Variáveis Complexas - notas de aula

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Notas de Aulas - Po´s-Graduac¸a˜o em Matema´tica -
UFC
Author One
Departamento de Matema´tica - UFC, Campus do Pici bloco 914,
60455-760 Fortaleza - Ce Brasil
Current address: Departamento de Matema´tica, Universidade Federal do Ceara´,
Campus do Pici bloco 914, 60455-760 Fortaleza - Ce Brasil
E-mail address: ljorge@mat.ufc.br
1991 Mathematics Subject Classification. Primary 54C40, 14E20;
Secondary 46E25, 20C20
Key words and phrases. amsbook, AMS-LATEX
The first author was supported in part by NSF Grant #000000.
Abstract. This paper is a sample prepared to illustrate the use of the Amer-
ican Mathematical Society’s LATEX document class amsbook and publication-
specific variants of that class.
Contents
Preface vii
Part 1. Topologia do Plano Complexo 1
Chapter 1. Func¸o˜es Anal´ıticas Complexas 3
1.1. Introduc¸a˜o e Notac¸a˜o 3
Exerc´ıcios 12
1.2. O Plano Estendido 14
Exerc´ıcios 18
1.3. Aplicac¸o˜es de Mo¨bius 18
Exerc´ıcios 22
1.4. Apeˆndice I: Func¸o˜es Reais Anal´ıticas 23
1.5. Apeˆndice II:Partic¸a˜o da Unidade 25
Chapter 2. Topologia do plano 27
2.1. Introduc¸a˜o 27
Exerc´ıcios 33
2.2. Homologia 34
2.3. Formas diferenciais 35
Exerc´ıcios 42
2.4. Cohomologia de De Rham 43
Exerc´ıcios 45
2.5. Superf´ıcies Mı´nimas e de Riemann 46
Part 2. Func¸o˜es Holomorfas 47
Chapter 3. Holomorfia 49
3.1. Derivada Complexa 49
Exerc´ıcios 53
3.2. Primeira Regularidade: Analiticidade de Func¸o˜es Holomorfas e a
fo´rmula intergral de Cauchy 55
Exerc´ıcios 58
3.3. Segundo Resultado de Regularidade 60
Exerc´ıcios 64
Chapter 4. Holomorfia - Resultados Cla´ssicos 67
4.1. Estimativas de Cauchy e o Teorema de Liouville 67
Exerc´ıcios 68
4.2. Teorema do Mo´dulo Ma´ximo e o Lema de Schwarz 70
Exerc´ıcios 72
v
vi CONTENTS
4.3. Desenvolvimento de Taylor e de Laurent 74
Exerc´ıcios 77
4.4. Ca´lculo de Integrais Usando Res´ıduos 79
Exerc´ıcios 80
4.5. A Fo´rmula Integral de Cauchy Generalizada 81
Exerc´ıcio 83
4.6. Argumento Principal 83
Exerc´ıcio 87
Chapter 5. Espac¸o de Func¸o˜es 89
5.1. Topologia Compacto-Aberto 89
Exerc´ıcios 93
5.2. As classes S e Sˇ 93
Exerc´ıcios 98
5.3. Aproximac¸a˜o de Func¸o˜es: Sotne-Weierstrass e Bishop 98
Exerc´ıcios 100
5.4. Aproximac¸a˜o por Func¸o˜es Racionais: Teoremas de Runge 100
Exerc´ıcios 104
5.5. Aproximac¸a˜o por Func¸o˜es Racionais: Teorema de Mergelyan 106
Exerc´ıcios 107
5.6. Convergeˆncia de Produto de Func¸o˜es 107
Exerc´ıcios 108
5.7. Apeˆndice: O Teorema de Ascoli 109
Exerc´ıcios 110
Chapter 6. Resultados Ca´ssicos 111
6.1. Classificac¸a˜o de Domı´nios 111
Exerc´ıcios 113
Bibliography 115
Preface
O objetivo destas notas e´ fcilitar o trabalho dos estudantes de graduac¸a˜o e os
que iniciam o nosso programa de mestrado vindos de outros centros. Existe uma
vasta bibliografia sobre o assunto mas acreditamos ser necessa´rio uma adequac¸a˜o aos
nossos curr´ıculos adaptadando os conteudos a`s formac¸o˜es t´ıpicas do nosso ensino.
Tambe´m temos necessidade de fixar melhor os conteudos das disciplinas ajudando
o professor.
Luquesio P. Jorge
vii
Part 1
Topologia do Plano Complexo
CHAPTER 1
Func¸o˜es Anal´ıticas Complexas
1.1. Introduc¸a˜o e Notac¸a˜o
Usaremos o ja´ consagrado s´ımbolo C para indicar o plano complexo obtido
atravez da indentificac¸a˜o com o espac¸o euclideano R2 onde z = x + iy ∈ C corre-
sponde ao par ordenado (x, y) ∈ R2. Admitiremos que o leitor esta´ familiarizado
com a estrutura de corpo natural em C e com suas operac¸o˜es elementares. Assim,
se z = x+ iy enta˜o
x = <(z) = z + z¯
2
, y = =(z) = z − z¯
2i
sa˜o as partes real e imagina´ria de z e z¯ = x−iy e´ o seu conjugado. O valor absoluto
e´ dado por
|z| = √zz¯ =
√
x2 + y2.
Obviamente o inverso multiplicativo de z 6= 0 e´ dado por z−1 = z¯/|z|2. Segue-se
das relac¸o˜es acima que toda func¸a˜o f : R2 → R2 pode ser vista como uma aplicac¸a˜o
f : C→ C pois
f(x, y) = f(
z + z¯
2
,
z − z¯
2i
),
ou seja, escreveremos simplificadamente
(1.1) f(x, y) = f(z, z¯).
Podemos dizer que o nosso objetivo e´ um estudo elementar das func¸o˜es f : C→ C
que dependem somente de um dos paraˆmetros z ou z¯. Por simplicidade estudaremos
as func¸o˜es f = f(z), uma vez que depender somente de z¯ na˜o traria nenhuma
novidade, todas as propriedades sa˜o similares. O importante e´ a dependeˆncia de
somente um paraˆmetro e o escolhido e´ z. A func¸a˜o |z|2 = zz¯ por exemplo na˜o se
enquadra nesta categoria. Ela depende das varia´veis z e z¯. Os polinoˆmios
P (z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn,
onde aj , 0 ≤ j ≤ n sa˜o constantes complexas e z ∈ C sa˜o exemplos de tais func¸o˜es.
Em princ´ıpio P = P (z, z¯) mas na sua expressa˜o e´ o´bvio que P depende somente
da varia´vel z. De fato as varia´veis z e z¯ bem como suas diferenciais dz = dx+ idy
e dz¯ = dx− idy sa˜o linearmente independentes sobre C como func¸o˜es ou 1-formas
(veja os exerc´ıcios). Na˜o depenceˆncia de z ou z¯ significa constaˆncia em relac¸a˜o a
um destes paraˆmetros. Acreditamos que este conceito ficara´ claro nas pro´ximas
pa´ginas ou ao longo deste texto.
Se temos polinoˆmios nada mais natural do que fazer o quociente deles para
obtermos func¸o˜es racionais complexas. Estas func¸o˜es esta˜o bem definidas no plano
complexo menos os zeros do denominador. Obviamente elas dependem somente da
varia´vel z.
3
4 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
Estes exemplos sa˜o casos particulares da categoria das func¸o˜es anal´ıticas na
varia´vel z. Por sua simplicidade podemos deduzir algumas propriedades elementares
destas func¸o˜es. Dizemos que f : U → C, U aberto, e´ anal´ıtica se para cada ponto
z0 ∈ U existe um � > 0 tal que se |z − z0| < � enta˜o z ∈ U e
f(z) = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + · · ·
onde a convergeˆncia e´ absoluta, ou seja, localmente f e´ representada em uma viz-
inhanc¸a de cada ponto por uma se´rie absolutamente convergente. As func¸o˜es 1/z
e 1/zn sa˜o anal´ıticas no plano complexo menos a origem. Podemos provar isto
utilizando a identidade alge´brica
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ · · ·+ bn−1)
que nos da´ 1 − zn = (1 − z)(1 + z + · · · + zn−1). Sabemos que se |z| < 1 enta˜o
lim |z|n = 0. Segue-se de
1− |z|n+1
1− |z| = 1 + |z|+ · · ·+ |z|
n
que a se´rie
∑
zn converge absolutamente para no disco |z| < 1. Em particular
1
1− z = 1 + z + z
2 + · · · , |z| < 1(1.2)
1
(1− z)n =
∞∑
k=0
(
k + n− 1
k
)
zk, |z| < 1(1.3)
onde a expressa˜o dentro do somato´rio e´ o coeficiente do binoˆmio de Newton dado
por (
k + n− 1
k
)
=
(k + n− 1)!
k!(n− 1)!
Para provar esta u´ltima igualdade observe que (1−z)n+1 = (1−z)n(1−z). Sabemos
que o produto de duas se´ries
∑
aj(x− x0)j e
∑
bj(x− x0)j , ambas absolutamente
convergente, e´ absolutamente convergente (ver [L]) e dada por
∑
cj(x− x0)j onde
cn =
∑n
j=0 an−jbj . Utilizando a regra do binoˆmio segundo a qual a soma de
duas posic¸o˜es horizontais e vizinhas do triaˆngulo de Pascal da´ a posic¸a˜o abaixo da
segunda obtemos que o coeficiente da se´rie produto e´ dado por
k∑
j=0
(
j + n− 1
j
)
=
(k + n)!
k!n!
