Aerodinamica%20Viscosa

Prévia do material em texto

Jorge Manuel Martins Barata 
 
Aerodinâmica 
 
 
Fluido viscoso e não só … 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2008 
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
http://webx.ubi.pt/~jbarata
http://aeronautics.ubi.pt
Fev 2008
Sumário
Apresentação da disciplina e do 
corpo docente
Introdução à Aerodinâmica
Apresentação da Disciplina
Importância e Necessidade
Conteúdo
Métodos de Ensino
Estrutura das Aulas
Avaliação de Conhecimentos
Importância e Necessidade
Complementar das noções básicas de Fluidos e de 
Aerodinâmica
Fuido real
Experimentação
Indispensável em Engenharia
– Energia, Ambiente, Indústria
Necessária para a resolução de problemas
práticos
Conteúdo da Disciplina
Introdução
Escoamento de um Fluido Real 
(viscoso e não só …)
Perfis Alares
Asas Finitas
Corpos não fuselados
Métodos de Ensino
Observação
Hipótese
Experimentação
Resultados
– Exemplo: Fenómeno de perda de sustentação
Abordagem decisiva em Engenharia
Estrutura das Aulas
Teóricas
– apresentação e discussão dos conceitos
básicos
Práticas
– resolução, pelos alunos, de exercícios de 
aplicação cuja análise é feita em conjunto
com o professor
– ensaios laboratoriais
Avaliação de Conhecimentos – I
Provas escritas
Trabalhos laboratoriais com elaboração de 
relatório
Realização de projectos
Trabalhos de seminário
– diversas opções
– melhor adaptação ao perfil de cada aluno
Avaliação de Conhecimentos – II
1) Exame Final
– O exame final consta de uma prova escrita (30%) e de um relatório (70%).
2) Avaliação Periódica 
– A avaliação periódica baseia-se em:
Um trabalho experimental e relatório respectivo (20%);
Uma revisão bibliográfica sobre um tema (20%);
Um estudo e apresentação de um artigo científico (30%);
Um trabalho computacional e relatório respectivo (30%).
– O resultado da avaliação periódica será:
“NÃO ADMITIDO” se a classificação for < 6 valores;
“FREQUÊNCIA” se a classificação for ≥ 6 e < 9,5 valores;
quantitativa e igual à classificação obtida se esta for superior a 9,5 valores, dando direito a 
dispensa do exame final.
Avaliação de Conhecimentos – III
Prazos de entrega dos relatórios:
– o relatório do trabalho de laboratório deverá ser entregue por 
Email até às 17h do 7º dia posterior ao da realização do 
trabalho;
– os restantes deverão ser entregues por Email até às 17h dos 
dias a seguir indicados:
Revisão Bibliográfica 13/6
Artigo Científico 13/6
Trabalho Computacional 13/6
A falta de cumprimento dos prazos referidos na alínea anterior 
implica uma penalização de 1 valor por cada dia de atraso
O que é importante ?
A disciplina de Aerodinâmica II foi
projectada tendo como objectivo essencial
a formação avançada em Engenharia, de 
acordo com o modelo das melhores
Escolas
O método de ensino e a estrutura das
aulas exige um grande empenho dos 
alunos
Também é importante ...
Obter aprovação na disciplina
Aprender
– Obter aprovação na disciplina
Atingir um elevado nível de qualificação
profissional, compatível com o 
desempenho de funções de alto nível, na
UE
Obter aprovação na disciplina
Acções urgentes
Reunir com o grupo de trabalho (4 alunos) e definir
métodos de trabalho
Obter a bibliografia
Certificar-se de que a máquina de calcular funciona
Registar o horário
Bibliografia Aconselhada
Brederode, V., “Fundamentos de 
Aerodinâmica Incompressível”, IDMEC, 
Instituto Superior Técnico, Lisboa, 1997 
(ISBN 972-97402-0-8) 
Barata, J.M.M., Mecânica dos Fluidos -
Trabalhos de Laboratório, Serviços 
Gráficos, Universidade da Beira Interior, 
1995
Informações e contacto
http://webx.ubi.pt/~jbarata > Courses > 
Aerodinâmica II
http://e-conteudos.ubi.pt/
jbarata@ubi.pt
1
Aerodinâmica II
Fluido Viscoso e não só …
Capítulo 1
Introdução
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Leis da Mecânica
Teoria
Escoamento de fluidos
?
Complexidade geométrica (placas palnas, tubos, …)
Viscosidade (turbulência, …)
Estudo da Aerodinâmica:
1 – Teoria
2 – Experimentação
3 – Simulação numérica
2
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
FLUIDO
Um fluido só resiste a forças ou tensões de corte 
quando em movimento
FLUIDO ~ MEIO CONTÍNUO
Um fluido é um agregado de moléculas separadas por 
um distância muito superior ao seu diâmetro
A definição de densidade ou peso específico pode variar 
com o número de moléculas que ocupa um dado volume 
num determinado instante
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
3
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Dimensões, Unidades
Dimensão - quantificação de uma grandeza 
física
– L comprimento, altura, distância
Unidade - quantificação de uma dimensão
– cm unidade (numérica) para exprimir L
Sistema SI – adoptado desde 1960 por vários 
países
– Dimensões primárias [L] [M] [T] [θ]
– Dimensões secundárias – são obtidas a partir das 
primárias
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Campo de velocidades - I
Solução = determinação das propriedades do 
fluido em cada instante e posição no espaço
Métodos de análise
– Euleriano
adequado à Mecânica dos Fluidos
Representa-se a distribuição de uma variável em função do 
espaço e do tempo: f(x,y,z,t)
– Lagrangiano
mais apropriado a mecânica dos sólidos
usa-se em certas situações na mecânica dos fluidos
“segue-se a partícula” no seu movimento
4
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Campo de velocidades - II
O campo de velocidades é a propriedade 
mais importante do escoamento
– a velocidade é um vector função da posição e 
do tempo
A partir da velocidade podem obter-se 
outras características cinemáticas
∫= dtvr ρρ deslocamento
( )dAnvQ ∫= ρρ. caudal
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Técnicas de análise de 
escoamentos
Análise integral / volume de controle
Análise diferencial / infinitesimal
– Conservação de massa
– Quantidade de movimento (2ª lei de Newton)
– Conservação de energia (1ª lei da termod.)
– Equação de estado (uma)
– Condições de fronteira
Análise adimensional / experimental
– Baseada na experimentação
– Muito usada em testes de túnel de vento
5
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Visualização de escoamentos - I
Streamlines
– Tangente ao vector velocidade
– Calcula-se matematicamente
Integrando-se obtém-se a linha de corrente (simples, mas só para 
escoamento permanente)
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
V
is
ua
liz
aç
ão
 d
e 
es
co
am
en
to
s 
-I
I
6
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Visualização de escoamentos - II
Pathline
– Trajectória descrita por uma dada partícula de 
fluido
Streakline
– Localização das partículas que passaram por 
um ponto pré-determinado
Timeline
– Conjunto de partículas que formam uma linha 
num dado instante
Pathlines, streaklines e timelines são coincidentes em escoamento permanente
Streaklines produzem-se libertando continuamente um traçador num dado ponto
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Equilíbrio de forças em diversas 
situações de voo de uma aeronave
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
DT
WL
0=CGM inFDT +=
Peso da aeronave [Weight] W
Sustentação [Lift] L
Resistência [Drag] D
Tracção [Thrust] T
7
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Voo rectilíneo, ascencional, 
estabilizado [steady climb]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
γ
γ
sen
cos
DT
WL
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
WDT
L 0
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Voo planado
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
γ
γ
sen
cos
WD
WL
min
1tan
min
1tanmin ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−=
L
D
d
hγ
Máximo raio de acção Æ ângulo de planeio (γ ) mínimo:
Coeficiente de planeio ou 
finesse [glide ratio] L/D máximo
8
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Volta coordenada
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=centrsen
cos
FL
WL
ϕ
ϕ
RmUF /2trajcentr =
ϕÆ ângulo de pranchamento
[bank angle]
Volta em glissade Æ voo rectilíneo (Fcentr=0) com pranchamento
Derrapagem [slide slip]
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Mecanismo físico de produção da 
sustentação
Escoamento permanente
9
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Perfil alar
Bordo de ataque [leading edge]
Bordo de fuga [trailing edge]
Corda [chord]
Extradorso [upper surface]
Intradorso [lower surface]
Linha de curvatura [camber]
Flecha [max camber], flecha relativa (f/c)
Espessura [thickness], espessura relativa
Ângulo de ataque
10
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
12 p
FpF > 12 pp >
Trajectórias divisórias
Ponto de estagnação
Fluido perfeito
Fluido ideal
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
const
2
1 2 =++ gzUp ρρ
0pgzpTp =+= ρ
22110 gzpgzpp ρρ +=+=
)( 1212 zzgppp −=−=∆ ρ
Gradiente favorável - Gradiente adverso
Pressão estática + dinâmica + hidrostática 
Equação da estática: 
11
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
2
2
1 UppT ρ+= ρ
)(2 ppU T −=
Tubo de Pitot
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
CV UU ρ
ρ0=
Velocidade ar indicada
Velocidade ar calibrada (corrigida)
Velocidade ar verdadeira
Venturi
12
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
0
2
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
r
VUAr
dr
dppAp ρδδδδ
r
U
dr
dp 2ρ=
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
2
2
1
∞
∞−=
U
ppCP ρ
Coeficiente de pressão
13
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
rUf /2centr ρ=
SU
LCL
2
2
1
∞
=
ρ
)(2 βαπ +=LC
• aumentar U
• diminuir r
Coeficiente de sustentação 
Pequenos ângulos de incidência 
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Superfícies de controlo do CG
- leme de profundidade ou elevador estabilizador [elevator] que em conjunto com o 
elemento fixo onde faz charneira (a empenagem horizontal) constitui o estabilizador 
horizontal [horizontal stabilizer]
- estabilizador integral (configuração canard)
Momento de picada [pitching moment]
Momento de cabragem [nose-down moment]
14
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
- leme de direcção [rudder], que em conjunto com a empenagem vertical ou 
deriva [fin], onde faz charneira, constitui o estabilizador vertical [vertical
stabilizer]
Momento de guinada [yawing moment]
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
- ailerons
Momento de rolamento
15
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Convencional: Dassault
Aviation Falcon 900 DX
Canard: Beechcraft Starship 2000A
3-superfícies: Piaggio P.180 Avanti
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Asas finitas
16
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Efeitos da viscosidade
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
dy
dUµτ =
Fluidos Newtonianos
Viscosidade dinâmica
Experiência de Stokes
17
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Resistência ao atrito [friction drag]
Taxa de deformação [strain rate]
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Transporte difusivo de quantidade de movimento
18
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Camadas limites e camadas de corte livres
Separação
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Figuras de Vasco de Brederode, “Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível”, 
IDMEC, Instituto Superior Técnico, 1997, ISBN:972-974 02-0-8
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
Equilíbrio de forças em diversas 
situações de voo de uma aeronave 
 
