunto fechado com medida
de Lebesgue nula. Se f : Ω → Ce´ cont´ınua e existe f ′(z),∀z ∈ Ω \ X, enta˜o f e´
anal´ıtica complexa em Ω.
Proof. Seja R0 ⊂ Ω um retaˆngulo fechado com per´ımetro λ e o compacto
K := R0 ∩X. Seja M tal que |f(z)| ≤M,∀z ∈ R0, � > 0 e �′ = �/2(2M +1)(λ+1).
Sendo f uniformemente cont´ınua em R0 existe δ > 0 tal que |f(z) − f(w)| < �′
se |z − w| < δ, z, w ∈ R0, onde δ ≤ �′. Sendo K compacto com medida nula
existem finitos retaˆngulos abertos A1, · · · , An, onde Aj tem lados aj , bj , tais que
K ⊂ A = ∪Aj e
∑
ajbj < δ
2. Seja P uma partic¸a˜o de R0 refinando {Aj}, ou seja,
as projec¸o˜es dos ve´rtices dos A′js sobre os lados de R0 fazem parte da partic¸a˜o P e
cada A¯j e´ unia˜o finita de retaˆngulos Rk determinados por P. Dividimos os ı´ndices
de P em dois conjuntos I e J sendo I o conjunto dos ı´ndices tais que os retaˆngulos
R′js na˜o tocam A e J o conjunto dos ı´ndices onde Rj ⊂ A¯. Pelo primeiro resultado
de regularidade temos ∫
∂Rj
f(z)dz = 0, j ∈ I.
Tomemos agora Rj , j ∈ J, com os ve´rtices dados por pj , pj+vj , pj+wj , pj+vj+wj ,
onde aj = |vj | e bj = |wj |. As parametrizac¸o˜es dos lados de Rj podem se dadas
por αj(t) = pj + tvj , wj + αj(t), βj(t) = pj + twj e vj + βj(t). Para cada Rj , j ∈ J,
na˜o podemos ter ambos aj ≥ δ e bj ≥ δ. Dividiremos enta˜o J em dois conjuntos J1
quando ambos aj , bj < δ e J2 quando ou aj ≥ δ ou bj ≥ δ. Temos enta˜o∫
∂Rj
f(z)dz =
∫ 1
0
(f(αj(t))−f(wj+αj(t)))vjdt+
∫ 1
0
(f(vj+βj(t))−f(βj(t)))wjdt
de onde segue-se ∣∣∣∣∣
∫
∂Rj
f(z)dz
∣∣∣∣∣ ≤
 �
′(aj + bj), j ∈ J1
2Maj + �′bj , bj ≥ δ
2Mbj + �′aj , aj ≥ δ
Observe que
∑
(aj + bj) ≤ λ/2 e que c =
∑
j∈J2 aj +
∑
j∈J2 bj < δ se escolhemos
em cada somato´rio justamente o termo menor que δ pois cδ ≤ ∑j∈J2 ajbj < δ2.
Enta˜o ∣∣∣∫∂R0 f(z)dz∣∣∣ = ∣∣∣∑j∈I ∫∂Rj f(z)dz +∑j∈J ∫∂Rj f(z)dz∣∣∣
≤
∣∣∣∑j∈J1 ∫∂Rj f(z)dz +∑j∈J2 ∫∂Rj f(z)dz∣∣∣
≤ λ�′ + 2Mδ
< �
32 2. HOLOMORFIA
para todo � > 0. Portanto
∫
∂R0
f(z)dz = 0 e o resto da demonstrac¸a˜o segue-se como
na prova do primeiro resultado de regularidade. �
Sendo as func¸o˜es harmoˆnicas parte real de uma func¸a˜o holomorfa, pelo menos
localmente, obtemos um resultado de regularidade para estas func¸o˜es.
Corola´rio 2.17. Seja u : Ω → R uma func¸a˜o de classe C1 que satisfaz a
equac¸a˜o 4u = 0 em Ω\X. Se X e´ um fechado com medida nula enta˜o u e´ anal´ıtica
real em Ω e harmoˆnica.
A demonstrac¸a˜o segue-se do teorema aplicado a f = ∂u pois 4u(z) = 4∂¯f(z)
quando z ∈ Ω \X.
Corola´rio 2.18. Seja f : Ω → C uma aplicac¸a˜o cont´ınua definida em um
domı´nio Ω do plano complexo e L a unia˜o de um nu´mrero finito de retas e imagens
de curvas C1 por partes e compactas. Se f e´ holomorfa em Ω\L enta˜o f e´ holomorfa
em Ω.
