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1
 
 
 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
MAT A01 – CÁLCULO A 
 3a LISTA DE EXERCÍCIOS 
Atualizada em 2009.1 
 
 01.Resolva as seguintes integrais: 
1.1) dx
x
x∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +− 452 23 1.2) ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − dxxx 3 1.3) ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ − dx
x
x 12 
1.4) dxx)3sen(∫ 1.5) dxxx cossen∫ 1.6) dx sec25∫ xxtg 
1.7) ∫ + dxxx 21 1.8) ∫ xxdxln 1.9) ∫ + 52 2xdx 
1.10) ∫ + dxxx 41 1.11) ∫ + dxx xarctg 2
3
1
 1.12) ∫ dxxx cos5sen 
1.13) ∫ dxe
x
3 1.14) ∫ xedx3 1.15) dxe
e
x
x∫ − 24 
1.16) ( )∫ xsendx32 1.17) ( )∫ xdx7cos2 1.18) ∫ − xdx25 
1.19) ∫ dxxtg 2 1.20) dxeeg xx∫ )]([cot 1.21) dssgstg∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − )4( cot)4( 
1.22) ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + dxxx 12 1.23) ∫ + dxx
x
32 2
 1.24) ∫ + dxx
x
13
2
 
125) ∫ dxxx3cossen 1.26) ∫ − dxx2916
1
 1.27) ∫ ++ )1( )1(cos2 xtgx dx 
1.28) ( )dx
x
x∫ ++11ln 1.29) ( )∫ + dxxx 22cos1 2sen 1.30) ∫ + dxx
x
2sen1
2sen 
1.31) ∫ dx
x
x
3 4 3cos
3sen 1.32) ∫ − dxx
x
2
2
1
arccos 1.33) ∫ dxx x)cos(ln 
1.34) dx
x
e x∫ 1.35) dxxe x sencos∫ 1.36) dxxa x 2∫ 
1.37) ( )∫ dxe x 22 1.38) dxee x
x∫ + 2
2
2
 1.39) ∫ − dxe
e
x
x
21
 
1.40) dx
x
x∫ +1 1.41) ∫ +++ dxxxx )2(3 )34( 2 1.42) ∫ + xxdx 22 cos3sen2 
1.43) dxxx 12∫ + 1.44) ∫ xdxx 2cos 1.45) ∫ dxxe x3 
1.46) ∫ xdx5ln 1.47) ∫
−
dx
x
x
2
3
1
 1.48) dxsexx 2)(cos∫ 
1.49) dttgttt ))((sec∫ 1.50) ∫ xdxx ln2 1.51) ∫ dxex x22 
 2
1.52) ∫ xdxex cos 1.53) ∫ dxxarctg )3( 1.54) ∫ + dxexx x)2( 2 
1.55) ∫ − dxxarcsen )2( 1.56) ∫ dxx)arccos( 1.57) ∫ dxx)cos(ln 
 
02. Determine uma função f sabendo que f ’(x) é contínua e que: 
2.1) f(π ) = 2 e satisfaz a equação Cxcosxsendxtgx)x('f +−=∫ 3 ,sendo C uma constante real. 
2.2) f (0) = 5 e satisfaz a equação ∫ += Cxdxx )x('farctg 3 , sendo C uma constante real. 
2.3) f (0) = 1 e satisfaz a equação ∫ +=+ Cxdx)x('f)x( 1 2 ,sendo C uma constante real. 
03. Em cada ponto da curva y = f(x), tem-se )(22
2
xtg
dx
yd = . Sabendo-se que a reta tangente a essa curva no 
ponto (0,1) é paralela ao eixo Ox, determinar a equação da mesma. 
 
04.Determine o valor médio de f no intervalo indicado e os valores de x em que este ocorre: 
a) f(x) = x2 em [0,1] b) f(x) = a + b cos x em ],[ ππ− , a ≠ 0 e b ≠ 0. 
c) )( )( 2
122 xaxxf −= em [-a,a], a ≠ 0 d) )()( 2 xsenxf = em [0, π ]. 
05. Determine a derivada 
dx
dy de cada uma das funções dadas abaixo: 
a) ∫=
x
dtty
1
0> x; ln b) ( )∫ += 0 2/121
x
dtty c) ( )∫ +=
2
1
2/141
x
dtty 
d) ( )∫
−
−+=
x
x
dtty
123 e) dtey
x
x
t∫ −=
2
2
 f) 0dt sen
00
=+ ∫∫
xy
t tdte 
g) 0)(sen 2
00
2
2 =+ ∫∫ − dttdte
xy
t h) 0=dz cos sen3
02
2 ∫∫ +−
yx
zdzz
π
 
 
06. Sendo f definida por ( ) dtduuxf x t∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
0 0
2 7 )( , calcule ''f . 
 