 
 
 
 
Peso da aeronave [Weight] W 
 
Sustentação [Lift] L 
 
Resistência [Drag] D 
 
Tracção [Thrust] T 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
DT
WL
 0=CGM inFDT += 
 2-1
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
Voo rectilíneo, ascencional, estabilizado [steady climb] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
γ
γ
sen
cos
DT
WL
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
WDT
L 0
 
 2-2
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
Voo planado 
 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
γ
γ
sen
cos
WD
WL
 
 
Máximo raio de acção Æ ângulo de planeio (γ ) 
mínimo: 
 
min
1tan
min
1tanmin ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−=
L
D
d
hγ 
 
Coeficiente de planeio ou finesse [glide ratio] L/D 
máximo 
 2-3
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
Volta coordenada 
 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
centrsen
cos
FL
WL
ϕ
ϕ
 
 
ϕ Æ ângulo de pranchamento [bank angle] 
 
RmUF /2trajcentr = 
 
Derrapagem [slide slip] 
 
Volta em glissade Æ voo rectilíneo (Fcentr=0) com 
pranchamento 
 2-4
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
Mecanismo físico de produção da 
sustentação 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamento permanente 
 
 
 
 
 2-5
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 2-6
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
Perfil alar 
 
 
 
Bordo de ataque [leading edge] 
Bordo de fuga [trailing edge] 
Corda [chord] 
Extradorso [upper surface] 
Intradorso [lower surface] 
Linha de curvatura [camber] 
Flecha [max camber], flecha relativa (f/c) 
Espessura [thickness], espessura relativa 
Ângulo de ataque 
 2-7
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 
Trajectórias divisórias 
 
Ponto de estagnação 
 
 
 
 
Fluido perfeito Fluido ideal 
 
12 p
FpF > 12 pp >
 2-8
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
Gradiente favorável 
 
Gradiente adverso 
 
 
const.
2
1 2 =++ gzUp ρρ 
 
Pressão estática + dinâmica + hidrostática 
 
Equação da estática: 
 
0pgzpTp =+= ρ 
 
 
 
22110 gzpgzpp ρρ +=+= 
 
)( 1212 zzgppp −=−=∆ ρ 
 2-9
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 
 
 
Tubo de Pitot 
 
 
 
 
 
2
2
1 UppT ρ+= 
 
ρ
)(2 ppU T −= 
 2-10
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
Velocidade ar indicada 
 
Velocidade ar calibrada (corrigida) 
 
Velocidade ar verdadeira 
 
CV UU ρ
ρ0= 
 
 
 
Venturi 
 
 
 
 2-11
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
2
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
r
VUAr
dr
dppAp ρδδδδ 
 
 
r
U
dr
dp 2ρ= 
 2-12
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de pressão 
2
2
1
∞
∞−=
U
ppCP ρ
 
 2-13
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
rUf /2centr ρ= 
 
 
• aumentar U 
 
 
• diminuir r 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de sustentação 
SU
LCL
2
2
1
∞
=
ρ
 
 
 
Pequenos ângulos de incidência )(2 βαπ +=LC 
 
 
 2-14
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
Superfícies de controlo do CG 
 
- leme de profundidade ou elevador estabilizador [elevator] que em 
conjunto com o elemento fixo onde faz charneira (a empenagem 
horizontal) constitui o estabilizador horizontal [horizontal stabilizer] 
- estabilizador integral (configuração canard) 
 
 
 
 
Momento de picada [pitching moment] 
 
Momento de cabragem [nose-down moment] 
 
 
 
 2-15
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
- leme de direcção [rudder], que em conjunto com a empenagem 
vertical ou deriva [fin], onde faz charneira, constitui o estabilizador 
vertical [vertical stabilizer] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de guinada [yawing moment] 
 
 
 2-16
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 
- ailerons 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de rolamento 
 
 
 
 2-17
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 
Convencional: Dassault Aviation Falcon 900 DX 
 
 
Canard: Beechcraft Starship 2000A 
 
 
3-superfícies: Piaggio P.180 Avanti 
 
 2-18
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
Asas finitas2-19
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
Efeitos da viscosidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2-20
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
Fluidos Newtonianos 
 
Viscosidade dinâmica 
 
Experiência de Stokes 
 
 
 
 
 
dy
dUµτ = 
 
 
 
 
 2-21
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 
Resistência ao atrito [friction drag] 
 
Taxa de deformação [strain rate] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2-22
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transporte difusivo de quantidade de movimento 
 
 
 
 
 
 2-23
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
Camadas limites e camadas de corte livres 
 
 
 
 
 
 
 
 
Separação 
 
 
 
 
 
 2-24
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figuras de Vasco de Brederode, “Fundamentos de 
Aerodinâmica Incompressível”, 
IDMEC, Instituto Superior Técnico, 1997, ISBN:972-974 02-0-8 
 
 2-25
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
Efeitos de compressibilidade 
 
 
 
 
 
Ma Tipo de 
Escoamento 
Características 
M<0.3 incompressível variação de densidade 
desprezável 
0.3<M<0.8 subsónico efeitos de densidade 
importantes, mas sem ondas de 
choque 
0.8<M<1.2 transónico aparecimento de ondas de 
choque, que dividem zonas 
subsónicas e supersónicas 
1.2<M<3.0 supersónico existem ondas de choque, mas 
não há regiões subsónicas 
3.0<M hipersónico ondas de choque e outras 
alterações no escoamento muito 
intensas 
Tabela 1. Classificação de escoamentos. 
 
 
 
 3-1
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3-2
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
Tubeira convergente 
 
 
 
 
 
 3-3
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
Tubeira convergente-divergente 
 
 
 
 
Figuras de Jorge M M Barata, “Propulsão – Dinâmica dos Gases 
(Volume 2), Universidade da Beira Interior, 1998, ISBN: 972-
9209-71-5. 
 3-4
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-1
 
Cap. 2 Escoamento de um Fluido 
Viscoso 
 
 
 
 
z
k
y
j
x
i ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ ˆˆˆr GRADIENTE 
 
 
 
 
w
z
v
y
u
x
V ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ rr . DIVERGÊNCIA 
 
 
 
 
VVcurl
rrr ×∇= ROTACIONAL 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-2
Equação de conservação da massa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) 0=∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂ dxdydzw
z
dxdydzv
y
dxdydzu
x
dxdydz
t
ρρρρ
 
 
 
( ) ( ) ( ) 0=∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂ w
z
v
y
u
xt
ρρρρ 
 
 
( ) 0=⋅∇+∂∂ Vt
rr ρρ 
 
CONTINUIDADE
y
x 
z 
udydzρ ( ) dydzdxuxu ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+ ρρ
dz
dx
dy
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-3
 
 
Coordenadas cilíndricas: 
 
 
( ) ( ) ( ) 011 =∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂
zr vz
v
r
vr
rrt
ρρθρ
ρ
θ 
 
 
 
Escoamento permanente: 
 
 
( ) ( ) ( ) 0=∂
∂+∂
∂+∂
∂ w
z
v
y
u
x
ρρρ 
 
 
 
Escoamento incompressível: 
 
 
0=∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
w
y
v
x
u 
 
0=⋅∇ Vrr 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-4
Equação de transporte da quantidade de movimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A dedução da equação de conservação de 
quantidade de movimento é análoga à da 
conservação da massa, mas agora a propriedade é 
Vu
rρ em vez de uρ . 
 
