Aula 2 Estatistica Basica

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• Teorema do Produto
• Eventos Independentes
• Teorema da Probabilidade Total
• Teorema de Bayes
Fonte: MORETTIN, L.G. Estatística Básica. Volume único. Probabilidade e Inferência. Pearson, 2010 
Teorema do Produto
Sejam e . Vimos que:
Neste caso: 
Generalização do Teorema do Produto
A B
P(B/A). P(A). = B)P(Aou P(A/B) P(B). = B)P(A 
0P(B)se,
P(B)
B)P(A
 P(A/B) 


)A … A/AP(A … )A/A).P(A/A).P(AP(A=)AP( 1-n21n213121i
1


n
i
Eventos independentes
Sejam e .
A e B são independentes se, e somente se,
Neste caso, se A e B são independentes: e
Generalização:
Se os eventos A1, A2, ..., An são independentes, então:
Obs: Se A e B forem mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois
se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não
ocorrência do outro.
A B
P(A) P(A/B) P(B) P(B/A)
P(A).P(B) B)P(A 
)P(A ... )).P(AP(A =)A...AP(A n21n21 
Exemplos
1. Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se
sucessivamente três bolas, ao acaso e por um processo sem reposição.
Determine a probabilidade de que:
a) nenhuma seja vermelha
b) exatamente uma seja vermelha
c) todas sejam de mesma cor
Resolução:
a) P(nenhuma vermelha) =
b) P(exatamente uma vermelha) =
c) P(todas da mesma cor) = 
55
14
10
6
.
11
7
.
12
8
)VVVP( 
55
28
3
10
7
11
8
12
43
12  ...).(PR)VVP(V ,
44
3
10
1
.
11
2
.
12
3
10
2
.
11
3
.
12
4
10
3
.
11
4
.
12
5
A)AP(A V)VP(VB)BP(B 
Exemplos
2. As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol
quando cobram um pênalti são,
Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que:
a) não saia um gol? 
b) pelo menos um marque um gol?
Resolução:
10
3
)(
5
1
)(,
3
1
)AP(Então
.
10
7
)(
5
4
)(,
3
2
P(A)


CPeBP
CPeBP
50
1
10
3
.
5
1
.
3
1
 )CBAP( a) 
.
10
7
)(
5
4
)(,
3
2
P(A)  CPeBP
50
49
50
1
1
10
3
.
5
1
.
3
1
-1)C).P(B).P(AP(-1)CBAP(-1P(AUBUC) b) 
Exercícios
1. Da produção de peças de uma determinada máquina, 10% são
defeituosas. Retiram-se 5 peças da produção dessa máquina.
Qual a probabilidade de que:
a) no máximo duas sejam boas? R: 0,00856 
b) pelo menos quatro sejam boas? R: 0,91854 
c) exatamente três sejam boas? R: 0,0729 
d) pelo menos uma seja defeituosa? R: 0,40951 
Exercícios
2. Uma urna contém 5 bolas verdes, 4 azuis e 5 brancas. Retiram-
se, ao acaso e sem reposição, 4 bolas desta urna. Qual a
probabilidade de obter:
a) exatamente 3 bolas azuis? R: 0,03996 
b) pelo menos uma bola verde? R: 0,8741
3. Uma caixa contém 6 lâmpadas de 40W, 3 de 60W e 1 de 100W.
Retiram-se 5 lâmpadas com reposição. Qual a probabilidade de
que saiam 3 de 40W, 1 de 60W e 1 de 100W? R: 0,1296
Teorema da Probabilidade Total
Sejam A1, A2, ..., An eventos que formam uma partição do espaço
amostral.
Seja B um evento deste espaço. Então 
Exercício
Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna
contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma
urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a
probabilidade que seja branca?
Resp: 



n
1i
ii )).P(B/AP(AP(B)
30
19
P(B) 
Teorema de Bayes
Sejam A1, A2, ..., An eventos que formam uma partição de um
espaço amostral. Seja B um evento deste espaço amostral. Sejam
conhecidas P(Ai) e P(B/Ai), i=1,...,n.
Então
nj
ABPAP
n
i
ii
,...,1,
)/().(
)).P(B/AP(A
B)/P(A
1
jj
j 


Exercícios
1. A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5
cartas numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e
uma carta é retirada. Se o número é par, qual a probabilidade
de que a carta sorteada tenha vindo de A? Resp:
2. A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro
é de , da B é de e da C é de . As probabilidades dos
indivíduos comprarem um carro da marca x são dado
que sejam de A, B e C respectivamente. Certa loja vendeu um
carro da marca x. Qual a probabilidade de que o indivíduo que o
comprou seja da classe B? Resp:
19
10
7
4
4
3
5
1
20
1
10
3
e
5
3
,
10
1
Exercícios
3. Uma caixa contém 3 moedas: uma não viciada, outra com 2
caras e uma terceira viciada, de modo que a probabilidade de
ocorrer cara nesta moeda é de 0,2. Uma moeda é selecionada
ao acaso da caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a
terceira moeda tenha sido a selecionada? Resp:
4. A urna A tem 8 bolas pretas e 2 verdes. A urna B tem 4 pretas e
5 verdes e a urna C tem 2 verdes e 7 pretas. Passa-se uma bola
de A para B. Feito isto, passa-se uma bola de B para C. A seguir,
retiram-se duas bolas de C com reposição. Qual a probabilidade
de que ocorram duas bolas verdes? Resp: 0,066.
17
2
Exercícios
5. Uma empresa produz o produto X em 3 fábricas distintas A, B e
C. A produção de A é 2 vezes a de B e a de C é 2 vezes a de B. O
produto X é armazenado em um depósito central. As
proporções de produção defeituosa são 5% de A, 3% de B e 4%
de C. Retira-se uma unidade de X do depósito e verifica-se que
é defeituosa. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricada
por B? Resp: 0,14286.
Roteiro de Estudo
Exercícios do livro-texto: 
• Exercícios resolvidos do capítulo 2 (todos)
• Exercícios propostos do capítulo 2: 9, 10,11, 12, 13, 14, 15, 16, 
17, 20, 22, 23, 27, 28, 29, 30,32, 33, 34, 35,39, 40, 41 e 42.