Notas de Aula 1 - Física 1

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Suma´rio
1 Conceitos e Definic¸o˜es 7
1.1 O Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Notac¸a˜o Cient´ıfica & Ordem de grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Apresentac¸a˜o de grandezas f´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Mudanc¸as de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Movimento Unidimensional 13
2.1 Posic¸a˜o e Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Velocidade Me´dia e Velocidade Escalar Me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Velocidade Instantaˆnea e Velocidade Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Movimento com acelerac¸a˜o constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.1 Equac¸o˜es para acelerac¸a˜o constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Forc¸a e Movimento 31
3.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Operac¸o˜es com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Decomposic¸a˜o de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3 Vetores Unita´rios (versores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.4 Somando vetores algebricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Posic¸a˜o, Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Mecaˆnica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
2 SUMA´RIO
3.3.1 A Primeira lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.3 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.4 A 2a lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.5 Algumas forc¸as especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.6 A 3a lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Forc¸as Dissipativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.1 Forc¸a de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.2 Forc¸a de Arrasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
F´ısica I
Ezequiel C. Siqueira — Depto. de F´ısica
Ementa
Os to´picos que sera˜o abordados na disciplina sa˜o os seguintes:
1. Cinema´tica, vetores e leis de Newton
2. Conservac¸a˜o da Energia
3. Sistemas de part´ıculas
4. Rotac¸o˜es
Refereˆncias Bibliogra´ficas
Livros principais (usados como livros-texto)
O curso sera´ baseado nos seguintes livros:
• HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos de F´ısica, Rio de Janeiro-RJ, Livros
Te´cnicos e Cient´ıficos Editora S/A, v. 1, 6a Edic¸a˜o, 2002.
• NUSSENSVEIG, H. M., Curso de F´ısica Ba´sica, Rio de Janeiro, Edgar Blucher, v.1., 4a Edic¸a˜o,
2002.
As edic¸o˜es podem variar, na biblioteca esta˜o dispon´ıveis va´rias verso˜es destes livros, mas na˜o existem
mudanc¸as dra´sticas de uma edic¸a˜o para outra.
3
4 SUMA´RIO
Outros livros de mesmo n´ıvel
• ALONSO, M., FINN, E.J., F´ısica, Sa˜o Paulo, Addison Wesley Longman do Brasil Ltda, 1999, v.1,
936p.
• TIPLER, P.A. F´ısica. 3a Ed., Livros Te´cnicos e Cient´ıficos Editora S/A, 1995, v. 1
• CHAVES, A., F´ısica Ba´sica, Livros Te´cnicos e Cient´ıficos Editora S/A, 2007, v. 1
• YOUNG,H.D., FREEDMAN, R.A. Sears-Zemansky. F´ısica. 10a Edic¸a˜o, Addison Wesley, 2001.
Vol. 1 e 2
livros de n´ıvel intermedia´rio
• KITTEL, C.; KNIGTH, W.D. e RUDERMAN, M.A. Mecaˆnica: Curso de F´ısica de Berkeley. Sa˜o
Paulo, Editora Edgard Blucher Ltda., 1973. v.1.
• FEYNMAN R, LEIGHTON R, and SANDS, M. The Feynman Lectures on Physics, 1964, 1966,
v.1, Addison Wesley Longman.
As refereˆncias The Feynman Lectures on Physics e Mecaˆnica: Curso de F´ısica de Berkeley sa˜o particu-
larmente interessantes. As leituras destes livros em paralelo podem ajudar no entendimento do conteu´do
exposto em sala de aula.
livros de n´ıvel “avanc¸ado”
Os livros a seguir NA˜O SERA˜O USADOS neste curso, mas sa˜o recomendados para aqueles que
desejam se aventurar em alguma coisa mais avanc¸ada!
• THORNTON, S. T., MARION, J. B., Classical dynamics of particles and systems, 2004, Bro-
oks/Cole.
• ARYA, A. P., Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall, 1998
• BEER, F. P., JOHNSTON Jr. , RUSSELL E., EISENBERG E. R., CLAUSEN W. E. , STAAB G.
H. Vector Mechanics for Engineers, Statics and Dynamics, McGraw-Hill, 2003.
SUMA´RIO 5
Refereˆncias Multimı´dia
Cursos de f´ısica ba´sica
Fundamentals of Physics-I with Professor Ramamurti Shankar
Para quem arranha no ingleˆs, existem alguns cursos completos em v´ıdeo de f´ısica ba´sica. O curso do
prof. Ramamurti Shankar de Universidade de Yale e´ altamente recomenda´vel. No link abaixo, e´ poss´ıvel
fazer o download do curso completo gratuitamente:
http://oyc.yale.edu/physics/fundamentals-of-physics
Os v´ıdeos apresentam uma transcric¸a˜o em ingleˆs do que e´ dito na aula o que pode ajudar no enten-
dimento do conteu´do.
MIT OpenCourseWare
Va´rios dos cursos oferecidos pelo MIT na a´rea de f´ısica esta˜o dispon´ıveis em v´ıdeo. E´ interessante dar
uma olhada na pa´gina
http://ocw.mit.edu/courses/physics/
Cursos avanc¸ados
Para algue´m que tenha interesse em material extra-classe e mais avanc¸ado, recomendo os cursos do Prof.
Leonard Susskind de Stanford no link: http://www.youtube.com/watch?v=pyX8kQ-JzHI
6 SUMA´RIO
Cap´ıtulo 1
Conceitos e Definic¸o˜es
1.1 O Sistema Internacional de Unidades
A f´ısica esta´ fundamentada em medidas. Desta forma, ao longo do tempo a metodologia e a padro-
nizac¸a˜o das grandezas f´ısicas tem sido aprimorada. O sistema internacional de unidades (SI) escolheu
sete grandezas fundamentais a partir das quais outras grandezas derivadas podem ser definidas. No curso
de F´ısica I, treˆs grandezas sera˜o importantes: o tempo, o comprimento e a massa. Na tabela abaixo estas
grandezas e as respectivas unidades sa˜o mostradas:
Grandeza Nome da Unidade S´ımbolo da unidade
Comprimento metro m
Tempo segundo s
Massa quilograma kg
A partir das unidades da tabela podemos definir outras. Por exemplo, a unidade SI de poteˆncia,
chamada de watt (s´ımbolo: W), e´ definida da seguinte forma
1 watt = 1 W = 1 kg× m
2
s3
onde o u´ltimo conjunto de s´ımbolos de unidades e´ lido como quilograma metro quadrado por segundo ao
cubo.
1.2 Notac¸a˜o Cient´ıfica & Ordem de grandeza
Ordem de grandeza e´ a poteˆncia de 10 com expoente inteiro que mais se aproxima do valor medido de uma
determinada grandeza a ser analisada. Qualquer que seja o nu´mero (q) que corresponde a essa medida em
7
8 CAPI´TULO 1. CONCEITOS E DEFINIC¸O˜ES
mo´dulo, esta´ compreendida entre duas poteˆncias de 10, inteiras e consecutivas, ou seja, 10n ≤ |q| ≤ 10n+1
Para obter a ordem de grandeza de um nu´mero, devemos inicialmente coloca´-la em notac¸a˜ocient´ıfica
(por ex: q = a× 10n), com o nu´mero “a” obedecendo a` relac¸a˜o 1 ≤ a ≤ 10. Nesta notac¸a˜o,
3.560.000.000 m = 3, 56× 109 m
0, 000 000 492 s = 4, 92× 10−7 s.
A notac¸a˜o cient´ıfica em computadores e´ usada de maneira mais abreviada como por exemplo, 3, 56E9
e 4, 92E− 7, onde E representa o “expoente de dez”. Em algumas calculadoras a notac¸a˜o e´ mais concisa
substituindo-se o E por um espac¸o em branco.
A decisa˜o de usar 10n ou 10n+1 (ordem de grandeza n ou n+ 1) e´ feita comparando-se o mo´dulo de
“a”com o valor 101/2 ≈ 3, 16, uma vez que a variac¸a˜o do expoente e´ igual a` unidade. Assim temos:
1. Se |a| < 3, 16 a ordem de grandeza e´ 10n,
2. Se |a| > 3, 16 a ordem de grandeza e´ 10n+1
O nu´mero 2, 7 × 106 possui portanto ordem de grandeza 106 e o nu´mero 5, 9 × 106 possui ordem de
grandeza igual a 106+1 = 107.
Tambe´m sa˜o utilizados prefixos para denotar as poteˆncias de 10. Isto e´ muito u´til quando lidamos
com nu´meros muito grandes ou muito pequenos.
Fator Prefixo S´ımbolo
109 giga- G
106 mega- M
103 quilo- k
10−2 centi- c
10−3 mili m
10−6 micro µ
10−9 nano n
10−12 pico p
Estes sa˜o os prefixos mais comumente usados. Acrescentando um prefixo a uma unidade no SI produz
o efeito de multiplica´-la pelo fator associado. Assim, podemos escrever uma dada poteˆncia ele´trica como
1, 27× 109 watts = 1, 27 gigawatts = 1, 27 GW
1.2. NOTAC¸A˜O CIENTI´FICA & ORDEM DE GRANDEZA 9
ou um intervalo de tempo particular como
2, 35× 10−9 s = 2, 35 nanosegundos = 2, 35 ns
Alguns prefixos, como os usados em mililitro, cent´ımetro, quilograma e megabyte, sa˜o certamente
familiares ao leito de l´ıngua portuguesa.
1.2.1 Algarismos Significativos
Suponha que uma pessoa ao fazer uma se´rie de medidas do comprimento de uma barra (l), tenha obtido
os seguintes resultados:
1. comprimento me´dio: l¯ = 92,8360 cm.
2. erro estimado: ∆l = 0,312 cm.
Supondo que o erro da medida esta´ na casa dos de´cimos de cm, na˜o faz sentido fornecer os algarismos
correspondentes dos cente´simos ou mile´simos de cm e assim por diante. Isso quer dizer que o erro estimado
em uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Os algarismos menos significativos
do erro sa˜o utilizados apenas para efetuar arredondamentos ou simplesmente sa˜o desprezados. Neste caso,
∆l deve ser representado apenas por:
∆l = 0, 3 cm
Os algarismos 9 e 2 do valor me´dio sa˜o exatos, pore´m o algarismo 8 ja´ e´ duvidoso, pois o erro estimado
afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 6 sa˜o desprovidos de significado f´ısico e
na˜o e´ correto escreveˆ-los. Estes algarismos sa˜o utilizados para efetuar arredondamentos ou simplesmente
sa˜o desprezados. Sendo assim, o modo correto de expressar o resultado desta medida sera´ enta˜o:
l = (92, 8± 0, 3) cm
Nos casos em que o erro da medida na˜o e´ estimado devemos tambe´m escrever o algarismo significativo
com crite´rio. Em problemas de engenharia, os dados raramente sa˜o conhecidos com uma precisa˜o superior
a 2%. Portanto e´ desnecessa´rio realizar ca´lculos com precisa˜o superior a 2%.
Em resumo: algarismos significativos sa˜o todos os algarismos corretos de um nu´mero mais o primeiro
duvidoso. Exemplos:
• 0,00007 tem 1 algarismo significativo.
10 CAPI´TULO 1. CONCEITOS E DEFINIC¸O˜ES
• 0,0080 tem 2 algarismos significativos.
• 23,00 tem 4 algarismos significativos.
• 3,2×105 tem 2 algarismos significativos.
1.3 Apresentac¸a˜o de grandezas f´ısicas
Um grandeza f´ısica pode ser representada como X = x¯±∆x, onde x¯ e´ o valor me´dio da grandeza e ∆x o
seu desvio. O desvio deve ser escrito com um u´nico algarismo significativo e o valor me´dio da grandeza
deve ter a mesma precisa˜o do desvio.