 
∑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂= Vw
z
Vv
y
Vu
x
V
t
dxdydzF
rrrrr ρρρρ 
 
y
x
z 
dz
dx
dy
( ) dydzdxVu
x
Vu ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+ rr ρρ
dydzVu
rρ
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-5
Como 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ VwzVvyVuxVt
rrrr ρρρρ 
 
( )
44444 344444 21
rrrr
44 344 21
rrr
LSUBSTANCIAOUTOTALDERIVADA
Dt
DDECONTINUIDA
z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
VV
t
V ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅∇+∂
∂= ρρρ
 
 
 
vem, 
 
 
∑ = dxdydzDtVDF
rr ρ 
 
 
Determinação de ∑Fr : 
 
- forças de massa (gravidade, pot. eléctrica, …) 
 
- forças de superfície (tensões) 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-6
 
Forças de massa: 
 
dxdydzgFd gravidade
rr ρ= A 
 
 
Forças de superfície: pressão + tensões viscosas 
 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
=
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ij
p
p
p
τττ
τττ
τττ
σ 
 
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂= dxdydz
zyx
dF zxyxxxx τττ.sup 
 
 dxdydz
zyxx
p
zxyxxx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂−= τττ B 
 
Somando A e B vem: 
 
ijpgDt
VD τρρ ⋅∇+∇−= rrr
r
 
 
CONSERVAÇÃO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-7
Se 0=ijτ , 
 
pg
Dt
VD ∇−= rr
r
ρρ Euler 
 
 
Para um fluido Newtoniano as taxas de deformação 
são proporcionais à tensões viscosas e à viscosidade: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂=
i
j
j
i
ij x
u
x
uµτ 
 
Por exemplo, 
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂=
z
V
x
V xz
xz µτ ou ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂
z
u
x
wµ 
 
 
Para as tensões normais 
 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−∂
∂=
444 3444 21
ÍVELINCOMPRESSESCEMLDESPREZÁVE
zyxx
xx z
V
y
V
x
V
x
V
.
3
22µτ 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-8
 
E assim sucessivamente para as restantes tensões. 
 
 
 
Então para fluido newtoniano com densidade e 
viscosidade constantes vem: 
 
 
Dt
Du
z
u
y
u
x
u
x
pg x ρµρ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂− 2
2
2
2
2
2
 
 
 
Dt
Dv
z
v
y
v
x
v
y
pg y ρµρ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂− 2
2
2
2
2
2
 
 
 
Dt
Dw
z
w
y
w
x
w
z
pg z ρµρ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂− 2
2
2
2
2
2
 
 
 
EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-9
Equação da energia 
 
 
Energia gzvue ++= 2
2
1 
 
 
{ ( )VpVqDtDu dissipação
rrrr ⋅∇−Φ+−−∇= ρρ 
 
 
Com dTCdu v= e kCv ,,µ e .cte≈ρ vem: 
 
 
Φ+∇= Tk
Dt
DTCv
2ρ 
 
 
Para fluido em repouso a convecção e a dissipação 
são desprezáveis: 
 
 
Tk
t
TCv
2∇=∂
∂ρ 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-10
 
Escoamento de Couette 
 
Incompressível, viscoso, unidimensional 
 
 
 
 
 
Continuidade: 0=∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
w
y
v
x
u 0=∂
∂⇒
x
u )(yuu =⇒ 
 
 
Navier-Stokes: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂++∂
∂−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂
2
2
2
2
y
u
x
ug
x
p
y
uv
x
uu x µρρ 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-11
0=∂
∂
x
p e 0≈xg 02
2
=∂
∂⇒
y
u 21 cycu +=⇒ 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−−==
+====
0)(:0
:
21
21
chchyemu
chcVuhyemVu
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
2
2
2
1
Vc
h
Vc
 
 
 
 
22
Vy
h
Vu += Æ solução analítica 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-12
Escoamentos tipo camada limite 
 
Determinação dos efeitos viscosos próximo das 
paredes sólidas e seu “fornecimento ao escoamento 
invíscido exterior 
 
µ
ρ
ν
UxUx
x ==Re 
PLACA PLANA: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≈∂
7/1
2/1
Re
16,0
Re
0,5
x
x
x
 
 
2
2
Re
L
U
L
ULU eee
L νν == 
 
Representa o quociente entre efeitos de transporte 
convectivo e difusivo de quantidade de movimento. 
 ANÁLISE INTEGRAL: 
Laminar Rex<106 
Turbulento Rex>106 
AerodinâmicaII 
Jorge M M Barata 
 
 4-13
 
 
 
( ) ( )∫∑ ∫ ⋅+⋅=−= 31 dAnVudAnVuDFx rrrr ρρ 
 
∫∫ +−= δρ 00 00 )()( bdyUUbdyUUh 
 
∫−= δρρ 0 220 dyUbbhU (1) 
 
( ) ∫∫ ∫∫ =⇒+−==⋅ δδρρρ 000 000 UdyhUUbdybdyUdAnV hSC rr
 
Subsituindo h na equação (1) vem: 
 
∫ −= )(0 0 )()( x dyUUUbxD δρ von Kármán 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-14
Esta equação foi inicialmente escrita na forma, 
 
θρ 2)( bUxD = (2) 
 
Em que θ é o défice de quantidade de movimento 
em relação à situação de fluido perfeito: 
 
dy
U
U
U
U ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= ∫
0
0
0
1
δθ 
 
 
A espessura da quantidade de movimento θ mede 
a resistência total da placa. Então, 
 
w
x
w bdx
dDdxxbxD ττ =⇒= ∫0 )()( 
 
e, finalmente, 
 
dx
dUw
θρτ 2= 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-15
 
ESPESSURA DO DESLOCAMENTO 
 
 
É uma grandeza relacionada com o deslocamento 
das linhas de corrente exteriores devido à presença 
da camada limite 
 
 
 
∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= δδ
0
0
* 1 dy
U
U 
 
 
 
∫∫ = δ ρρ 0
..
0 0
UbdydybU
pf
h
43421
 *δδ += h 
 
 
 
{ ( ) ( )∫ ∫ −++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+= δ δδ
0 0 0
*
0000 dyUUhUdyUUUhU
BA
321 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-16
COEFICIENTE DE TENSÃO DE CORTE SUPERFICIAL 
 
FACTOR DE FORMA 
 
 
 
 
Conhecido o perfil de velocidades, os parâmetros 
integrais *δ e θ podem ser obtidos por 
integração 
 
 
Em termos dos parâmetros integrais a equação de 
von Kármán escreve-se 
 
( ) ρτδθ wdxdUUUdxd =+ 0*020 (2) 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-17
O gradiente longitudinal de pressão relaciona-se com 
dx
dU 0 derivando a equação de Bernoulli: 
 
dx
dUU
dx
dp 0
0
1 =− ρ 
 
Re-arranjando a equação (2) vem: 
 
 
2
2 0
0
fC
dx
dU
U
H
dx
d =++θθ 
 
em que 
 
∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −== hh dy
U
U
U
Udy
U
UH
0
00
0
0
*
11θ
δ 
 
 
é o FACTOR DE FORMA e quantifica a forma do perfil 
de velocidades. 
 
NOTA: Para 0=
dx
dp vem 
2
fC
dx
d =θ e em regime 
laminar .6,2≈H 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-18
 
Equações diferenciais de camada limite 
 
 
Para uma camada limite bidimensional, 
incompressível, desprezando o efeito de gravidade, 
as equações fundamentais são: 
 
 
0=∂
∂+∂
∂
y
v
x
u 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂
2
2
2
2
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu µρ 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂
2
2
2
2
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu µρ 
 
 
Comparando a ordem de grandeza de cada termo 
verifica-se que 
 
 
uv << e 
yx ∂
∂<<∂
∂ 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-19
 
 
Assim, a equação de conservação de quantidade de 
movimento segundo yy reduz-se a 
 
0≈∂
∂
y
p 
 
Segundo xx, atendendo ainda a que 2
2
2
2
y
u
x
u
∂
∂<<∂
∂ 
vem, 
 
ydx
dUU
y
uv
x
uu ∂
∂+≈∂
∂+∂
∂ τ
ρ
10
0 
 
 
com 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−∂
∂
∂
∂
=
''vu
y
u
y
u
ρµ
µ
τ 
 
em regime laminar 
Em regime turbulento 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-20
Escoamentos semelhantes de camada limite laminar 
 
 
 
Considere-se gradiente longitudinal de pressão nulo 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ = 0
dx
dp . Então vem 00 =
dx
dU
, isto é, tecU =0 . 
 
 
 
O escoamento de camada limite laminar em 
gradiente nulo é uma caso particular de uma família 
de escoamentos para os quais os perfis de 
velocidade são SEMELHANTES. 
 
 
 
Admitindo então uma forma plausível para o perfil de 
velocidades será possível determinar 
aproximadamente a evolução da camada limite 
utilizando a equação integral de von Kármán na 
forma 
2
fC
dx
d =θ . 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-21
Considerando 
 
3
0
)( ηηη cbaf
U
U ++== com δη /y= 
 
 
Condições de fronteira 
 
0)1('
1)1(
0)0(
=
=
=
f
f
f
 
 
 
Logo, 
 
3
2
1
2
3)( ηηη −=f 
 
 
[ ]∫ ∫ =−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= 1
0
1
0
0
*
375.0)(11 ηηδδ
δ dfyd
U
U 
 
 
[ ] 139.0)(1)(1
0
=−∫ ηηηδθ dff 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-22
 
Então, 
 
7.2
*
== θ
δH 
 
A equação de von Kármán pode então escrever-se: 
 
dx
dU
dx
dUw
δρθρτ 2020 139.0== 
 
 
wτ é δµδµµ
00
0
5.1)0(' UfU
y
U
y
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
=
 
 
 
Logo, igualando as duas expressões anteriores, 
integrando em ordem a x e admitindo como 
condição de fronteira 0=δ em 0=x , obtém-se 
 
xxUx Re
64.464.4
0
== νδ 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-23
Substituindo x/δ na equação de wτ , 
 
 
 
x
w
f
U
C
Re
646.0
2
1 2
0
==
ρ
τ
 
 
 
 
Finalmente, 
 
 
 
L
L
f
L
w
D dxCLLU
dx
LU
DC
Re
292.11
2
1
2
1 02
0
0
2
0
==== ∫∫ ρ
τ
ρ
 
 
 
 
 
Blasius obteve, em 1908, uma solução deste tipo a 
partir das equações fundamentais. 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-24
Efeito de um gradiente de pressão 
 
 
Dado que pretendemos analisar a influência de um 
gradiente de pressão sobre a forma do perfil de 
velocidades e que este efeito é essencialmente 
invíscido, podemos, para este fim, considerar um 
campo de fluido perfeito 0== kµ mas rotacional. 
 