Portanto o princ´ıpio de induc¸a˜o garante o desenvolvimento acima.
Considere agora a func¸a˜o 1/z definida no plano complexo menos a origem. O
seu desenvolvimento em torno de z0 6= 0 e´ dado por
1
z
=
1
z0
1
1 + (z − z0)/z0(1.4)
=
∑ (−1)n
(z0)n+1
(z − z0)n, |z − z0| < |z0|.(1.5)
De maneira ana´loga obtemos que a func¸a˜o z−n e´ tambe´m anal´ıtica no plano menos
a origem pois
(1.6)
1
zn+1
=
∞∑
k=0
(−1)k
zk+n+10
(
k + n
k
)
(z − z0)k, |z − z0| < |z0|.
1.1. INTRODUC¸A˜O E NOTAC¸A˜O 5
Uma se´rie formal e´ uma expressa˜o do tipo
∑
anX
n onde an sa˜o nu´meros com-
plexos e X e´ um s´ımbolo. Lembramos que o raio de convergeˆncia R e´ definido
por
1
R
= lim sup |an|1/n
Dado um pontoz0 podemos definir func¸o˜es f : B(z0, R) → C definidas no disco
de centro z0 e raio R que dependem somente de z da seguinte maneira. Para cada
z ∈ B(z0, R) tome r satisfazendo |z − z0| < r < R. Como 1/R < 1/r existe um n0
tal que |an|1/n < 1/r para todo n ≥ n0. Segue-se que
|an(z − z0)n| < (|z − z0|/r)n,∀n ≥ n0
que garante a convergeˆncia absoluta da se´rie. Portanto f(z) =
∑
an(z − z0)n, |z −
z0| < R esta´ bem definida.
Precisamos de um resultado sobre rearranjamento dos termos de uma se´rie
absolutamente convergente. E` bem conhecido que a sua soma naˆo se altera quando
mudamos a ordem da soma dos seus termos.
Lema 1.1. Seja s =
∑
zn absolutamente convergente. Considere uma partic¸a˜o
de N feita por conjuntos {kjn}, kj1 < kj2 < · · · , e defina zjn := zkjn . Enta˜o a se´rie∑
zjn e´ absolutamente convergente e s =
∑
j
∑
n zjn =
∑
n
∑
j zjn
Proof. Dado � > 0 tome n0 tal que
∑
n≥n0 |zn| < �/2. Sabemos que toda
subse´rie e´ tambe´m absolutamente convergente. Portanto, para cada j, existe um
nj tal que
∑
n>nj
|zjn| < �/2j+1. Podemos escolher todos os nj de modo que
kjnj > n0. Defina X = {kjn|1 ≤ j ≤ j0, 1 ≤ n ≤ nj} onde j0 e´ escolhido de modo
que X ⊃ {1, 2, · · · , n0}. Portanto
|s−
j0∑
j=1
∑
n
zjn| ≤ |s−
j0∑
j=1
nj∑
n=1
zjn|+ |
j0∑
j=1
∑
n>nj
zjn|(1.7)
≤ |
∑
n/∈X
zn|+
j0∑
j=1
�/2j+1(1.8)
≤
∑
n>n0
|zn|+ �/2 < �.(1.9)
Postanto a soma da se´rie na˜o depende da maneira como adicionamos os termos. �
Teorema 1.2. Sejam f e g func¸o˜es anal´ıticas definidas em abertos do plano
complexo C. Valem as seguintes propriedades para as operac¸o˜es ba´sicas com estas
func¸o˜es onde elas estiverem definidas:
(1) Se
∑
anX
n e´ uma se´rie formal com ra´io de convergencia R enta˜o, escol-
hido z0, a func¸a˜o f : B(z0, R)→ C definida por
f(z) =
∑
an(z − z0)n, |z − z0| < R,
e´ anal´ıtica e cont´ınua (localmente lipschitziana).
(2) f ± g, fg, f/g e f ◦ g sa˜o anal´ıticas onde estiverem definidas.
(3) Seja f anal´ıtica com desenvolvimento em torno de z0 dado pelos coefi-
cientes aj com a1 6= 0 e raio de convergeˆncia R. Enta˜o existe δ > 0
e g : B(w0, δ) → B(z0, R) anal´ıtica satisfazendo g = f−1. Em outras
6 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
palavras temos f(g(w)) = w para todo w ∈ B(w0, δ), g(B(w0, δ) e´ um
aberto e g e´ um homeomorfismo sobre a imagem.
Proof. Ja´ vimos que a func¸a˜o do primeiro ı´tem esta´ bem definida. Tome z1, r
e λ tais que |z1 − z0|+ r ≤ λ < R, Podemos escrever enta˜o
f(z) =
∑
aj((z − z1) + (z1z0))j(1.10)
=
∑
aj
j∑
k=0
(
j
k
)
(z − z1)j−k(z1 − z0)k(1.11)
Enta˜o se |z − z1| ≤ r obtemos∑
|aj |
j∑
k=0
(
j
k
)
|z − z1|j−k|z1 − z0|k ≤
∑
|aj |
j∑
k=0
(
j
k
)
rj−k|z1 − z0|k
≤
∑
|aj |λj <∞
ou seja, esta se´rie converge absolutamente. Enta˜o podemos fazer o seguinte rear-
ranjamento
(1.12) f(z) =
∑
k
∑
j≥k
(
j
k
)
aj(z1 − z0)j−k
 (z − z1)k
o que garante a analiticidade de f na bola. Para provarmos que f e´ localmente
lipschitziana tomamos z e w tais que |z − z0|, |w − z0| ≤ r < R, para obtermos
|f(z)− f(w)| ≤
∑
|an||(z − z0)n − (w − z0)n| ≤ |z − w|
∑
|an|nrn−1.
Passemos agora a prova do segundo ı´tem. Consideremos os desenvolvimento
f =
∑
aj(z − z0)j , g =
∑
bj(z − z0)j convergentes para |z − z0| ≤ r. Obviamente∑
cj(z − z0)j , cj = aj ± bj e´ absolutamente convergente para |z − z0| ≤ r e o ı´tem
anterior garante que f ± g esta´ bem definida e e´ anal´ıtica. Analogamente∑
ajbk(z − z0)j+k =
∑
cn(z − z0)n
onde
cn =
n∑
j=0
an−jbj
uma vez que
n∑
j=0
|cj ||z − z0|j ≤
n∑
j=0
|aj ||z − z0|j
n∑
j=0
|bj ||z − z)|j ≤
∞∑
j=0
|aj |rj
∞∑
j=0
|bj |rj
ou seja, e´ absolutamente convergente. Portanto podemos tomar a u´ltima expressa˜o
como definic¸a˜o do produto. Pelo primeiro ı´tem concluimos que o produto e´ anal´ıtico.
Sejam aj e bj os coeficientes dos desenvolvimento de f e g respectivamente em
w0 = g(z0) e z0. Escolha δ > 0 tal que |g(z)−g(z0)| ≤ r, desde que |z−z0| < δ, onde
r e´ estritamente menor que o raio de convergeˆncia da se´rie do desenvolvimento de
f no ponto w0. A existeˆncia de δ e´ garantida pela continuidade de g (ver item 1).
Se´ries formais podem ser substituidas uma dentro da outra desde que a primeira
tenha o termo b0 = 0 o que e´ o caso para g(z) − g(z0). cujo limite e´ zero quando
1.1. INTRODUC¸A˜O E NOTAC¸A˜O 7
z tende a zero z0. Substituindo uma se´rie dentro da outra obtemos uma nova se´rie
definida formalmente por∑
cnX
n :=
∑
aj(
∑
k≥1
bkX
k)j .
Para obtermos uma func¸a˜o fazemos simplesmente a substituic¸a˜o X = z−z0. Como∑
cnX
n e´ majorada por ∑
|bj |(
∑
k≥1
|ak|δk)j ≤
∑
|bj |rj
obtemos que ela e´ absolutamente convergente e sua soma na˜o depende de rear-
rumac¸o˜es garantindo a analiticidade da composta. A analiticidade da inversa˜o 1/f
e´ garantida pela composic¸a˜o de f com a aplicac¸a˜o anal´ıtica z 7→ 1/z.
Passemos a prova do u´ltimo ı´tem. Sem perda de generalidade podemos admitir
que a0 = 0, ou seja, z0 = w0 = 0. Primeiro observe que e´ poss´ıvel encontrar uma
se´rie formal
∑
j≥1 bjY
j de modo que∑
n≥1
an(
∑
j≥1
bjY
j)n = Y.
Esta igualdade nos da´
b1 = 1/a1, b2 = −a2b21/a1, · · · .
Com efeito, escrevendo
(
∑
j≥1
bjY
j)n =
∑
j≥n
cnj Y
j
obtemos os coeficientes cnj recursivamente por
cnk :=
k−1∑
j≥1
cn−1k−j bj
Observe que cada cnk e´ determinado pelos aj , 1 ≤ j ≤ n e pelos bj , 1 ≤ j ≤ k − 1.
Deste modo todos os coeficientes b′js sa˜o conhecidos a partir dos anteriores, dos
primeiros a′js e unicamente determinados por
a1bn + a2c
2
n + · · ·+ ancnn = 0, n ≥ 2.
Tambe´m vale que ∑
n≥1
bn(
∑
j≥1
ajX
j)n = X.