Vejamos um exemplo: Se apo´s uma se´rie de medidas o valor da a´rea de uma chapa meta´lica for
apresentada como A = (42, 2921 ± 0, 03875) m2 todos os algarismos devem ser considerados para efeito
de ca´lculo. No entanto, para apresentac¸a˜o final a grandeza deve ser reescrita. No exemplo apresentado o
desvio afeta a segunda casa decimal do valor me´dio da a´rea, desta forma, os outros algarismos posteriores
perdem o significado, i.e., na˜o sa˜o significativos e devem ser desprezados. Assim, escreve-se o resultado
final da seguinte maneira:
A = (42, 29± 0, 04) m2
ou em notac¸a˜o cient´ıfica, como
A = (4, 229± 0, 004)× 10 m2
O desvio foi obtido a partir da regra do arredondamento e o valor me´dio da grandeza foi reescrito
com a precisa˜o do desvio.
A tabela abaixo mostra a forma errada e a forma correta de se apresentar medidas de algumas
grandezas f´ısicas.
Grandeza F´ısica Errada Correta
Comprimento (3,4563 ± 0,0037) m (3,456 ± 0,004) m
A´rea (54,3524 ± 1,884) m2 (5,4 ± 0,2)×10 m2
Volume (346,43 ± 13,2) m3 (3,5 ± 0,1)×102 m3
Intervalo de tempo (345765,31546 ±205, 440) s (3,458 ±0, 002)×105 s
Carga Ele´trica (0,03464±0,000489) C (3,46 ± 0,05)×10−2 C
1.4. MUDANC¸AS DE UNIDADES 11
1.4 Mudanc¸as de Unidades
Frequ¨entemente precisamos trocar de unidades nas quais esta´ expressa a grandeza f´ısica. Fazemos a
mudanc¸a por um me´todo chamado de conversa˜o encadeada. Neste me´todo, multiplicamos a medida
original por um fator de conversa˜o. Por exemplo, pelo fato de 1 min e 60 s serem intervalos de tempo
ideˆnticos, temos
1 min
60 s
= 1 e
60 s
1 min
= 1
de modo que as razo˜es
1 min
60 s
e
60 s
1 min
= 1 podem ser usadas como fatores de conversa˜o. Isto na˜o e´ a
mesma coisa que escrever 1/60 ou 60 = 1; cada nu´mero e sua unidade devem ser tratados em conjunto.
Como nenhuma grandeza se altera ao ser multiplicada pela unidade, podemos introduzir tais fatores
onde quer que os achemos u´teis. Neste me´todo usamos os fatores para eliminar as unidades que na˜o nos
interessam, por exemplo:
2 min = 2× (1) min = 2×
(
60 s
1 min
)
× 1 min = 120 s
Exemplos
1. (a) Supondo que cada cent´ımetro cu´bico de a´gua possui uma massa de exatamente 1 g, determine
a massa de um metro cu´bico de a´gua em quilogramas. (b) Suponha que demore 10,0 h para esvaziar
um recipiente de 5700 m3 de a´gua. Qual a “taxa de escoamento de massa” da a´gua do recipiente em
quilogramas por segundo?
(a)
1 m3 = (102)3 cm3 = 106 cm3
mas cada cent´ımetro cu´bico tem exatamente 1 g, assim, a massa de um metro cu´bico e´ dada por,
m1m3 = 10
6 ×m1cm3 = 106 × 1 g = 106 g = 103 kg
(b)
A taxa de escoamento e´ obtida simplesmente dividindo-se o volume do recipiente pelo tempo que leva
para esvazia´-lo:
taxa =
massa contida em 5700 m3
10 h
=
5700× 103 kg
10× 1 h× 60min
1 h
× 60 s
1 min
= 158 kg
12 CAPI´TULO 1. CONCEITOS E DEFINIC¸O˜ES
2. (a) O ferro possui uma massa de 7,87 g por cent´ımetro cu´bico de volume, e a massa do ferro
e´ 9,27×10−26 kg. Se os a´tomos sa˜o esfe´ricos e firmemente dispostos uns contra os outros. (a) qual o
volume de um a´tomo de ferro e (b) qual a distaˆncia entre os centros de a´tomos adjacentes.
(a)
Em um cent´ımetro cu´bico temos uma massa de 7,87 g. Assim, se dividimos esta massa pela massa
de cada a´tomo, enta˜o sabemos quantos a´tomos esta˜o contidos em 1 cm 3 de ferro, ou seja,
no de a´tomos =
7, 87× 10−3 kg
9, 27× 10−26 kg = 8, 49× 10
22 a´tomos
Se dividimos o cent´ımetro cu´bico pelo nu´mero de a´tomos enta˜o descobrimos quanto volume cada a´tomo
ocupa. Isto e´ poss´ıvel porque e´ assumido que os a´tomos sa˜o esferas que distribu´ıdas uniformemente sobre
o volume, assim, segue que:
Vol. por a´tomo =
1× 10−6 m3
8, 49× 1022 a´tomos = 1, 18× 10
−29 m3
(b)
A distaˆncia entre os centros de duas esferas em contato e´ simplesmente igual ao diaˆmetro de uma
das esferas. Assim, basta calcular o diaˆmetro de uma esfera de volume igual a 1, 18 × 10−29 m3, assim,
usamos,
distaˆncia entre os centrosdos a´tomos =
3
√
6× 1, 18× 10−29 m3
pi
= 0, 282 nm
3. Uma unidade astronoˆmica (UA) e´ a distaˆncia me´dia do Sol a Terra, aproximadamente 1, 5 ×
108 km. A velocidade da luz e´ aproximadamente 3, 0 × 108 m/s. Expressa a velocidade da luz em
unidades astronoˆmicas por minuto.
3, 0× 108 m
s
= 3, 0× 108 m
s
1 UA
1, 5× 1011 m
60 s
1 min
= 0, 12 UA/min
Cap´ıtulo 2
Movimento Unidimensional
A mecaˆnica e´ o ramo da f´ısica em que se estuda o movimento dos corpos. Comec¸amos o estudo da
Mecaˆnica considerando o movimento mais simples poss´ıvel: movimento em uma dimensa˜o ou ao longo
de uma linha reta. Ale´m disso, por ora na˜o estaremos preocupados com a causa do movimento, mas
apenas com a sua descric¸a˜o. Assim, estaremos focados na cinema´tica do movimento como e´ chamado o
conjunto de conceitos que interveˆm na descric¸a˜o do movimento. Mais tarde vamos considerar que tipo de
movimento e´ causado por um determinado tipo de forc¸a, o que e´ chamado de dinaˆmica do movimento.
Ale´m de considerar que o movimento esta´ restrito em uma linha reta1, tambe´m consideramos que o
objeto em movimento e´ uma part´ıcula (termo usado para dizer o objeto e´ um pontual, como um ele´tron)
ou que se move como uma part´ıcula de forma que todas as partes do objeto se movem na mesma direc¸a˜o
e ao mesmo tempo. Os objetos que teˆm esta propriedade sa˜o chamados de corpos r´ıgidos.
Para descrever o movimento, precisamos primeiramente de um sistema de refereˆncia, i.e., um sis-
tema de eixos que permita localizar a part´ıcula no espac¸o. Tambe´m e´ necessa´rio saber o qua˜o ra´pida
esta part´ıcula esta´ se deslocando e ainda se esta “rapidez” varia no tempo. Em f´ısica, todas essas ca-
racter´ısticas do movimento, que sa˜o intuitivas para no´s, sa˜o definidas de maneira formal. Isto permite
caracterizar o movimento e obter equac¸o˜es que permitam prever como um corpo ira´ se mover a partir
do conhecimento pre´vio de alguns paraˆmetros. A seguir, vamos definir as quantidades necessa´rias para
descrever o movimento unidimensional.
1o movimento pode ser vertical como uma pedra caindo, ou horizontal como um carro em uma rodovia, ou inclinado,
mas o importante e´ que seja em linha reta.
13
14 CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
2.1 Posic¸a˜o e Deslocamento
Localizar uma part´ıcula se movendo em uma dimensa˜o significa determinar a posic¸a˜o desta part´ıcula
em relac¸a˜o a algum ponto de refereˆncia. Este ponto normalmente e´ escolhido como o zero de uma reta
orientada (eixo), chamada referencial ou sistema de refereˆncia. O zero e´ chamado de “origem” do sistema
de refereˆncia. Como ilustrado na figura 2.1, se a part´ıcula esta´ localizada a` esquerda da origem, sua
posic¸a˜o no sistema de refereˆncia e´ negativa; caso a part´ıcula se encontre a` direita da origem enta˜o sua
posic¸a˜o e´ positiva. Assim, se a posic¸a˜o da part´ıcula e´ x = 3 m, enta˜o sabemos que a part´ıcula se encontra
a` direita de zero na posic¸a˜o x = +3 m. Caso a posic¸a˜o da part´ıcula seja −1 m, enta˜o sabemos que
a part´ıcula esta´ localizada a` esquerda de zero na posic¸a˜o x = −1 m. O sinal positivo na˜o precisa ser
explicitado e quando encontramos um nu´mero sem sinal, fica subentendido que a posic¸a˜o e´ positiva, ou
seja, a` direita de zero. No entanto, o sinal de menos deve ser sempre mostrado.
Uma mudanc¸a de uma posic¸a˜o qualquer x1 para outra posic¸a˜o x2 e´ chamada de deslocamento ∆x:
∆x = x2 − x1. (2.1)
Usamos o s´ımbolo ∆ para denotar variac¸a˜o de uma grandeza, neste caso a variac¸a˜o e´ na posic¸a˜o. Note
que o deslocamento e´ definido como a posic¸a˜o final menos a inicial. Assim, um deslocamento positivo
implica um movimento no sentido positivo do eixo x. Por exemplo, imagine que a posic¸a˜o inicial da
part´ıcula seja x1 = −2 m e a posic¸a˜o final seja x = +3 m. Assim, ∆x = +3 m−(−2 m) = +5 m. Ou seja, a
part´ıcula se deslocou 5 m no sentido positivo do eixo x. Agora considere que a part´ıcula estava inicialmente
em x1 = −2 m e deslocou-se para x2 = −10 m. O deslocamento sera´ enta˜o ∆x = −10 m−(−2 m) = −8 m.
O deslocamento neste caso e´ no sentido negativo do eixo x, a part´ıcula estava inicialmente no lado negativo
da origem e se moveu para uma posic¸a˜o mais distante do lado negativo do eixo.
Da mesma forma que no caso da posic¸a˜o, e´ crucial explicitar o sinal negativo do deslocamento e a
auseˆncia de sinal e´ interpretada como sendo um sinal positivo. O deslocamento e´ uma quantidade vetorial,
e portanto, para caracteriza´-la e´ necessa´rio fornecer seu mo´dulo, direc¸a˜o e sentido. No caso presente,
a direc¸a˜o ja´ esta´ impl´ıcita quando dizemos que o movimento e´ horizontal ou vertical, etc. O sentido e´
determinado pelo sinal da quantidade, ou seja, se o sinal e´ positivo enta˜o temos um deslocamento da
esquerda para a direita (no caso da figura 2.1) e o sentido inverso para o sinal negativo. No estudo
do movimento em 2 e 3 dimenso˜es o cara´ter vetorial vai ficar mais claro do que no caso presente. O
mo´dulo do deslocamento indica a distaˆncia percorrida entre as posic¸o˜es final e inicial. Assim, no primeiro
exemplo, apesar da posic¸a˜o inicial ser x1 = −2 m e a posic¸a˜o final seja x = +3 m a distaˆncia percorrida
foi de 5 m embora a part´ıcula tenha ficado na posic¸a˜o +3 m.
2.2. VELOCIDADE ME´DIA E VELOCIDADE ESCALAR ME´DIA 15
Figura 2.1: A posic¸a˜o e´ determinada em um eixo que e´ marcado em unidades de comprimento (neste caso metros)
e que se estende indefinidamente em ambas as direc¸o˜es. O lado direito corresponde a valores positivos de x e o
lado esquerdo corresponde a valores negativos.