 
Nestas condições é possível aplicar a equação de 
Bernoulli ao longo de uma linha de corrente: 
 
 
dx
dp
Us
p
Us
U
x
U e
ρρ
11 −≈∂
∂−=∂
∂≈∂
∂ 
 
 
Conclui-se então que o gradiente de pressões 
provocará uma alteração de velocidade tanto mais 
significativa quanto menores forem as velocidades 
locais. 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-25
 
 
 
 
 
Gradientes favoráveis ↑↓⇒⇒< fCHdx
dp 0 
 
 
 
Gradientes adversos ↓↑⇒⇒> fCHdx
dp 0 
 
 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-26
 
• Um gradiente de pressões adverso poderá então 
provocar uma reversão do escoamento junto à 
superfície, resultado este designado por 
SEPARAÇÃO da camada limite. 
 
O gradiente de pressões adverso terá, no entanto, 
de ser grande quando comparado com a difusão 
transversal de quantidade de movimento. 
 
Fazendo uma análise de ordens de grandeza e 
definindo um parâmetro Λ traduzindo a razão 
entre o termo de pressão e o termo difusivo, vem: 
 
 
dx
dUU
dx
dUU
y
U
x
p eee
e ν
δ
δννϑρ
2
22
21 −=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂=Λ 
 
 
• Definindo PONTO DE SEPARAÇÃO como aquele onde 
0=fC , ou seja 0
0
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
=yy
U , verifica-se que a 
separação em regime laminar ocorre para valores de 
1210−=Λ . 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-27
Um perfil de velocidades em gradiente de pressão 
adverso exibe forçosamente um PONTO DE INFLEXÃO. 
 
Esta característica tem uma influência determinante 
no processo de transição de regime laminar a 
turbulento. 
 
Na parede a equação da camada limite fica 
 
dx
dp
y
U
y µ
1
0
2
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
=
 ⇒ se 0>
dx
dp vem 
0
0
2
2
>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
=yy
U 
 
 
Na zona de interface camada limite / fluido exterior a 
velocidade tende para eU por valores inferiores, 
logo 02
2<∂
∂
y
U . 
 
Deverá, portanto, existir um ponto no interior do 
perfil onde 2
2
y
U
∂
∂ se anula, isto é, um ponto de 
inflexão. 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-28
Transição regime laminar / regime turbulento 
 
 
A números de Reynolds elevados, os escoamentos 
de fluido real são em geral turbulentos, processando-
se a TRANSIÇÃO de regime laminar a turbulento por 
amplificação de pequenas perturbações impostas 
sobre a camada de corte. 
 
Análise da estabilidade das camadas de corte é 
geralmente feita pelo MÉTODO DAS PEQUENAS 
PERTURBAÇÕES (ver Shlichting), segundo a qual uma 
pequena perturbação sinusoidal é imposta sobre um 
dado escoamento laminar permanente e se detecta 
em que condições a perturbação é amortecida ou 
amplificada com o decorrer do tempo. 
 
 
Amortecida Æ laminar 
 
Amplificada Æ turbulento 
 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-29
A teoria das pequenas perturbações, no entanto, só 
permite: 
 
- estabelecer as formas dos perfis de velocidade mais 
instáveis 
- identificar frequências susceptíveis de serem 
amplificadas 
- indicar quais os parâmetros controladores do 
mecanismo de transição 
 
CURVAS DE ESTABILIDADE NEUTRA 
 
Condensam os resultados obtidos com o método das 
pequenas perturbações 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-30
i) As curvas de estabilidade neutra têm uma forma 
completamente diferente em escoamentos exibindo 
perfis com e sem ponto de inflexão. 
 
• Para perfis com ponto de inflexão o ramo 
superior para um valor de 0
*
≠λ
δ , pelo que 
mesmo na situação limite ∞→Re , entendida 
como correspondendo a escoamento de fluido 
perfeito, existe uma gama não nula de 
comprimentos de onda que podem ser 
amplicados; 
• Para perfis sem ponto de inflexão os ramos 
superior e inferior da curva tendem 
assimptoticamente para λδ /* quando 
∞→Re . 
 
 
O primeiro tipo de instabilidade designa-se por 
invíscido, por poder-se verificar mesmo para ∞→Re 
e o segundo é viscoso por só ocorrer a ∞<Re . 
 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-31
 
ii) A muito baixos números de Reynolds, efeitos 
dissipativos são de tal maneira pronunciados que 
todas as perturbações são amortecidas e o 
escoamento mantém-se em regime laminar. 
 
 
 
iii) A Re elevados existe uma gama restrita de 
valores de λ de perturbações que podem ser 
amplificadas com uma escala de comprimentos e 
uma escala de tempos próximas das 
correspondentes escalas locais características da 
camada de corte como um todo. 
 
 
 
 
iv) O Re que separa as situações ii) e iii) 
designa-se por Reynolds crítico, critRe . 
 
 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-32
v) Camadas de corte para as quais os perfis de 
velocidade apresentam um ponto de inflexão são 
extremamente instáveis. Comparando com a 
situação de instabilidade viscosa, o critRe é muito 
menor e para qualquer Re superior ao crítico, a 
gama de comprimentos de onda de perturbações 
susceptíveis de serem amplificadas é muito maior. 
Logo, em escoamentos de camada limite, gradientes 
de pressão adversos tendem a ampliar o domínio de 
instabilidade e, inversamente, gradientes favoráveis 
produzem uma acção estabilizante. 
 
 
O método das pequenas perturbações só dá 
informação acerca da primeira de 4 fases que 
constituem o processo de transição: 
i) instabilidade da camada de corte e perturbações 
essencialmente bidimensionais 
ii) aparecimento de perturbações secundárias 
produzindo tridimensionalidade 
iii) formação aleatória de erupções turbulentas 
iv) degenerescência em regime turbulento 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-33
Escoamento Turbulento 
 
 
As condições necessárias para que um escoamento 
transite de um regime laminar a turbulento são a 
existência de uma gama de perturbações, que 
algumas delas possam ser amplificadas e que o Re 
característico do escoamento seja elevado. 
 
Estas condições estão presentes em quase todos os 
escoamentos reais. 
 
 
 
TURBULÊNCIA - o que é? 
 
 
O conceito de turbulência, embora de noção 
intuitiva, é muito difícil de definir com precisão. 
 
 
Para contornar esta dificuldade é habitual descrever 
as características de um processo que designaremos 
por turbulento. 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-34
 
1- Esoamento irregular em que sobreposto a um 
campo médio se observam flutuações caóticas 
com grandes gamas de frequência e amplitudes. 
A natureza aleatória obriga a que o seu 
tratamento analítico seja feito por métodos 
estatísticos, em vez de determinísticos. 
 
2- É também um dado da observação, a natureza 
essencialmente tridimensional, em que entes 
vulgarmente denominados redemoinhos ou 
turbilhões se entrelaçam. Usa-se o nome 
turbilhão para identificar o ente produzindo um 
movimento circular aleatório, reservando-se a 
designação de vórtice para um escoamento 
idêntico mas organizado. 
 Como resultado de um campo tridimensional em 
que os gradientes de velocidade são elevados, a 
energia cinética associada às flutuações de 
velocidade (energia cinética turbulenta) vai 
sendo transferida dos turbilhões de grandes 
dimensões para turbilhões de cada vez menores 
dimensões (alta frequência) por um processo 
essencialmente invíscido de estiramento de 
tubos de vórtice. 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-35
3- Grande capacidade de mistura, provocando uma 
rápida uniformização da distribuição espacial da 
propriedade em causa. 
Esta grande difusão resultante do transporte 
pelo campo turbulento de largas massas de 
fluido ao longo de comprimentos apreciáveis é 
várias ordens de grandeza superior à difusão de 
nível molecular que ocorre nos escoamentos 
laminares. 
 
4- No final do processo de transferência de energia 
das grandes para as pequenas escalas por 
estiramento dos vórtices, isto é, a nível dos 
pequenos turbilhões, a frequência angular é de 
tal modo elevada que tensões de corte de 
origem viscosa são significativas. 
Estas tensões viscosas produzem trabalho de 
deformação que aumenta a energia interna do 
fluido à custa de uma diminuição da energia 
cinética turbulenta. 
 
 
Um campo turbulento é assim essencialmente 
dissipativo e para sobreviver será necessário 
fornecer-lhe continuamente energia. 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-36
 
Esta energia será retirada ao escoamento médio 
pelos turbilhões com uma escala de comprimentos 
(comprimentos de onda) mais próxima de uma 
dimensão característica do escoamento médio, 
obviamente pelos turbilhões maiores. 
 