Para provarmos que a se´rie
∑
bjY
j tem raio de convergencia positivo seguiremos a
construc¸a˜o de majorantes apresentada no cap´ıtulo 1 de [Ca]. Seja R > 0 o raio de
convergencia de
∑
anX
n e tome r, 0 < r < R. Sabemos que existe uma constante
C > 0 tal que |an|rn < C para todo n ≥ 1. Defina A1 = |a1| e An = C/rn, n ≥ 2.
A se´rie
S(x) = A1x−
∑
n≥2
Anx
n
8 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
e´ um majorante natural para
∑
anx
n com raio de convergencia r pois
S(x) = A1x− C
∑
n≥2
(x/r)n(1.13)
= A1x− C x
2
r2 − rx , |x| < r.(1.14)
De maneira ana´loga ao procedimento acima encontramos uma se´rie T (y) =
∑
n≥1Bny
n
tal que S(T (y)) = y. Os coeficientes B′ns sa˜o determinados de maneira semelhante
pela equac¸a˜o
A1Bn = A2C
2
n + · · ·+AnCnn
Uma verificac¸a˜o direta nos da´ |bn| ≤ Bn e garante que a convergencia de T (y)
implica na convergencia de
∑
bny
n. Entretanto, substituindo T (y) na expressa˜o de
S(x) obtemos
(1.15) (C + r|a1|)T (y)2 − (r2|a1|+ ry)T (y) + r2y2 = 0.
Resolvendo esta equac¸a˜o para valores pequenos de y concluimos que T (y) converge
e portanto
∑
bnY
n e´ tambe`m convergente. Logo existe a inversa e e´ anal´ıtica. �
Corola´rio 1.3. Seja f : U ⊂ C → C uma func¸a˜o anal´ıtica com desenvolvi-
mento de Taylor f =
∑
an(z − z0)n e a1 6= 0. Enta˜o existe B(w0, δ), w0 = f(z0) e
uma func¸a˜o anal´ıtica g : B(w0, δ)→ C satisfazendo
f(g(w)) = w, |w − w0| < δ.
A func¸a˜o g e´ chamada de ramo local de f.
Observac¸a˜o 1.4. Observer que f satisfaz
|f(z)− f(w)| ≥ |a1||z − w| −
∑
j≥2
|aj |||z − z0|j − |w − z0|j |(1.16)
≥ (|a1| − r0
∑
j≥2
|aj |jrj−20 )|z − w|(1.17)
≥ |a1|
2
|z − w|(1.18)
onde |z − z0|, |w − z0| ≤ r0 < R. Deixamos como exerc´ıcio provar que f(B(z0, r0))
e´ um aberto e que f restrita a esta bola e´ um homeomorfismo sobre a imagem.
Isto demonstra o teorema da func¸a˜o inversa para func¸o˜es anal´ıticas. A diferencia-
bilidade complexa da inversa e´ imediata e o teorema de regularidade a ser provado
no pro´ximo cap´ıtulo garantem a analaticidade da inversa. Esta e´ uma alterna-tiva a demonstrac¸a˜o da existencia e analiticidade local da inversa nos pontos onde
f ′(z0) = a1 6= 0.
Precisamos deduzir algumas propriedades ba´sicas das func¸o˜es anal´ıticas. Defin-
imos um domm´inio Ω como sendo qualquer aberto conexo do plano complexo.
Lema 1.5. Seja f : Ω → C uma func¸a˜o anal´ıtica definida em um domı´nio do
plano complexo. Seja Z = f−1(0) o conjunto de zeros de f. As seguintes afirmac¸o˜es
sa˜o equivalentes:
(1) f e´ identicamente nula, ou seja, Z = Ω.
(2) Existe um ponto onde os coeficientes aj do desenvolvimento de f neste
ponto sa˜o todos identicamente nulos.
1.1. INTRODUC¸A˜O E NOTAC¸A˜O 9
(3) Z tem ponto de acumulac¸a˜o em Ω.
Em particular f e´ uma constante c se e so´ se f−1(c) tem ponto de acumulac¸a˜o em
Ω.
Proof. Observe que (1) e (2) implicam (3) trivialmente. Seja {aj} os coefi-
cientes do desenvolvimento de f em torno de um ponto z0 ∈ Ω. Se existe um k tal
que ak 6= 0 e aj = 0, j ≤ k, enta˜o
f(z) = (z − z0)k
∑
j≥k
aj(z − z0)j−k, |z − z)| < r0(1.19)
= (z − z0)kQ(z)(1.20)
Observe que a se´rie
∑
aj+k(z − z0)j tem o mesmo raio de convergencia que a
se´rie original. Portanto Q(z) =
∑
aj+k(z − z0)j define uma func¸a˜o anal´ıtica em
|z − z0| < r0, r0 o raio de convergencia, satisfazendo a relac¸a˜o acima. Podemos
diminuir o raio r0, se necessa´rio, para obtermos Q(z) 6= 0, |z − z0| < r0. Enta˜o z0
e´ ponto isolado o que garante que (3) implica (2). Tambe´m temos que o conjunto
dos pontos de acumulac¸a˜o de Z e´ um aberto pois f(z) = 0, |z − z0| < r0. Como o
conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de Z e´ um fechado e Ω e´ conexo segue-se que
Z = Ω encerrando a prova do lema. �
Corola´rio 1.6. Seja f : Ω→ C uma func¸a˜o anal´ıtica definida em um domı´nio
e seja Z o conjunto dos zeros de f . Se f na˜o e´ constante enta˜o em cada ponto
z0 ∈ Z existe r0 e uma func¸a˜o anal´ıtica Q tal que
(1.21) f(z) = (z − z0)nQ(z), Q(z) 6= 0, |z − z0| < r0
ou seja, os zeros de f sa˜o isolados
Voltemos ao problema de encontrar func¸o˜es que dependem somente de uma
varia´vel. Podemos obter func¸o˜es deste tipo estendendo func¸o˜es reais anal´ıticas ao
plano complexo. Podemos estender todas as func¸o˜es anal´ıticas da reta a func¸o˜es
anal´ıticas no plano complexo preservando quase todas as suas propriedades. Ve-
jamos a seguir como isto funciona.
Lema 1.7. Seja f : I → R anal´ıtica. Para cada ponto x ∈ I seja Rx > 0 o ra´io
de convergeˆncia da representac¸a˜o
∑
aj(x − x0)j de f. Seja U = ∪BRx(x). Existe
uma u´nica func¸a˜o anal´ıtica F : U →→ C tal que F |I = f. Esta func¸a˜o e´ dada por
F (z) =
∑
aj(z − x)j , |z − x| < Rx.
Prova. Sejam f : I → C e U dados pelo lema. Tome t0, t1 ∈ I e as duas se´ries∑
aj(t−t0)j ,
∑
bj(t−t1)j que representam localmente f com raios de convergeˆncia
R0, R1. Sabemos que estas duas se´ries induzem func¸o˜es anal´ıticas f0 : B(t0, R0)→
C e f1;B(t1, R1) → C dadas por f0(z) =
∑
aj(z − t0)j , f1(z) =
∑
bj(z − t1)j .
Na intersec¸a˜o destas duas bolas as duas func¸o˜es anal´ıticas f0 e f1 estendendo f
coincidem sobre os pontos do eixo-x e portanto sa˜o iguais, assegurando que f esta´
bem definida e e´ anal´ıtica na unia˜o das bolas. Portanto F ;U → C dada por
F (z) =
∑
aj(z − x)j , |z − x| < Rx, esta´ bem definida e estende f. �
Exemplo 1.8 (Func¸a˜o Exponencial). Saabemos que a func¸a˜o exponencial e´
dada por uma se´rie cujo raio de convergencia e´ infinito. Este e´ um caso particular
10 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
pois teremos que a func¸a˜o
∑
zn/n! esta´ bem definida e e´ anal´ıtica em todo o plano.
Nada mais natural do que definir a func¸a˜o exponencial por
ez =
∞∑
n=0
zn
n!
, z ∈ C.
Sabemos que ex+t = exet, x, t ∈ R. Pelo lema acima a func¸a˜o f(t) = ex+t − exet
estende-se analiticamente a uma func¸a˜o f(z) definida no plano complexo. Como
esta func¸a˜o e´ nula sobre o eixo real encontramos que ez+x = ezex, z ∈ C, x ∈ R.
Por outro lado, ez+w − ezew e´ uma func¸a˜o anal´ıtica em C para a varia´vel w como
composta, soma e produto de anal´ıticas. Sendo nula para w ∈ R estabelecemos que
ez+w = ezew para todo z e w em C.
Uma vez estabelecido a func¸a˜o expoencial obtemos todas as func¸o˜es hiperbo´licas
comec¸ando com cosh e sinh dadas por
cosh(z) =
ez + e−z
2
, sinh(z) =
ez − e−z
2
. z ∈ C.
Todas as relac¸o˜es satisfeitas pelas func¸o˜es hiperbo´licas sa˜o va´lidas tambe´m no plano
complexo. Por exemplo, cosh2(z) − sinh2(z) = 1. Muito mais interessante sa˜o as
relac¸o˜es que aparecem com as func¸o˜es trigonome´tricas. Sabemos que
cos(x) =
∞∑
j=0
(−1)j x
2j
(2j)!
, sin(x) =
∞∑
j=0
(−1)j x
2j+1
(2j + 1)!
, x ∈ R.