Proof. O teorema de Sard garante que a imagem no R2 de um intervalo
compacto por uma aplicac¸a˜o C1 tem medida de Lebesgue zero. Como L e´ formado
por um nu´mero finito de retas e um nu´mero tambe´m finito de imagem de curvas de
classe C1 definidas em intervalos compactos segue-se que L e´ fechado e tem medida
nula. �
Corola´rio 2.19. Se f e´ limitada em torno de uma singularidade isolada z0
enta˜o f estende-se analiticamente a z0, ou seja, esta singularidade e´ remov´ıvel.
Proof. Se f e´ limitada em torno de z0 enta˜o a func¸a˜o g(z) = (z − z0)f(z) e´
cont´ınua e holomorfa fora de z0. Pelo teorema g e´ holomorfa e teremos limz→z0 f(z) =
g′(z0), ou seja, f estende-se cont´ınuamente a z0. Novamente pelo teorema f e´ holo-
morfa. �
Corola´rio 2.20. Se z0 e´ um a singularidade isolada de f e existe o limite
limz→z0(z − z0)nf(z) = 0 enta˜o z0 ou e´ polo, ou singularidade remov´ıvel de f
podendo ser um zero. Em particular se z0 na˜o e´ singularidade remov´ıvel enta˜o f
tem polo em z0 se e so´ se existe n tal que limz→z0(z − z0)nf(z) = 0.
Proof. Como no corola´rio anterior temos que g = (z − z0)nf e´ anal´ıtica
inclusive em z0. Enta˜o g = (z − z0)kQ(z) onde (z) e´ uma func¸a˜o holomorfa sem
zeros em vizinhanc¸a de z0. Se k ≥ n enta˜o a singularidade e´ remov´ıvel e zero de f
em caso de desigualdade estrita. No outro caso temos um polo. �
Corola´rio 2.21. Seja z0 uma singularidade isolada de f na˜o remov´ıvel. Enta˜o
f tem polo em z0 se e so´ se
f(z) =
∑
n≥n0
an(z − z0)n, |z − z0| < δ,(2.38)
=
a−n0
(z − z0)−n0 + · · ·+
a−1
z − z0 + a0 + a1(z − z0) + · · ·(2.39)
Proof. Os termos an sa˜o os coeficientes de 1/Q(z) em torno de z0 onde Q e´
a func¸a˜o que aparece na demonstrac¸a˜o anterior �
2.3. SEGUNDO RESULTADO DE REGULARIDADE 33
Corola´rio 2.22 (Casaroti-Weierstrass). Seja z0 uma singularidade isolada de
f . Existem w e � > 0 tais que |f(z)−w| ≥ � para todo z tal que 0 < |z− z0| < δ se
e so´ se z0 e´ polo ou singularidade remov´ıvel de f. Em particular z0 e´ singularidade
essencial de f se e so´ se f(B(z0, δ′)) e´ denso em C para cada δ′ ≤ δ.
Proof. A func¸a˜o g(z) = 1/(f(z) − w), 0 < |z − z0| < δ e´ limitada para
0 < |z − z0| < δ e possui uma singularidade remov´ıvel. Portanto g(z) = (z −
z0)nQ(z), Q(z0) 6= 0, e´ holomorfa e f(z) = w + (z − z0)−n1/Q(z). Potanto z0 e´
ponto regular de f ou polo. �
Corola´rio 2.23. Uma singularidade isolada z0 de uma func¸a˜o holomorfa e´
essencial se e so´ se o desenvolvimento de Laurent em B(z0, δ) \ {z0} tem infinitos
termos com expoente negativo.
Proof. Se z0 e´ singularidade essencial enta˜o o desenvolvimento Laurent tem
infinitos termos na˜o nulos com expoente negativo pois somente os polos possuem
todos estes coeficientes nulos a menos de um nu´mero finito. Reciprocamente, a ex-
isteˆncia de infinitos termos na˜o nulos com coeficientes negativos diz que f(B(z0, δ′)\
{z0}), δ′ ≤ δ, e´ denso, caso contra´rio estariamos em vizinhanc¸a de um polo. Por-
tanto z0 e´ singularidade essencial. �
Finalizaremos esta sec¸a˜o com uma aplicac¸a˜o deste resultado provando o princ´ıpio
da reflexa˜o de Schwarz. SejaH+ = {z = x+iy | y ≥ 0} o hiperplano dos z com parte
imagina´ria na˜o negativa. Seja Ω um domı´nio de int(H+) com I = ∂Ω ∩ ∂H 6= ∅.