A repartição da energia cinética no domínio das 
frequências – espectro de energia, em que Φ , a 
densidade espectral de energia, representa a 
contribuição fraccional para a energia total da 
energia contida numa banda de frequências de 
largura unitária – deverá ser do tipo da figura, em 
escalas logarítmicas. 
 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-37
 
 
Zonas do espectro de energia: 
 
1 – Zona das baixas frequências 
correspondendo aos grandes 
turbilhões que interaccionam com 
o escoamento médio e contribuem com a maior 
percentagem da energia cinética turbulenta. Muitas 
vezes chamam-se turbilhões contendo energia. 
– são altamente anisotrópicos 
– a sua dimensão máxima é limitada pelo tamanho 
da camada de corte 
 
2 – Gama correspondente ao subdomínio de inércia. 
Nesta zona actua simplesmente um mecanismo de 
inércia promovendo uma transferência de energia 
das grandes para as pequenas escalas por 
estiramento de filamentos de vórtices. 
 
3 – Gama dissipativa. A nível das pequenas escalas 
em que se processa a dissipação de energia,os 
turbilhões têm uma dimensão de tal modo inferior à 
distância ao longo da qual ocorrem variações 
significativas das propriedades do escoamento médio 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-38
que, não sentindo gradientes 
médios, apresentam 
características muito 
aproximadamente isotrópicas. 
A dimensão mínima dos 
turbilhões está condicionada pela sua capacidade de 
sobrevivência num campo dissipativo. Só nesta gama 
se fazem sentir os efeitos da viscosidade molecular. 
A todo este processo de transferência de energia, 
semelhante a um fraccionamento de turbilhões de 
grandes dimensões em turbilhões cada vez mais 
pequenos chama-se CASCATA DE ENERGIA. 
 
 
5- Em praticamente todas as situações, a 
dimensão dos turbilhões dissipativos é ainda 
várias ordens de grandeza superior ao percurso 
médio livre das moléculas do fluido, pelo que, 
mesmo para tratar um campo turbulento a nível 
das pequenas escalas é perfeitamente válido 
admitir o meio como contínuo. Assim, pode-se 
representar em termos instantâneos a 
conservação da massa, de quantidade de 
movimento e de energia, tal como já foi 
apresentado. 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-39
 
6- Escoamentos turbulentos ocorrem só a grande 
números de Reynolds como resultado da 
amplificação preferencial de perturbações 
existentes em regime laminar, instabilidades 
estas provocadas por efeitos viscosos e efeitos 
convectivos não lineares. 
 
7- A turbulência é uma característica do 
escoamento e não do fluido, sendo por isso 
independente das propriedades físicas do meio. 
A influência de ν está restrita à sua 
contribuição para Re e este é o parâmetro 
controlador do regime do escoamento. 
 
AAALLLEEEAAATTTÓÓÓRRRIIIOOO 
 TTTRRRIII---DDDIIIMMMEEENNNSSSIIIOOONNNAAALLL 
 GGGRRRAAANNNDDDEEE DDDIIIFFFUUUSSSÃÃÃOOO 
 DDDIIISSSSSSIIIPPPAAATTTIIIVVVOOO 
 MMMEEEIIIOOO CCCOOONNNTTTÍÍÍNNNUUUOOO 
 Re EEELLLEEEVVVAAADDDOOOSSS 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-40
O campo turbulento é dominado pelos grandes 
turbilhões, visto serem aqueles que contêm maior 
fracção de energia e cujo tempo de vida é maior, 
pelo que conseguem manter a sua individualidade 
durante o transporte a longas distâncias. 
 
Assim, as ocorrências num dado ponto dum campo 
turbulento, dependem, não de características locais, 
mas da história do escoamento. Costuma-se referir 
este facto dizendo que o escoamento turbulento tem 
memória. 
 
São, ainda, os grandes turbilhões que controlam o 
mecanismo de crescimento de camadas de corte 
turbulentas. 
 
A interface rotacional/irrotacional é altamente 
contorcida, devido a erupções turbulentas, 
envolvendo grandes massas de fluido que, geradas 
no interior da camada de corte, penetram no 
escoamento exterior. A vorticidade é comunicada, 
por acção viscosa, aos elementos contíguos de fluido 
perfeito que são captados para o interior da camada 
e arrastados pelo escoamento turbulento. 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-41
 
Exemplo: 
 
Arrastamento no caso do EFEITO COANDA 
 
 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-42
Estimativa do tamanho dos turbilhões menores 
 
A análise da cascata de energia e do processo de 
dissipação de energia permite obter uma estimativa 
to tamanho dos turbilhões menores que existem num 
escoamento turbulento. 
 
Uma vez que a taxa de dissipação de energia cinética 
turbulenta por unidade de massa ( ε ) é , para 
números de Reynolds elevados, dependente apenas 
do processo de estiramento e rotação de vórtices, 
ela deve ser parametrizada através das grandes 
escalas. 
 
Sendo u e l a velocidade e o comprimento 
característicos, 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 3
2
T
Lε , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
T
Lu , [ ]Ll = 
 
 
Logo, através do teorema dos π de Buckingham 
obtém-se, 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-43
l
u3∝ε 
Para as escalas menores esta taxa de dissipação de 
energia deverá ser assegurada pela viscosidade e 
pelos gradientes de velocidade existentes ao nível 
das escalas pequenas. Assim, os parâmetros que 
governam o movimento das escalas pequenas são ε 
e ν . 
 
Podemos, então usar a análise dimensional para 
obter uma escala de comprimentos das escalas 
pequenas (η ) : 
 
[ ]L=η , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 3
2
T
Lε , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
T
L2ν 
 
4/13
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∝ ε
νη 
 
De forma idêntica podem ser obtidas escalas para a 
velocidade e o tempo, que, em conjunto, formam as 
escalas de Kolmogorov. 
 
( ) 4/1εηη ∝u 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-44
2/1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∝ ε
ντη 
 
Num escoamento com um Reynolds elevado, 
verifica-se que para estas escalas ( 0ll << ), os 
movimentos são estatisticamente isotrópicos – 
HIPÓTESE DA ISOTROPIA LOCAL DE KOLMOGOROV. 
 
 
Por seu turno, a HIPÓTESE DE SEMELHANÇA DE 
KOLMOGOROV afirma que a estatística dos 
movimentos das escalas pequenas têm uma forma 
universal, que só depende de ν e ε . 
 
 
Pensando numa solução numérica das equações de 
Navier-Stokes, tem de se prever uma malha 
suficientemente pequena para resolver as escalas 
pequenas de dimensão. 
 
Substituindo a escala de ε obtém-se 
4/1
3
3
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∝
u
lνη , 
logo 
4/1
33
3
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∝
lu
l νη , ou seja, ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∝ 4/3Re
1lη . 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-45
 
O número mínimo de pontos por cada direcção, será 
numa geometria tridimensional 
 
4/3Re∝∝η
lN 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-46
Tratamento estatístico da turbulência 
 
Dado que a hipótese de meio contínuo é aplicável a 
campos turbulentos, conservação da massa e de 
quantidade de movimento são regidas 
instantaneamente pelas equações já apresentadas: 
 
0=∂
∂
i
i
x
U
 
 
jj
i
ij
i
j
i
xx
U
x
p
x
UU
t
U
∂∂
∂+∂
∂−=∂
∂+∂
∂ 21 νρ 
 
Vamos usar a decomposição de Reynolds para 
representar o valor instantâneo, como a soma do 
valor médio no tempo e a flutuação em torno desse 
valor médio, 
 
iii uUU ′+= 
 
Em que a média é entendida por 
 
∫ +∞→= ttt iti dtUtU 001lim 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-47
Designando médias no tempo por uma barra sobre o 
símbolo da variável, será, por definição, 
 
( ) 01lim 0
0
=−=′ ∫ +∞→ dtUUtu
tt
t iiti
 
 
Escoamento estatisticamente permanente é aquele 
que 
 
∫ =∂∂ 0tUi 
 
 
Para se estabelecerem as equações de conservação 
do campo médio, note-se que a média no tempo da 
variação espacial do valor médio é igual à variação 
espacial do valor médio, pois podem-se permutar os 
operadores de integração no tempo e derivação no 
espaço. 
 
 [ ]
j
i
tt
t
tt
t it
jj
i
t
j
i
x
UdtU
xx
U
x
U
∂
∂=∂
∂=∂
∂=∂
∂ ∫ ∫+ +∞→∞→ 00 00limlim 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-48
Outras propriedades: 
 
i) A média de um valor médio é o próprio valor 
 
( ) AA = ( ) BABA = 
 
ii) Distributiva 
 ( ) BABA +=+ 
 
iii) A média de uma flutuação simples é zero 
 
0a =′ 
 
pois ( ) 0AAAAa =−=−=′ 
 
iv) A média de um produto não é, necessariamente, 
igual ao produto das médias 
 
( ) ( )( ) baaBbABAbBaAAB ′′+′+′+=′+′+= 
 
baBA ′′+= 
 
Se o segundo termo não for zero, as quantidades A 
e B dizem-se correlacionadas e ba ′′ é designada 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-49
correlação ou co-variância entre as duas variáveis 
flutuantes. Uma medida do grau de correlação é o 
quociente entre a co-variância e a raiz quadrada do 
produto das variâncias individuaisde cada variável, o 
coeficiente de correlação R : 
 
22 ba
baR ′′
′′= ( )11 +<<− R 
 
Note-se que ba ′′ não é necessariamente zero 
apesar de 0ba =′=′ . Na realidade, em escoamentos 
turbulentos estas correlações são normalmente não 
nulas. 
 
 
A técnica das médias de Reynolds consiste em inserir 
a decomposição das variáveis instantâneas nas suas 
partes médias e flutuantes nas equações 
fundamentais e obter a média do resultado. 
 
