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Mecânica II EXEMPLOS e EXERCÍCIOS 1 Este material é um resumo de exemplos e exercícios, a maior parte deles do livro básico da disciplina. As seguintes equações serão utilizadas: E1 2 1 2 1 s sds s v s dt t t t −∆ = = = = ∆ − ɺ E2 2 2 1 2 2 1 v vdv d s v a s dt dt t t t −∆ = = = = = ∆ − ɺɺ E3 dva ds v dv ou a v ds = = E4 0 0 ( ) t v v a t dt= + ∫ } a = f(t) E5 0 0ts s v dt= + ∫ quando s = f(t) E6 0 ( )0 v v a vv s s dv= + ∫ } a = f(v) E7 1( )0v a vvt dv= ∫ quando t = f(v) E8 2 20 02 ( ) s s v v a s ds= + ∫ } a = f(s) E9 1( )0s a sst ds= ∫ quando t = f(s) E10 0 cv v a t= + quando v = f(t) } a = ac = constante E11 210 0 2 cs s v t a t= + + quando s = f(t) E12 2 20 02 ( )cv v a s s= + − quando v = f(s) Ex12.1- Um carro move-se em linha reta de tal maneira que por curto período sua velocidade é definida por v = (3t2+2t) pés/s, onde t está em segundos. Determine sua posição e aceleração quando t = 3s. Considere que em t = 0, s = 0. s (m) • | 0 s, v, a ? Ex12.2- Um pequeno projétil é disparado verticalmente para baixo em um meio fluido com uma velocidade inicial de 60 m/s. Devido à resistência do arrasto do fluído, o projétil experimenta uma desaceleração de a = (-0,4v3)m/s2, onde v é dado em m/s2. Determine a velocidade do projétil e a posição 4 s após ele ser disparado. Ex12.5- Um ponto material (PM) move-se ao longo de uma trajetória horizontal com velocidade v = (3t2-6t) m/s, onde t é o tempo em segundos. Se ela está localizada inicialmente na origem O, determine a distância percorrida em 3,5 s; a velocidade média e a velocidade média de percurso do PM durante o intervalo de tempo. s (m) 0 • P1- Um ponto material desloca-se numa trajetória retilínea tal que em 2 s ele se move de uma posição inicial sA = 0,5 m até uma posição sB = -1,5 m. Em seguida, em 4 s ele se desloca da posição sB para a posição sC = 2,5 m. Determine a velocidade média e a velocidade média do percurso do ponto material durante o intervalo de tempo de 6 s. s (m) sB 0 sA sC | • | | P2- Um trem de carga viaja a uma velocidade v = 60 (1 – e-t) pés/s onde t, medido em segundos, é o tempo decorrido. Determine a distância que é coberta pelo trem em três segundos, assim como a aceleração nesse tempo. P3- A posição de um ponto material ao longo de uma linha reta é dada por s = (t3 – 9t2 + 15t) pés, onde t é dado em segundos. Determine sua aceleração máxima e sua velocidade máxima no intervalo de tempo 0 < t < 10 s. P10- A velocidade de um ponto material em movimento retilíneo é dada por v = [5/(4 + s)] m/s, onde s é dado em metros. Determine a desaceleração do ponto para s = 2 m. P4- Um ponto material se desloca numa reta de tal modo que no intervalo de tempo 2 < t < 6 seu movimento é descrito por v = (4/a) pés/s, onde t é dado em segundos e a em pés/s2. Se v = 6 pés/s quando t = 2 s, determine a aceleração do ponto quando t = 3 s. P5- A aceleração de um ponto material em movimento retilíneo é dada por a = (2t – 1) m/s2, onde t é dado em segundos. Se s = 1 m e v = 2 m/s quando t = 0, determine a velocidade e a posição do ponto material no instante t = 6 s, assim como a distancia total percorrida até esse instante. P6- Um trem está se deslocando num trecho retilíneo da estrada. Quando sua velocidade é de 2 m/s ele começa a acelerar segundo a expressão a = (60 v-4) m/s2, onde v é dado em m/s. Determine sua velocidade e posição 3 s após o inicio da aceleração. P7- A