Substituindo x ∈ R por z ∈ C obtemos as expesso˜es de cos(z) e sin(z), z ∈ C.
Observe que
eiz =
∞∑
j=0
ij
zj
j!
,
=
∞∑
j=0
(−1)j z
2j
(2j)!
+ i
∞∑
j=0
(−1)j z
2j+1
(2j + 1)!
,
= cos(z) + i sin(z), z ∈ C.
Um caso particular e´ a conhecida equac¸a˜o de Euler:
eiy = cos(y) + i sin(y), y ∈ R.
Escrevendo z = x+ iy obtemos ez = ex cos(y) + iex sin(y) o que mostra a periodi-
cidade da func¸a˜o exponencial, ou seja, ez = ez+2pii. Outra conclusa˜o interessante e´
a expressa˜o que o seno e cosseno possuem no plano complexo
cos(z) =
eiz + e−iz
2
, sin(z) =
eiz − e−iz
2i
, z ∈ C.
SejamX e Y espac¸os topolo´gicos. Trabalharemos somente com espac¸os topolo´gicos
que sa˜o localmente conexos, conexos por caminho e possuem base enumera´vel.
Nestes espac¸os nos interessam as aplicac¸o˜es cont´ınua e sobre e que satisfazem a
seguinte propriedade: Para cada y ∈ Y existe uma vizinhanc¸a U 3 y tal que
f−1(U) = ∪Uj onde os U ′js sa˜o disjuntos e f |Uj : Uj → U e´ um homeomor-
fismo para cada j. Tais aplicac¸o˜es sa˜o chamadas de aplicac¸o˜es de recobrimento
ou simplesmente recobrimento. Um exemplo t´ıpico e´ a aplicac¸a˜o ϕ : R → S1,
onde S1 e´ o c´ırculo unita´rio do plano complexo centrado na origem, dada por
ϕ(t) = eit, t ∈ R. Deixamos a cargo do leitor mostrar que ϕ(t) e´ um recobrimento.
1.1. INTRODUC¸A˜O E NOTAC¸A˜O 11
Temos que ϕ−1(t) = {t + 2kpi | k ∈ Z}. Obviamente existe um k tal que o valor
t0 = t+ 2kpi satisfaz −pi < t0 ≤ pi. Geometricamente t0 representa o comprimento
do arco de S1 comprendido entre eit e o ponto 1 do eixo real, medido no sentido pos-
itivo de percurso de S1. O nu´mero t0 e´ conhecido como argumento principal de
eit e qualquer outro nu´mero da forma t0 +2kpi, k ∈ Z, e´ tambe´m chamado de argu-
mento de eit. Estendemos este conceito ao plano complexo definindo arg(z), z 6= 0,
como sendo o argumento de z/|z|. Localmente a func¸a˜o arg(z), z 6= 0, esta´ bem
definida a menos de uma constante do tipo 2kpi, k ∈ Z. Se z 6= 0 as coordenadas
polares de z sa˜o dadas por
z = |z|ei arg(z), , z 6= 0,
qualquer que seja uma das func¸o˜es arg(z) usada, isto e´, esta expressa˜o independe da
func¸a˜o arg(z) considerada. Uma aplicac¸a˜o destas ideias e´ o ca´lculo local da inversa
da exponencial que chamaremos de ramo local do logar´ıtimo. Se arg(z) esta´
bem definido em um aberto U de C enta˜o
log(z) = log(|z|) + i(arg0(z) + 2kpi), k ∈ Z, z ∈ U,
onde arg0(z) e´ o argumento principal, satisfaz a equac¸a˜o
elog(z) = z, z ∈ U,
como mostra um ca´lculo direto que deixamos a cargo do leitor. Portanto na regia˜o
onde exista um ramo do argumento bem definido existira´ tambe´m uma func¸a˜o
logar´ıtimo bem definida. E´ fa´cil concluir que a func¸a˜o exponecial definida de
C em C \ {0} e´ um recobrimento. Com efeito, dado w0 = r0eiθ0 defina V =
{z | | arg0(z/z0)| < pi} e Uj = {z | |=(z) − arg0(z0) − 2jpi| < pi}. Enta˜o argj : V →
Uj , argj(z) = log |z|+ i(arg0(z) + 2jpi) e´ a inversa local da func¸a˜o exponencial.
Vamos ilustrar esta situac¸a˜o calculando o arctan(z). Sabemos que w(z) =
tan(z) e´ dado por
iw =
e2iz − 1
e2iz + 1
nos pontos onde cos(z) 6= 0. Enta˜o
e2iz =
1 + iw
1− iw , z 6=
pi
2
+ kpi, k ∈ Z.
Seja L = {iy ||y| ≥ 1} e I = {x|x ≤ 0}. Observe que a func¸a˜o w → (1+iw)/(1−iw)
aplica C \L em C \ I onde log(z) = log |z|+ i arg0(z) esta´ bem definido. Portanto,
arctan(w) = z(w) e´ dado por
(1.22) arctan(w) =
1
2i
log
(
1 + iw
1− iw
)
, w /∈ L.
Observe que a parte real de log(z) = log |z| + i arg0(z) esta´ sempre bem definida
em C \ {0}. Entretanto se tomarmos lim arg0(x + iy), x < 0, fazendo y → 0 pela
esquerda e direita obteremos um salto de 2pi. E´ imposs´ıvel estender a func¸a˜o arg(z)
a C \ {0}. A siuac¸a˜o com arctan(w) e´ bem diferente. Considere o caminho w(x) =
x+ iy, iy ∈ L, y 6= ±1. Temos
1 + iw(x)
1− iw(x) =
1− y + ix
1 + y − ix
=
1− y2 − x2
(1 + y)2 + x2
+ i
2x
(1 + y)2 + x2
12 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
Portanto
lim
x→0
1 + iw(x)
1− iw(x) =
1− y
1 + y
esta´ sempre bem definido. Este fato nos permite estender o arctan obtendo
arctan(w) =
1
2i
log
(
1 + iw
1− iw
)
, w 6= ±i.
Milagre! Talvez! Sa˜o situac¸o˜es t´ıpicas do estudo de variaveis complexas, arg(z)
na˜o pode ser estendido mas arctan(z) pode a menos de dois pontos onde o valor e´
infinito.
Este exemplo guarda ainda uma outra situac¸a˜o interessante. Como func¸a˜o real
o arctan(x) esta´ bem definida na reta e e´ dada por
arctan(x) =
∫ x
0
dt
1 + t2
, x ∈ R.
Por ser anal´ıtica real ela estende-se a uma func¸a˜o bem definida em um aberto do
plano como vimos acima. Acabamos de ver que o arctan(z) tem problema para ser
estendido aos valores z = ±i, onde a u´nica possibilidade preservando a continuidade
seria atribuir o valor ∞. Veremos mais tarde que o raio de convergeˆncia de uma
func¸a˜o anal´ıtica f : U → C em torno de um ponto z0 ∈ U e´ sempre dado por
R = dist(z0, U
c). Para |t| < 1 temos
1
1 + t2
=
∞∑
j=0
(−1)jt2j , |t| < 1.
o que nos da´ o desenvolvimento
arctan(z) =
∞∑
j=0
(−1)j z
2j+1
2j + 1
, |z| < 1.
Observe que esta bola centrada na origem com raio 1 e´ a maior poss´ıvel dentro do
domı´nio do arctan(z) no plano. Entretanto como func¸a˜o real o arctan(x) esta´ bem
definido para todo x ∈ R. Isto mostra que a se´rie de Taylor de arctan(x) em torno
da origem na˜o pode ter raio de convergeˆncia maior que 1. Na analiticidade real na˜o
vale que o raio de convergeˆncia da se´rie de Taylor e´ dado pelo maior disco dentro
do domı´nio. Os conceitos de analiticidade real e complexa possuem caracteristicas
bem diferentes.
.
Exerc´ıcios
(1) Mostre que as variaveis z e z¯ e suas diferenciais dz = dx + idy, dz¯ = dx − idy
sa˜o linearmente independentes como func¸o˜es ou 1-formas sobre C.
(2) Mostre que o produto de func¸o˜es anal´ıticas e´ anal´ıtica utilizando produto de
se´ries.
(3) Mostre que a func¸a˜o
φ(x) =
{
e−x
2
, x > 0
0, x ≤ 0
e´ infinitamente deriva´vel mas na˜o e´ anal´ıtica.
EXERCI´CIOS 13
(4) Dado os nu´meros a < b < c < d construa uma func¸a˜o real φ, 0 ≤ φ ≤ 1, de
classe C∞ tal que
φ(x) =
{
0, x ∈ [−∞, a] ∪ [d,∞]
1, b ≤ x ≤ c
Esta func¸a˜o pode ser construida crescente em [a, b] e decrescente em [c, d] e
satisfazendo a desigualdade
sup |φ′(x)| ≤ 2 max{ 1
b− a,
1
d− c}
(5) Sejam U1 e U2 respectivamente os abertos obtidos retirando do plano complexo
o semi-eixo real negativo e o imagina´rio positivo. Encontre extenso˜es anal´ıticas
do logaritmo neperiano a ambos. Como se comportam estas extenso˜es nas
componentes conexas de U1 ∩ U2?
(6) Demonstre a observac¸a˜o 1.4
(7) Usando as se´ries majorantes S =
∑
Anx, T =
∑
Bny
n da prova do teorema
(1.2) deˆ outra prova da convergencia da majorante derivando a identidade
T (S(x)) = x.