2.2 Velocidade Me´dia e Velocidade Escalar Me´dia
Uma vez que definimos a posic¸a˜o e o deslocamento da part´ıcula, o pro´ximo passo e´ considerar a variac¸a˜o
destas quantidades com o tempo. De fato, o movimento e´ um fenoˆmeno dinaˆmico e, portanto, a descric¸a˜o
do movimento consiste em determinar a func¸a˜o x(t), a posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo. O conhecimento
de x(t) nos permite determinar todas as propriedades cinema´ticas da part´ıcula. O gra´fico de x(t) e´
particularmente interessante e ilustrativo. Na figura 2.2 temos dois gra´ficos ilustrando duas situac¸o˜es: o
primeiro, mostrado na figura 2.2a, e´ uma linha reta horizontal que indica que a posic¸a˜o x(t) e´ constante
para todos os valores do tempo. Portanto, esta e´ uma representac¸a˜o de uma part´ıcula em repouso. No
segundo gra´fico, mostrado na figura 2.2b, temos um gra´fico onde x(t) varia desde −5 m, passando pela
origem em t = 3 s e finalmente atinge o valor 3 m em t = 5 s. Este gra´fico ilustra um movimento em
linha reta da posic¸a˜o x(t) = −5 m para a x(t) = +3 m, veja figura 2.2c. Ale´m de ilustrar o deslocamento
da part´ıcula, podemos obter mais informac¸o˜es sobre o movimento da mesma usando o gra´fico x(t). Com
efeito, podemos determinar o qua˜o ra´pido a part´ıcula se deslocou ao longo da trajeto´ria. Isso e´ feito
atrave´s da definic¸a˜o da velocidade me´dia, vme´d, definida da seguinte forma,
vme´d =
∆x
∆t
=
x2 − x1
t2 − t1 (2.2)
que e´ a raza˜o do deslocamento ∆x pelo tempo ∆t em que este deslocamento ocorreu. A velocidade
me´dia tem unidades de metros por segundo (m/s) no sistema internacional, mas tambe´m e´ comum
expressa´-la em quiloˆmetros por hora (km/h) ou ainda em cent´ımetros por segundo (cm/s). O significado
f´ısico da definic¸a˜o e´ obvio: a velocidade e´ uma medida da “rapidez” com que um determinado corpo se
16 CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
movimenta. A partir do gra´fico de x(t) podemos atribuir um significado geome´trico para a velocidade
Figura 2.2: (a) mostra um gra´fico de x(t) para uma part´ıcula em repouso. (b) caso em que x(t) mostra um objeto
em movimento na direc¸a˜o x desde x = −5 m ate´ x = +3 m. (c) trajeto´ria real da part´ıcula.
me´dia.Conforme ilustrado na figura 2.3, a velocidade me´dia e´ o mo´dulo do coeficiente angular da reta
que passa pelos pontos (x2, t2) e (x1, t1). Assim como o deslocamento e posic¸a˜o, a velocidade me´dia
possui mo´dulo direc¸a˜o e sentido, desde que e´ uma quantidade vetorial. Neste caso, valores positivos da
velocidade me´dia, significam que a reta que liga os pontos e´ inclinada para cima a` medida que a part´ıcula
se desloca para a direita. No caso de um sinal negativo, temos uma reta inclinada para baixo a` medida
que a part´ıcula se desloca para a direita.
Outra maneira de quantificar a “rapidez” de um objeto e´ por meio da chamada velocidade escalar
me´dia , definida como a raza˜o da distaˆncia total percorrida pelo corpo em movimento pelo tempo gasto
no percurso. Assim, escrevemos,
sme´d =
dist. total percorrida
∆t
. (2.3)
Como o pro´prio nome diz, sme´d e´ uma quantidade escalar e e´ dada apenas pelo mo´dulo do deslocamento
total pelo tempo percorrido. Por esta raza˜o, existem situac¸o˜es em que sme´d e vme´d sa˜o bem diferentes.
Exemplo
Vamos considerar o exemplo resolvido no livro do Halliday para ilustrar o uso das definic¸o˜es acima.
1. Voceˆ dirige uma picape mal-conservada numa estrada reta por 8,4 km a 70 km/h, quando a picape
pa´ra por falta de gasolina. Nos 30 min seguintes, voceˆ caminha adiante por outros 2,0 km pela estrada
ate´ chegar a um posto de gasolina. (a) Qual o seu deslocamento total desde a sa´ıda com a picape ate´ a
2.2. VELOCIDADE ME´DIA E VELOCIDADE ESCALAR ME´DIA 17
Figura 2.3: Demonstrac¸a˜o da velocidade me´dia como o coeficiente angular da reta que passa pelo par de pontos
(x2, t2) e (x1, t1).
sua chegada ao posto de gasolina. (b) Qual o intervalo de tempo ∆t do in´ıcio da viagem ate´ a chegada
ao posto? (c) Qual a velocidade me´dia vme´d do in´ıcio da viagem ate´ a chegada no posto? Determine esta
velocidade tanto nume´rica quanto graficamente. (d) Suponha que para colocar gasolina, pagar e voltar
para a picape voceˆ leve mais 45 min. Qual a velocidade escalar total do in´ıcio da viagem ate´ voceˆ voltar
para a picape com gasolina?
(a)
Vamos considerar que estamos nos movendo na direc¸a˜o positiva do eixo x a partir da origem, i.e.,
supomos que o ponto inicial x1 = 0 e ponto x2 e´ o posto de gasolina. Assim, considerando que com a
picape ocorreu um deslocamento de 8,4 km e, em seguida, um segundo deslocamento de 2,0 km, enta˜o o
deslocamento total e´ dado por:
∆x = x2 − x1 = 8, 4 km + 2, 0 km− 0 = 10, 4 km
(b)
O tempo do in´ıcio da viagem ate´ a chegada ao posto e´ composto por duas contribuic¸o˜es: a viagem
com a picape mais o tempo gasto a` pe´ da picape ate´ o posto. O tempo gasto na viagem com a picape
pode ser facilmente determinado usando-se a definic¸a˜o da velocidade me´dia:
vme´d =
∆x
∆t
onde ∆x = 8, 4 m e vme´d = 70 km/h. Assim, substituindo na definic¸a˜o para a velocidade me´dia, podemos
18 CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
determinar o intervalo de tempo correspondente a` viagem com a picape, que chamamos ∆t1:
∆t1 =
∆x
vme´d
=
8, 4 km
70 km/h
= 0, 12 h.
Considerando que o tempo da caminhada foi de ∆t2 = 30 min = 0, 5 h, podemos escrever o tempo
total gasto na viagem,
∆t = ∆t1 +∆t2 = 0, 12 h + 0, 5 h = 0, 62 h
(c)
A velocidade me´dia desde o in´ıcio da viagem ate´ a chagada ao posto (viagem completa), e´ determi-
nada considerando-se que a posic¸a˜o e tempo iniciais sa˜o iguais a zero (escolhido como origem de nosso
referencial) e o tempo e posic¸o˜es finais sa˜o 10,4 km e 0,62 h, calculado no item anterior, assim escrevemos:
vme´d =
10, 4 km
0, 62 h
≈ 17 km/h
(d)
Neste caso, precisamos considerar que ocorreu um deslocamento adicional de 2 km em um tempo de
45 min que corresponde a 0,75 h. Assim, a velocidade escalar me´dia e´ dada pela soma do trajeto total
pelo tempo total assim, escrevemos:
sme´d =
8, 4 km + 2, 0 km + 2, 0 km
0, 12 h + 0, 5 h + 0, 75 h
= 9, 1 km/h
2.3 Velocidade Instantaˆnea e Velocidade Escalar
Ate´ agora descrevemos a velocidade me´dia de uma part´ıcula, no entanto, muitas vezes se faz necessa´rio
determinar a velocidade em um determinado instante de tempo, da mesma maneira que determinamos a
posic¸a˜o de uma part´ıcula em um ponto. Isto e´ poss´ıvel, tomando-se a velocidade me´dia em instantes de
tempo cada vez mais curtos de maneira que no limite em que o intervalo de tempo tende a zero, temos
a velocidade no instante de tempo t. Assim, tomando-se a Eq. (2.2) no limite de ∆t→ 0, obtemos:
v(t) = lim
∆t→0
vme´d = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
ou seja,
v(t) =
dx
dt
(2.4)
2.4. ACELERAC¸A˜O 19
que e´ a derivada da func¸a˜o x(t) em relac¸a˜o ao tempo. Assim, em um gra´fico da posic¸a˜o em func¸a˜o do
tempo, a velocidade em certo instante de tempo e´ determinada tomando-se uma reta tangente a` curva
x(t) no instante considerado. Este e´ o processo limite obtido geometricamente a partir da velocidade
me´dia tomando-se os pares (x2, t2) e (x1, t1) cada vez mais pro´ximos.
A exemplo do que ocorre com a velocidade me´dia, podemos definir aqui uma velocidade escalar
que e´ simplesmente o mo´dulo da velocidade instantaˆnea. Esta velocidade apenas nos retorna o mo´dulo
da velocidade sem qualquer menc¸a˜o a` direc¸a˜o e sentido do movimento. Esta quantidade e´ encontrada
nos veloc´ımetros dos carros e nos informa sempre a magnitude da velocidade independente se estamos
andando para a frente ou de marcha-a-re´.
2.4 Acelerac¸a˜o
Ate´ o momento consideramos como a posic¸a˜o da part´ıcula depende do tempo e a velocidade que permite
descrever a “rapidez” com que a part´ıcula se desloca. Neste caso, podemos trabalhar com valores me´dios,
ou ainda com o valor instantaˆneo da velocidade tomando-se um limite infinitesimal do intervalo de tempo
em que ocorre o deslocamento. A pro´xima questa˜o seria perguntar como a pro´pria velocidade varia em
um determinado intervalo de tempo. Quando isso ocorre, dizemos que a part´ıcula esta´ acelerada (ou sofre
acelerac¸a˜o). Para o caso simples, unidimensional que consideramos aqui, a acelerac¸a˜o me´dia e´ definida
por,
ame´d =
v2 − v1
t2 − t1 =
∆v
∆t
(2.5)
onde a part´ıcula tem a sua velocidade alterada de v1 no instante t1 para v2 no instante t2.
Da mesma forma que no caso da velocidade, a acelerac¸a˜o num dado instante de tempo e´ determinada
aplicando-se o limite ∆t→ 0 na Eq. (2.5), ou seja,
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
ou seja,
a =
dv
dt
(2.6)
que e´ simplesmente a derivada temporal da velocidade. Assim, se substituirmos a Eq. (2.4) em (2.6),
podemos escrever ainda,
a =
d2x
dt2
. (2.7)
20 CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
Assim, a acelerac¸a˜o e´ obtida atrave´s da segunda derivada da posic¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo. A
unidade usual da acelerac¸a˜o e´ o metro por segundo ao quadrado (m/s2). Existem outras unidades em que
podemos expressar a acelerac¸a˜o, mas sempre sera´ na forma comprimento por tempo ao quadrado. Ale´m
disso, a acelerac¸a˜o e´ uma grandeza vetorial de modo que e´ caracterizada por um mo´dulo, direc¸a˜o e sentido.