07. Mostre que a função ∫=
x
a
t dttexf sen)( tem um mínimo em x = 0 e um máximo em x = π . 
 
08. Determine os pontos extremos das funções: 
a) ( )dttexF x t∫ −= −
1
22/ 1)(
2
 b) ∫ + +−=
2
0
2
2
45)(
x
t dte
ttxF 
 
09. Calcule as seguintes integrais: 
a) ∫ +−
3
1
2
23 542 dx
x
xx b) ( )∫ −0
1
32 dtttt c) dxx∫
−
−
6
3
 4 
 
 3
10. Sendo ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤
≤≤=
2x1 ,
10 ,
)(
2
sex
xsex
xf , calcule dxxf∫
2
0
)( 
 
11. Determine a área da região limitada pelas curvas: 
a) y = cosx, x = 0, x = π , y = 0 b) y = x2 + 1, y = 5 
c) y = x2 e y = 4x d) ,12x
y = y = – x2, x = 1 e x = 2 
e) x = y2, x =1 e x = 4 f) y = | x2 – 4| e y = 2 
g) x = (y – 2)2 e x = y h) f(x) = x3 e g(x) = 3 x 
i) f(x)= x|x| e g(x) = x3 j) x = y2 – 2 e x = 6 – y2 
l) y = 2x, y = 2x – x2, x = 0 e x = 3. 
 
12) Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano: 
 
a) Exterior à parábola y2 = 2x e interior ao círculo x2 + y2 = 8. 
b) Limitada pela hipérbole 
x
a
y
b
1
2
2
2
2− = e a reta x = 2a. 
c) Comum aos círculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 4x. 
 
13. Resolva as seguintes integrais: 
 
∫ ++ 5x2x
dx)1 2 
 
∫ +− 5x6x
dx)2 2 ∫ ++
+
34x22x
5)dx(x3) 
4) dx
x4x43
3x
2∫ −+
+ 5) ∫
++
+
34x22x
5)dx(x 6) dx
)1x2(x
5x3∫ −+ 
 7) dx
x
x∫ +
+
12
1 
 
8) ∫ +++ )5)(3)(1( xxx
xdx 9) ∫ −− )2()1( 2 xx
dx 
10) dx
xxx
x∫ +−
−
44
8
23 11) dx
x34x
13x ∫ −
+ 12) dx
xxx
xx∫ +−−
−−
)52)(1(
332
2
2
 
13) dx
xx
x∫ ++
−
86
6
24
3
 14) dxxxx
x∫ +++
−
44
73
23 15) dx x16
168x 4∫ −
− 
∫ −+
+−
22
2
1)1)(x(x
3)dx2x(x 16) 17) ∫ +−
+
4x5xx
12)dx(5x 23
3
 
18) ∫ dxxxarctg )( 
19) dx
x
x∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +
11ln 20) ∫ +−
+ 
3)x2x(x
3)dx(x 
 
21) dx
x
xx∫ −4
33
6
 22) ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−− 1)2()2( 3 26 5 xx
dx
23) ∫ + dxxx 3
2
)1.( 
24) ∫ + xx
dx
32
 25) 
21
1
x
dx
x
x∫ +
− 26) ∫ +
−
x
dx
x
x
1
1 
 4
27) ∫ dxxsen )(3 28) ∫ dxxxsen )(cos)( 32 29) ∫ dx
xsen
x
)(
)(cos
4
3
 
30) ∫ dxx)2sec( 
31) ∫
3 4
3
)(cos
)(
x
dxxsen 32) ∫ dxxsen )3(
2 
33) ∫ dxxxsen )((cos).( 22 34) ∫ dxxtg )(3 35) n(3x).dx sen(5x).se∫ 
36) ∫ (5x).dxsen(x).cos 37) ∫ dxxxg )(seccos)(cot 35 38) ∫ dxxxtg )(sec)( 43 
39) ∫ dxxxtg )2sec())2(( 3 40) ∫ −1)(xtg dx 41) ∫ + dxsenxxsen1 )( 
42) ∫ +− )cos()(1 xxsen
dx 43) dx
x
xa∫ −2
22
 
44) dxxx 22 4 −∫ 
45) ∫
+ 22 1 xx
dx 46) dx
x
ax∫ −
22
 47) ∫ + 52 )x(4
dx 
48) 
102xx. 1)+(x
dx 
24
∫
++
 49) x4 2∫ + dx 50) 
22x2x21)(x
dx∫ +++ 
51) ∫ + 22 )9(x
dx 52) ∫ +
+
22 )9(x
1)dx(x 53) ∫ ++
+
22 )102(x
3)dx(2x 
x
 