(8) Demonstre a equac¸a˜o de Euler.
(9) Deduza as expresso˜es do seno e cosseno em termos da func¸a˜o da exponencial.
(10) Mostre que ez : C→ C \ {0} e zn : C \ {0} → C \ {0} sa˜o recobrimentos.
14 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
1.2. O Plano Estendido
O plano complexo estendido e´ uma compactificac¸a˜o do plano complexo obtida
acrescentando um ponto que na˜o pertence a ele. Este tipo de compactificac¸ ao
e´ conhecida como compactificac¸a˜o de Alexandroff e e´ obtida do seguinte modo.
Tomemos o s´ımbolo ∞ que na˜o pertence ao plano complexo e definimos C∗ :=
C ∪ {∞}. Sabemos que todo compacto K de C e´ um fechado e portanto Kc e´
um aberto. Definimos enta˜o as vizinhanc¸as abertas do infinito como sendo os
conjuntos Kc ∪ {∞}. Acrescentando a esta famı´lia os abertos usuais de C obtemos
uma topologia em C∗. Obviamente AR∞ := {z ∈ C| |z| > R} ∪ {∞} formam uma
base desta topologia centrada no infinito.
Lema 1.9. Seja C∗ a compactificac¸a˜o de Alexandroff do plano complexo C.
(1) C∗ e´ compacto.
(2) Qualquer outra compactificac¸a˜o de C preservando a topologia e acrescendo
um ponto e´ homeomorfa a C∗
(3) C∗ e´ homeomorfo a S2 = {x ∈ R3 | |x| = 1} e portanto e´ metriza´vel. A
me´trica induzida do R3 em C∗ e´ dada por
ρ(z, w) =
2|z − w|√|z|2 + 1√|w|2 + 1 , z, w 6=∞
e
ρ(z,∞) = 2√|z|2 + 1 .
Proof. Dado uma cobertura aberta de C tome A∞ como sendo um aberto
desta cobertura contendo o ponto do infinito. Enta˜o existe um AR∞ ⊂ A∞. O
complementar AcR∞ e´ um compacto de C e portanto esta´ contido em uma unia˜o
de abertos A1, · · · , An desta cobertura. Acrescentando A∞ a esta famı´lia obtemos
uma subcobertura finita o que prova o primeiro ı´tem. O segundo ı´tem e´ o´bvio pois
retirando o ponto adicionado obetemos um homeomorfismo com C que estende-se
ao complemento. Para provarmos o u´ltimo ı´tem precisamos deduzir a expressa˜o
da projec¸a˜o estereogra´fica. Por definic¸a˜o pi : S2 \ {(0, 0, 1)} → R2 e´ a projec¸a˜o do
ponto de intersec¸a˜o da reta que liga x ∈ S2 ao polo norte sobre a intersec¸a˜o como o
plano horizontal. Escolhendo o ponto t ∈ R tal que (0, 0, 1) + t(x1, x2, x3 − 1) fura
o plano horizontal, isto e´, 1 + t(x3 − 1) = 0 encontramos
(1.23) pi(x) =
x1
1− x3 + i
x2
1− x3 , x ∈ S
2 \ {(0, 0, 1)}
Esta aplicac¸a˜o e´ obviamente cont´ınua como restric¸a˜o de aplicac¸o˜es cont´ınuas e o
mesmo acontece com sua inversa
(1.24) ϕ(z) = (
2x
|z|2 + 1 ,
2y
|z|2 + 1 ,
|z|2 − 1
|z|2 + 1), z = x+ iy.
Podemos enta˜o estender este homeomorfismo entre C e S2 \{(0, 0, 1)} a um homeo-
morfismo entre C∗ e a esfera unita´ria S2. O ca´lculo da distaˆncia induzida deixamos
a cargo do leitor. �
A distaˆncia em C∗ e´ a distaˆncia do R3 restrita a S2 e induzida pela projec¸a˜o
estereogra´fica. Entretando, como superf´ıcie, o S2 tem uma distaˆncia intrinsica dada
por
d(x, y) = inf
α
∫
|α′(t)|dt
1.2. O PLANO ESTENDIDO 15
onde α varia no conjunto de todos os caminhos C1 por partes de S2 ligando x e
y. Sejam x, y ∈ S2 dois pontos diferentes cujo arco do grande c´ırculo que realiza a
distaˆncia entre eles na˜o passa pelo polo norte. Se na˜o for o caso podemos considerar
a projec¸a˜o pelo polo sul que satisfara´ esta afirmac¸a˜o. Podemos enta˜o tomar camin-
hos z(t) = pi(α(t)) = u(t)+ iv(t) onde α na˜o passe pelo polo norte para calcularmos
a distaˆncia. Enta˜o
x1(t) =
2u
1 + |z|2 , x2(t) =
2v
1 + |z|2 , x3(t) =
|z|2 − 1
|z|2 + 1
Um ca´lculo direto nos da´
|α′(t)| = 2
√
u′2 + v′2
1 + |z|2
Portanto a distaˆncia intrinseca d(x, y) e´ dada por
(1.25) d(x, y) = inf
z(t)
∫
2|z′|
1 + |z|2 dt,
onde pi(x) = a = z(t0), pi(y) = b = z(t1). Os grandes c´ırculos sa˜o projetados
por pi em retas que passam na origem ou c´ırculos que intersetam o S1 em pontos
ant´ıpodas. A distaˆncia d(x, y) e´ o comprimento do menor arco do grande c´ırculo
com extremos x e y. Em C esta distaˆncia corresponde a calcular a integral acima ao
longo de um segmento de uma reta passando pela origem ou de um arco de c´ırculo
proveniente de um grande c´ırculo. Esta duas distaˆncias satisfazem as seguintes
relac¸o˜es
Lema 1.10. Se x e y sa˜o pontos do S1 enta˜o
(1.26) |y − x| ≤ d(x, y) ≤ pi
2
|y − x|
Em particular temos
(1.27) ρ(z, w) ≤ d(ϕ(z), ϕ(w))≤ pi
2
ρ(z, w), z, w ∈ C∗,
onde ϕ(∞) = (0, 0, 1) se z ou w for ∞ sendo ϕ a inversa da projec¸a˜o estereogra´fica
pi.
Prova. Sabemos da geometria que a distaˆncia d(x, y) e´ realizada por um seg-
mento de geode´sica. As geode´sicas de S2 sa˜o os grandes c´ırculos o que nos da´
d(x, y) como sendo o comprimento do menor arco do grande c´ırculo contendo x e y
com extremos estes pontos. Portanto basta estudarmos uma situac¸a˜o que e´ relac¸a˜o
entre o radiano de um arco de S1 dividido pela distaˆncia entre seus extremos. Esta
situac¸a˜o pode ser representada estudando os ma´ximos e mı´nimos da func¸a˜o
β(t) =
t
|eit − 1| , 0 ≤ t ≤ pi
=
t√
2− 2 cos(t) , 0 ≤ t ≤ pi
Observe que
eit = 1 + it− t
2
2
− it
3
3!
+ · · ·
|eit − 1| = |t||i− t
2
− it
2
3!
+ · · · |
16 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
o que nos da´ limt→1 β(t) = 1. No outro extremo ocorre limt→pi β(t) = pi/2. Temos
tambe´m
β′(t) =
2− 2 cos(t)− t sin(t)
(2− 2 cos(t))2/3
A func¸a˜o g(t) = 2−2 cos(t)− t sin(t) satisfaz g′(0) = g′′(0) = g′′′(0) = 0 e g(4)(0) =
2. Enta˜o possui mı´nimo em t = 0. Por outro lado temos g′′(t) ≥ 0 para 0 ≤ t ≤ pi
o que garante a convexidade de g em [0, pi]. Sendo g(pi) = 4 concluimos que g(t) ≥
0,∀t ∈ [0, pi]. Portanto β e´ crescente e o seu ma´ximo absoluto ocorre em t = pi
provando assim o lema. �
Deixamos a cargo do leitor provar que as topologias induzidas por estas duas
me´tricas em C∗ sa˜o iguais. Se a, b ∈ B(0, R) temos
(1.28)
2|b− a|
1 +R2
≤ ρ(a, b) ≤ d(x, y) ≤ pi
2
|b− a|
Esta conclusa˜o na˜o e´ assim ta˜o assutadora. Passemos a analisar extenso˜es de
func¸o˜es definidas em um aberto do plano e tomando valores no plano estendido.
Seja f : Ω→ C uma aplicac¸a˜o anal´ıtica e z0 ∈ Ω. Sabemos que
f(z) =
∞∑
j=0
aj(z − z0)j , |z − z0| < δ
onde δ e´ o mı´nimo entre a distaˆncia de z0 a fronteira de Ω e o ra´io de convergeˆncia
R desta se´rie. Admita que esta aplicac¸a˜o f esta´ definida em Ω a excec¸a˜o de pontos
isolados. Enta˜o dizemos que cada ponto isolado onde f na˜o esta´ definida e´ uma sin-
gularidade isolada de f, ou seja, se f esta´ definida em z para 0 < |z−z0| < � enta˜o
z0 e´ uma singularidade de f. Duas situac¸o˜es merecem destaque: ∃ limz→z0 f(z) em
C∗ ou na˜o existe tal limite. Caso na˜o exista tal limite dizemos que z0 e´ singu-
laridade essencial de f. Se existe o limite enta˜o dizemos que z0 e´ polo de f se
limz→a0 f(z) = ∞. Se este limite for um ponto finito enta˜o dizemos que z0 e´ uma
singularidade remov´ıvel de f, podemos estende-la continuamente a este ponto.
