Produto Escalar

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UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA
 Álgebra Linear E Geometria Analítica – Produto Escalar
01- Determinar o ângulo entre os vetores 
 = (
/2, 1/2, 0) e 
= (
/2, 1/2, 
). R. 
02- Estudar a dependência linear dos vetores:
	a) 
 = (3,2,-1)				 b) 
 = (3,2,1) e 
 = (1,-3,4)
	c) 
 = (5,6,3), 
 = (2,1,3) e 
 = (3,1,4) d) 
 = (4,-2) e 
 = (2,-1)
	e) 
 = (4,-9,11), 
=(2,1,1) e 
=(3,-4,6)	 f) 
 = (0,0,0)
	g) 
 = (1,2), 
 = (3,-1) e 
 = (-1,1)	 h) 
= (l,-2,0), 
=(2,1,-3) e 
=(3,0,-1)
 R. a ,b, c, h são LI e, os demais, são LD
03- Ache x de modo que u e v sejam ortogonais:
	a) 
 = (x, x, 4) e 
 = (4, x, 1) R. x = -2
	b) 
 = (x + 1, 1, 2) e 
 = (x-1, -1, -2) R. x = 
	c) 
 = (x, -1, 4) e 
 = (x, -3, 1) R. não existe
04- Sabendo-se que |
| = 
, |
| =3 e que 
 e 
 formam um ângulo 
 = 
, determinar |(2
 – 
)
(
 – 2
)| R. 37
05- Dados os vetores 
 = (2, 1, k), 
 = (k +2, -5, 2) e 
 = (2k, 8, k), determinar o valor de k para que o vetor 
 + 
 seja ortogonal ao vetor 
-
. R. 3 ou -6
06- Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor 
, tal que 
. R. (-17,-13,-15)
07- Encontrar um vetor 
, ortogonal aos vetores 
 = (2,3,-1) e 
 = (2,-4,6), cujo módulo seja 3
 e forme um ângulo agudo com o vetor 
 = (1,0,0). R. 
 = (3,-3,-3)
08- Encontrar os vetores unitários, paralelos ao plano yOz e que são ortogonais ao vetor 
 = (4,1,-2). R. 
09- Ache um vetor 
, ortogonal aos vetores 
 = (4,-1,5) e 
 = (1,-2,3), e que satisfaz a condição: 
�� EMBED Equation.3 (1,1,1) = -1. R. 
 = (1,-1,-1)
10- Ache um vetor 
, tal que |
| =
, o ângulo entre 
 e (1,-1,0) seja 45o e 
 seja ortogonal a (1,1,0). R. (
/2, -
/2, 1) e (
/2, -
/2, -1)
11- Calcule |2
 + 4
|2, sabendo que |
| = 1, |
| = 2 e o ângulo entre 
 e 
 é 120o. R. 52
12- Calcular 
, sendo A, B e C vértices de um triângulo equilátero de lado unitário. R. - 3/2
13- Se 
 + 
 + 
 = 0, calcular 
�� EMBED Equation.3 
+ 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 , sendo |
| = 3/2, |
| = 1/2 e |
| = 2. R. -13/4
14- A medida do ângulo entre os vetores 
 e 
 é 45o. Sabendo-se que |
| =
 e |
| = 1, encontrar o ângulo entre 
 + 
 e 
 - 
. R. 38,32o 
15- Determinar o vetor 
 tal que |
| = 2, o ângulo entre 
 e 
 = (1,-1,0) é 45°, 
 é ortogonal a 
 = (1,1,0) e forma um ângulo obtuso com o eixo oz. R. (1,-1,-
)
16- Encontrar dois vetores 
 e 
, tais que sua soma seja o vetor 
 = (1,0,3), sabendo-se que 
, (1,1,1) e (-1,1,2) são linearmente dependentes e 
 é ortogonal aos dois últimos.
 R. 
 = (1/2, 3/2, 2) e v = (1/2, -3/2, 1)
17- Determinar o vetor projeção do vetor 
 = (-1,1,1) na direção do vetor 
 = (-2,1,2).
 R. (-10/9, 5/9, 10/9)
18- Determinar o vetor projeção do vetor 
 = (5,-2,6) na direção do eixo oz. R. (0,0,6)
19- Calcular o módulo do vetor projeção de
na direção do vetor 
 = 
 + 
, sendo 
 = (1,-3,4), 
 = (3,-4,2) e 
 = (-1,1,4). R. 5
20- Calcular a projeção do vetor 
 = (4,-3,2) sobre um eixo que forma com os eixos coordenados ângulos agudos iguais. R. (1,1,1)
21. Dado o triângulo de vértices A = (1,2,-3), B = (-1,-1,2) e C = (7,-1,3), determinar:
o ângulo externo do vértice C; R. 138,09°
a projeção do vetor AB sobre o vetor AC; R. (2,-1,2)
o ponto H, pé da altura baixada do vértice A. R. H = (3,1,-1)
22- Decomponha o vetor 
 = (6,1,-1) como soma de dois vetores 
1 e 
2 , com 
1 paralelo ao vetor 
 = (-4,4,-2) e 
2 ortogonal a 
. R.
1 = (2,-2,1) e
2 = (4,3,-2)
23- Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor 
, tal que 
. R ( (-17, -13, -15)
 BOM ESTUDO
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