A direc¸a˜o e´ determinada pelo eixo sobre o qual se desenvolve o movimento e o sentido e´ determinado pelo
sinal alge´brico da mesma forma que no caso da velocidade e deslocamento, ou seja, a acelerac¸a˜o com um
valor positivo esta´ na direc¸a˜o positiva do eixo e um valor negativo esta´ apontando no sentido negativo do
eixo. Com o objetivo de ilustrar a relac¸a˜o entre a posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o, na figura 2.4 os gra´ficos
da posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o sa˜o mostrados para um elevador que esta´ inicialmente em repouso
e enta˜o descreve um movimento de subida ate´ parar. A curva da posic¸a˜o x(t) exibe uma curvatura
inicial no intervalo de 0s a 3s, seguida por um comportamentolinear entre 3s e 8s e finalmente exibe um
curvatura contra´ria de 8s a 9s tornando-se constante novamente em 10s. Considerando que a curvatura
e´ quadra´tica, enta˜o a velocidade instantaˆnea, mostrada no gra´fico de v(t) pode ser estimada usando-se
a definic¸a˜o da derivada da posic¸a˜o. No intervalo em que o movimento comec¸a e termina (0-3s e 8-9s)
a velocidade e´ linear, pois corresponde a derivada de uma func¸a˜o quadra´tica. No entanto, a inclinac¸a˜o
da reta deve ser oposta desde que a curvatura no in´ıcio do intervalo e´ positiva e no final, negativa. Na
regia˜o linear de x(t), a velocidade deve exibir um valor constante desde que estamos considerando aqui
a derivada de uma func¸a˜o linear. Dada a curva da velocidade, podemos estimar a curva da acelerac¸a˜o
fazendo mentalmente a derivada da velocidade em func¸a˜o do tempo. De fato, a acelerac¸a˜o e´ diferente
de zero somente nos intervalos (0-3s e 8-9s) onde a velocidade exibe um comportamento linear. Nas
demais regio˜es a velocidade e´ constante e na˜o temos acelerac¸a˜o. Ale´m disso, notamos que o elevador esta´
acelerando no in´ıcio do movimento, portanto, a > 0 e no final do movimento o elevador comec¸a a frear
ate´ parar e, com isso, a < 0.
2.5 Movimento com acelerac¸a˜o constante
Ate´ o momento definimos algumas grandezas f´ısicas que nos permite descrever o movimento de um corpo
r´ıgido que se comporta como uma part´ıcula movendo-se em 1 dimensa˜o. O pro´ximo passo e´ relacionar
estas quantidades de maneira a prever o movimento que a part´ıcula ou corpo ira´ exibir a partir de alguns
valores iniciais de velocidade e posic¸a˜o. Em outras palavras, pretendemos determinar a func¸a˜o x(t) que
nos fornece a posic¸a˜o da part´ıcula para todos os instantes de tempo. A partir desta func¸a˜o, conseguimos
determinar todas as quantidades que caracterizam o movimento como a velocidade e acelerac¸a˜o.
2.5. MOVIMENTO COM ACELERAC¸A˜O CONSTANTE 21
Figura 2.4: (a) gra´fico da posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo para um elevador que parte do repouso e se move para
cima ate´ parar. (b) velocidade do elevador. (c) acelerac¸a˜o.
22 CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
Os movimentos dos corpos podem ser muito complicados desde que a acelerac¸a˜o e velocidade em
princ´ıpio podem assumir qualquer dependeˆncia com o tempo. No entanto, um caso particular e´ de
grande interesse: os movimentos em que a acelerac¸a˜o dos corpos e´ constante no tempo. O principal
exemplo deste tipo de movimento e´ a queda livre dos corpos na superf´ıcie da Terra, onde os corpos
que esta˜o a uma certa altura em relac¸a˜o ao cha˜o experimentam a acelerac¸a˜o da gravidade que pode ser
aproximada para um valor constante e igual2 a: g = −9, 8 m/s2. Assim, dada a relevaˆncia deste caso,
vamos estuda´-lo em detalhes nesta sec¸a˜o.
2.5.1 Equac¸o˜es para acelerac¸a˜o constante
Para determinar o movimento com acelerac¸a˜o constante, partimos da definic¸a˜o da acelerac¸a˜o como a
derivada temporal da velocidade:
a =
dv
dt
que pode ser reescrita na forma,
dv = a dt
e integrando em ambos os lados em relac¸a˜o ao tempo, segue que:∫
dv =
∫
a dt,
e desde que estamos supondo que a e´ constante podemos escrever:
v + C1 = at+ C2
ou ainda,
v = at+ C (2.8)
onde agrupamos as duas constantes de integrac¸a˜o na forma: C = C2 − C1. Para determinar o valor da
constante C, basta utilizar uma condic¸a˜o inicial. Neste caso, supomos que no tempo t = t0 a velocidade
da part´ıcula e´ v0, assim, temos que,
v0 = at0 + C
2denotamos a acelerac¸a˜o da gravidade pelo s´ımbolo g, reservando o a para acelerac¸o˜es gerais que na˜o sa˜o devido a forc¸a
gravitacional
2.5. MOVIMENTO COM ACELERAC¸A˜O CONSTANTE 23
o que nos permite obter,
C = v0 − at0
e substituindo na Eq. (2.8), obtemos a primeira equac¸a˜o para o movimento com acelerac¸a˜o constante:
v(t) = v0 + a(t− t0) (2.9)
onde explicitamos que v = v(t), ou seja, a velocidade e´ uma func¸a˜o do tempo. Vemos enta˜o que a
velocidade e´ linear com o tempo no caso em que a e´ constante.
Uma vez que conhecemos v(t), podemos determinar a variac¸a˜o da posic¸a˜o com o tempo. Para isso,
usamos a definic¸a˜o da velocidade:
v =
dx
dt
ou ainda,
dx = v dt
e integrando em relac¸a˜o ao tempo, segue que∫
dx =
∫
v dt.
A integral no primeiro membro e´ direta, ou seja x + K1, com K1 sendo a constante de integrac¸a˜o.
Assim, temos
x+K1 =
∫
v dt.
Para determinar a segunda integral, precisamos saber como a velocidade varia com o tempo. Isso e´
determinado pela Eq. (2.9), assim, substituindo na integrac¸a˜o, obtemos:
x+K1 =
∫
[v0 + a(t− t0)] dt
e lembrando que v0, a e t0 sa˜o constantes, podemos escrever
x+K1 = v0
∫
dt+ a
∫
t dt− at0
∫
dt
e resolvendo as integrac¸o˜es escrevemos
x+K1 = v0t+K2 +
at2
2
+K3 − at0t+K4
24 CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
onde K1,K2,K3 e K4 sa˜o constantes de integrac¸a˜o. Escrevemos ainda,
x+K1 = v0t+
a
2
(
t2 − 2t0t
)
+K2 +K3 +K4
e completando o quadrado no pareˆnteses, podemos obtemos
x = v0t+
a
2
(
t2 − 2t0t+ t20
)− at20
2
−K1 +K2 +K3 +K4
e desde que
at20
2
e´ tambe´m uma constante arbitra´ria, desde que t0 e´ arbitra´rio, podemos agrupar este termo
junto com as demais constantes de integrac¸a˜o. Ale´m disso, podemos escrever o termo entre pareˆnteses
na forma (t− t0)2, assim segue que
x = v0t+
a
2
(t− t0)2 +K (2.10)
onde, K = −at
2
0
2
−K1 +K2 +K3 +K4.
Resta agora determinar a constante K na Eq. (2.10). Para isso, consideremos que no tempo t = t0 a
part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x = x0, assim, obtemos,
x0 = v0t0 +
a
2
(t0 − t0)2 +K
o que leva a,
K = x0 − v0t0
e substituindo este valor de volta na Eq. (2.10), podemos escrever
x(t) = x0 + v0(t− t0) + a
2
(t− t0)2 (2.11)
onde deixamos expl´ıcita a dependeˆncia temporal da posic¸a˜o com o tempo x = x(t).
Existem situac¸o˜es em que se faz necessa´rio trabalhar com apenas velocidade e posic¸a˜o da part´ıcula
em movimento. Podemos obter uma equac¸a˜o relacionando estas quantidades diretamente por meio da
regra da cadeia do ca´lculo. Para isso, escrevemos a definic¸a˜o da acelerac¸a˜o na forma:
a =
dv
dt
=
dv
dx
dx
dt
e identificando o segundo fator com a definic¸a˜o de velocidade podemos escrever,
a = v
dv
dx
2.5. MOVIMENTO COM ACELERAC¸A˜O CONSTANTE 25
o que pode ser colocado na forma:
v dv = a dx
e integrando esta equac¸a˜o em ambos os lados, obtemos:∫
v dv =
∫
a dx
As integrais sa˜o diretas desde que consideramos que a acelerac¸a˜o e´ constante tambe´m em relac¸a˜o a`
posic¸a˜o, logo
v2
2
+ L1 = ax+ L2
e agrupando as constantes de integrac¸a˜o na forma L = L2 − L1, podemos escrever ainda,
v2
2
= ax+ L
E para determinar a constante L, consideramos que para uma dada posic¸a˜o inicial x = x0 a part´ıcula
tenha uma velocidade v = v0, assim, obtemos:
v20
2
= ax0 + L
e isolando L, temos
L =
v20
2
− ax0
e substituindo novamente na equac¸a˜o para v, obtemos:
v2
2
= ax+
v20
2
− ax0
o que pode ser escrito na forma
v2 = v20 + 2a(x− x0) (2.12)
que e´ a relac¸a˜o procurada envolvendo apenas posic¸o˜es e velocidades.
As Eqs. (2.9), (2.11) e (2.12) permitem determinar o movimento de uma part´ıcula com acelerac¸a˜o
constante. Podemos aplica´-las para va´rios tipos de movimento, conforme ficara´ claro nos exemplos
seguintes. No entanto, e´ interessante combinar estas equac¸o˜es com o objetivo de determinar algumas
propriedades interessantes decorrente da acelerac¸a˜o constante. Para isso, considere novamente a Eq.
(2.12),
v2 = v20 + 2a(x− x0)
26 CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
que pode ser escrita na forma
v2 − v20 = 2a(x− x0)
(v − v0)(v + v0) = 2a(x− x0) (2.13)
mas a diferenc¸a v − v0, podeser escrita em termos da acelerac¸a˜o usando a Eq. (2.9):
v − v0 = a(t− t0)
e substituindo na Eq. (2.13), obtemos
a(t− t0)(v + v0) = 2a(x− x0)
e eliminando a acelerac¸a˜o, podemos escrever:
x− x0
t− t0 =
1
2
(v + v0) (2.14)
e identificando o primeiro membro com a velocidade me´dia, podemos escrever ainda
vme´d =
1
2
(v + v0). (2.15)
E vemos que no movimento com acelerac¸a˜o constante, a velocidade me´dia pode ser obtida a partir
de uma me´dia aritme´tica entre dois valores de velocidade. Isto e´ uma consequ¨eˆncia do movimento ser
com acelerac¸a˜o constante e na˜o pode ser generalizado para casos em que a acelerac¸a˜o tenha outros
comportamentos.
Podemos obter uma segunda equac¸a˜o, combinando as Eqs. (2.9) e (2.11). Para isso primeiramente
multiplicamos a Eq. (2.9) pela diferenc¸a de tempo t− t0:
v(t− t0) = v0(t− t0) + a(t− t0)2 (2.16)
Retomando a Eq. (2.11), temos:
x− x0 = v0(t− t0) + 1
2
(t− t0)2 (2.17)
Agora subtra´ımos a Eq. (2.16) da (2.17), obtendo-se:
x− x0 − v(t− t0) = −1
2
(t− t0)2
2.5. MOVIMENTO COM ACELERAC¸A˜O CONSTANTE 27
No da Eq. Equac¸o˜es Paraˆmetro ausente
(2.9) v(t) = v0 + a(t− t0) x− x0
(2.11) x(t) = x0 + v0(t− t0) + a
2
(t− t0)2 v
(2.12) v2 = v20 + 2a(x− x0) t
(2.14) x− x0 = 1
2
(v + v0)(t− t0) a
(2.18) x− x0 = v(t− t0)− 1
2
(t− t0)2 v0
Tabela 2.1: Equac¸o˜es para o movimento com acelerac¸a˜o constante.