Fazendo a sua aplicação à equação da continuidade 
vem: 
 
0=∂
∂=∂
∂
i
i
i
i
x
U
x
U
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-50
Subtraindo esta equação da equação para o valor 
instantâneo, vem 
 
0=∂
′∂
i
i
x
u
 
 
Isto é, sendo a equação da continuidade linear, ela é 
satisfeita tanto pelas componentes médias como 
pelas flutuações. 
 
Para se obter a equação da conservação de 
quantidade de movimento média, antes de se aplicar 
o operador de valor médio no tempo, vamos 
adicionar à equação para valores instantâneos 
 
jj
i
ij
i
j
i
xx
U
x
p
x
UU
t
U
∂∂
∂+∂
∂−=∂
∂+∂
∂ 21 νρ 
 
a equação da continuidade multiplicada por iU , isto 
é, 
j
j
i x
U
U ∂
∂
, do que resulta: 
 
jj
i
ij
jii
xx
U
x
p
x
UU
t
U
∂∂
∂+∂
∂−=∂
∂+∂
∂ 21 νρ 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-51
O segundo termo do primeiro membro envolve 
variações espaciais de produtos de componentes de 
velocidade instantânea, cujo valor médio é 
 
( )( ) jiijjijijjiiji uuuUuUUUuUuUUU ′′+′+′+=′+′+= 
 
jijijiijjiji uuUUuuuUuUUU ′′+=′′+′+′+= 
 
pois 0=′=′ ji uu (média de uma flutuação) 
 
Sendo o escoamento médio permanente, a equação 
resultante é 
 
 
( )
jj
i
i
jiji
j xx
U
x
puuUU
x ∂∂
∂+∂
∂−=′′+∂
∂ 21 νρ 
 
 
Subtraindo a esta equação 
j
j
i x
U
U ∂
∂
 vem 
 
( )ji
jjj
i
ij
i
j uuxxx
U
x
p
x
UU ′′−∂
∂+∂∂
∂+∂
∂−=∂
∂ ρρνρ
11 2 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-52
A comparação desta equação com a que rege os 
escoamentos laminares mostra o aparecimento de 
um termo adicional 
 ( )ji
j
uu
x
′′−∂
∂ ρρ
1 . 
Este termo representa a transferência de quantidade 
de movimento entre o campo turbulento e o campo 
médio. 
 
Como de acordo com a segunda lei de Newton, uma 
variação de quantidade de movimento está 
relacionada com a força aplicada, jiuu ′′− ρ , pode ser 
interpretado como um tensor de tensões turbulentas 
– o tensor de Reynolds. 
 
O tensor de Reynolds é um tensor de segunda 
ordem e obviamente simétrico, isto é, ijji uuuu ′′=′′ . As 
componentes da diagonal ( 11
2
1 uuu ′′=′ , 22u′ e 23u′ ) são 
tensões normais, enquanto que as componentes fora 
da diagonal são tensões de corte. 
 
A distinção entre tensões normais e tensões de corte 
depende do sistema de coordenadas. Uma distinção 
intrínseca pode ser feita entre tensões isotrópicas e 
anisotrópicas. 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-53
 
A tensão isotrópica é ijkδ3
2 , em que k é a energia 
cinética turbulenta iiuuuuk ′′=′⋅′≡ 2
1
2
1 rr , e a parte 
anisotrópica é 
 
ijjiij kuua δ3
2−′′= 
 
Nestes termos, o tensor de Reynolds é dado por 
 
ijijji kauu δ3
2+=′′ 
 
 
Apenas a componente anisotrópica intervém no 
transporte da quantidade de movimento, pelo que se 
pode escrever 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∂
∂+∂
∂=′′∂
∂+∂
∂ kp
xx
a
uu
xx
p
ij
ij
ji
ji
ρρρ
3
2 
 
A componente isotrópica k
3
2 fica, assim, absorvida 
numa pressão média modificada. 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-54
 
Vejamos como as correlações entre as flutuações de 
velocidade podem aparecer e dar origem a 
transferência de quantidade de movimento (isto é, 
causam tensões de corte aparentes). Considere-se 
um escoamento turbulento com um escoamento 
médio como o representado na figura. 
 
 
 
 
Flutuações positivas da componente vertical da 
velocidade (v) transoprtarão fluido com uma 
quantidade de movimento menor para uma zona 
com maior quantidade dec movimento, causando por 
isso uma flutuação negativa de velocidade. Para 
flutuações negativas de V, flutuações positivas de U 
aparecerão e num escoamento com yU ∂∂ , a tensão 
de corte vu ′′ será negativa acompanhada de um 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-55
transporte de quantidade de movimento na direcção 
negativa de y. 
 
Este transporte difusivo turbulento, tal como o 
molecular, está relacionado com gradientes do 
campo médio, embora não através de uma 
proporcionalidade simples, envolvendo um 
parâmetro análogo à viscosidade cinemática: a 
viscosidade turbulenta tν . 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂=′′−
x
V
y
Uvu tν 
 
Esta aproximação ao tratamento das tensões de 
Reynolds é um passo na modelação da turbulência, 
cujo objectivo é resolver o problema da 
indeterminação do sistema de equações (4 equações 
para 10 incógnitas em tridimensional).
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-56
Equação de transporte da energia cinética turbulenta 
 
Em vez da analogia entre a viscosidade molecular e 
turbulenta é possível derivar equações de transporte 
exactas para cada uma das tensões de Reynolds. 
 
Nos parágrafos seguintes exemplifica-se a obtenção 
da equação para a tensão normal de Reynolds, 2u′ , 
podendo ser usada uma técnica semelhante para 
todas as tensões ou fluxos escalares turbulentos 
(i.e. θu′ , etc.). 
 
Escrevendo a equação de conservação de 
quantidade de movimento 
 
jj
i
ij
i
j
i
xx
U
x
p
x
UU
t
U
∂∂
∂+∂
∂−=∂
∂+∂
∂ 21 νρ 
 
para a componente U da velocidade (direcção x , 
i=1) obtém-se: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂−=∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂
2
2
2
2
2
21
z
U
y
U
x
U
x
p
z
UW
y
UV
x
UU
t
U νρ
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-57
Usa-se a decomposição do valor instantâneo em 
valor médio mais flutuação: 
 
uUU ′+= vVV ′+= wWW ′+= ppp ′+= 
 
Estas definições são substituídas na equação de 
conservação de quantidade de movimento de U, 
depois a equação é multiplicada pela flutuação de 
velocidade u′ e calcula-se a média do resultado. 
 
 
A seguir apresenta-se cada termo da equação 
separadamente. 
 
 
i) Termo não estacionário 
 
 
( ) 2
2
1 u
tt
uu
t
UuuU
t
u ′∂
∂=∂
′∂′+∂
∂′=′+∂
∂′ 
 
 
Este termo é nulo para escoamento permanente em 
termos médios. 
 
0 0 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-58
ii) Termos convectivos 
 
 
 
( ) ( )
x
uu
x
Uu
x
uUu
x
UUuuU
x
uUu ∂
′∂′+∂
∂′+∂
′∂′+∂
∂′=′+∂
∂′+′ 22 
 
 
( ) ( )
y
uvu
y
Uvu
y
uVu
y
UVuuU
y
vVu ∂
′∂′′+∂
∂′′+∂
′∂′+∂
∂′=′+∂
∂′+′ 
 
 
( ) ( )
z
uwu
z
Uwu
y
uWu
z
UWuuU
z
wWu ∂
′∂′′+∂
∂′′+∂
′∂′+∂
∂′=′+∂
∂′+′
 
 
Os termos do segundo membro podem ser escritos 
noutra forma: 
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂=∂
′∂′+∂
′∂′+∂
′∂′ 222
2
1
2
1
2
1 u
z
Wu
y
Vu
x
U
z
uWu
y
uVu
x
uUu
 
 
 
0
0
0
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-59
Aos termos da última coluna é adicionado o produto 
da média de 2
2
1 u′ pela equação da continuidade do 
campo flutuante ( 0=∂
′∂+∂
′∂+∂
′∂
z
w
y
v
x
u ) 
 
 
=∂
′∂′+∂
′∂′+∂
′∂′+∂
′∂′′+∂
′∂′′+∂
′∂′
z
wu
y
vu
x
uu
z
uwu
y
uvu
x
uu 2222
2
1
2
1
2
1
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂= wu
z
vu
y
u
x
223
2
1
2
1
2
1iii) Termo do gradiente de pressão 
 
( )
x
pu
x
pupp
x
u
∂
′∂′−∂
∂′−=′+∂
∂′− ρρρ
1 
 
ou 
 
( )
x
upup
x ∂
′∂′+′′∂
∂− ρρ
11 
 
 
0
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-60
iv) Termo viscoso 
 
 
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′+∂
∂+′+∂
∂+′+∂
∂′ uU
z
uU
y
uU
x
u 2
2
2
2
2
2
ν 
 
 
Usando a primeira parcela conclui-se que apenas 
permanece o segundo gradiente da parte flutuante: 
 
 
2
2
2
2
x
uu
x
Uu ∂
′∂′+∂
∂′ νν 
 
 
Este termo pode ainda ser re-arranjado, atendendo 
ao seu significado físico: 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂=∂
′∂′
x
uu
xx
uu ννν 
 
 
 
 
0
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-61
Juntando todos os termos, a equação de transporte 
para a tensão normal 2u′ fica: 
 
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂
4444444 34444444 21
1
222
2
1
2
1
2
1 u
z
Wu
y
Vu
x
U 
44444 344444 21
2
2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂′′+∂
∂′′+∂
∂′−
z
Uwu
y
Uvu
x
Uu 
44444444 344444444 21
3
223
2
1
2
1
2
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂− wu
z
vu
y
u
x
( )
43421
a
up
x
4
1 ′′∂
∂− ρ 
43421
b
x
up
4
1
∂
′∂′+ ρ 
44444444 344444444 21
a
u
z
u
y
u
x
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′∂
∂+ν
 
44444 344444 21
b
z
u
y
u
x
u
5
222
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂−ν 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-62
Para obter a equação de transporte da energia 
cinética turbulenta 
 
( )222
2
1 wvuk ′+′+′= 
 
derivam-se as equações correspondentes para 2v′ e 
2w′ e somam-se à equação de 2u′ . 
 
