2ª Prova - Cálculo 3 - Prof Marivaldo Matos

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Gabarito 2A - manhã
Usando as Fórmulas Clássicas Use o resultado mencionado e calcule a integral de linha
indicada.
01. Teorema Fundamental do Cálculo:
Z (0;1;1)
(1;0;1)
r (1=r) � dr; r = x ~i+ y ~j + z ~k; r = krk :
02. Fórmula de Green em R2:
I
xydx� x2dy; 
 : 4x2 + 9y2 = 36:
03. Fórmula da Divergência em R2:
I
(F � n)ds; 
 : x2 + y2 = 1; F = xy2 ~i� x2y ~j:
Solução
01. Se ' (x; y; z) = 1=r = 1=
p
x2 + y2 + z2, entãoZ (0;1;1)
(1;0;1)
r (1=r) � dr = ' (0; 1; 1)� ' (1; 0; 1) = 1p
2
� 1p
2
= 0:
02. Pela fórmula de Green, temosI
xydx� x2dy =
ZZ
D
(�2x� x)dA = �3
ZZ
D
xdA;
onde D é a região delimitada pela elipse 4x2+9y2 = 36: Usando a mudança de variáveis T : x = 3u; v =
2v, com Jacobiano J = 6; e em seguida coordenadas polares, encontramos:ZZ
D
xdA = 6
ZZ
u2+v2�1
3ududv = 18
Z 2�
0
Z 1
0
r2 cos �drd� = 6
Z 2�
0
cos �d� = 0:
Logo,
I
xydx� x2dy = 0:
03. Pela fórmula de Gauss, temosI
(F � n)ds =
ZZ
D
div(F)dxdy =
ZZ
x2+y2�1
�
y2 � x2� dxdy = Z 2�
0
Z 1
0
r3
�
sin2 � � cos2 �� drd� =
= �1
4
Z 2�
0
cos (2�) d� = 0:
Campos Vetoriais 2D As curvas 
1 e 
2 estão expostas nas Figuras 2.1 e 2.2, respectivamente.
04. Calcule
Z

1
xdy � ydx
x2 + y2
05. Calcule
I

2
�
x4 � y� dx+ (2x� y sen y) dy:
Solução
04. A curva 
1 é composta pelo arco de circunferência 
�1 : x = cos t; y = sen t; 0 � t � � e pelo
segmento de reta 
��1 : x = �1 + t; y = �t; 0 � t � 1: Sobre 
�1, temosZ

�1
xdy � ydx
x2 + y2
=
Z �
0
cos2 t� sin t (� sen t)
cos2 t+ sin2 t
dt = �:
Sobre 
��1 , temosZ

��1
xdy � ydx
x2 + y2
=
Z 1
0
dt
2t2 � 2t+ 1 =
1
2
Z 1
0
dt
2t2 � 2t+ 1 = 2
Z 1
0
dt
1 + [2 (t� 1=2)]2 =
=
Z 1
�1
du
1 + u2
= arctan 1� arctan (�1) = �=4� (��=4) = �=2:
Assim, Z

1
xdy � ydx
x2 + y2
= � + �=2 = 3�=2:
Usando o potencial (cuidado!) ' (x; y) = arctan (y=x), encontramos:Z

1
xdy � ydx
x2 + y2
=
�
'
�
0�; 1
�� ' (1; 0)�+ �' �0+; 1�� ' �0�;�1�� = �=2 + �=2� (��=2) = 3�=2:
05. Usando a Fórmula de Green, obtemos:I