posição de uma partícula em movimento retilíneo é dada por s = (1,5t3 – 13,5t2 + 22,5t) pés, onde t é medido em segundos. Determine a posição da partícula quando t = 6 s e a distancia total que ela percorre durante o intervalo de tempo. Dica: trace a trajetória para determinar a distancia total percorrida. t (s) 0 1 2 3 4 5 6 s (m) 0,0 10,5 3,0 -13,5 -30,0 -37,5 -27 s (m) | | • | s(5)= -37,5m s(6)= -27m 0 s(1)= 10,5m P8- A posição de um ponto material em movimento retilíneo é dada por s = (t3 – 9t2 + 15t) pés, onde t é medido em segundos. Determine a posição do ponto quando t = 6 s e a distancia total que ele percorre durante o intervalo de tempo de 0 a 6 s. Dica: trace a trajetória para determinar a distancia total percorrida. t (s) 0 1 2 3 4 5 6 s (m) 0 7 2 -9 -20 -25 -18 s (m) | | • | s(5)= -25m s(6)= -18m 0 s(1)= 7m P9- A velocidade de um ponto material em movimento retilíneo é dada por v = [5/(4 + s)] m/s, onde s é dado em metros. Determine a posição do ponto para t = 6 s, considerando que s = 5 m quando t = 0. P11- Duas partículas, A e B, partem do repouso na origem s = 0, e se deslocam em movimento retilíneo com acelerações aA = (6t – 3) pés/s2 e aB = (12t2 – 8) pés/s2, onde t é dado em segundos. Determine a distância entre elas quando t = 4 s e a distância que cada uma delas percorre até esse instante. P12- Um carro parte do repouso, em movimento retilíneo, com aceleração a = (3s-1/3) m/s2, onde s é dado em metros. Determine a aceleração do carro quando t = 4 s. P13- Um ponto material tem movimento retilíneo, com aceleração a = -ks, onde s é a distancia do ponto material ao ponto de partida e k é uma constante de proporcionalidade (a ser determinada). Para s = 2 pés a velocidade é de 4 pés/s e para s = 3,5 pés a velocidade é de 10 pés/s. Qual é o valor de s quando v = 0? P14- A aceleração de um foguete em movimento ascendente é dada por a = (6 + 0,02s) m/s2, onde s é dado em metros. Determine a velocidade do foguete quando s = 2 km e o tempo necessário para ele atingir essa altitude. Inicialmente (quando t = 0), v = 0 e s = 0. P15- A aceleração de um foguete em movimento ascendente é dada por a = (6 + 0,02s) m/s2, onde s é dado em metros. Determine o tempo necessário para o foguete atingir a altitude de s = 100 m. Inicialmente (quando t = 0), v = 0 e s = 0. P16- Um ponto material desloca-se em uma reta, com aceleração a = 5/(3s1/3 + s5/2) m/s2, onde s é dado em metros (é o mesmo que dizer que o ponto tem movimento retilíneo acelerado). Determine a velocidade do ponto quando s = 2 m, supondo que ele parte do repouso em s = 1 m. Use a regra de Simpson para calcular a integral. P17- A aceleração de um ponto material em movimento retilíneo é definida por a = (2t – 9) m/s2, onde t é dado em segundos. Em t = 0, s = 1 m e v = 10 m/s. Quando t = 9 s determine: a) a posição; b) a distância total que oponto percorre e; c) sua velocidade. P18- Em determinado instante, a velocidade de uma partícula se deslocando ao longo de uma reta é de 4 m/s. Considere esse instante como a origem do teste, isto é, t = 0 e s = 0. Se a partícula desacelera a uma taxa a = (-1,5v1/2) m/s2, onde v é dado em m/s, determine a distância que ele percorre até parar. P19- Se os efeitos da resistência do ar são levados em conta, a aceleração de um corpo em queda livre é definida pela equação a = 9,81(1 - 10-4v²) m/s², onde v é dado em m/s e o sentido positivo é para baixo. Se o corpo inicialmente em