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CálculoA-Lista-1ªUnidade

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 1A LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
01. Esboce o gráfico de f, determine )x(f
ax
lim ),x(f
ax
lim
+®-®
 e, caso exista, :)x(f
ax
lim
®
 
 a)
ï
î
ï
í
ì
+
-
=
,14
 , 2
,23
)(
x
x
xf 
1
11
1
<
=
>
x
) =(a x
x
 b) 
, x
, 
,x
)x(f
ï
ï
î
ïï
í
ì
-
-
=
1
1
12
 
1
22
21
<
=
¹³
x
) =(a x
x e x
 
 c)
ïî
ï
í
ì
-
-=
, x
,xx
)x(f
2
 
0
0
<
³
x
x
 )a( 0= d)
ïî
ï
í
ì
+
+
=
,0
,
|2|
2
)( x
x
xf 
2
)2- =(a 
2 
-=
-¹
x
x
 
 
02. Determine, se possível, a Î R, para que exista )x(f
xx
lim
o®
, sendo: 
 a)
ï
î
ï
í
ì
-
-
=
,x a
, 
,x
)x(f
5
3
23
 
1
11
1
-<
-=-=
->
x
)x( x
x
o b)
ïî
ï
í
ì --
=
-
 , a
,)x)(x(
)x(f
12 24
2
2
=
¹
x
x
 )x( o 2= 
 
03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique. 
 
04. Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R ? R, tal que g é contínua e 
g(x) = f(x), para todo x Î D(f): 
 
x
x
)x(f a)
-
-
=
3
92 
î
í
ì
-
+
=
, x
,x
)x(f b)
2
13
 
2
2
-<
->
x
x
 
 
05. Calcule os limites a seguir , 
 a) )yyy( lim
y
245
1
123 +--
-®
 b) )wlnw(log lim
w
-
®10
 c) )x(e lim x
x
43
1
-
®
 
 d) 
xcos
xsen
 lim
/x +® 12p
 e) 
x
x
 lim
x -
-
® 2
42
2
 f) 
1
1
 
3
1 -
-
® x
x
lim
x
 
 g)
18
232
3
2
21 -
-+
® x
xx
 lim
/x
 h) 
134
2
816 -
®
-- )x)(x(e lim
x
 i) 
1
1
1 -
-
® x
x
 lim
x
 
 j) 
yy
y
 lim
y ++
-
-® 2
1 2
1
 k) 
x
x
 lim
x --
+-
® 51
53
4
 l) 
4
2
4 -
-
® x
x
 lim
x
 
 m) 
8
2
lim
3
8 -
-
® x
x
x
 n) 
1
253
lim
2
3
1 -
-+
® x
x
x
 
 
06. Determine, se possível, as constantes a, b e c Î R, de modo que f seja contínua em x0, sendo: 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
CÁLCULO A 
2008.2 
 2 
 a)
ïî
ï
í
ì +
=
, b
,bx
)x(f
2
2 2
 
1
1
=
¹
x
x
 (x0 = 1) b) 
ï
î
ï
í
ì
+
-
=
1
33
2bx
ax
x
)x(f 
-3x ,
-3x ,
-3x ,
<
=
>
 (x0 = - 3) 
 
07. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede: 
 
ïî
ï
í
ì
=
, e
,xln
)x(f a) x 0
0
£
>
x
x
 
· )x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim
 xe x- xx0x0x0x x - ¥+®®®®®®®¥-® + 11
 
· intervalos onde f é contínua. 
 
ïî
ï
í
ì
=
, x/
,)/(
)x(f b)
x
1
21 
0
0
<
>
x
x
 
· )x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim
 x xxxxx x ¥+®-®®®®®¥-® +- 11000
 
 
ï
î
ï
í
ì
=
- , x
, 0
,xlog
)x(f c)
/
2
21
 
0
0
0
<
=
>
x
x
x
 
· )x(flim, )x(flim, )x(flim, )x(flim
xxxx 10 ®®+¥®-¥®
 
· estude a continuidade de f em 0=x . 
 