54) dx
xxx
xxxx∫ +++ ++++ 22
234
)32)(1(
812114 
 
 
RESPOSTAS 
01. 1.1) (x4 /2) + (5/x) + 4x + c 1.2) (2/3)x3/2 – 3ln|x| + c 
 1.3) (x2/2) – ln|x| + c 1.4) cx +−
3
)3cos( 
 1.5) cx +3sen)3/2( 1.6) (tgx)6/6 + c 
 1.7) (1/2)ln|1 + x2| + c 1.8) ln|lnx| + c 
 1.9) cxarctg +)5/2()52/2( 1.10) (1/2) arctgx2 + c 
 1.11) cxarctg +4
4
1 1.12) c
x
+
5ln
5sen 
 1.13) 3ex/3 + c 1.14) ce
x
+−
−
3
3
 
 1.15) arcsen(ex/2) + c 1.16) – cotg(3x)/3 + c 
 1.17) (tg7x)/7 + c 1.18) (–1/2)ln|5 – 2x| + c 
 1.19) (–1/2)ln|cos2x| + c 1.20) ln|sen(ex)| + c 
 1.21) css +−− )4/sen(ln4)4cos(ln)4/1( 1.22) cx ++ ])1[(
3
1 2/32 
 1.23) 
2
)32( 2
12 +x
+ c 1.24) cx ++ ])1(2[
3
1 2/13 
 1.25) c
x
+2cos2
1 1.26) cxarcsen +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
4
3
3
1
 
 5
 1.27) cxtg ++ )1(2 1.28) cx ++ )1(ln
2
1 2 
 1.29) c
x
++ )2cos1(2
1 1.30) cx ++ 2sen12 
 1.31) c
x
+
3/1)3(cos
1 1.32) cx +−
3
arccos3 
 1.33) cx +)sen(ln 1.34) 2e cx + 
 1.35) − +e cxcos 1.36) c
a
a x +
ln2
2
 
 1.37) ce
x
+
4
4
 1.38) 
2
2ln 2xe+
 + c 
 1.39) ce x +)arcsen( 1.40) ( ) c x1
3
4 2/3 ++ 
 1.41) c
xx
+
++
3ln2
3 )34(
2
 1.42) ctgxarctg +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
3
2 
6
6
 
 
1.43) ( ) ( ) ( ) cxxx ++++−+ 2/32/52/7 1
3
21
5
41
7
2 1.44) cxxsenx ++ 2cos
4
12
2
 
1.45) cexe xx +− 33
9
1
3
1
 1.46) x ln(5x) – x + c 
1.47) cxxx +−−−− 3222 )1(
3
21 ou ( ) cxx +−+−−322 1
3
11 
1.48) –x cotgx + ln|senx| + c 
1.49) t sect – ln|sec t + tg t| + c 1.50) cxx +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
3
1ln
3
3
 
1.51) cexeex xxx ++− 2222
4
1
2
1
2
1
 1.52) ( ) cxsenxe x ++ cos
2
1
 
1.53) xarctg(3x) – 
6
1
ln(9x2 + 1) + c 1.54) x2 ex + c 
1.55) (x – 2)arcsen(x – 2) + cxx +−+− 342 1.56) xarccos(x) – cx +− 21 
1.57) cxxsenxx ++ ))(ln(
2
1))cos(ln(
2
1
 
 
02. 2.1) f(x) = – cos3x + senx + 1 2.2) 53 
6
1 2 +−= xcosln)x(f 2.3) f(x) = arctgx + 1 
03. 1)cos(ln
2
2
+−− xx 
 
04. a) 1/3 em (1/3)1/2 b) a em 2/π± c) 0 em 0 e ± a d) ½, em 4/π e 4/3π 
 
05. a) lnx; b) ( ) 2/121 x+− ; c) ( ) 2/1812 xx + ; 
 d) ( ) 1232 −+ x ; e) 242 xx exe −− − f) xey y sen' −−= 
 6
 g) )(2' 22
2
xsenxey y−= h) 
y
xseny
cos
3'
2−−= 
 
06. )('' xf = x2 + 7 
08. a) x máx = 1 e x mín = -1; b) xmáx = -1 e xmáx = 1; xmín = -2, xmín = 0 e xmín = 2. 
 