repouso é abandonado a uma grande altitude, determine: a) a velocidade para t = 5s. b) a velocidade terminal ou velocidade máxima atingida (t=∞) pelo corpo. P20- Quando um corpo é lançado de uma grande altitude, a variação da aceleração da gravidade deve ser levada em conta. Desprezando-se a resistência do ar, essa aceleração pode ser calculada pela fórmula a = -go[R²/(R+y)²], onde a constante go é a aceleração da gravidade ao nível do mar (9,81 m/s²), R é o raio da Terra (6356 km), y é a altitude em relação à superfície terrestre e o sentido positivo é para cima. Determine a velocidade mínima (ou velocidade de escape) de lançamento vertical na superfície da Terra para a qual o corpo não retorna ao solo. Dica: isso exige que v = 0 para y → ∞. P21- Levando em conta a dependência da aceleração gravitacional com a altitude y (veja o problema P20), deduza uma equação que relacione a velocidade de queda livre de um corpo com sua altitude. Suponha que o corpo inicialmente em repouso é abandonado a uma altitude y0 medida a partir da superfície terrestre. Com que velocidade o corpo atinge o solo se ele é abandonado a uma altitude y0 = 500 km? Use os valores fornecidos no Problema P20. P22- Quando um corpo cai através do ar, sua aceleração inicial a = g diminui até se anular e a partir daí ele cai a uma velocidade constante ou terminal vf. Se essa variação de aceleração pode ser expressa como a = (g/vf²)(vf²-v²), determine o tempo necessário para a velocidade se tornar v < vf. O corpo inicia seu movimento do repouso. Aceleração constante P23- Um ciclista parte do repouso e alcança a velocidade de 30 km/h após percorrer uma distância de 20 m ao longo de uma trajetória retilínea, com aceleração constante. Determine a sua aceleração. Quanto tempo leva o ciclista para atingir os 30 km/h? Ex12.3- Durante um teste, um foguete está subindo verticalmente a 75 m/s quando, a 40 m do solo, seu motor falha. Determine a altura máxima sb alcançada pelo foguete e sua velocidade ao atingir o solo. Após a falha do motor, a aceleração do foguete, devido à ação da gravidade terrestre passa a ser 9,81 m/s2 para baixo. Despreze o efeito da resistência do ar. P24- Um carro parte do repouso e alcança a velocidade de 80 pés/s, após trafegar por 500 pés ao longo de um trecho retilíneo de uma estrada, mantendo sua aceleração constante. Determine a aceleração e o tempo decorrido nesse percurso. P25- De uma torre a 50 pés do solo, atira-se verticalmente para baixo uma bola de beisebol com uma velocidade de 18 pés/s. Determine o tempo que a bola leva para chegar ao solo, assim como a velocidade com que ela chega. P26- Dirigindo a uma velocidade inicial de 70 km/h, um carro acelera a 6.000 km/h2 num trecho reto de uma estrada. Quanto tempo o carro leva para atingir a velocidade de 120 km/h? Que distância o carro percorre nesse tempo? P27- Aproximadamente de que andar de um edifício um carro deve cair, a partir do repouso, para que ele alcance a velocidade de 80,7 pés/s (55 mi/h) ao atingir o solo? Cada andar tem altura de 12 pés. P28- Um carro deve ter transportado em um elevador até o quarto andar de um estacionamento que está 48 pés acima do sol. Se o elevador pode acelerar a 0,6 pés/s2, desacelerar a 0,3 pé/s2 e atingir uma velocidade máxima de 8 pés/s, determine o menor tempo em que o elevador faz o transporte, partindo do repouso e terminando em repouso.
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