Figura 2.5: Veja exemplo 1.
o que pode ser colocado na forma final:
x− x0 = v(t− t0)− 1
2
(t− t0)2 (2.18)
que tem a vantagem de na˜o fazer refereˆncia a` velocidade no tempo inicial. Esta e´ a u´ltima equac¸a˜o
deduzida para o caso da acelerac¸a˜o constante. Com este conjunto de equac¸o˜es podemos investigar va´rias
situac¸o˜es envolvendo problemas com acelerac¸a˜o constante. Na tabela abaixo fazemos um resumo das
principais expresso˜es obtidas.
2.5.2 Exemplos
1. Um ele´tron com velocidade inicial v0 = 1, 50 × 105 m/s penetra em uma regia˜o de comprimento
L = 1, 00 cm, onde e´ eletricamente acelerado (Fig. 2.5) e sai dessa regia˜o com v = 5, 70×106 m/s. Qual
e´ a acelerac¸a˜o do ele´tron, supondo que seja constante?
O problema pode ser facilmente resolvido usando-se a equac¸a˜o de Torricelli, assim,
v2 = v20 + 2a∆x
28 CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
e resolvendo para a, obtemos:
a =
1
2
(
v2 − v20
∆x
)
a =
1
2
(
(5, 70× 106 m/s)2 − (1, 50× 105 m/s)2
1, 00 cm
)
e resolvendo para a acelerac¸a˜o, temos finalmente:
a = 1, 62× 1015 m/s2.
2. Quando um trem de passageiros de alta velocidade (trem-bala) que se move a 161 km/h faz uma
curva, o maquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos atrave´s
de um desvio e se encontra a uma distaˆncia D = 676 m a` frente, veja Fig. 2.6. A locomotiva esta´ se
movendo a 29, 0 km/h. O maquinista do trem de alta velocidade imediatamente aciona os frios. (a) Qual
e´ o valor mı´nimo do mo´dulo da desacelerac¸a˜o (suposta constante) para que a colisa˜o na˜o ocorra? (b)
Suponha que o maquinista esta´ em x = 0 quanto, em t = 0, avista a locomotiva.
Figura 2.6: Veja exemplo 2.
O trem-bala deve reduzir a sua velocidade ate´ um valor de mı´nimo igual a` velocidade da locomotiva
vl, caso contra´rio ira´ colidir com a mesma. Esta reduc¸a˜o deve ocorrer dentro da distaˆncia igual a
∆x = D + vl∆t
desde que no processo de desacelerac¸a˜o, que ocorre dentro do intervalo de tempo ∆t = t − t0. Assim,
para determinar a acelerac¸a˜o temos que:
∆x =
1
2
[v(t) + v0]∆t
e assim, substituindo o valor de ∆x = D + vl∆t, o valor final da velocidade v = vl, temos:
D + vl∆t =
1
2
[vl + v0]∆t
2.5. MOVIMENTO COM ACELERAC¸A˜O CONSTANTE 29
onde vl e´ a velocidade final do trem-bala que deve ser igual a` da locomotiva. Dividindo a expressa˜o acima
por ∆t, temos ainda:
D
∆t
+ vl =
1
2
[vl + v0].
O tempo ∆t pode ser determinado pela equac¸a˜o,
v(t) = v0 + a∆t
logo,
∆t =
v(t)− v0
a
e considerando ainda que no tempo t a velocidade do trem-bala deve ser igual a vl, podemos escrever
∆t =
vl − v0
a
logo,
aD
vl − v0 + vl =
1
2
[vl + v0].
o que pode ser escrito na forma,
aD
vl − v0 =
1
2
[v0 − vl].
logo,
a = − 1
2D
[vl − v0]2.
e substituindo os valores correspondentes segue que:
a = − 1
2× 0, 676 km[29, 0 km/h− 161 km/h]
2.
3. A a´gua pinga de um chuveiro em um piso situado 200 cm abaixo. As gotas caem a intervalos
de tempo regulares (iguais) com a primeira gota atingindo o piso quando a quarta gota comec¸a a cair.
Quando a primeira gota atinge o piso, a que distaˆncia do chuveiro se encontram (a) a segunda e (b) a
terceira gota?
Primeiro, precisamos determinar o tempo t1 que a primeira gota leva para atingir o cha˜o. Isto pode
ser obtido via equac¸a˜o para a queda livre:
y1(t) = y0 + v0t1 − g
2
t21
30 CAPI´TULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
e definindo a posic¸a˜o −h no piso e 0 a posic¸a˜o do chuveiro em relac¸a˜o ao cha˜o, podemos escrever
−h = 0 + 0− g
2
t21
o que pode ser colocado na forma:
t1 =
√
2h
g
e substituindo os valores correspondentes, segue que:
t1 =
√
2× 2 m
9, 8 m/s2
= 0, 639 s.
Como os intervalos de tempo sa˜o regulares, assim, dividindo o tempo t1 por 3, obtemos o intervalo
de tempo entre as gotas,
∆t =
t1
3
=
0, 639 s
3
= 0, 213 s.
O tempo t2 que deve ser usado para determinar a posic¸a˜o da segunda gota, e´ dado por:
t2 = 2×∆t = 0, 426 s
assim, substituindo este tempo na equac¸a˜o para a queda livre obtemos,
y2(t2) = y0 + v0t2 − g
2
t22
e substituindo-se os valores correspondentes, obtemos:
y2(t2) = 0 + 0− g
2
(0, 426 s)2 = −0, 889 m.
E usando o mesmo racioc´ınio, temos que:
y3(t3) = y0 + v0t3 − g
2
t23
onde t3 = 0, 213 s. Assim, temos que:
y3(t3) = 0 + 0− g
2
(0, 213 s)2 = −0, 222 m.
Cap´ıtulo 3
Forc¸a e Movimento
3.1 Vetores
No cap´ıtulo anterior definimos a posic¸a˜o de uma part´ıcula a partir de um sistema de refereˆncia de modo
que se a part´ıcula esta a` direita da origem a posic¸a˜o assume valores positivos enquanto que no caso inverso
a posic¸a˜o tinha valores negativos. O conhecimento da posic¸a˜o da part´ıcula com o tempo significava um
conhecimento completo das propriedades do movimento da part´ıcula como a velocidade e a acelerac¸a˜o.
No caso de movimento em 2 e 3 dimenso˜es, especificar a posic¸a˜o apenas usando sinais de + e − na˜o
e´ suficiente. Neste caso, a utilizac¸a˜o de vetores e´ necessa´ria desde que para caracterizar a posic¸a˜o da
part´ıcula e´ necessa´rio indicar a orientac¸a˜o do movimento da mesma. Da mesma forma, grandezas como
o deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o tambe´m requerem a especificac¸a˜o de suas orientac¸o˜es no plano
ou no espac¸o.
Para representar estas grandezas usamos vetores, que sa˜o representados geometricamente por meio
de setas cujo tamanho representa o mo´dulo e a orientac¸a˜o desta seta no espac¸o ou no plano especifica
sua direc¸a˜o e sentido. Grandezas que requerem este tipo de especificac¸a˜o sa˜o chamadas de grandezas
vetoriais. E´ importante notar que nem todas as grandezas f´ısicas sa˜o grandezas vetoriais. Temperatura,
pressa˜o, energia, massa, etc., sa˜o exemplos de grandezas que na˜o necessitam da especificac¸a˜o de suas
orientac¸o˜es em relac¸a˜o a um sistema de refereˆncias. Estas sa˜o completamente definidas especificando
apenas seu mo´dulo e sinal, da mesma forma que as grandezas que estudamos no caso 1D.
A grandeza vetorial mais simples e´ o deslocamento, ou mudanc¸a de posic¸a˜o. Um vetor que representa
um deslocamento e´ chamado de vetor deslocamento. Conforme mostrado na Fig. 3.1, se a part´ıcula
se desloca da posic¸a˜o A para a posic¸a˜o B, representamos o deslocamento por uma seta apontando de A
31
32 CAPI´TULO 3. FORC¸A EMOVIMENTO
para B. A seta especifica o vetor graficamente.
Figura 3.1: (a) As treˆs setas teˆm o mesmo mo´dulo e orientac¸a˜o e, portanto, representam o mesmo deslocamento.
(b) As treˆs trajeto´rias que unem os dois pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento.
Na Fig. 3.1a, as treˆs setas de A para B, de A′ para B′ e de A′′ para B′′ teˆm o mesmo mo´dulo e
orientac¸a˜o; assim, especificam vetores deslocamento iguais e representam a mesma variac¸a˜o na posic¸a˜o
da part´ıcula. Um vetor pode ser deslocado sem que seu valor mude caso o comprimento, a direc¸a˜o e o
sentido sejam os mesmos.
O vetor deslocamento nada diz sobre a trajeto´ria percorrida por uma part´ıcula. Na Fig. 3.1b, por
exemplo, as treˆs trajeto´rias que unem os pontos A e B correspondem ao mesmo vetor deslocamento da
Fig. 3.1a. Um vetor deslocamento representa apenas o resultado final do movimento, na˜o o movimento
propriamente dito.
3.1.1 Operac¸o˜es com vetores
Para descrever o movimento de uma part´ıcula usando vetores e´ necessa´rio conhecer a a´lgebra vetorial
que especifica as regras para combinar vetores, i.e., somar, subtrair e multiplicar vetores. No caso em
particular, somente a soma e subtrac¸a˜o vetoriais sera˜o de interesse aqui, a multiplicac¸a˜o sera´ deixada
para cap´ıtulos posteriores. E´ importante notar que a divisa˜o de vetores na˜o e´ definida de maneira que
apenas as treˆs operac¸o˜es fundamentais sa˜o poss´ıveis.
A operac¸a˜o mais simples e´ a soma vetorial, que pode ser ilustrada considerando novamente desloca-
mentos no plano. Assim, considere o deslocamento de uma part´ıcula que parte do ponto A ate´ B e enta˜o,
vai de B para C (veja Fig. 3.2a). Podemos representar o deslocamento total atrave´s de vetores deslo-
camentos, o primeiro ligando os pontos A e B e o segundo ligando os pontos B e C. O deslocamento
total e´ um u´nico deslocamento de A para C. Chamamos o vetor que liga os pontos A e C de vetor soma
(ou vetor resultante) dos vetores AB e BC. Esta soma na˜o e´ uma soma alge´brica comum.
3.1. VETORES 33
Figura 3.2: (a) As treˆs setas teˆm o mesmo mo´dulo e orientac¸a˜o e, portanto, representam o mesmo deslocamento.
(b) As treˆs trajeto´rias que unem os dois pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento.
Na Fig. 3.2b, os vetores foram rotulados por ~a, ~b e ~s, onde a seta em cima da letra indica que se
trata de uma grandeza vetorial. Na maioria dos livros, os vetores sa˜o representados por letras em negrito,
assim, os vetores da Fig. 3.2b podem ser representados por a, b e c ficnado subentendido que se trata
de grandezas vetoriais. Assim, podemos representar algebricamente a soma dos treˆs vetores na forma:
~s = ~a+~b, ou,
s = a+ b
lembrando que esta na˜o e´ uma soma alge´brica comum, mas uma soma que leva em conta, ale´m do mo´dulo
das grandezas, o sentido e a direc¸a˜o.
A maneira de somar vetores geometricamente e´ feita desenhando o primeiro vetor na orientac¸a˜o
apropriada. A seguir desenhamos o segundo vetor com direc¸a˜o e sentidos apropriados mas com a origem
deste vetor coincidindo com a extremidade do primeiro vetor. O vetor soma e´ o que vai da origem do
primeiro a` extremidade do u´ltimo. Na Fig. 3.3 e´ mostrado um exemplo de soma de dois vetores ~a e ~b.