Veremos mais tarde como efetuar esta extensa˜o analiticamente. Observe que se z0
na˜o e´ uma singularidade essencial enta˜o podemos estender f a z0 cont´ınuamente
tomando valores no plano estendido C∗.
Exemplo 1.11. Seja p(z) = a0 + a1z + · · · + anzn um polinoˆmio de grau n.
Se P (z) na˜o e´ constante enta˜o estende-se a uma aplicac¸a˜o P : C∗ → C∗ cont´ınua e
tem um polo no infinito. Com efeito,
|P (z)| ≥ |z|n(|an| −
∑n−1
j=0
|aj |
|z|n−j ),
≥ |z|n(|an| −
∑n−1
j=0 |aj |
R ),
≥ |an|2 |z|n
se |z| ≥ R ≥ 1, e 2∑n−1j=0 |aj | ≤ R|an|. Portanto lim|z|→∞ P (z) = ∞ como afir-
mamos.
Exemplo 1.12. Seja f uma func¸a˜o racional, isto e´, uma func¸a˜o que e´ o quo-
ciente de dois polinoˆmios f(z) = P (z)/Q(z). Sempre podemos assumir que estes
polinoˆmios sa˜o primos entre si, na˜o possuem fatores comum. Portanto P e Q
na˜o possuem zeros em comum e todos os zeros de Q sa˜o singularidades de f ,
1.2. O PLANO ESTENDIDO 17
ou melhor, sa˜o polos. Com efeito, se Q(z0) = 0 enta˜o existe uma decomposic¸a˜o
Q(z) = (z− z0)nQ0(z) onde |Q(z)| 6= 0, |z− z0| ≤ �, e n e´ a multiplicidade do zero.
Podemos escolher � de modo que |P (z)| 6= 0, |z− z0| ≤ �. O teorema de Weierstrass
garante que existe uma constante c > 0 tal que |P (z)/Q0(z)| ≥ c, |z − z0| ≤ �.
Portanto
|f(z)| ≥ c|z − z0|n , |z − z0| ≤ �
o que mostra que z0 e´ polo.
Quanto ao ponto do infinito temos as seguintes possibilidades: Se o grau de
P e´ maior que o de Q enta˜o f tem polo no infinito. Se o grau de P e´ menor que
o de Q enta˜o f tem um zero no infinito e se os graus sa˜o iguais obtemos o valor
f(∞) = an/bn onde an e bn sa˜o os coeficientes lider dos polinoˆmios. Deixamos a
cargo do leitor provar estes fatos.
Exemplo 1.13. Um caso particular do exemplo anterior e´ quando os polinoˆmios
P e Q possuem graus na˜o maiores que 1. Se
f(z) =
az + b
cz + d
, z ∈ C, ad− bc 6= 0,
chamamos f de transformac¸a˜o fraciona´ria, homogra´fica ou de Mo¨bius.Dado f ho-
mogra´fica definimos uma outra aplicac¸a˜o homogra´fica por
g(z) =
dz − b
−cz + a, z ∈ C, ad− bc 6= 0,
Observe que f ◦ g(z) = z para todo z ∈ C∗ o que mostra que f e´ sempre um
homeomorfismo do plano estendido C∗. Denotaremos por M o conjunto das trans-
formac¸o˜es homogra´ficas ou de Mo¨bius. Temos queM e´ um subgrupo do grupo dos
homeomorfismos do plano estendido, ou seja, da esfera S2.
Exemplo 1.14. Considere f(z) := exp(1/z). A origem e´ uma singularidade.
Observe que z → 1/z aplica a vizinhanc¸a do infinito AR na bola B(0; 1/R). Defina
Uk = {z|0 ≤ =(z − i(2R + 2k)) ≤ 2pi}, k = 1, 2, · · · e por Vk a imagem de Uk
por 1/z. As faixas U ′ks sa˜o disjuntas e os V
′
ks um disco retirado outro disco interno
tocando-se ambos na origem. Em pasticular os V ′ks sa˜o dois a dois disjuntos e f(Vk)
cobre o plano menos a origem. Dado � > 0 podemos tomar 1/R < � e portanto f
cobre C \ {0} infinitas veˆzes. Logo a origem e´ uma singularidade essencial de f.
Veremos mais tarde que toda singularidade essencial de uma func¸a˜o holomorfa tem
sempre um coportamento similar.
Exemplo 1.15. Ja´ vimos quando um somato´rio converge. E que se pode dizer
de um produto´rio? Sejam z1, z2, · · · nu´meros complexos e defina pn =
∏n
j=1 zj .
Dizemos que existe o produto infinito dos zn’s se existe o limite da sequ¨eˆncia for-
mada pelos pn’s e postamos ∏
zn = lim
n→∞
n∏
j=1
zj
Se existe λ > 0 tal que |zj | ≤ λ < 1 enta˜o
∏
zn = 0 obviamente. Esta e´ uma
situac¸a˜o que na˜o tem utilidade pra´tica. Admita que existe
∏
zn e que e´ na˜o nulo.
Certamente temos zn 6= 0,∀n. Alem disso
lim zn = lim
pn
pn−1
= 1
18 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
Portanto estas duas condic¸o˜es necessa´rias devem ser impostas para termos um
produto infinito na˜o nulo. De fato, zn → 1, garante que <(zn) > 0 a menos de um
nu´mero finito de termos. Em algumas situac¸o˜es e´ conveniente impor esta restric¸a˜o.
Exerc´ıcios
(1) Mostre que a projec¸a˜o esterogra´fica leva c´ırculos passando pelo polo norte em
retas e c´ırculos que na˜o passam no polo norte em c´ırculos do plano complexo.
(2) Utilize a aplicac¸a˜o exponencial para encontrar um homeomorfismo entre uma
faixa infinita {z|0 ≤ =(z) ≤ b < 2pi} e um setor circular. O logaritmo e´ a inversa
da exponencial. Encontre todas as inversas, ou seja, todos os logaritmos deste
setor circular na faixa.
(3) Considere o setor circular S = {z|0 < arg z/z0 < 2pi/n} e w0 = zn0 e U =
C \ {tw0|t > 0}. Encontre a inversa n
√
w de zn de U em S. Quantas inversas
semelhantes existem?
(4) Encontre a projec¸a˜o estereogra´fica baseada no polo sul. Qual a mudanc¸a de
coordenada entre as projec¸o˜es baseadas nos dois polos?
(5) Uma aplicac¸a˜o diferencia´vel e´ conforme se sua derivada e´ uma aplicac¸a˜o linear
conforme entre os espac¸os tangentes correspondes. Mostre que a projec¸a˜o es-
tereogra´fica e´ uma aplicac¸a˜o conforme. Qual o aˆngulo no infinito de duas retas
equidistantes?
(6) Justifique todas as afirmac¸o˜es dos exemplos acima.
(7) Seja U o conjunto das matrizes complexas 2× 2 com determinante ±1. Mostre
que U e´ um subgrupo do grupo das matrizes invers´ıveis. Quem e´ o nu´cleo
do homomorfismo original? Por que para estudarmos as transformac¸o˜es ho-
mogra´ficas e´ suficiente estudar as associadas a este grupo?
(8) Mostre que para cada δ> 0 a imagem de Aδ = {z|0 < |z| < δ} por exp(1/z)
cobre o plano menos a origem.
(9) Por que a func¸a˜o sin(1/z) na˜o contradiz o lema (1.5)?
(10) Mostre que sin(1/z) tem a seguinte propriedade: Dado δ > 0 a imagem da bola
Bδ(0) e´ sobre o plano complexo.
1.3. Aplicac¸o˜es de Mo¨bius
Examinemos algumas propriedades elementares das aplicac¸o˜es de Mo¨bius. De-
notaremos por M o conjunto de todas as aplicac¸o˜es
ϕ(z) =
az + b
cz + d
, z ∈ C, ad− bc 6= 0.
Ja´ vimos que cada elemento de M e´ um homeomorfismo do plano estendido, ou
seja, da esfera S2 e que M e´ grupo com a operac¸a˜o composic¸a˜o.
Seja GL2(C) o espac¸o das matrizes complexas 2× 2 invers´ıveis. Sabemos que
GL2(C) e´ um grupo com a operac¸a˜o produto. Ele possui um subgrupo especial
SL2(C) formado pelas matrizes A com det(A) = 1. Definimos Φ : GL2(C) → M
como a aplicac¸a˜o que associa a cada matriz A = (aij) a aplicac¸a˜o de Mo¨bius ϕA(z)
definida por
ϕA(z) =
a11z + a12
a21z + a22
, z ∈ C.
1.3. APLICAC¸O˜ES DE MO¨BIUS 19
Dados A = (aij) e B = (bij) temos
ϕA ◦ ϕB(z) = a11(b11z + b12) + a12(b21z + b22)
a21(b11z + b12) + a22(b21z + b22)
=
(a11b11 + a12b21)z + a11b12 + a12b22
(a21b11 + a22b22)z + a21b12 + a22b22
= ϕAB(z)
o que mostra que Φ e´ um homomorfismo de grupos. O nu´cleo de Φ e´ exatamente
IC onde I = (δij) e´ a matriz identidade. Alem disso ϕI(z) = z para todo z ∈ C∗.
