TRABALHO LABORATÓRIO - (ONDAS ESTACIONÁRIAS)

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UNIP – UNIVERSIDADE PAULISTA
ICET - Instituto de Ciências Exatas e TecnologiaSÃO JOSÉ DO rIO PRETO
ondas estacionárias
cordas vibrantes
DICENTES:
JULIO CESAR GOMES DA SILVA - RA: B650DI-0
LEANDRO EUGENIO SEGATO RA: B4964D-3
JOÃO KAIQUE TOMAZ DOS SANTOS – RA: B44GAF-4
JORGE H. RODRIGUES – RA: B67423-7
LOIARA QUEIROZ – RA: B589CI-4
DOCENTE:
PROF. ELIO IDALGO
BANCADA:
Nº - 04
TURMA:
EM4PQ28
PERIDO:
NOITE
SÃO JOSÉ DO RIO PRETO
2014
SUMÁRIO
1.	INTRODUÇÃO	2
1.1. Ondas Estacionárias	4
1.2. Cordas Vibrantes	7
2. PROCEDIMENTO	19
2.1. Coleta de dados 	19
2.2. Gráfico	19
4.	 CONCLUSÃO	20
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................21
INTRODUÇÃO
Ondas Estacionárias
Ondas estacionárias são ondas que possuem um padrão de vibração estacionário. Formam-se a partir de uma superposição de duas ondas idênticas mas em sentidos opostos, normalmente quando as ondas estão confinadas no espaço como ondas sonoras em um tubo fechado e ondas de uma corda com as extremidades fixas. Esse tipo de onda é caracterizado por pontos fixos de valor zero, chamados de nodos, e pontos de máximo também fixos, chamados de antinodos. São ondas resultantes da superposição de duas ondas de mesma frequência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção e sentidos opostos.
Ondas Opostas
Uma onda estacionária em uma linha de transmissão é uma onda na qual a distribuição de corrente elétrica, tensão elétrica, ou campo elétrico é formado pela superposição de duas ondas de mesma frequência se propagando na direção oposta. O efeito é uma série de nodos (deslocamento zero) e antinodos (deslocamento máximo) em pontos fixos ao longo da linha de transmissão. Esta onda estacionária pode ser formada quando uma onda é transmitida a partir de uma extremidade da linha de transmissão e é refletida na outra extremidade por um casamento de impedâncias, ex., descontinuidade, como um circuito aberto ou um curto-circuito.
Na prática, perdas na linha de transmissão e outros componentes significa uma reflexão perfeita e uma onda estacionária pura nunca é gerada. O resultado é uma onda estacionária parcial, que é uma superposição de uma onda estacionária e uma outra onda. A forma de onda resultante é medida pela relação de ondas estacionárias.
Descrição Matemática
Quando há um movimento oscilatório harmônico simples, como por exemplo em uma corda, o deslocamento de cada ponto da onda pode ser descrito pela equação:
Sendo:
An (x) a amplitude, que depende da posição x do elemento,
ω a frequência angular (medida em radianos por segundo),
δn a constante de fase,
t é a variável tempo.
A função An (x) é a forma da onda quando a vibração tem seu deslocamento máximo e em seu n-ésimo modo pode ser definida por:
Onde:
kn é o número de onda (definido por 2π/λn)
Utilizando ambas as equações podemos definir a função da onda em seu n-ésimo harmônico por:
Presumindo que ambas as condições necessárias para que ocorra o movimento da onda estacionária sejam satisfeitas. São elas:
Cada ponto da onda oscila em movimento harmônico simples ou permanece em repouso (nodo).
O movimento de dois pontos da onda que não sejam nodos oscilam defasados em 180º ou em fase.
Ondas Estacionárias em Corda
Os três primeiros harmônicos de uma corda com ambas as extremidades fixas.