2
�
x4 � y� dx+ (2x� y sen y) dy = ZZ
D
3 dA = 3A (D) = 3 (1 + �=2) :
Campos Vetoriais 3D Seja F = (y + z) ~i� (�x+ z) ~j + (x� y) ~k.
06. Calcule rot (F) e div (F) ;
07. Determine o potencial ' (x; y; z) do campo F, tal que ' (1; 0; 2) = 3;
08. Calcule a integral
Z
F � dr; sendo 
 o segmento de reta da origem até o ponto A (1; 1; 2).
2
Solução
06. O rotacional de F é:���������
i j k
@x @y @z
y + z x� z x� y
��������� = (�1 + 1) i+ (1� 1) j+ (1� 1)k = 0
e o divergente é div (F) = Px +Qy +Rz = 0 + 0 + 0 = 0:
07. O potencial ' (x; y; z) e solução do sistema:
'x = y + z (I)
'y = x� z (II)
'z = x� y (III)
Integrando (I), com relação a x, obtemos o potencial ' (x; y; z) = xy + xz + f (y; z). Derivando o
potencial em relação a y e usando (II), encontramos:
x� z = 'y = x+ fy ) fy = �z ) f (y; z) = �yz + g (z) (IV)
De (IV) resulta ' (x; y; z) = xy + xz � yz + g (z) e derivando com respeito a z e usando (III), obtemos
x� y = 'z = x� y + g0 (z)) g0 (z) = 0) g (z) = K;
sendoK uma constante numérica. Logo, ' (x; y; z) = xy+xz�yz+K e a condição imposta ' (1; 0; 2) = 3
nos dá 3 = ' (1; 0; 2) = 2 +K, de onde resulta K = 1: Asim, o potencial procurado é
' (x; y; z) = xy + xz � yz + 1:
08. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integral de linha, obtemos:Z
F � dr = ' (1; 1; 2)� ' (0; 0; 0) = 2� 1 = 1:
3
Gabarito 2A - tarde
Parametrizando a circunferência Seja 
 a circunferência x2+y2 = 2x, orientada no sentido
positivo, como na Fig. 2.1.
01. Parametrize a curva 
, usando o parâmetro t;
02. Parametrize a curva 
, usando como parâmetro o ângulo polar �;
03. Calcule a integral de linha
I
(x4 � y)dx+ (2x� y cos y)dy;
04. Calcule
Z (1;1)
(0;0)
ydx� xdy, ao longo da curva 
.
Solução
01. Por observação da Fig. 2.1, deduzimos que: x = 1 + cos t; y = sen t, 0 � t � 2�:
02. Em relação a �, temos x = r cos � e y = r sen � e, sendo r = 2 cos �, a parametrização é:������ x = 2 cos
2 �
y = 2 sen � cos �; ��=2 � � � �=2:
03. Como consequência do Teorema de Green, obtemos:I
�
x4 � y� dx+ (2x� y cos y) dy = ZZ
D
3dxdy = 3A (D) = 3�:
04. O arco sobre 
, de (0; 0) até (1; 1), tem parametrização x = 1 + cos t; y = sen t, �� � t � �=2
e, portanto, Z (1;1)
(0;0)
ydx� xdy =
Z �=2
��
[(sen t) (� sen t)� (1 + cos t) cos t] dt =
=
Z �=2
��
(�1� cos t) dt = �3�=2� [sen t]�=2�� = �1� 3�=2:
Campos Vetoriais 2D Seja ' (x; y) = ln
�
x2 + y2
�
, de…nido em R2 � f(0; 0)g, e considere 
1
e 
2 as curvas das Fig. 2.2 e 2.3, respectivamente.
05. Calcule div (r') ; nos pontos (x; y) 6= (0; 0) ;
06. Com auxílio da Fórmula de Gauss, calcule
Z

1
(r' � n) ds;
07. Calcule
Z

2
(r' � n) ds:
Solução
05. Usando regras de derivação, obtemos
r' = 2x
x2 + y2
i+
2x
x2 + y2
j
e, assim, div (r') = �' = 0: (isso foi provado em sala de aula!)
06. Usando a fórmula de Gauss, obtemosZ

1
(r' � n) ds =
ZZ
D
div (r') dxdy =
ZZ
D
�' dxdy = 0:
07. Neste caso, não podemos usar a fórmula de Gauss (por quê?) e o cálculo da integral deve ser
feito pela de…nição. A curva 
2 tem equações paramétricas x = cos t; y = sen t, 0 � t � 2�, com vetor
normal n = xi+ yj. Logo,Z

2
(r' � n) ds =
Z

2
2x2 + 2y2
x2 + y2
ds = 2
Z 2�
0
dt = 4�:
Campos Vetoriais 3D Seja F = (�2xz3 � 3x2) ~i+ �2z2 + 3� ~j + �4yz � 3x2z2� ~k.
08. Calcule rot (F) e deduza que F é conservativo;
09. Determine o potencial ' (x; y; z) do campo F, tal que ' (1; 1; 2) = �2;
10. Calcule a integral
Z
F � dr; sendo 
 o segmento de reta da origem até o ponto A (1; 1; 2).
Solução
08. O campo F será conservativo se rot (F) = 0. Temos
rot (F) =
���������
i j k
@x @y @z
�2xz3 � 3x2 2z2 + 3 4yz � 3x2z2
��������� = (4z � 4z) i+
��6xz2 + 6xz2� j+ (0� 0)k = 0:
09. O potencial ' (x; y; z) é solução do sistema���������
'x = �2xz3 � 3x2 (I)
'x = 2z
2 + 3 (II)
'x = 4yz � 3x2z2 (III).
5
Integrando (I), com respeito a x, obtemos
' (x; y; z) = �x2z3 � x3 + f (y; z) (IV)
onde f (y; z) desempenha o papel da constante de integração. Derivando (IV) com realação a y e usando
(II), encontramos
2z2 + 3 = 'y = fy (y; z) (V).
Integrando (V), com respeito a y, obtemos
f (y; z) = 2yz2 + 3y + g (z) (VI)
e substituindo (VI) em (IV), chegamos a
' (x; y; z) = �x2z3 � x3 + 2yz2 + 3y + g (z) (VII).
Finalmente, derivamos (VII) em relação a z e usamos (III), para encontrar
4yz � 3x2z2 = 'z = �3x2z2 + 4yz + g0 (z)) g0 (z) = 0) g (z) = K;
sendo K uma constante numérica. Logo,
' (x; y; z) = �x2z3 � x3 + 2yz2 + 3y +K:
O valor da constante K é determinado de modo que ' (1; 1; 2) = �2. Assim,
�2 = ' (1; 1; 2) = �8� 1 + 8 + 3 +K ) K = �4:
O potencial procurado é, portanto,
' (x; y; z) = �x2z3 � x3 + 2yz2 + 3y � 4:
10. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos:Z
F � dr =' (1; 1; 2)� ' (0; 0; 0) = (�8� 1 + 8 + 3� 4)� (�4) = 2:
6