ï
ï
î
ïï
í
ì
+
=
p ,x
g x,
 ,x
d) f(x) cot
4
 
p
p
³
<<
£
x
x
x
0
0
 
· 
)x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim
 xxx/ xxxx x - ¥+®®®®®®®¥-® ++- ppp 2000
 
· ponto(s) de descontinuidade de f . 
 
08. Calcule: 
 a) )xx( lim
x
342 25 -+
+¥®
 b) )xxx( lim
x
524 23 -+-
-¥®
 c) )e( lim x
x
5-
-¥®
 
 d) 25 2 ++
-¥®
xx lim
x
 e ) )x xx( lim
x
+-
+¥®
32 f) x)(x
x
ln lim 2
0
+
+®
 
 g) 
x/x
 lim
121
1
++¥®
 h) )xln( lim
x
-
-®
2
2
 i) 
1
11
32
 lim
-
®
+
-
x
x
p 
09. Calcule os seguintes limites: 
 a) 
xsen
x
 lim
x
12
0
+
®
 b) 
2
0
1
x
x
 lim
x
-
+®
 c) 2
2
5 5
32
)x(
x
 lim
x -
+
®
 
 d) 
2
45
2 -
-
® x
x
 lim
x
 e) 
x
xcos
 lim
x
3
0®
 f) 
3
113
 lim
3 -
-
-® x
x
x
 
 3 
 g) 
40
32
x
x
 lim
x
-+
®
 
 
10. Calcule os limites a seguir: 
 a) 
23
2
918
2542
 
xx
xx
lim
x -
--
+¥®
 b) 2
2
412
 2
 
xx
xx
senlim
x -
-+
+¥®
p c) 
11231 
--
+¥®
)x(x
x
)/(lim p 
 d) )](lnlnx[lim x
x
13 2 +-
+¥®
 e) )x xx( lim
x
+-
-¥®
32 f) )] 1( [ lim 2 xxx
x
--
+¥®
 
 
11. Calcule as constantes de modo que: 
 a) 5
3
2
3
=
-
+-
® x
baxx
 lim
x
 b) 5
1
3
=úû
ù
êë
é
+
+
-
+¥® x
bx
ax lim
x
 
 c) 3=
+¥®
)x(flim
x
 e 1
2
=
-®
)x(flim
x
, sendo 
)x(x 
dcxbxax
)x(f
2 24
23
-+
+++
= 
 d) 61
1
3
1
/
x
axb
 lim
x
=
-
-+
®
 e) 32
1
82 2
1
/
x
b x
 lim
x
-=
+
-+
-®
 
 f) 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>+
=
<
-
+-
=
313
3
3
3
92
-x , x
-x , bx
-x ,
x
axx
 )x(f seja contínua em x0 = -3 
 
 12 Calcule os seguintes limites: 
 a) 
x
ax sen
lim
x 0®
 b) 0, com ,
 
lim
0
¹
®
ba
bx
axtg
x
 c) 
20
1
x
xcos
lim
x
-
®
 d) 
xsen
xsentgx
lim
x 20
-
®
 
 e) 
pp -® x
xsen
lim
x
 f) 
ax
asenxsen
lim
ax -
-
® 
 g) 
ax
acosxcos
lim
ax -
-
® 
. 
 
 
13 Calcule os limites a seguir: 
 a) )]x/(senxlim
x
1 [ 
0®
 b) ]xsen.elim x
x
 [
-¥®
 c) 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+- -
® + x
e
)xcos(xlim
x
x
23
0
4 
 d) 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
+
+¥®
)x(lncos
x
x
lim
x
 
31
52
 
7
3
 e) 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+-
-+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
++
+¥® 3
232
22
3
21
1
 
xx
xx
cos.
x
xx
senlim
x
p 
 
 
14. Considere a função 
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
¹³-
=
=-
¹<
+-
-
=
525
510
12
12
232
3
x e x ,x ln x
x , 
x , 
x e x ,
xx
xx
)x(f . Justificando, estude a continuidade de f. 
 
15. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo, 
determine f´(x0): 
 4 
 a) 
î
í
ì
>-
£-
=
2,8
2,3
)(
xx
xx
xf (x0 = 2) b) f(x) = x2 |x| (x0 = 0) c) f(x) = 3 x (x0 = 0) 
 d) f(x) = 2x3 + 2 (x0 = 2) e) f(x) = xn , n Î N* (x0 Î R) 
 
 
16. Verifique em que ponto(s) a função f(x) = |x2 – 1| não é derivável. Justifique sua resposta. 
 
17. Esboce o gráfico de f’ sabendo que f é dada pelo gráfico: 
a) b) 
(-2,3) (1,3)
(5,-2)
(7,3)
0
 
0
(-2,4)
(-5,0)
(2,4)
 
D(f) = [–2, + 8 ) D(f) = R 
obs: No intervalo [–2,2], f(x) = x2 
 
 
18. Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em x = 1, sendo 
ïî
ï
í
ì
>
£+
=
- 1
1
1
2
x , x
x ,bax
)x(f . 
 
19. Determine as derivadas das funções a seguir: 
 a) y = 2x4 – 3x2+ x – 3 b) 
3
122 )z(
x
-= c) 
y
yy
y
w
3
2
4
3 3 2 +÷
ø
öç
è
æ+= 
 d) 
7
5
-
+=
t
t
u e) pln.x
x
y 3
3 16
5
+
-
-
= f) )x(xy // 12 3132 -= 
 g) )1(2 3 ++= xxy x 
 
20. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir: 
 
 a) y = (–2/5)senx + 9secx b) y = x senx + cosx c) f(x) = 2senx cosx + 8tgx secx 
 d) 
tsec
t tg
)t(g
1-= e) 
xcosxsen
xcosxsen
)x(g
-
+= f) 
senx
e
y
x
= 
 
21. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa x0: 
 a) f(x) = 2x3 + 3x –1; x0 = 1 b) f(x) = tg x; x0 = p/4 c) f(x) = cossec x; x0 = p/2 
 
22. Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f(x) = x3 + 2x2 – 4x nos quais a reta tangente é: 
 a) horizontal b) paralela à reta 2y + 8x – 5 = 0 
 
23. Em que ponto da curva y = 2 + x2 a reta tangente tem ângulo de inclinação p/3 ? 
 
 5 
24. Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva f( x ) = 1/x , no qual a reta tangente é paralela à: 
 a) 1ª bissetriz b) 2ª bissetriz 
 
25. Seja f(x) = b – (x2/16). Determine a constante b de modo que a reta que passa pelos pontos M(0,5) e 
N(5/2,0) seja tangente ao gráfico de f . 
 
26. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 – 3x e perpendicular à reta 2y + x = 3. 
 
27. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(0,2) e é tangente ao gráfico de f(x) = x3. Ilustre a 
interseção construindo o gráfico. 
( Observe que o ponto P não pertence ao gráfico da função f(x) = x3) 
 
28. Determine a equação da reta tangente comum aos gráficos de f(x) = – x2 e de g(x) = x2 + (1/2). 
 
29. Determine f’(x) supondo g e h deriváveis e 
)(
))((
)(
3
xg
xxh
xf = , g(x) ? 0 
 
 
RESPOSTAS DA 1a LISTA 
 
01) 
1
1
2
5a)
 
0
1
2
3
b)
 
)x(flim ,)x(flim,)x(flim
xxx 111
15
®®®
$/==
+-
 3
222
===
®®® +-
)x(flim)x(flim)x(flim
xxx
 
 
0
1
c)
 
-2
1
-1
d)
 
 6 
0
000
===
®®® +-
)x(flim)x(flim)x(flim
xxx
 )x(flim ,)x(flim,)x(flim
xxx 222
11
®®®
$/=-=
+-
 
 
 
02. a) -10; b) )x(flim
x 2®
 existe, independente do valor de a. Por isso a pode ser um número real qualquer. 
03. a) Não é contínua em x = 1 pois não existe )x(flim
x 1®
; 
 b) Não é contínua em x = 2 pois );(f)x(flim
x
2
2
¹
®
 
 c) É contínua em zero pois .)(f)x(flim
x
00
0
==
®
 
 d) Não é contínua em x = -2 pois não existe )(lim
2
xf
x -®
; 
04. a) D(f) = R – {3} e 
ïî
ï
í
ì
=
¹
-
-
=
3x ,6-
3x ,
x
x
)x(g 3
92
; 
 b) D(f) = R – {–2}, e não é possível definir g(–2), tal que g seja contínua, pois não existe (x) flim
x
 