Seja U = Ω ∪ I ∪ Ω, onde Ω e´ o domı´nio obtido por conjugac¸a˜o dos pontos de Ω.
O domı´nio U tem a seguinte propriedade: z ∈ U, se e so´ se, z¯ ∈ U. Domı´nios deste
tipo sa˜o chamados de sime´tricos com respeito ao eixo real pois sa˜o invariantes
com respeito a reflexa˜o ao eixo real obtido pela conjugac¸a˜o de nu´meros complexos.
Teorema 2.24 (Princ´ıpio da Reflexa˜o de Schwarz). Seja U um domı´nio sime´trico
com respeito ao eixo real e f : U ∩ H+ → C, f = u + iv, uma func¸a˜o cont´ınua e
holomorfa em U ∩ int(H+). Se v|U ∩ ∂H+ ≡ 0 enta˜o
F (z) =

f(z), =(z) ≥ 0
f(z¯), =(z) < 0
e´ uma extensa˜o holomorfa de f a U e esta extensa˜o e´ u´nica.
Proof. Defina F : U → C como no teorema. A continuidade de F em U \∂H+
segue-se da definic¸a˜o. Tome agora z0 ∈ U ∩ ∂H+. Observe que limz→z0 F (z) =
u(z0) + iv(z0),=(z) ≥ 0, e limz→z0 F (z) = u(z0) − iv(z0),=(z) < 0. Enta˜o F e´
cont´ınua em U se e so´ se v(z0) = 0. Por outro lado se =(z0) < 0 enta˜o =(z¯0) > 0 e
f(w) =
∑
aj(w − z¯0)j , |w − z¯0| < δ. Enta˜o
(2.40) F (z) = f(z¯) =
∑
a¯j(z − z0)j , |z − z0| < δ
provando a analiticidade em U \∂H+. Pelo segundo teorema de regularidade temos
que F e´ holomorfa e F |(U ∩ H+) = f. A unicidade sai como consequ¨encia da
analiticidade. �
Um domı´nio Ω e´ sime´trico com respeito a S1 se Ω \ {0} e´ invariante com
respeito a aplicac¸a˜o φ(z) = 1/z¯, isto e´, se φ(Ω \ {0}) = Ω \ {0}. Seja σ = S1 ∩ Ω e
Ω− ∪ Ω+ = Ω \ σ onde Ω+ e´ a parte fora do disco unita´rio D.
34 2. HOLOMORFIA
Corola´rio 2.25. Seja f = u+ iv cont´ınua em σ∪Ω− e holomorfa em Ω−. Se
v|σ ≡ 0 enta˜o
F (z) =

f(z), z ∈ Ω− ∪ σ
f( 1z¯ ), z ∈ Ω+
e´ holomorfa e F |σ ∪ Ω− = f.
EXERCI´CIOS
(1) Seja f uma func¸a˜o inteira. Mostre que f e´ um polinoˆmio se e so´ se f tem polo
no infinito.
(2) Uma func¸a˜o f : Ω→ C e´ dita meromorfa se e´ holomorfas com singularidades
e todas as suas singularidades sa˜o polos. Mostre queuma func¸a˜o meromorfa
f : C → C e´ uma func¸a˜o racional se e so´ se o infinito e´ polo ou singularidade
remov´ıvel.
(3) Seja f : Ω → C uma func¸a˜o meromorfa com um nu´mero finito de polos
z1, · · · , zn. Mostre que existe uma func¸a˜o holomorfa g : Ω → C sem polos e
inteiros k1, · · · , kn tais que f(z) = g(z)/(z − z1)n1 · · · (z − zn)kn .
(4) Prove o teorema de Schwarz para domı´nios sime´tricos com respeito a uma reta
ou uma circunfereˆncia arbitra´ria.
(5) Enuncie e demonstre um teorema de reflexa˜o para func¸o˜es harmoˆnicas.
2.4. APLICAC¸O˜ES 35
2.4. Aplicac¸o˜es
Bibliography
[A] T. Aoki, Calcul exponentiel des ope´rateurs microdifferentiels d’ordre infini. I, Ann. Inst.
Fourier (Grenoble) 33 (1983), 227–250.
[B] R. Brown, On a conjecture of Dirichlet, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.
[D] R. A. DeVore, Approximation of functions, Proc. Sympos. Appl. Math. vol. 36, Amer. Math.
Soc., Providence, RI, 1986, pp. 34–56.
37