Da Fig. 3.3 notamos que a ordem em que a soma e´ feita e´ irrelevante. Podemos representar este fato
atrave´s da equac¸a˜o vetorial
~a+~b = ~b+ ~a (lei comutativa)
Outra propriedade importante da soma vetorial e´ a associatividade, i.e., quando existem mais de
dois vetores, podemos agrupa´-los em qualquer ordem para soma´-los. Assim, se temos treˆs vetores ~a, ~b
e ~c, podemos primeiramente somar ~a com ~b e somar o resultado com ~c. Ou ainda, somar primeiro ~b e
~c e depois somar o resultado com ~a, o resultado e´ o mesmo conforme mostra a Fig. 3.4 Este resultado
tambe´m pode ser escrito na forma de uma equac¸a˜o vetorial:
(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c) (lei associativa)
34 CAPI´TULO 3. FORC¸A E MOVIMENTO
Figura 3.3: A ordem em que os vetores ~a e ~b sa˜o somados na˜o afeta o resultado.
Figura 3.4: Os vetores ~a, ~b e ~c podem ser agrupados em qualquer ordem para serem somados sem alterar o
resultado final.
Quando multiplicamos um vetor por um escalar positivo, modificamos o seu mo´dulo. Assim, o vetor 2~b
e´ um vetor com a mesma direc¸a˜o e sentido de ~b mas com o dobro do comprimento. Quando multiplicamos
um vetor por um escalar negativo, enta˜o ale´m da possibilidade de modificar o mo´dulo do vetor, invertemos
o seu sentido. Assim, o vetor −~b e´ um vetor com o mesmo mo´dulo de ~b mas com sentido contra´rio (veja
Fig. 3.5). Quando somamos vetores com mo´dulo e direc¸o˜es iguais mas com sentidos opostos o resultado
e´ zero. Em termos de deslocamento, isso equivale a se deslocar uma certa distaˆncia e depois voltar ao
mesmo ponto de origem. O deslocamento final e´ zero. Esta situac¸a˜o pode ser representada pela seguinte
equac¸a˜o vetorial:
~b+ (−~b) = 0
Vemos enta˜o que somar −~b e´ o mesmo que subtrair ~b. Usamos esta propriedade para definir a
subtrac¸a˜o de vetores. Seja ~d o resultado da subtrac¸a˜o dos vetores ~a e ~b, enta˜o escrevemos esta diferenc¸a
como
~d = ~a−~b = ~a+ (−~b), (subtrac¸a˜o de vetores).
3.1. VETORES 35
Figura 3.5: Os vetores ~b e −~b teˆm mesmo mo´dulo e direc¸a˜o mas sentidos opostos.
ou seja, calculamos a subtrac¸a˜o somando o vetor −~b com o vetor ~a. A Fig. 3.6 nos mostra como a
subtrac¸a˜o e´ feita geometricamente.
Figura 3.6: (a) Os vetores ~a, ~b e −~b. (b) Para subtrair o vetor ~b do vetor a basta inverter ~b e somar com ~a.
Como na a´lgebra comum, podemos manipular a equac¸a˜o vetorial da mesma forma que uma equac¸a˜o
alge´brica comum no que diz respeito a`s operac¸o˜es de soma e subtrac¸a˜o. Assim, quando passamos um
vetor de um lado da equac¸a˜o para o outro este ganha um sinal de menos. Assim, considerando a u´ltima
equac¸a˜o, podemos escreveˆ-la na forma:
~d+~b = ~a ou ~a = ~d+~b.
3.1.2 Decomposic¸a˜o de vetores
Ate´ o momento consideramos a representac¸a˜o geome´trica de vetores e baseado-se nesta representac¸a˜o,
conseguimos mostrar as propriedades ba´sicas dos vetores. No entanto, operar com vetores na forma
geome´trica e´ bastante trabalhoso ainda mais quando consideramos equac¸o˜es mais complicadas envolvendo
somas e subtrac¸o˜es de va´rios vetores. A decomposic¸a˜o de vetores permite somar e subtrair vetores usando
36 CAPI´TULO 3. FORC¸A E MOVIMENTO
a´lgebra comum. Neste procedimento, representamos os vetores no sistema de coordenadas retangulares.
Os eixos x e y sa˜o normalmente desenhados no plano do papel. O eixo z normalmente e´ perpendicular ao
plano do papel. No entanto, como estamos considerando movimentos em duas dimenso˜es, vamos ignorar
o eixo z por ora.
Figura 3.7: (a) As componentes ax e ay do vetor ~a. (b) As componentes na˜o mudam quando o vetor e´ deslocado,
desde que o mo´dulo e a orientac¸a˜o sejam mantidos. (c) As componentes correspondem aos catetos de um triaˆngulo
retaˆngulo cuja hipotenusa e´ o mo´dulo do vetor.
Uma componente de um vetor e´ a projec¸a˜o do vetor em um eixo. Na Fig. 3.7a, por exemplo, ax
e´ a projec¸a˜o do vetor ~a na direc¸a˜o x e ay e´ a projec¸a˜o do vetor ~a na direc¸a˜o y. Ainda considerando a
Fig. 3.7a, notamos que o processo de decomposic¸a˜o consiste em trac¸ar retas perpendiculares aos eixos
passando pela origem e extremidade do vetor. Com isso, fica claro que o vetor e´ a hipotenusa de um
triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos sa˜o as componentes ax e ay do vetor.
A Fig. 3.7b nos mostra que o deslocamento do vetor para outra regia˜o do plano-xy na˜o afeta as
componentes do vetor ta˜o logo seu mo´dulo e orientac¸a˜o na˜o sejam modificados. Note que o sentido e
direc¸a˜o das componentes (em relac¸a˜o ao eixo) sa˜o as mesmas que as do vetor. Assim, caso o vetortivesse
sua orientac¸a˜o invertida, as componentes estariam apontando na direc¸a˜o inversa em relac¸a˜o a`quelas da
Fig. 3.7.
Podemos determinar geometricamente o mo´dulo das componentes do vetor ~a, atrave´s do triaˆngulo
retaˆngulo ilustrado na Fig. 3.7c. Considerando o aˆngulo θ que o vetor ~a faz com o semi-eixo positivo,
enta˜o segue que:
ax = a cos θ e ay = a sin θ.
3.1. VETORES 37
Atrave´s da Fig. 3.7c fica claro como formar o vetor ~a a partir das componentes, podemos escreveˆ-lo
como:
~a = ~ax + ~ay
o que significa colocar a origem de uma das componentes na extremidade da outra e formar o triaˆngulo
da soma dos vetores.
Uma vez que conhecemos as componentes de um vetor, podemos especifica´-lo atrave´s das componentes
ax e ay, ou atrave´s de seu mo´dulo a e aˆngulo θ. Os dois pares de valores sa˜o equivalentes na especificac¸a˜o
do vetor desde que podemos determina´-los um a partir do outro. De fato, podemos calcular ax e ay a
partir de a e θ com as seguintes relac¸o˜es:
a =
√
a2x + a
2
y e θ = arctan
(
ay
ax
)
.
No caso mais geral de treˆs dimenso˜es, precisamos do mo´dulo e de dois aˆngulos (a, θ e φ, digamos) ou
de treˆs componentes (ax, ay e az) para especificar um vetor.
3.1.3 Vetores Unita´rios (versores)
A maneira de representar vetores no sistema de coordenadas, e´ feita usando-se a decomposic¸a˜o vetorial
que discutimos na u´ltima sec¸a˜o. No entanto, uma maneira mais pra´tica de se lidar com vetores e´ atrave´s
do uso de vetores unita´rios, tambe´m chamados de versores. O vetor unita´rio e´ um vetor que tem
mo´dulo igual a 1 e aponta em uma certa direc¸a˜o. Este vetor na˜o possui dimensa˜o nem unidade, sua
u´nica func¸a˜o e´ especificar uma orientac¸a˜o. Os versores que indicam o sentido positivo dos eixos x e y sa˜o
representados por iˆ e jˆ, respectivamente, onde o s´ımbolo “∧”sobre os vetores indica que o mo´dulo destes
vetores e´ igual a 1. No caso tridimensional temos ainda o versor kˆ indicando o sentido positivo do eixo
z. Na Fig. 3.8a temos a representac¸a˜o dos treˆs vetores unita´rios e os eixos x, y e z. Usando os vetores
unita´rios podemos expressar o vetor da Fig. 3.7 da seguinte forma:
a = ~a = axiˆ+ ay jˆ
onde simplesmente usamos o fato dos vetores ~ax e ~ay formados pelas projec¸o˜es de a sobre os eixos x
e y podem ser escritos como mu´ltiplos dos vetores unita´rios, veja a Fig. 3.8b. Sendo assim, podemos
escrever,
~ax =axiˆ
~ay =ay jˆ.
38 CAPI´TULO 3. FORC¸A E MOVIMENTO
Figura 3.8: Componentes vetoriais do vetor ~a = a em termos dos vetores unita´rios iˆ e jˆ.
Desde que os vetores unita´rios sa˜o ortogonais, na˜o e´ poss´ıvel escrever o versor iˆ como um mu´ltiplo
de jˆ. Isso garante que, quando queremos descobrir se dois vetores sa˜o iguais basta comparar as suas
componentes em cada eixo e verificar se estas sa˜o iguais. Em caso positivo, temos que os vetores sa˜o
ideˆnticos.
3.1.4 Somando vetores algebricamente
Agora que sabemos decompor vetores algebricamente atrave´s dos versores, podemos fazer soma e sub-
trac¸a˜o de vetores sem a necessidade de desenha´-los no plano-xy. Antes de considerar a soma, vamos
denotar vetores usando s´ımbolos em negrito em vez da seta sobre o s´ımbolo. Assim, consideremos dois
vetores a e b, cuja soma resulta no vetor r, assim, escrevemos1:
r = a+ b
O vetor a tem projec¸o˜es ax, ay e az nos eixos coordenados. O vetor b tambe´m apresenta as treˆs
projec¸o˜es correspondentes que chamamos de bx, by e bz. Assim, podemos escrever r na forma:
r = axiˆ+ ay jˆ+ azkˆ+ bxiˆ+ by jˆ+ bzkˆ
assim, podemos escrever:
r = (ax + bx)ˆi+ (ay + by )ˆj+ (az + bz)kˆ
1De modo equivalente poder´ıamos ter escrito ~r = ~a+~b, usando a notac¸a˜o com setas.
3.2. POSIC¸A˜O, VELOCIDADE E ACELERAC¸A˜O VETORIAIS 39
que e´ o resultado da soma dos dois vetores. Note que terminamos com um vetor com as seguintes
projec¸o˜es ao longo dos eixos x, y e z:
rx =ax + bx
ry =ay + by
rz =az + bz
A subtrac¸a˜o de vetores tambe´m e´ direta. Seja d o vetor resultante da diferenc¸a entre os vetores a e
b, assim, temos que:
d = a− b
e substituindo os vetores a e b na forma de componentes, e fazendo a subtrac¸a˜o como no caso anterior,
obtemos:
d = (ax − bx)ˆi+ (ay − by )ˆj+ (az − bz)kˆ
e terminamos novamente com um vetor d com componentes dadas por:
dx =ax − bx
dy =ay − by
dz =az − bz
3.2 Posic¸a˜o, Velocidade e Acelerac¸a˜o Vetoriais
Agora que ja´ sabemos como localizar um ponto em um plano usando vetores, podemos voltar ao estudo
do movimento de uma part´ıcula agora em duas dimenso˜es. Para isso, precisamos redefinir novamente
as grandezas f´ısicas que caracterizam o movimento usadas no caso 1-D para o caso mais geral de 2 e 3
dimenso˜es.