Pelo teorema fundamental da teoria dos grupos temos
(1.29) M = GL2(C)/Nuc(Φ) = SL2(C)
Portanto M e´ isomorfo a SL2(C). Obviamente ϕ(z) e´ sempre um homeomorfismo
de C∗ pois
ϕA−1(z) = ϕ
−1
A (z),
uma vez que ϕA ◦ ϕA−1 = ϕI . Algumas aplicac¸o˜es de M possuem nomes pro´prios.
Se ϕ(z) = az dizemos que ϕ e´ uma homotetia se |a| 6= 1 ou 0 e rotac¸a˜o se |a| = 1.
Muitas vezes classificamos as homotetias em dilatac¸a˜o se |a| > 1 e contrac¸a˜o se
|a| < 1. As ϕ(z) = z + b sa˜o as translac¸o˜es e ϕ(z) = 1/z e´ uma inversa˜o (com
respeito ao c´ırculo unita´rio S1).
Lema 1.16. Toda ϕ ∈M e´ composta de homotetias, translac¸o˜es e inverso˜es.
Prova. Se c = 0 enta˜o ϕ(z) = (a/d)z+b/d que e´ a composta de uma homotetia
ou rotac¸a˜o com uma translac¸a˜o. Se c 6= 0 enta˜o
ϕ(z) =
b− ad/c
cz + d
+ a/c
que e´ composic¸a˜o de homotetia ou rotac¸a˜o com translac¸a˜o seguido de uma inversa˜o,
outra homotetia ou rotac¸a˜o e outra translac¸a˜o. �
Tomemos ϕ ∈ M. Um ponto fixo de ϕ e´ um zero da equac¸a˜o ϕ(z) − z = 0.
Portanto z deve satisfazer a equac¸a˜o do segundo grau
(1.30) cz2 + (d− a)z − b = 0, z ∈ C∗,
que sabemos ter no ma´ximo duas soluc¸o˜es, a na˜o ser que ϕ(z) seja a aplicac¸a˜o
identidade. Esta observac¸a˜o simples estabelece o seguinte crite´rio:
Crite´rio de Unicidade: Se ϕ ∈M possue pelo menos 3 pontos fixos enta˜o
ϕ e´ a identidade. Em particular, se ϕ(zj) = ψ(zj), j = 1, 2, 3, ϕ, ψ ∈ M,
onde z1, z2, z3, sa˜o distintos, enta˜o ϕ = ψ.
A u´ltima afirmac¸a˜o e´ va´lida pois ψ−1 ◦ ϕ(zj) = zj . Usaremos este crite´rio
para construir o raio cruzado entre 4 nu´meros complexos. Sejam z1, z2 e z3 tres
20 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
nu´meros complexos distintos. Definimos o raio cruzado entre z, z1 e z2, z3 por:
(z, z1, z2, z3) =

(
z − z2
z − z3
)/(
z1 − z2
z1 − z3
)
, ∞ /∈ {z1, z2, z3}
z − z2
z − z3 , z1 =∞
z1 − z3
z − z3 , z2 =∞
z − z2
z1 − z2 , z3 =∞
Se ϕ(z) = (z, z1, z2, z3), z ∈ C∗ enta˜o ϕ(z1) = 1, ϕ(z2) = 0, ϕ(z3) = ∞ e ϕ(z) e´
a u´nica aplicac¸a˜o de Mo¨bius que tem esta propriedade. Em particular se ψ ∈ M
enta˜o
(1.31) (z, z1, z2, z3) = (ψ(z), ψ(z1), ψ(z2), ψ(z3)), ∀ψ ∈M
onde ϕ(z) = (z, z1, z2, z3) uma vez que ambos os lados aplicam z1 em 1, z2 em 0
e z3 no ∞ (duas aplicac¸o˜es ϕ,ψ aplicando zj em wj para j = 1, 2, 3, satisfazem
ϕ ◦ψ−1(zj) = zj e portanto ϕ ◦ψ−1(z) = z para todo z). Segue-se enta˜o que dados
z1, z2, z3 e w1, w2, w3, existe uma u´nica aplicac¸a˜o de Mo¨bius ψ aplicando zj em wj
e esta aplicac¸a˜o pode ser encontrada resolvendo a equac¸a˜o
(1.32) (z, z1, z2, z3) = (ψ(z), w1, w2, w3).
Sabemos que os 3 pontos z1, z2 e z3 determinam de maneira u´nica um c´ırculo de
C∗. O raio cruzado com um ponto adicionando z da´ um crite´rio muito interessante
para decidir quando z esta´ neste c´ırculo ou na˜o.
Lema 1.17. Se z, z1, z2, z3, sa˜o quatro pontos distintos de C∗ enta˜o
(z, z1, z2, z3) ∈ R
se e somente o ponto z pertence ao c´ırculo de C∗ determinado por z1, z2 e z3.
Prova. Se ϕ ∈M precisamos caracterizar o conjunto Γ dos pontos onde ϕ(z) =
ϕ(z). Portanto devemos solucionar a equac¸a˜o
az + b
cz + d
=
a¯z¯ + b¯
c¯z¯ + d¯
ou equivalentemente
(ac¯− a¯c)|z|2 + (ad¯− cb¯)z − (a¯d− c¯b)z¯ + bd¯− b¯d = 0
Se ac¯− a¯c = 0, esta equac¸a˜o transforma-se em
=[(ad¯− cb¯)z + (bd¯− b¯d)] = 0
que e´ a equac¸a˜o de uma reta.
Admitindo que ac¯− a¯c 6= 0 teremos que os pontos z ∈ Γ sa˜o definidos por
|z|2 + ad¯− cb¯
ac¯− a¯cz −
a¯d− c¯b
ac¯− a¯c z¯ +
bd¯− b¯d
ac¯− a¯c = 0
que pode ser completado a |z − z0|2 = R2 onde
z0 =
a¯d− c¯b
ac¯− a¯c , e, R =
∣∣∣∣ad− cbac¯− a¯c
∣∣∣∣ .
1.3. APLICAC¸O˜ES DE MO¨BIUS 21
�
Corola´rio 1.18. Toda transformac¸a˜o homogra´fica leva c´ırculos de C∗ em
c´ırculos de C∗. Em particular, dados tres pontos z1, z2, z3, em um c´ırculo Γ e
tres pontos w1, w2, w3, em um outro c´ırculo Γ
′ existe uma u´nica transformac¸a˜o
homogra´fica ϕ que leva Γ em Γ′ e ϕ(zj) = wj , j = 1, 2, 3. Esta aplicac¸a˜o e´ dada por
(z, z1, z2, z3) = (ϕ(z), w1, w2, w3).
Duas operac¸o˜es ba´sicas aparecem quando trabalhamos nu´meros complexos: a
reflexa˜o com respeito a uma reta L e a inversa˜o com respeito a um c´ırculo arbitra´rio
C = C(z0, R) de raioR e centro z0. Toda reta L parametrizada por z(t) = α+tβ, t ∈
R, e´ dada por
L = {z | =(z − α
β
) = 0}.
Se β = reiθ, |θ| ≤ pi, enta˜o z → (z − α)/eiθ aplica L ao eixo real. Portanto z∗ e´
dado por
z∗ − α
eiθ
=
z¯ − α¯
e−iθ
Em particular se α = z2 e β = z1 − z2 temos que z∗ satisfaz
z∗ − z2
z1 − z2 =
z¯ − z¯2
z¯1 − z¯2
obtida dividindo ambos os lados por r. Esta igualdade na˜o depende dos pontos
z1 e z2 de L. De fato temos (z
∗, z1, z2,∞) = (z, z1, z2,∞). Por outro lado, se
z1, z2, z3 ∈ L sa˜o distintos enta˜o
(z∗, z1, z2, z3) =
z∗ − z2
z∗ − z3
z1 − z3
z1 − z2
=
z∗ − z2
z1 − z2
z1 − z3
z∗ − z3
=
z¯ − z¯2
z¯1 − z¯2
z¯1 − z¯3
z¯ − z¯3
= (z, z1, z2, z3)
mostrando a validade desta expressa˜o para 3 pontos de L distintos entre si e distintos
do ∞. A independeˆncia total dos 3 pontos de L deixamos a cargo do leitor.
Analogamente, a inversa˜o de z com relac¸a˜o ao c´ırculo C(z0, R) e´ dada por
z∗ = z0 +
R2
z¯ − z¯0
de onde segue-se que (z∗ − z0)(z¯ − z¯0) = R2. Segue-se enta˜o
(z∗, z1, z2, z3) = (
R2
z¯ − a¯ + a, z1, z2, z3)
= (
R2
z¯ − a¯ , z1 − a, z2 − a, z3 − a)
= (
R2
z¯ − a¯ ,
R2
z¯1 − a¯ ,
R2
z¯2 − a¯ ,
R2
z¯3 − a¯ )
= (z¯, z¯1, z¯2, z¯3).
22 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
Portanto novamente z∗ e´ a soluc¸a˜o u´nica da equac¸a˜o
(1.33) (z∗, z1, z2, z3) = (z¯, z¯1, z¯2, z¯3)
e esta soluc¸a˜o na˜o depende dos 3 pontos do c´ırculo.
A orientac¸a˜o de uma curva fechada e´ fixada quando escolhemos a ordem de
percurso passando por 3 pontos z1, z2, z3. O percurso de z1 a z2 e de z2 a z3 cria
a noc¸a˜o de lado esquerdo e direito da curva, de maneira o´bvia. Ja´ vimos que toda
aplicac¸a˜o de Mo¨bius preserva os c´ırculos do plano estendido.