2- ®
 ; 
05. a) 10 b) 1- ln10 c) -3e d) 1 e) 4 
 f) não existe pois 3
1
13
1
-=
-
-
-® x
x
 lim
x
 e 3
1
13
1
+=
-
-
+® x
x
 lim
x
 g) 5/6; h) e8/3; 
 i) 1/2; j) 4/3; k) -1/3; l) 0; 
06. a) b = -1 ou b = 2; b) a = 4 e b = -13/9 
07) 
a) b) 
 
1
 
 0, 1, -¥, não existe, 0, 1/e, 1, 
+¥, (-¥,0), (0,+¥) 
0, -¥, 1, não existe, 1/2, -1, 0 
 
c) d) 
 7 
 
p
(p,2p)
 
0, -¥, +¥, 0, não é contínua em zero 
porque )(f)x(flim
x
0
0
¹
®
 
+¥, 0, +¥, não existe, 0, -¥, 2p, +¥; 
x = 0 e x = p 
 
08. a), d), e) +8 b), f), h) – 8 c) 0 g) 1/2 i) p/2 
09. a) Não existe pois -¥=+
-® xsen
x
 lim
x
12
0
 e +¥=+
+® xsen
x
 lim
x
12
0
 b) – 8 c) + 8 
 d) + 8 e) Não existe pois -¥=
-® x
xcos
lim
x
3
0
 e +¥=
+® x
x
x
3cos
lim
0
 
 f) Não existe, pois -¥=
-
-
--® 3
113
 lim
3 x
x
x
 e +¥=
-
-
+-® 3
113
 lim
3 x
x
x
 g) – 8 
10. a),c) 0; b) 22 / ; d) – 8 e) 3/2 f) – ½ 
11. a) a = 1, b = -6; b) a = 0, b = -5; c) a = 0, b = 12, c = 36, d = 24 
 d) a = 4/3, b = 2/3; e) b = 6; f) a = 10, b = 8/3. 
12.a) a b) a/b c) 1/2 d) 0 e) –1 f ) cos a g ) – sen a. 
13.) , b) , d) , e) zero; c) +¥ . 
14. f é contínua { }; , IRx 52-Î" 
15. a) não existe; b) zero; c) não existe; d) 24; e) 1-nonx 
16. f não é derivável em –1 e em +1 
 
17. 
a) b) 
 8 
1 5
(5,5/2)3
-3/2
(5,-5/4)
-2
 
- 2
4/3
-4
2
4
4
 
 
 
18. a = -1/2, b = 3/2 
19. a) y´ = 8x3 – 6x +1; b) 34 /'x = ; c) 
3
3 2
2
2
3
3
10
4
3
y
y
y
'w -÷
ø
öç
è
æ+-= ; 
 d) 
27
12
)t(
'u
-
-= ; e) plnx
)x(
x
'y 2
23
2
3
16
90
+
-
= ; f) ( )33
2
2
x
'y -= ; 
 g) )13(2)1(2ln2 23 ++++=¢ xxxy xx 
20. a) y´ = - (2/5) cosx + 9 secx tg b) y´= x cosx; c) f´(x) = 2 cos2x + 8 secx (2tg2x + 1); 
 d) g´(t) = (1 + tgt) cost e) g´(x) = – 2(senx – cosx)- 2 f) 
xsen
xsenxe
y
x
2
)cos( -
=¢ 
 
21. a) t: 9x – y – 5 = 0 e n: x + 9y – 37 = 0; b) t: )x(y:n e )x(y
42
1
1
4
21
pp --=--=- ; 
 c) t: y = 1 e n: x = p/2. 
22. a) x = -2, x = 2/3; b) x = 0, x = -4/3 
23. ( )4/11,2/3 
24. a) não existe b) (1,1), (-1,-1); 
25. b = –11 
26. t: y = 2x - (25/4) 
27. t: y = 3x + 2 
28. t1: y = x + 1/4, t2: y = -x + 1/4 
29. 
)(
)()('
)(
)]()(')[(3
)(' 2
3322
xg
xhxxg
xg
xhxxhxhx
xf -
+
=

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