Lista Resolvida Livro Dinamica Mecanica para Engenharia

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Mecânica II 
EXEMPLOS e EXERCÍCIOS 1 
 
Este material é um resumo de exemplos e exercícios, a maior parte deles do livro básico da disciplina. 
As seguintes equações serão utilizadas: 
 
E1 2 1
2 1
s sds s
v s
dt t t t
−∆
= = = =
∆ −
ɺ
 
 
E2 
2
2 1
2
2 1
v vdv d s v
a s
dt dt t t t
−∆
= = = = =
∆ −
ɺɺ
 
 
E3 dva ds v dv ou a v
ds
= = 
E4 0 0 ( )
t
v v a t dt= + ∫ } a = f(t) E5 0 0ts s v dt= + ∫ quando s = f(t) 
E6 0 ( )0
v
v
a vv
s s dv= + ∫ } a = f(v) E7 1( )0v a vvt dv= ∫ quando t = f(v) 
E8 2 20 02 ( )
s
s
v v a s ds= + ∫ } a = f(s) E9 1( )0s a sst ds= ∫ quando t = f(s) 
E10 0 cv v a t= + quando v = f(t) } a = ac = constante E11 210 0 2 cs s v t a t= + + quando s = f(t) 
E12 2 20 02 ( )cv v a s s= + − quando v = f(s) 
 
 
 
Ex12.1- Um carro move-se em linha reta de tal maneira que por curto período sua velocidade é 
definida por v = (3t2+2t) pés/s, onde t está em segundos. Determine sua posição e aceleração quando 
t = 3s. Considere que em t = 0, s = 0. 
 s (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• | 
0 s, v, a ? 
Ex12.2- Um pequeno projétil é disparado verticalmente para baixo em um meio fluido com uma 
velocidade inicial de 60 m/s. Devido à resistência do arrasto do fluído, o projétil experimenta uma 
desaceleração de a = (-0,4v3)m/s2, onde v é dado em m/s2. Determine a velocidade do projétil e a 
posição 4 s após ele ser disparado. 
 
 
 
Ex12.5- Um ponto material (PM) move-se ao longo de uma trajetória horizontal com velocidade 
v = (3t2-6t) m/s, onde t é o tempo em segundos. Se ela está localizada inicialmente na origem O, 
determine a distância percorrida em 3,5 s; a velocidade média e a velocidade média de percurso do PM 
durante o intervalo de tempo. 
 s (m) 
 
 
 0 
• 
 
 
 
 
 
 
P1- Um ponto material desloca-se numa trajetória retilínea tal que em 2 s ele se move de uma posição 
inicial sA = 0,5 m até uma posição sB = -1,5 m. Em seguida, em 4 s ele se desloca da posição sB para a 
posição sC = 2,5 m. Determine a velocidade média e a velocidade média do percurso do ponto material 
durante o intervalo de tempo de 6 s. 
 s (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sB 0 sA sC 
| • | | 
P2- Um trem de carga viaja a uma velocidade v = 60 (1 – e-t) pés/s onde t, medido em segundos, é o 
tempo decorrido. Determine a distância que é coberta pelo trem em três segundos, assim como a 
aceleração nesse tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P3- A posição de um ponto material ao longo de uma linha reta é dada por s = (t3 – 9t2 + 15t) pés, onde 
t é dado em segundos. Determine sua aceleração máxima e sua velocidade máxima no intervalo de 
tempo 0 < t < 10 s. 
 
 
P10- A velocidade de um ponto material em movimento retilíneo é dada por v = [5/(4 + s)] m/s, onde s 
é dado em metros. Determine a desaceleração do ponto para s = 2 m. 
 
 
P4- Um ponto material se desloca numa reta de tal modo que no intervalo de tempo 2 < t < 6 seu 
movimento é descrito por v = (4/a) pés/s, onde t é dado em segundos e a em pés/s2. Se v = 6 pés/s 
quando t = 2 s, determine a aceleração do ponto quando t = 3 s. 
 
 
 
P5- A aceleração de um ponto material em movimento retilíneo é dada por a = (2t – 1) m/s2, onde t é 
dado em segundos. Se s = 1 m e v = 2 m/s quando t = 0, determine a velocidade e a posição do ponto 
material no instante t = 6 s, assim como a distancia total percorrida até esse instante. 
 