444 3444 21
1
=∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
kW
y
kV
x
kU 
43421
2
P 
( ) ( ) ( )
444444 3444444 21
3
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′′∂
∂+′′∂
∂+′′∂
∂− wk
z
vk
y
uk
x
 
( ) ( ) ( )
444444 3444444 21
a
wp
z
vp
y
up
x
4
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′′∂
∂+′′∂
∂+′′∂
∂− ρ 
444 3444 21
a
z
k
y
k
x
k
5
2
2
2
2
2
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂+ν 
43421
b5
ε− 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-63
 
 
( )222
2
1 wvuk ′+′+′=′ 
 
 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂′+∂
∂′+∂
∂′−=
z
Ww
y
Vv
x
UuP 222 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂′′+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂′′+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂′′−
y
W
z
Vwv
x
W
z
Uwu
x
V
y
Uvu
 
 
 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂=
222222
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
uνε
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
′∂+
222
z
w
y
w
x
wν 
 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-64
Interpretação física dos grupos de termos das 
equações de transporte das tensões de Reynolds: 
 
Grupo 1 – Transporte de 2
2
1 u′ ou de k pelo 
campo médio ou convecção. 
 
Grupo 2 – Produção de energia cinética 2
2
1 u′ ou de 
energia cinética turbulenta k . Estes termos são a 
representação matemática do mecanismo de 
estiramento e rotação de vórtices. Correspondem à 
taxa a que o campo médio realiza trabalho contra as 
tensões de Reynolds. Do ponto de vista do campo 
turbulento é um grupo positivo (produção), enquanto 
que para o campo médio é negativo (perda de 
energia). 
 
Grupo 3 – Transporte espacial de energia cinética 
2
2
1 u′ ou de energia cinética turbulenta pelo campo 
flutuante (difusão turbulenta). 
 
Grupo 4 – Interacções com a pressão: 
a) Transporte espacial pelas flutuações de 
pressão do tipo difusivo. Este termo é 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-65
pequeno e corresponde a um mecanismo 
físico difícil de imaginar. 
b) Redistribuição pela pressão. Este termo 
não existe na equação da energia 
cinética turbulenta total, k, o que significa 
que não influencia directamente o seu 
valor. Apenas re-distribui o valor total da 
energia cinética turbulenta por cada uma 
das suas componentes 2u′ , 2v′ e 2w′ no 
sentido de uma maior isotropia. 
 
Grupo 5 – Efeitos viscosos: 
a) Difusão viscosa de 2
2
1 u′ ou de k. 
b) Dissipação viscosa ou destruição de 2
2
1 u′ 
ou de k em energia interna. 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-66
Modelos de turbulência 
 
 
O aparecimento das tensões turbulentas nas 
equações do campo médio torna o sistema 
indeterminado, isto é, o número de incógnitas é 
superior ao número de equações. 
 
Quanto derivamos equações de transporte para os 
termos adicionais, ainda aprecem mais correlações 
novas (triplas, correlações com a pressão, etc.). 
 
Condições de fecho do sistema de equações podem 
ser obtidas exprimindo, com base em informação 
empírica (MODELANDO), correlações de maior ordem 
como correlações de ordem inferior. 
 
Os modelos mais usados são comprimento de 
mistura, k-ε e tensões de Reynolds. 
 
Boussinesq: 
y
Uvu t ∂
∂=′′− µρ 
 
em que tµ é a viscosidade turbulenta. 
Prandtl: mtt lcρµ = 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-67
 
 
Em que ct é a escala de velocidades característica e 
lm a escala de comprimentos característica. 
 
y
Ulc mt ∂
∂= e 
y
Ulmt ∂
∂= 2ρµ 
 
 
Conjugando as hipóteses de viscosidade turbulenta e 
de comprimento de mistura, a tensão de Reynolds 
fica: 
 
y
U
y
Ulvu m ∂
∂
∂
∂=′′− 2ρρ 
 
 
Esta relação de fecho tem de ser suplementada com 
informação empírica sobre a variação de lm 
transversalmente à camada de corte. 
 
 
A hipótese de comprimento de mistura não é 
aplicável em escoamentos com transporte convectivo 
e difusivo importantes, uma vez que implica que a 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-68
produção e a dissipação de energia cinética 
turbulenta estejam em equilíbrio em cada ponto, 
nem em escoamentos complexos devido à 
dificuldade de prescrever os valores de lm . 
 
Prandtl e Kolmogorov introduziram, 
independentemente, uma melhor formulação para a 
velocidade característica e substituíram 
y
Ulm ∂
∂ por 
k na expressão da viscosidade turbulenta: 
 
Lkt
2/1ρµ ∝ 
 
 
Ao introduzirem uma equação de transporte para a 
energia cinética turbulenta ultrapassaram o problema 
do transporte da turbulência; mas para completar 
este “modelo de uma equação” é necessário 
especificar a escala de comprimentos, L, tal como no 
modelo de comprimento de mistura. 
 
 Uma maneira de solucionar esta dificuldade é 
resolver também uma equação para L , que em 
conjunto com a equação de k constitui um modelo 
de turbulência designado “de duas equações”. 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-69
 
Um exemplo deste procedimento é o modelo k-ε que 
usando o conceito de viscosidade turbulenta 
 
ij
i
j
j
i
tji kx
U
x
Uuu δρµρ
3
2−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂=′′− 
 
e a expressão de Kolmogorov-Prandtl 
 
Lkt
2/1ρµ ∝ , 
 
necessita de uma equação de transporte adicional 
para a dissipação da energia cinética turbulenta ε 
definida como 
 
L
k 2/3∝ε 
 
Substituindo esta expressão na anterior pode ser 
obtida uma nova relação para a viscosidade 
turbulenta, 
 
ερµ µ /2kCt = 
 
em que µC é uma constante empírica. 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-70
 
A forma modelada das equações de transporte parak e ε , em notação tensorial e coordenadas 
cartesianas, são as seguintes: 
 
 
ρερσ
µρ −∂
∂′′−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂
j
i
ji
jk
t
jj
j x
Uuu
x
k
xx
kU 
 
 
 
k
C
x
Uuu
k
C
xxx
U
j
i
ji
j
t
jj
j
2
21
ερρεεσ
µερ
ε
−∂
∂′′−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂ 
 
 
As constantes do modelo de turbulência standard 
(Jones e Launder, 1972), têm proporcionado uma 
boa concordância com os resultados experimentais 
para uma vasta gama de escoamentos turbulentos 
são: 
 
Cµ C1 C2 σk σε 
0.09 1.44 1.92 1.0 .13 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-71
Outra aproximação consiste em resolver o sistema 
das equações de transporte para todas as 
componentes do tensor de Reynolds (6), com a 
equação da dissipação da energia cinética 
turbulenta. Neste caso informação adicional para as 
correlações de ordem superior tem também de ser 
modelada. 
 
Note-se que as tensões de Reynolds não têm 
existência física. Os elevados valores de mistura e de 
dissipação em escoamentos turbulentos são, na 
realidade, produzidos por actuação de efeitos 
viscosos de nível molecular associados aos grandes 
gradientes do campo de velocidades instantâneo. 
 
Estas influências aparecem nas equações do campo 
médio como originadas por tensões de nível 
turbulento devido, exclusivamente, ao tipo de análise 
utilizado: decomposição de um campo instantâneo 
em campo médio e turbulento (flutuante) e aplicação 
do operador média no tempo. 
 
A necessidade de modelar campos turbulentos a fim 
de fechar o sistema de equações que os regem e a 
conveniência de suplementar as equações 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-72
diferenciais com leis de variação que permitam 
aligeirar a carga de cálculo numérico (aumentar a 
dimensão da malha), justificam na premência em 
compreender a física do fenómeno. 
 
Dado que o comportamento global de escoamentos 
turbulentos é controlado pelos turbilhões de grandes 
dimensões, cujas características são altamente 
dependentes das condições de fronteira, os modelos 
genéricos são impraticáveis. 
 
 
 
Perante as dificuldades dos modelos de turbulência 
estão a emergir 2 novas técnicas. 
 
Uma é a simulação numérica directa (DNS) que 
resolve numericamente as equações exactas de 
Navier-Stokes. O aparecimento de máquinas de 
processamento paralelo massivo tem permitido 
alguns resultados para casos simples e números de 
Reynolds relativamente baixos, mas a sua aplicação 
a geometrias mais complexas aguarda o aumento 
substancial das capacidades computacionais actuais. 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-73
Outra abordagem consiste na simulação “directa” 
dos grandes turbilhões (LES), capazes de serem 
resolvidos pela malha e numa modelação dos 
pequenos turbilhões. Continua-se a trabalhar em 
termos de valores médios, mas em vez de ser 
médias no tempo, agora são médias ao longo de 
pequenas regiões do espaço. Esta técnica já é 
possível ser praticada com os supercomputadores 
actuais. 
 