Na Fig. 3.9 temos a representac¸a˜o do movimento de uma part´ıcula que descreve a trajeto´ria APB
no plano-xy. Para localizar a part´ıcula usamos o chamado vetor posic¸a˜o que liga a origem ao ponto onde
se encontra a part´ıcula. No instante t a part´ıcula esta´ localizada no ponto P , assim o vetor posic¸a˜o para
a part´ıcula neste ponto e´ r(t) dado por:
r(t) = x(t)ˆi+ y(t)ˆj
40 CAPI´TULO 3. FORC¸A E MOVIMENTO
Figura 3.9: Vetor posic¸a˜o, vetor deslocamento e a trajeto´ria de uma part´ıcula em um plano.
onde x(t) e y(t) sa˜o as coordenadas do ponto P e o mo´dulo do vetor r(t) e´ simplesmente igual ao tamanho
do segmento de reta OP . Apo´s um intervalo de tempo ∆t a part´ıcula agora se encontra no ponto P ′ e
um segundo vetor posic¸a˜o r(t+∆t) e´ usado para localiza´-la, assim escrevemos
r(t+∆t) = x(t+∆t)ˆi+ y(t+∆t)ˆj
O deslocamento da part´ıcula do ponto P ao ponto P ′ e´ dado por:
∆r = r(t+∆t)− r(t) (3.1)
Substituindo os vetores r(t+∆t) e r(t) na definic¸a˜o de deslocamento, podemos escrever,
∆r = x(t+∆t)ˆi+ y(t+∆t)ˆj− x(t)ˆi− y(t)ˆj
ou seja,
∆r = ∆xˆi+∆yjˆ
onde ∆x = x(t+∆t)−x(t) que e´ o deslocamento na direc¸a˜o x e ∆y = y(t+∆t)−y(t) que e´ o deslocamento
na direc¸a˜o y.
Por analogia com o que fizermos no caso 1D, aqui definimos a velocidade me´dia como a raza˜o entre
o deslocamento pelo intervalo de tempo em que este deslocamento ocorreu, assim escrevemos:
vme´d =
∆r
∆t
(3.2)
3.2. POSIC¸A˜O, VELOCIDADE E ACELERAC¸A˜O VETORIAIS 41
Figura 3.10: (a) Velocidade de uma part´ıcula. (b) Acelerac¸a˜o de uma part´ıcula.
e considerando que ∆r = ∆xˆi+∆yjˆ, podemos escrever da mesma forma:
vme´d = vme´d,xiˆ+ vme´d,y jˆ. (3.3)
onde, vme´d,x = ∆x/∆t e vme´d,y = ∆y/∆t. Estas sa˜o as componentes da velocidade me´dia na direc¸o˜es x e
y. Continuando com as nossas definic¸o˜es, vemos que e´ poss´ıvel determinar, de maneira ana´loga ao caso
unidimensional, a velocidade instantaˆnea da part´ıcula tomando-se o limite ∆t→ 0. Assim, a velocidade
instantaˆnea no tempo t pode ser escrita como:
v(t) = lim
∆t→0
∆r
∆t
o que nos permite escrever:
v(t) = vx(t)ˆi+ vy(t)ˆj
onde,
vx(t) = lim
∆t→0
∆x
∆t
vy(t) = lim
∆t→0
∆y
∆t
Observando o que ocorre com o vetor ∆r a medida que o intervalo de tempo vai a zero (Fig. 3.10a),
vemos que a direc¸a˜o da velocidade instantaˆnea v(t) e´ da tangente a` trajeto´ria em P , e o sentido e´ o
sentido de percurso da trajeto´ria da part´ıcula para t crescente. Observamos, sem prova, que tanto a
velocidade quanto o deslocamento obedecem a`s regras de composic¸a˜o de vetores. Assim, conclu´ımos que
a derivada de um vetor, e´ tambe´m um vetor. Portanto, escrevemos a velocidade instantaˆnea na forma:
v(t) =
dr
dt
=
dx
dt
iˆ+
dy
dt
jˆ. (3.4)
42 CAPI´TULO 3. FORC¸A E MOVIMENTO
Para definir a acelerac¸a˜o me´dia, tomamos o vetor velocidade em dois instante de tempo, v(t+∆t) e
v(t) nos pontos correspondentes a P (t) e P (t+∆t), veja a Fig. 3.10b. Assim, definimos:
ame´d =
∆v
∆t
=
v(t+∆t)− v(t)
∆t
(3.5)
A acelerac¸a˜oinstantaˆnea e´ determinada tomando-se o limite ∆t→ 0, assim segue que:
a(t) = lim
∆t→0
∆v
∆t
= lim
∆t→0
v(t+∆t)− v(t)
∆t
que e´ a derivada do vetor velocidade, assim escrevemos ainda:
a(t) =
dv
dt
=
dvx
dt
iˆ+
dvy
dt
jˆ. (3.6)
que pode ser escrita em termos do vetor deslocamento na forma:
a(t) =
d2r
dt2
=
d2x
dt2
iˆ+
d2y
dt2
jˆ. (3.7)
Ate´ o momento consideramos apenas a descric¸a˜o do movimento, ou seja, a cinema´tica do movimento.
Neste cap´ıtulo passaremos a estudar a causa da acelerac¸a˜o dos objetos. A causa e´ sempre uma forc¸a,
que pode ser definida em termos coloquiais como sendo um empurra˜o ou um puxa˜o exercido sobre um
objeto.
3.3 Mecaˆnica Newtoniana
A relac¸a˜o entre forc¸a e acelerac¸a˜o foi descoberta por Isaac Newton. O estudo desta relac¸a˜o e suas
aplicac¸o˜es e´ chamada de mecaˆnica newtoniana. A mecaˆnica newtoniana e´ aplicada para situac¸o˜es do nosso
cotidiano, i.e., para objetos de tamanhos macrosco´picos e baixas velocidades. Quando as velocidades sa˜o
pro´ximas a` da luz, devemos usar a mecaˆnica relativ´ıstica; para sistemas microsco´picos devemos aplicar a
mecaˆnica quaˆntica.
A mecaˆnica newtoniana e´ baseada em treˆs leis chamadas leis de Newton . A seguir, vamos considerar
a primeira e segunda leis de Newton. Posteriormente, discutiremos a terceira lei de Newton.
3.3.1 A Primeira lei de Newton
Antes de Newton formular a sua mecaˆnica, acreditava-se que para manter um corpo em movimento com
velocidade constante era necessa´rio uma “forc¸a”. Deste modo, o estado natural de um corpo era o estado
de repouso. Para que um corpo se movesse com velocidade constante era necessa´rio que fosse empurrado
ou puxado; se na˜o fosse assim o corpo pararia naturalmente.
3.3. MECAˆNICA NEWTONIANA 43
Estas ide´ias pareciam razoa´veis. Se fazemos um disco de metal deslizar sobre uma superf´ıcie de
madeira, ele realmente diminui de velocidade ate´ parar. Para que continue a deslizar indefinidamente,
com velocidade constante, devemos empurra´-lo ou puxa´-lo continuamente. Por outro lado, se o disco
for lanc¸ado em um rinque de patinac¸a˜o ira´ percorrer uma distaˆncia maior antes de parar. E´ poss´ıvel
imaginar superf´ıcies cada vez mais lisas nas quais o disco percorreria distaˆncias cada vez maiores. No
limite, podemos imaginar uma superf´ıcie perfeitamente lisa (conhecida como superf´ıcie sem atrito), na
qual o disco na˜o diminuiria de velocidade.
A partir destas considerac¸o˜es, podemos concluir que um corpo mantera´ seu movimento com velocidade
constante se nenhuma forc¸a agir sobre ele. Isto nos leva a` primeira lei de Newton:
"Se nenhuma forc¸a atua sobre o corpo, sua velocidade n~ao pode mudar, ou seja, o corpo
n~ao pode sofrer acelerac¸~ao."
Em outras palavras, se o corpo esta´ em repouso, ele permanece em repouso; se esta´ em movimento
este permanece em movimento com a mesma velocidade.
3.3.2 Forc¸a
Vamos agora definir a forc¸a. Em f´ısica, a unidade de forc¸a e´ definida em termos da acelerac¸a˜o que esta
imprime a um corpo de refereˆncia, que tomamos como o quilograma padra˜o. A este corpo e´ atribu´ıda
uma massa de exatamente 1 kg.
Colocamos o corpo padra˜o sobre uma mesa horizontal e o puxamos para a direita ate´ que, por
tentativa e erro, ele adquira uma acelerac¸a˜o de 1 m/s2. Declaramos enta˜o, a t´ıtulo de definic¸a˜o, que
estamos aplicando sobre o corpo padra˜o uma forc¸a de mo´dulo igual a 1 newton (1 N) .
A forc¸a pode ser medida pela acelerac¸a˜o que produz, i.e., sua magnitude. No entanto, precisamos
ainda definir sua direc¸a˜o e sentido que segue a direc¸a˜o e sentido da acelerac¸a˜o. O fato da forc¸a ser uma
grandeza vetorial implica que quando uma ou mais forc¸as atuam sobre um corpo, podemos calcular a
forc¸a resultante, somando vetorialmente as forc¸as. Este fato e´ chamado de princ´ıpio da superposic¸a˜o de
forc¸as. Com isso, podemos enunciar a 1a lei de Newton de uma forma mais rigorosa:
"Se nenhuma forc¸a resultante atua sobre um corpo (Fres = 0), sua velocidade n~ao pode
mudar, i.e., o corpo n~ao pode sofrer uma acelerac¸~ao."
Assim, um corpo pode estar submetido a va´rias forc¸as, mas se a resultante destas forc¸as for zero, o
corpo sofre uma acelerac¸a˜o.
A 1a lei de Newton na˜o se aplica a todos os referenciais, mas podemos sempre encontrar referenciais
nos quais esta lei (assim como o resto da mecaˆnica Newtoniana) e´ verdadeira. Estes referenciais sa˜o
44 CAPI´TULO 3. FORC¸A E MOVIMENTO
chamados de referenciais inerciais.
3.3.3 Massa
A massa e´ definida como a propriedade que relaciona uma forc¸a que age sobre um corpo a` acelerac¸a˜o
resultante. A massa na˜o tem uma definic¸a˜o mais coloquial; podemos ter uma sensac¸a˜o f´ısica da massa
apenas quando tentamos acelerar um corpo, como ao chutar uma bola de futebol ou uma bola de boliche.
Medimos a massa de um corpo atrave´s da comparac¸a˜o com um corpo-padra˜o, cuja massa e´ definida
como sendo 1 kg. Suponha que o corpo-padra˜o sofre uma acelerac¸a˜o de 1, 0 m/s2. Dizemos enta˜o que o
corpo sofre uma acelerac¸a˜o de 1,0 N.
Suponha agora que aplicamos a mesma forc¸a a um corpo de massa desconhecida, que chamamos de
corpo X. Suponha que este corpo sofre uma acelerac¸a˜o de 0, 25 m/s2. Sabemos que um corpo com massa
menor sofre uma acelerac¸a˜o maior quando a mesma forc¸a e´ aplicada sobre ambos. Assim, para o corpo
X e o corpo-padra˜o, podemos escrever:
mX
m0
=
a0
aX
∴ mX =
a0
aX
m0
onde usamos o ı´ndice “0” para o corpo-padra˜o. Substituindo-se os valores correspondentes, obtemos:
mX =
1, 0 m/s2
0, 25 m/s2
× 1, 0kg = 4, 0kg.
Nossa hipo´tese e´ va´lida somente se funcionar para outros valores de forc¸a. Por exemplo, se aplicamos
um forc¸a de 8,0 N ao corpo-padra˜o, enta˜o obtemos 8, 0 m/s2. Quando aplicada ao corpo X, obtemos
uma acelerac¸a˜o de 2, 0 m/s2, assim,
mX =
8, 0 m/s2
2, 0 m/s2
× 1, 0kg = 4, 0kg.
compat´ıvel com o primeiro experimento.
3.3.4 A 2a lei de Newton
Tudo o que foi discutido ate´ aqui pode ser resumido na forma
~Fres = m~a (3.8)
que e´ a 2a lei de Newton. A lei e´ enunciada da seguinte forma:
‘‘A forc¸a resultante que age sobre um corpo e´ igual ao produto de sua massa pela
sua acelerac¸~ao.’’