 
 
 
P6- Um trem está se deslocando num trecho retilíneo da estrada. Quando sua velocidade é de 2 m/s ele 
começa a acelerar segundo a expressão a = (60 v-4) m/s2, onde v é dado em m/s. Determine sua 
velocidade e posição 3 s após o inicio da aceleração. 
 
 
 
P7- A posição de uma partícula em movimento retilíneo é dada por s = (1,5t3 – 13,5t2 + 22,5t) pés, 
onde t é medido em segundos. Determine a posição da partícula quando t = 6 s e a distancia total que 
ela percorre durante o intervalo de tempo. Dica: trace a trajetória para determinar a distancia total 
percorrida. 
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 
s (m) 0,0 10,5 3,0 -13,5 -30,0 -37,5 -27 
 
 s (m) 
 
 
 
 
 | | • | 
s(5)= -37,5m s(6)= -27m 0 s(1)= 10,5m 
P8- A posição de um ponto material em movimento retilíneo é dada por s = (t3 – 9t2 + 15t) pés, onde t 
é medido em segundos. Determine a posição do ponto quando t = 6 s e a distancia total que ele 
percorre durante o intervalo de tempo de 0 a 6 s. Dica: trace a trajetória para determinar a distancia 
total percorrida. 
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 
s (m) 0 7 2 -9 -20 -25 -18 
 
 s (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | | • | 
s(5)= -25m s(6)= -18m 0 s(1)= 7m 
P9- A velocidade de um ponto material em movimento retilíneo é dada por v = [5/(4 + s)] m/s, onde s 
é dado em metros. Determine a posição do ponto para t = 6 s, considerando que s = 5 m quando t = 0. 
 
 
 
P11- Duas partículas, A e B, partem do repouso na origem s = 0, e se deslocam em movimento 
retilíneo com acelerações aA = (6t – 3) pés/s2 e aB = (12t2 – 8) pés/s2, onde t é dado em segundos. 
Determine a distância entre elas quando t = 4 s e a distância que cada uma delas percorre até esse 
instante. 
 
 
P12- Um carro parte do repouso, em movimento retilíneo, com aceleração a = (3s-1/3) m/s2, onde s é 
dado em metros. Determine a aceleração do carro quando t = 4 s. 
 
 
 
P13- Um ponto material tem movimento retilíneo, com aceleração a = -ks, onde s é a distancia do 
ponto material ao ponto de partida e k é uma constante de proporcionalidade (a ser determinada). Para 
s = 2 pés a velocidade é de 4 pés/s e para s = 3,5 pés a velocidade é de 10 pés/s. Qual é o valor de s 
quando v = 0? 
 
 
 
P14- A aceleração de um foguete em movimento ascendente é dada por a = (6 + 0,02s) m/s2, onde s é 
dado em metros. Determine a velocidade do foguete quando s = 2 km e o tempo necessário para ele 
atingir essa altitude. Inicialmente (quando t = 0), v = 0 e s = 0. 
 
 
P15- A aceleração de um foguete em movimento ascendente é dada por a = (6 + 0,02s) m/s2, onde s é 
dado em metros. Determine o tempo necessário para o foguete atingir a altitude de s = 100 m. 
Inicialmente (quando t = 0), v = 0 e s = 0. 
 
P16- Um ponto material desloca-se em uma reta, com aceleração a = 5/(3s1/3 + s5/2) m/s2, onde s é dado 
em metros (é o mesmo que dizer que o ponto tem movimento retilíneo acelerado). Determine a 
velocidade do ponto quando s = 2 m, supondo que ele parte do repouso em s = 1 m. Use a regra de 
Simpson para calcular a integral. 
 
P17- A aceleração de um ponto material em movimento retilíneo é definida por a = (2t – 9) m/s2, onde 
t é dado em segundos. Em t = 0, s = 1 m e v = 10 m/s. Quando t = 9 s determine: a) a posição; b) a 
distância total que oponto percorre e; c) sua velocidade. 
 
 
P18- Em determinado instante, a velocidade de uma partícula se deslocando ao longo de uma reta é de 
4 m/s. Considere esse instante como a origem do teste, isto é, t = 0 e s = 0. Se a partícula desacelera a 
uma taxa a = (-1,5v1/2) m/s2, onde v é dado em m/s, determine a distância que ele percorre até parar. 
 