Lema 1.19. Sejam Γ− 1 e Γ2 dois c´ırculos do plano estendido e ϕ uma trans-
formac¸a˜o de Mo¨bius aplicando un c´ırculo no outro. Dado uma orientac¸a˜o z1, z2, z3,
de Γ1 a orientac¸a˜o ϕ(z1), ϕ(z2), ϕ(z3), de Γ2 e´ preservada e tambe´m os lados direito
e esquerdo. Os pares z e z∗ tambe´m sa˜o preservados, isto e´, ϕ(z∗) = ϕ(z)∗.
Prova. Observe que (z, z1, z2, z3) = (ϕ(z), ϕ(z1), ϕ(z2), ϕ(z3)), que mostra que
a orientac¸a˜o e´ preservada e que
(ϕ(z∗), ϕ(z1),ϕ(z2), ϕ(z3)) = (ϕ(z), ϕ(z1), ϕ(z2), ϕ(z3)).
�
Exerc´ıcios
(1) Mostre que a definic¸a˜o do sime´trico ou refletido z∗ com respeito a um c´ırculo
Γ na˜o depende dos 3 pontos escolhidos de Γ.
(2) Denote por M(Γ) o conjunto das aplicac¸o˜es de Mo¨bius ϕ tais que ϕ(Γ) = Γ.
Mostre que a conjugac¸a˜o ϕ1 = ϕ
−1 ◦ ϕ2 ◦ ϕ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Mostre que M(Γ) e´ um subgrupo. Se ψ(Γ1) = Γ2 mostre que
M(Γ2) = ψM(Γ1)ψ
−1.
(3) Mostre que duas aplicac¸o˜es de Mo¨bius que sa˜o conjugadas possuem o mesmo
nu´mero de pontos fixos. Encontre todas as aplicac¸o˜es de Mo¨bius que possuem
somente um ponto fixo. Mostre que duas aplicac¸o˜es que possuem um u´nico
ponto fixo sa˜o conjugadas a z+1. Estas aplicac¸o˜es sa˜o chamadas de parabo´licas.
(4) Mostre que ϕ possue 2 pontos fixos se e so´ se for conjugada a λz.
(5) Mostre que ϕ e´ conjugada a λ1z e a λ2z enta˜o ou λ1 = λ2, ou λ1 = 1/λ2. No
segundo caso ϕ e´ conjugada a λz e a z/λ e estes nu´meros sa˜o chamados de
multiplicadores ou autovalores de ϕ. Se λ ∈ S1 elas sa˜o chamadas de elipticas.
Quando os multiplicadores sa˜o reais positivos elas sa˜o chamadas de hiperbo´licas,
e as restantes de loxodroˆmicas.
(6) Definida a o´rbita de z de uma aplicac¸a˜o de Mo¨bius ϕ por o(z, ϕ) = {ϕ(n)(z)|n ∈
Z}, onde ϕ(n) significa a composta tomada n vezes. Mostre que ϕ e´ parabo´lica
se e so´ se
lim
n→−∞ϕ
(n)(z) = lim
n→∞ϕ
(n)(z) = z0
onde z0 e´ o u´nico ponto fixo de ϕ.
(7) Mostre que ϕ e´ eliptica se e so´ se os pontos fixos de ϕ na˜o esta˜o no fecho da
o´rbita o(z, ϕ) para ϕ(z) 6= z.
(8) Mostre que ϕ e´ loxodroˆmica ou hiperbo´lica se e so´ se temos
lim
n→−∞ϕ
(n)(z) = z1, lim
n→∞ϕ
(n)(z) = z2
1.4. APEˆNDICE I: FUNC¸O˜ES REAIS ANALI´TICAS 23
onde z1 6= z2, para todo z que na˜o e´ ponto fixo. Temos ainda que z1 e´ ponto
fixo com multiplicador |λ| > 1 e z2 e´ ponto fixo com multiplicador |λ−1| < 1.
(9) Encontre M(R).
(10) Encontre M(S1).
(11) Mostre que se f : C∗ → C∗ e´ um homeomorfismo e U e´ um aberto enta˜o
V = f(U) e´ um aberto e ∂V = f(∂U). Encontre as ϕ ∈M que deixam o disco
unita´rio D invariante.
(12) Sejam z1, z2, z3, nu´meros reais e escreva
ϕ(z) = (z, z1, z2, z3) =
az + b
cz + d
.
Mostre que
=(ϕ(z)) = ab− bc|cz + d|2=(z).
1.4. Apeˆndice I: Func¸o˜es Reais Anal´ıticas
Uma func¸a˜o real f : (a, b) ⊂ R → R e´ dita anal´ıtica se em uma visinhanc¸a de
cada ponto x0 de seu domı´nio os valores f(x) sa˜o dados por uma se´rie de poteˆncias,
ou seja,
f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · · , |x− x0| < �
Sabemos do ca´lculo que as func¸o˜es infinitamente diferenciaveis possuem uma se´rie
de Taylor em cada ponto do seu domı´nio e que esta se´rie e´ u´nica. Portanto uma
func¸a˜o e´ anal´ıtica se e somente se a se´rie de Taylor tem desenvolvimento infinito
em cada ponto e converge ao valor da func¸a˜o em uma vizinhanc¸a. E´ fa´cil obter este
desenvolvimento em se´rie para algumas func¸o˜es reais ou complexas. Vejamos um
exemplo. Vejamos um crite´rio para decidir quando uma func¸a˜o real e´ anal´ıtica. Este
mesmo crite´rio vale em situac¸o˜es bem mais geral. Entretanto neste caso particular
e´ importante para justificar o que queremos fazer agora. Antes pore´m necessitamos
de um resultado sobre se´ries absolutamente convergentes que nem sempre aparece
nos livros textos da maneira como anunciamos abaixo.
Lema 1.20. Uma func¸a˜o f : (a, b)→ R de classe C∞ e´ anal´ıtica se e somente
se existe uma constante K e um nu´mero real r, 0 < r ≤ min{x0 − a, b − x0} tais
que
(1.34) sup
|x−x0|<r
|f (n)(x)| ≤ K n!
rn
, ∀n
Proof. Seja f : (a, b)→ R satisfazendo a condic¸a˜o do lema. Pelo desenvolvi-
mento de Taylor com resto de Lagrange (ver Teorema 10 do Cap´ıtulo 8 de [L])
temos
f(x) =
f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + · · ·+ 1n!f (n)(x0)(x− x0)n
+ 1n!f
(n)(c)(x− x0)n(1.35)
= Sn(x) +
1
n!
f (n)(c)(x− x0)n(1.36)
24 1. FUNC¸O˜ES ANALI´TICAS COMPLEXAS
onde c esta´ entre x0 e x. Tome o intervalo fechado I = [x0−r′, x0 +r′], r′ = λr, 0 <
λ < 1. Enta˜o, usando a norma do supremo no intervalo I obtemos
||f − Sn||I ≤ (r
′)n
n!
||f (n)||I(1.37)
≤ K(r
′
r
)n(1.38)
= Kλn(1.39)
Portanto Sn converge uniformemente no intervalo I para f o que assegura a sua
analiticidade.
Assuma agora que f e´ anal´ıtica e tem o desenvolvimento dado acma. Sabemos
do ca´lculo (ver [L]) que
f (n)(x) =
∑
k≥n
k(k − 1) · · · (k − n+ 1)ak(x− x0)k−n, |x− x0| < �
Tomemos r tal que 0 < 2r < �. Como a se´rie converge em x = 2r segue-se que
|ak|(2r)k ≤
∑
j≥0
|aj |(2r)j = K, ∀k ≥ 0.
Para |x− x0| ≤ r temos enta˜o
|f (n)(x)| ≤
∑
k≥n
k!
(k − n)! |ak|r
k−n(1.40)
≤ K
∑
k≥n
k!
(k − n)! (2r)
−krk−n(1.41)
≤ 2
nKn!
rn
∑
k≥n
k!
n!(k − n)! (
1
2
)k−n(1.42)
≤ 2Kn!
rn
(1.43)
pois o u´ltimo somato´rio e´ o desenvolvimento de (1 − x)n+1 no ponto x = 1/2
provando assim a desigualdade. �
Corola´rio 1.21. Soma, produto, inversa˜o e composic¸a˜o de func¸o˜es ananl´ıticas
e´ anal´ıtica onde estiverem definidas.
Proof. A demonstrac¸a˜o para somas ou diferenc¸as segue-se imediatamente da
desigualdade do lema. Tomemos h = fg. Seja K e � tais que a desigualdade do
lema vale com estes valores para as duas func¸o˜es. Fixemos r tal que 0 < 2r < �.
Temos
|h(n)(x)| ≤
n∑
j=0
(
n
j
)
|fn−j(x)||gj(x)|, |x− x0| < r(1.44)
≤ K2
n∑
j=0
(
n
j
)
(n− j)!
�n−j
j!
�j
(1.45)
≤ K
2nn!
2nrn
(1.46)
≤ K
2n!
rn
(1.47)
1.5. APEˆNDICE II:PARTIC¸A˜O DA UNIDADE 25
o que prova que produto de func¸o˜es anal´ıticas e´ anal´ıtica. Para encerrar a prova
basta mostrar que a composta de func¸o˜es anal´ıticas e´ anal´ıtica. Usaremos o seguinte
crite´rio para se´ries absolutamente convergente:
�
1.5. Apeˆndice II:Partic¸a˜o da Unidade
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