09 a) 10/3 b) -1/70 c) 53/2 
 
10. 
3
124 − 
11. a) 2 b) 32/3 c) 32/3 
 d) 17/6 e) 28/3 f) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
3
3261228 2 
 g) 9/2 h) 1 i) 1/6 
 j) 64/3 l) 7/ln2 
12. 12a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∫ ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−+∫ −+∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−− dxxxdxdyydyyy 0 22-
2
0
2222
2
22
2
2
2 28x-82ou 84
2
8 
12b) dyyb
b
aa
b∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−30 2222 ou dxaxab
a
a
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∫ 22
2
2 
12c) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+− ∫∫ 21 210 2 442 dxxdxxx ou ( )dyy∫ −−30 2 144 
13. 
1) Cxarctg ++
2
1
2
1 2) C
x
x +−
−
1
5ln
4
1 
3) Cxarctgxx +++++ )]1(2[.22|342|ln
4
1 2 4) Cxarcsenxx +−+−+−
2
12
4
7443
4
1 2 
5) Cxxxxx ++++++++ |)1(2342|ln22342
2
1 22 6) Cxxxxx +−+−+− )2(814ln
24
232
2
3 22 
7) Cxx +++ 12ln
4
1
2
1 8) C
xx
x +++
+
)1()5(
)3(ln
8
1
5
6
 
 9) C
x
x
x
+−
−+− 1
2ln
1
1 10) C
x
x
x
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
22ln
2
3 
11) Cxxxx +++−+− |]12|ln7|12|ln9[
16
1||ln
4
 
12) Cxarctg
x
xx +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−
+−
2
1
2
1
1
)52(ln
2
3
2
 
13) Cxarctgxartg
x
x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+
+
22
3
22
3
2
4ln
2
2
 14) Cxarctg
x
x +++
+ )2/(
2
1
)1(
4ln 2
2
 
15) Cxarctgxx +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−+
2
|2|ln4ln 2 16) C
x
xxarctgx +−+−−++ 1
1|1|ln1ln 2 
 7
17) C||x||xxx +−+−−+ 4ln
3
831ln
3
17ln35 18) cxarctgxxarctgx ++− )(
2
1
2
1)(
2
2
 
19) ( ) cxx
x
x ++−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + )1ln(
2
111ln
2
2
 20) Cxarctgx +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅+
2
122ln2 
21) Cxx +− 12 134 9
13
2
27
2 22) Cxarctg
x
x +−−+−
−− 6
6
6
23
12
12ln
2
3 
23) Cxx ++−+ 3538 )1(
5
3)1(
8
3 
24) Cxxxx ++−+− )2ln(482462 663 
25) C
x
x
xx
xx +−−+−−
++− 21
11
11ln 26) Cxx
xx
x
xarctg ++−−
++−++
−
11
11ln
1
12 
27) Cxx +− )cos()(cos
3
1 3 28) Cxsenxsen +− )(
5
1)(
3
1 53 
29) Cxx +− )(csc
3
1)(csc 3 
 
31) C
x
x ++
3
3 5
)cos(
3)(cos
5
3 32) Cxsenx +−
12
)6(
2
 
33) Cxsenx +−
32
)4(
8
 34) Cxxtg ++ )cos(ln
2
)(2 
35) Cxsenxsen +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
4
)8()2(
4
1 36) C
xx ++−
8
)4cos(
12
)6cos( 
37)
C
xxx
+
−+− 357 ))sec((cos
3
1))sec((cos
5
2))sec((cos
7
1 38) Cxtgxtg ++ 64 ))((
6
1))((
4
1 
39) Cxx +− )sec())2(sec(
5
1 5 40) Cxxtgxtg +−+−−
24
)1)(ln(
2
|1)(|ln 2 
41) Cx
xtg
++
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
2
1
2 42) Cxtg +−− )2/(1ln 
43) C
a
xarcsen
x
xa +−−−
22
 44) Cxxxx
xarcsen +−+−− 232 4
4
14
2
1
2
2 
45) C
x
x ++−
21 46) Cx
aaax +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−− arccos.22 
47) C
xx
x
x
x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++
−
+ 22
3
2 4)4(3416
1 48) C
x
x
x
x ++
++−+
++
35
32
4
2
)1(3
])1(9[
)1(3
)1(9
 
49) Cxxxx +++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ 22 4
2
4ln2 50) C
x
xx ++
++−
1
222 
51) Cxarctg
x
x +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++ 354
1
)9(18 2
 52) Cxarctg
x
x +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
−
354
1
)9(18
9
2 
 8
53) Cxarctg
xx
x +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++
−
3
1
54
1
)102(18
17
2 54)
Cx
xarctg
xx
x
++
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−++
+−
|1|ln
2
1
4
2
)32(2
2
2

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