 
 
P19- Se os efeitos da resistência do ar são levados em conta, a aceleração de um corpo em queda livre 
é definida pela equação a = 9,81(1 - 10-4v²) m/s², onde v é dado em m/s e o sentido positivo é para 
baixo. Se o corpo inicialmente em repouso é abandonado a uma grande altitude, determine: a) a 
velocidade para t = 5s. b) a velocidade terminal ou velocidade máxima atingida (t=∞) pelo corpo.
 
P20- Quando um corpo é lançado de uma grande altitude, a variação da aceleração da gravidade deve 
ser levada em conta. Desprezando-se a resistência do ar, essa aceleração pode ser calculada pela 
fórmula a = -go[R²/(R+y)²], onde a constante go é a aceleração da gravidade ao nível do mar 
(9,81 m/s²), R é o raio da Terra (6356 km), y é a altitude em relação à superfície terrestre e o sentido 
positivo é para cima. Determine a velocidade mínima (ou velocidade de escape) de lançamento vertical 
na superfície da Terra para a qual o corpo não retorna ao solo. Dica: isso exige que v = 0 para y → ∞. 
 
P21- Levando em conta a dependência da aceleração gravitacional com a altitude y (veja o problema 
P20), deduza uma equação que relacione a velocidade de queda livre de um corpo com sua altitude. 
Suponha que o corpo inicialmente em repouso é abandonado a uma altitude y0 medida a partir da 
superfície terrestre. Com que velocidade o corpo atinge o solo se ele é abandonado a uma altitude 
y0 = 500 km? Use os valores fornecidos no Problema P20. 
 
 
 
 
 
P22- Quando um corpo cai através do ar, sua aceleração inicial a = g diminui até se anular e a partir 
daí ele cai a uma velocidade constante ou terminal vf. Se essa variação de aceleração pode ser expressa 
como a = (g/vf²)(vf²-v²), determine o tempo necessário para a velocidade se tornar v < vf. O corpo 
inicia seu movimento do repouso. 
 
 
 
Aceleração constante 
 
P23- Um ciclista parte do repouso e alcança a velocidade de 30 km/h após percorrer uma distância de 
20 m ao longo de uma trajetória retilínea, com aceleração constante. Determine a sua aceleração. 
Quanto tempo leva o ciclista para atingir os 30 km/h? 
 
 
 
Ex12.3- Durante um teste, um foguete está subindo verticalmente a 75 m/s quando, a 40 m do solo, seu 
motor falha. Determine a altura máxima sb alcançada pelo foguete e sua velocidade ao atingir o solo. 
Após a falha do motor, a aceleração do foguete, devido à ação da gravidade terrestre passa a ser 
9,81 m/s2 para baixo. Despreze o efeito da resistência do ar. 
 
 
P24- Um carro parte do repouso e alcança a velocidade de 80 pés/s, após trafegar por 500 pés ao longo 
de um trecho retilíneo de uma estrada, mantendo sua aceleração constante. Determine a aceleração e o 
tempo decorrido nesse percurso. 
 
 
P25- De uma torre a 50 pés do solo, atira-se verticalmente para baixo uma bola de beisebol com uma 
velocidade de 18 pés/s. Determine o tempo que a bola leva para chegar ao solo, assim como a 
velocidade com que ela chega. 
 
 
P26- Dirigindo a uma velocidade inicial de 70 km/h, um carro acelera a 6.000 km/h2 num trecho reto 
de uma estrada. Quanto tempo o carro leva para atingir a velocidade de 120 km/h? Que distância o 
carro percorre nesse tempo? 
 
 
P27- Aproximadamente de que andar de um edifício um carro deve cair, a partir do repouso, para que 
ele alcance a velocidade de 80,7 pés/s (55 mi/h) ao atingir o solo? Cada andar tem altura de 12 pés. 
 
 
P28- Um carro deve ter transportado em um elevador até o quarto andar de um estacionamento que 
está 48 pés acima do sol. Se o elevador pode acelerar a 0,6 pés/s2, desacelerar a 0,3 pé/s2 e atingir uma 
velocidade máxima de 8 pés/s, determine o menor tempo em que o elevador faz o transporte, partindo 
do repouso e terminando em repouso.