3.3. MECAˆNICA NEWTONIANA 45
A Eq. (3.8) e´ simples, mas devemos aplica´-la com cautela. Primeiro, devemos escolher o corpo ao
qual vamos aplica´-la; ~Fres deve ser a soma vetorial de todas as forc¸as que atuam sobre o corpo. Apenas
as forc¸as que atuam sobre o corpo devem ser inclu´ıdas na soma vetorial e na˜o as forc¸as que atuam sobre
outros corpos envolvidos na mesma situac¸a˜o.
Podemos reescrever 2a lei de Newton na forma de componentes:
Fx,res = max, Fy,res = may, Fz,res = maz. (3.9)
Cada uma destas equac¸o˜es relaciona a componente da forc¸a resultante em relac¸a˜o a um eixo a` ace-
lerac¸a˜o ao longo deste mesmo eixo. Por exemplo, a componente x da forc¸a resultante produz a componente
x da acelerac¸a˜o mas na˜o produz as demais componentes nas outras direc¸o˜es.
Para resolver problemas que envolvem a 2a lei de Newton frequentemente usamos um diagrama de
corpo livre no qual o u´nico corpo mostrado e´ aquele sobre o qual somamos as forc¸as. Muitas vezes
representamos o corpo por um ponto.
3.3.5 Algumas forc¸as especiais
Forc¸a Gravitacional
A forc¸a da gravidade ~Fg exercida sobre um corpo e´ a atrac¸a˜o gravitacional que um segundo corpo exerce
sobre o primeiro. Aqui consideramos que o segundo corpo e´ a Terra e o primeiro e´ o nosso objeto de
estudo.
Um corpo de massa m em queda livre sofre uma acelerac¸a˜o de mo´dulo g = 9, 8 m/s2 apontando em
direc¸a˜o ao solo . Neste caso, desprezando a resisteˆncia do ar, a u´nica forc¸a que atua sobre o corpo e´ ~Fg,
assim, usando a 2a lei de Newton (Eq. (3.8)), podemosescrever:
~Fres = −Fg jˆ = −mgjˆ
onde consideramos que ~Fg e ~g esta˜o apontando no sentido negativo do eixo-y. Assim,
Fg = mg
e´ o mo´dulo da forc¸a gravitacional que estaremos usando ao longo deste e dos pro´ximos cap´ıtulos.
Peso
O peso de um corpo e´ o mo´dulo da forc¸a necessa´ria para impedir que o corpo caia livremente sob a ac¸a˜o
da forc¸a da gravidade, medida em relac¸a˜o ao solo. Assim, por exemplo, para manter uma bola em repouso
46 CAPI´TULO 3. FORC¸A E MOVIMENTO
em sua ma˜o enquanto voceˆ esta´ parado de pe´, voceˆ deve aplicar uma forc¸a para cima para equilibrar a
forc¸a gravitacional que a Terra exerce sobre a bola. Suponha que o mo´dulo da forc¸a e´ Fg = 2, 0 N. Logo,
o mo´dulo da forc¸a para cima deve ser de 2,0 N e, portanto, o peso da bola e´ de 2,0 N.
De modo geral, considere que um corpo tem acelerac¸a˜o nula em relac¸a˜o ao solo. Duas forc¸as atuam
sobre o corpo: a forc¸a ~Fg dirigida para baixo e uma forc¸a para cima, de mo´dulo P que a equilibra. A 2
a
lei de Newton no eixo vertical e´ dada por:
P − Fg = m(0) ∴ P = Fg,
portanto,
P = mg
Assim, chegamos a` conclusa˜o de que:
‘‘O peso de um corpo e´ igual ao mo´dulo da forc¸a gravitacional.’’
Note que o peso na˜o e´ igual a` massa. Peso e´ o mo´dulo de uma forc¸a e esta´ relacionado com a massa
pela equac¸a˜o P = mg. Assim, se g 6= 9, 8 m/s2, medimos um P diferente mas a massa continua a mesma.
Forc¸a Normal
Se ficamos de pe´ em um colcha˜o ele se deforma, e nos empurra para cima exercendo uma forc¸a chamada
forc¸a normal. Vamos aplicar a 2a lei de Newton para um corpo de massa m que se encontra em repouso
sobre uma mesa. Temos que:
~N + ~Fg = m~a
e considerando que a forc¸a normal tem sentido contra´rio a` forc¸a gravitacional
N jˆ− Fg jˆ = may jˆ
N −mg = may
N = m(g + ay)
e considerando ainda que a mesa esta´ parada, enta˜o ay = 0 logo:
N = mg.
que e´ o mo´dulo da forc¸a normal. Note que a forc¸a depende do estado do movimento da superf´ıcie sobre
a qual o objeto se encontra em repouso.
3.3. MECAˆNICA NEWTONIANA 47
Forc¸a de Atrito
A interac¸a˜o entre os a´tomos de um corpo com os a´tomos da superf´ıcie sobre a qual o corpo se encontra
da´ origem a` forc¸a de atrito. A forc¸a de atrito e´ uma forc¸a de resisteˆncia ao movimento do corpo sobre
a superf´ıcie. Desta forma, a forc¸a de atrito sempre aponta no sentido contra´rio ao movimento ou a`
tendeˆncia de movimento. Vamos discutir este tipo de forc¸a com maiores detalhes posteriormente.
Trac¸a˜o
Quando uma corda (fio, cabo, etc.) e´ presa a um corpo e´ esticada aplica ao corpo uma forc¸a ~T orientada
ao longo da corda. Esta forc¸a e´ chamada de forc¸a de trac¸a˜o. Uma corda e´ frequentemente considerada
sem massa e inextens´ıvel. Neste caso, a corda existe apenas como ligac¸a˜o entre 2 corpos. Esta´ forc¸a puxa
dois corpos com mesmo mo´dulo T , mesmo que estes dois corpos estejam acelerando e mesmo que a corda
passe por uma polia (tambe´m considerada sem massa e sem atrito).
3.3.6 A 3a lei de Newton
Dizemos que dois corpos interagem quando puxam um ao outro, ou seja, quando um corpo exerce uma
forc¸a sobre o outro. Suponha, por exemplo, que voceˆ apo´ia um livro sobre uma caixa. Neste caso, o livro
e a caixa interagem: o livro exerce um a forc¸a ~FLC sobre a caixa e a caixa exerce uma forc¸a ~FCL sobre o
livro. A 3a lei de Newton nos diz que:
‘‘Quando dois corpos interagem, as forc¸as que cada corpo exerce sobre o outro s~ao sempre
iguais mas com sentidos opostos.’’
No caso do livro e da caixa, temos enta˜o:
FLC = FCL
e,
~FLC = −~FCL
Exemplos
1. Um arremessador de peso lanc¸a um peso de 7, 260 kg empurrando-o ao longo de uma linha reta com
1, 650 m de comprimento e um aˆngulo de 34, 10o com a horizontal, acelerando o peso ate´ a velocidade
de lanc¸amento de 2, 500 m/s (que se deve ao movimento preparato´rio do atleta). O peso deixa a ma˜o do
arremessador a uma altura de 2, 110 m e com um aˆngulo de 34, 10o e percorre uma distaˆncia horizontal de
48 CAPI´TULO 3. FORC¸A E MOVIMENTO
15, 90 m. Qual e´ o mo´dulo da forc¸a me´dia que o atleta exerce sobre o peso durante a fase de acelerac¸a˜o?
(Sugesta˜o: Trate o movimento durante a acelerac¸a˜o como se fosse ao longo de uma rampa com o aˆngulo
dado.)
Na fase de preparac¸a˜o, o atleta comec¸a a empurrar o peso que esta´ a uma velocidade inicial de
v0 = 2, 500 m/s e enta˜o o peso sai da ma˜o do atleta com uma velocidade diferente, devido ao empurra˜o
que o atleta emprega sobre o peso. A acelerac¸a˜o esta´ no movimento de empurra˜o que tratamos como se
o peso estivesse ao longo de uma rampa com aˆngulo θ = 34, 10o. A forc¸as atuando no peso neste caso
sa˜o a forc¸a da gravidade e a forc¸a exercida pelo atleta, que devemos determinar. Assim, aplicando a lei
de Newton ao esquema mostrado na Fig. 3.11, obtemos:
Figura 3.11: Veja soluc¸a˜o do exemplo 1.
F −mg sin θ = ma
ou seja,
F = m(a+ g sin θ) (3.10)
Note que temos g e M e θ mas na˜o temos a acelerac¸a˜o. Assim, precisamos determina´-la. Para isso
notamos que o peso e´ acelerado ao longo de uma distaˆncia ∆x = 1, 650 m antes de ser arremessado.
Assim, podemos usar:
v2 − v20 = 2a∆x
ou seja,
a =
v2 − v20
2∆x
3.3. MECAˆNICA NEWTONIANA 49
onde v0 = 2, 500 m/s e´ a velocidade inicial e v e´ a velocidade final com que o peso e´ arremessado. Assim,
para determinar a acelerac¸a˜o, precisamos descobrir o valor de v. Para isso, consideramos as equac¸o˜es
para um movimento parabo´lico, dadas por:
x = vt cos θ
y = y0 + vt sin θ − 1
2
gt2
onde estamos considerando que em relac¸a˜o ao movimento parabo´lico, comec¸amos a contar a posic¸a˜o
horizontal a partir de x0 = 0. Como apenas temos informac¸a˜o de pontos da trajeto´ria no plano-xy,
vamos eliminar o tempo entre as duas equac¸o˜es:
y = y0 + v
x
v cos θ
sin θ − 1
2
g
( x
v cos θ
)2
y = y0 + x tan θ − gx
2
2(v cos θ)2
O peso percorre uma distaˆncia de 15, 90 m, assim conclu´ımos que quando o peso atinge esta posic¸a˜o
ele tambe´m atinge o cha˜o. Logo, a posic¸a˜o final do peso e´ y = 0 e x = 15, 90 m. Desde que o aˆngulo com
que o peso deixa o atleta tambe´m e´ de θ = 34, 10o, podemos determinar a velocidade v:
0 = 2, 110 m + 15, 90 m× tan(34, 10o)− 9, 8 m/s
2(15, 90 m)2
2(v cos 34, 10o)2
de onde obtemos o valor da velocidade,
v = 11, 85 m/s.
Substituindo este valor na expressa˜o para acelerac¸a˜o, obtemos:
a =
(11, 85 m/s)2 − (2, 500 m/s)2
2× 1, 650 m = 40, 65 m/s
2.
Substituindo este valor da acelerac¸a˜o na expressa˜o (3.10), podemos obter a forc¸a que o atleta emprega
sobre a bola:
F = 7, 260 kg× (40, 65 m/s2 + 9, 8 m/s2 sin 34, 10o) = 335 N.
2. A figura 3.12 mostra treˆs blocos ligados por cordas que passam por polias sem atrito. O bloco B
esta´ sobre uma mesa sem atrito; as massas sa˜o mA = 6, 00 kg, mB = 8, 00 kg e mC = 10, 0 kg. Quando
os blocos sa˜o liberados qual e´ a tensa˜o da corda da direita?
50 CAPI´TULO 3. FORC¸A E MOVIMENTO
Figura 3.12: Veja exemplo 2.
Vamos considerar que o movimento no sentido hora´rio do sistema como um todo e´ positivo. Assim,
o movimento para baixo do bloco C e´ positivo, o movimento para a direita do bloco B e´ positivo e o
movimento para cima do bloco A e´ positivo. Para determinar a tensa˜o na corda da direita devemos
aplicar a segunda lei de Newton para cada bloco ou ainda notar que o movimento no sentido hora´rio
do sistema como um todo, nos permite aplicar a lei de Newton como se os treˆs corpos fosse apenas um
submetido a duas forc¸as de magnitudes mAg e mCg, assim:
Ma = Fres
onde M = mA +mB +mC , assim temos:
Ma = −mAg +mCg (3.11)
logo,
a =
mC −mA
mA +mB +mC
g
Agora aplicamos a segunda lei de Newton para o bloco C:
mCa = mCg − T
e isolando T , segue que:
T = mCg −mCa = mC(g