Apesar da apetência para abordagens DNS e LES 
convém não esquecer que os resultados que se 
obtêm têm uma aplicação muito limitada em 
problemas de engenharia e, por isso, têm sido 
usados sobretudo para validar modelos ou ajudar a 
compreensão dos fenómenos. 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-74
Camada da parede 
 
Grandes turbilhões de dimensões pequenas com uma 
escala global de comprimentos característica da 
camada de corte só poderão ocorrer em regiões 
próximas de uma superfície sólida, em que a 
dimensão máxima está forçosamente condicionada 
pela distância à parede. Pelo facto de só ocorrer na 
proximidade de uma parede a região de condições 
de equilíbrio local chama-se camada da parede. 
 
Sendo o transporte sempre desprezável entre esta 
região e regiões circunvizinhas, a camada da parede 
apresentará as mesmas características em qualquer 
escoamento que se processe na presença de uma 
superfície sólida. 
 
 
Escolhamos, por simplicidade analítica, um 
escoamento completamente desenvolvido tipo 
Couette, em que os termos convectivos se anulam e 
a equação do movimento se reduz a: 
 
dx
dp
dy
d =τ 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-75
vu
dy
Ud
total ′′−== ρµττ 
 
A integração desta equação dá 
 
 
y
dx
dp
wtotal ⋅+=ττ 
 
 
Para valores de 
dx
dp não elevados wtotal ττ = razão 
pela qual esta região se chama camada de tensão de 
corte constante. 
 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-76
 
Na vizinhança imediata da parede a dimensão 
máxima possível dos grandes turbilhões será de tal 
modo pequena que a contribuição turbulenta para a 
tensão de corte é desprezável.. Então, 
 
 
dy
Ud
wtotal µττ ≈≈ 
 
 
νρ
τ
µ
τ yyU ww ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛== 
 
 
ρ
τ w é a velocidade característica local, 
2
f
e
w CUu == ρ
τ
τ , chamada velocidade de fricção. 
 
Adimensionalizando U por τu vem, 
 
ν
τ
τ
yu
u
U = 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-77
 
Esta expressão é a lei de variação do campo de 
velocidades médias. É válida até valores de números 
de Reynolds locais, ντ yu , cerca de 5, isto é na 
região em contacto com a parede e designa-se sub-
camada linear. 
 
Aumentando a distância à parede, a influência 
relativa das contribuições viscosa e turbulenta para 
.tetotal c=τ irá variando de tal maneira que a números 
de Reynolds ντ yu elevados, será de prever que o 
efeito viscoso deixe de ser significativo. 
 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-78
Verifica-se experimentalmente que para 
5030−>ντ yu as tensões de corte são praticamente 
só de origem turbulenta. 
 
 
Nesta região obtém-se a seguinte relação entre 
grandezas adimensionais, 
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ν
τ
τ
yuf
u
U 
 
 
O gradiente transversal de velocidades virá assim, 
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= νν
ττ
τ
yufuu
dy
Ud ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= νν
ττ yugu 
 
 
Verifica-se experimentalmente que na região 
considerada é 
K
cyug te 1=≈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
ν
τ . Substituindo na 
expressão anterior obtém-se, 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-79
Ky
u
dy
Ud τ= 
 
Integrando vem, 
 
 
Cyu
Ku
U += ν
τ
τ
ln1 
 
em que 41.0≈K (constante de von Kármán) e 
2.5=C . 
 
Esta distribuição semi-logarítmica é conhecida por lei 
da parede ou lei logarítmica. 
 
 
A lei logarítmica constitui uma poderosa ferramenta 
para trabalhar escoamentos de camada limite 
turbulenta, apesar de só abranger os 15% inferiores 
de δ . No entanto, a 15.0=δy a velocidade 
apresenta já valores de cerca de eU7.0 , pelo que, na 
determinação do perfil de velocidades, a lei da 
parede já resolve a maior parte do poblema. 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-80
 
 
τu
UU =+ e ν
τ yuy =+ 
 
 
 
Ao desvio do perfil, registado na camada limite 
exterior em relação à variação semi-logarítmica, dá-
se o nome de componente de esteira. 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-81
Este desvio pode ser aproximado por uma 
distribuição co-seno do tipo, 
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
′−≈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=∆ +++ δπ
π y
K
Cy
K
UU cos1ln1 
 
Em que δδ =′ é o valor de y para o qual a 
componente de esteira é máxima. 
 
Camada limite atmosférica 
 
É uma camada limite turbulenta que se desenvolve 
sobre a superfície da Terra, com uma espessura de 
derca de 1 quilómetro e cujas rugosidades são 
provocadas por casas, árvores, etc. 
 
Gradientes de pressão e ventos associados em 
altitude são produzidos por aquecimento diferencial 
devido à radiação solar.Nestas condições o escoamento resulta de um 
equilíbrio entre gradiente de pressão, força de 
coriolis e força centrípeta associada à curva das 
trajectórias e processa-se na direcção das isobáricas. 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-82
Camadas de corte livres 
 
As camadas de corte livres são os escoamentos que 
se desenvolvem longe de superfícies sólidas. 
 
 
 
 
 
 
Este tipo de escoamentos ocorre frequentemente em 
problemas de engenharia e podem ser analisados 
tendo em conta que a difusão turbulenta é muito 
maior do que a difusão molecular (o que não 
acontece próximo de paredes). 
 
Outra das características comuns aos escoamentos 
livres é que possuem uma fronteira livre onde ocorre 
um processo de “arrastamento de fluido em 
repouso”. 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-83
Este processo é independente da viscosidade e é 
controlado elos grandes turbilhões cuja estrutura 
condiciona a taxa de arrastamento. 
 
 
 
Está associado a outro chamado intermitência e que 
se observa quando se mede a velocidade num ponto 
próximo da superfície exterior e se observa que o 
escoamento ora é laminar ora é turbulento. 
 
 
 
Na realidade o que se passa é que o ponto ora está 
no interior da camada de corte ora está no exterior. 
 
 
 
Para este tipo de escoamentos é possível obter 
equações muito simplificadas a partir das equações 
de Reynolds. São feitas considerações em termos de 
ordens de grandeza que permitem eliminar alguns 
termos. 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-84
 
Por exemplo no caso de um jacto temos 
 
VU >> 
yx ∂
∂<<∂
∂ L<<δ 
 
e a forma aproximada da equação de conservação 
de quantidade de movimento na direcção axial fica 
 
 
( )vu
yy
UV
x
UU ′′∂
∂−=∂
∂+∂
∂ 
 
Outra forma de estudar estes escoamentos de uma 
forma simplificada é investigar a existência de 
condições de semelhança. 
 
Nestas condições as equações são facilmente 
integráveis e conseguem-se obter variações para as 
escalas de velocidade ou de comprimento. 
 
Por exemplo num jacto plano turbulento a velocidade 
na linha central US é proporcional a 
2/1−x e, por sua vez, x∝δ . 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-85
0 1 2 3
r / r1/2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
U
/U
m
Expts. X=150mm
Expts. X=250mm
X=150mm, present work
X=250mm, present work
Goertler
Tollmien
 
0 10 20 30
X/D
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
R
1/
2
/D
 
0 10 20 30
X/D
0
1
2
3
4
5
6
U
0,
c
/U
m
 
Barata, J.M.M. e Perestrelo, N.F.F., “Numerical Simulation of Injection Systems for 
Lean Burn, Premixed, Prevaporised Combustors”. XIV ISABE, International 
Symposium on Airbreathing Engines, Florença, Itália, 5-10 Setembro, 1999.
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-86
Balanço dos termos da equação de k 
 
 
Jacto livre 
 
 
 
Aerodinâmica II 
Jorge M M Barata 
 
 4-87
Escoamento complexo 
 
Ο, Advection: U k X V k Y∂ ∂ ∂ ∂/ /+ ; �, Production by normal stresses: 
u U X v V Y' / ' /2 2∂ ∂ ∂ ∂+ ; Production by shear stresses: u v U Y V X' '( / / )∂ ∂ ∂ ∂+ ; 
______, Imbalance (diffusion plus dissipation). 
 
Barata, J.M.M., "Jets in Ground Effect With a Crossflow”. AIAA Journal, Vol.36, No.9, 
Set. 1998, pp.1737-1740. 
1
Aerodinâmica II
Fluido Viscoso e não só …
Capítulo 4
Asas Finitas
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Perfil Alar vs. Asa Finita 
Perfil alar
– Escoamento potencial e incompressível
– Troço de largura unitária de uma asa de
geometria constante
sem flecha
envergadura infinita
Asa Finita
– raíz e bordos marginais
– alterações tridimensionais induzidas no escoamento
2
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Asas finitas
Aerodinâmica II
Jorge M M Barata
Sistema de Vórtices Arrastados
Não existem em 2D
A sustentação em 2D pode ser modelada por um vórtice 
ligado ao perfil
– um vórtice não pode terminar no seio do fluido: consequência do 
2º teorema de Helmohltz (a intensidade de um tubo de vórtices 
mantém-se constante no espaço)
– a vorticidade é convectada com o fluido ou fluxo de vorticidade
constante ao longo do tempo (Teorema de Kevin)
– logo, numa asa o vórtice ligado associado à sustentação não 
pode terminar nos bordos marginais
Induzem um campo de velocidades que altera o 
comportamento do corpo de sustentação finito 
relativamente ao infinito (perfil alar)