Lista de Exercícios Operações com Vetores

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Lista para a prova
Página 14 –Exercício 1, 2 e 3
A figura apresenta o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. 
a) = OG (V) --- “O” é o ponto médio de EG 
b) = CH (F) ---sentidos contrários
c)= HG (V) --- paralelos
d) ▕ C - O ▕ =▕  O – B▕  =>▕ OC▕  =▕  BO▕ => (V) 
--- O – B = BO C- O = OC B O BO = O - B 
 C- O = OC O C OC = C - O 
e) ▕ H - O ▕ = ▕ H – D ▕  (F)
▕ OH▕  – ▕ DH▕ 
▕ H - D ▕ = ▕ DH▕ 
f)H – E = O – C (F)
 EH =CO --- sentidos diferentes
 
 g) ▕ AC▕  = ▕ BD▕ (V)
 i) AF // CD (V) 
 j) GF // HG (F)
 k) AO// OC (V)
 l) AB ╧ OH (V) 
 ╧ : fazem ângulo de 90º
 m) EO ╧ CB (V)
 n) AO ╧ HF (F)
 o) OB = - FE (V)
 OB = FE
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
Se u = v, então ▕ u▕ =▕ v▕  (V) ---mesmo módulo,direção e sentido
Se▕ u▕ =▕ v▕ , então u = v (F) ---somente mesmo módulo
Se u //v, então u = v (F) ---módulo e sentidos podem ser diferentes
Se u = v, então u //v (V) ---módulo,direção e sentidos iguais
Se w = u + v, então ▕ w▕ =▕ u▕ +▕ v▕  (F) 
▕ w▕ =▕ u▕ +▕ v▕ , então u, v e w são paralelos (V)
Vetores paralelos possuem a mesma direção, ou seja, existe um α que multiplica eles
Se AB = DC, então ABCD (vértices nessa ordem) é paralelogramo. (F)
 ABCD é um quadrado
▕ 5v▕ =▕ -5v▕ = 5▕ v▕  (V)
Os vetores 3v e -4v são paralelos e de mesmo sentido.(F)
Se u//v, ▕ u▕ =2 e ▕ v▕ =4, então v = 2u ou v = -2u (V)
▕ u▕ =2
▕ 2u▕ =4
▕ v▕ =-2u 
Se ▕ v▕ =3, o versor de -10v é –v/3 (V)
Versor = v - v/3 v/▕ v▕  
Portanto, o versor de –v = -v/3
 o versor de -2v = -v/3
 o versor de -10v = -v/3 
Com base na figura, determine os vetores abaixo expressando-os com origem no ponto A:
OC + CH 
OC = AO CH = FA
FA +AO = FO
FO = AE
EH + FG
EH = AO FG = OC
AO + OC = AC
2 AE + 2 AF
2AE = AD 2 AF = AB
AD + AB = AC
EH + EF
 EH + EF = EG
 EG = AB
EO + BG
EO = AF BG=AE
AF + BG = AO
2 OE + 2 OC
2 OE = AB 2 OC = AC
AB + AC = CB
CB = AD
½ BC + EH
½ BC= AE 
AE + EH = AH
FE + FG = FH
FH =AD
OG – HO
OG + OH
OH =AE OG= AF
AE + AF = AO
AF + FO + AO
AF + FO = AO 
AO + AO =AC
Página 15- Exercícios 4 ao 7
4) O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar:
 a) AD + AB = AC 
 
 b) BA + DA 
 BA = CD
 CD + DA= CA 
 
 c) AC – BC = 
 AC + BC = AB 
 
 d) AN + BC 
 BC = NM
 AN + MN = AM 
 e) MD + MB 
 MD = BN
 MB + BN = MN
f)BM – ½ DC 
 BM + ½ CD
 ½ CD=MD
BM + MD =BD
5)Apresentar graficamente , um representante do vetor u – v nos casos:u
-v
u - v
a)
b) -v
u
u - v
 
c)
- v
u
u-v
d) u
-v
u-v
6)Determine o vetor X nas figuras:
a) 
 x = u – v
b)
 x = - u – v
c)
 x = v – u
d)
x = u + v
7) 7)Dados três pontos A, B e C não colineares,como na figura abaixo, representar o vetor X nos casos:
 a) X = BA + 2 BC
BA
2 BC
X
2BC
BA
 
b) X= 2 AC + 2 BA 
B
A
C
2BA
2 AC
X
2 BA
c)X=3AB-2BC - 2BC 
3AB
X
-2BC
3BA
d) X= ½ AB – 2 CB
½ AB
2BC
X
2BC
½ AB
Página 16 – Exercícios 10 e 11
10) Dados os vetores a, b e c, apresentar graficamente um representante do vetor X tal que
a) x = 4a – 2b –c
	4a
-2b
-c
x
b) x = ( a + b + c ) + x = 0a
b
c
- (a+b+c)
X= 
c) a + c + x = 2b2b
-a
-c
x
 x = 2b – a – c 
11) Na figura estão representados os vetores coplanares u, v e w. Indicar na própria figura os vetores:
a) av e bw, tal que u = av + bw
a > 0
b < 0
av
bw
u
b) αu e βw tal que u = αu + βw 
Teria sido possível realizar este exercício no caso de os vetores u, v e w serem não coplanares? R: não.
v
αu
βw
Pagina 17 – Exercício 13
17) : Dados os vetores coplanares u, v e w representados na figura a baixo, determinar:
Um representante do vetor x + y , sendo x = u + 2v e y= v – 2u
u
2v
x
- 2u
v
y
x
y
x + y
O ângulo entre os vetores -3v e w
-3v
75º
180º - 60º - 45º = 75º
O ângulo entre os vetores -2u e –w
-2u
-w
60º
Os ângulos são iguais pois são opostos pelos vértices.