Em certas frequências de oscilação cordas com uma ou ambas as extremidades fixas podem gerar ondas estacionárias.[1]
Corda com Ambas as Extremidades Fixas
Se excitada uma corda fixa em ambas as extremidades com um movimento harmônico simples de amplitude pequena, são produzidos padrões de ondas estacionárias para certas frequências de excitação. As frequências que geram este comportamento são chamadas de frequência de ressonância. A menor frequência de ressonância é chamada de frequência fundamental (vamos chama-la de f1) e produz um padrão de onda estacionária chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico. Cada frequência de ressonância juntamente com a respectiva função de onda corresponde a um modo de vibração. Como a corda está fixa em ambas as extremidades, nestes locais é formado um nodo. Nota-se assim que no primeiro harmônico haverá somente um antinodo, no segundo haverá dois antinodos e assim por diante. A partir destas observações e considerando λ o comprimento de onda, temos que:
A distância entre dois nodos consecutivos, que é a mesma de dois antinodos, vale .
A distância entre um nó e um ventre consecutivo vale .
Sendo L o comprimento da corda, ele pode ser expresso por:
Onde n representa o n-ésima harmônica.[]
Corda com Uma das Extremidades Fixa e a Outra Livre
Quando uma das extremidades se encontra fixa e a outra, por exemplo, se encontra ligada a um anel (de massa desprezível) livre para deslizar na vertical, sem atrito. Como o movimento da corda é livre na vertical, diz-se que aquela é uma extremidade livre. Como a massa do anel é desprezível, a força vertical gerada pela corda geraria uma aceleração infinita ao anel. Se a forma da corda junto ao anel permanecer horizontal a aceleração se manterá finita. Assim, na extremidade livre da corda haverá um antinodo. Deve-se notar, portanto, que diferentemente da corda fixa em ambas extremidades, a cada harmônica há um número ímpar de antinodos. Como a corda representa a distância entre um nodo (a extremidade fixa) e um antinodo (a extremidade livre), o comprimento da corda é dado por:
Onde n representa o n-ésima harmônica, não havendo os harmônicos pares nesse sistema.
Ondas Sonoras Estacionárias
Tubos Sonoros
Flauta que representa Tubo Sonoro Aberto. Para obter diferentes frequências (notas musicais), o músico muda a posição dos dedos, determinando o local em que o tubo ficará aberto, ou varia o tamanho do tubo.
Os tubos sonoros contém uma coluna de ar que pode executar uma vibração estacionária.Se as duas extremidades do tubo são desobstruídas, ele é denominado tubo aberto; chamamos de tubo fechado o tubo que tem a extremidade tapada. Como são ondas longitudinais, a construção da vibração estacionária no tubo deve obedecer às seguintes condições de contorno:
♦ as extremidades abertas são locais onde a vibração é livre, correspondendo, portanto, a ventres;
♦ as extremidades fechadas são locais onde não há vibração longitudinal; são, portanto, nós.[]
Iremos considerar um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada. Como uma onda sonora pode ser considerada uma onda de pressão ou uma onda de deslocamento e as oscilações de pressão e deslocamento são defasadas em 90º, em uma onda sonora estacionária onde há um nodo de pressão há um antinodo de deslocamento e vice-versa. Se a circunferência do tubo for muito menor que o comprimento da onda, podemos dizer que a onda sonora no tubo é unidimensional e há um nodo de pressão na extremidade aberta do tubo. Há, portanto, um antinodo na extremidade fechada do tubo. Assim as oscilações em um tubo com uma extremidade aberta e a outro fechada se assemelha com uma corda com uma extremidade fixa e a outra livre. Seguindo a mesma interpretação, em um tubo com ambas as extremidades abertas, há um nodo de pressão em cada extremidade. Estas configurações fazem com que as ondas estacionárias em um tubo de ambas as extremidades abertas se assemelhe as de uma corda com ambas as extremidades fixas.[]
Em uma coluna de ar que esteja aberta em ambas as extremidades, no modo fundamental, o comprimento de onda é o dobro do comprimento da coluna de ar e , portanto, a frequência f1 fundamental é . De maneira similar, as frequências dos harmônicos superiores são 2f1, 3f1,... .Os harmônicos superiores são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Como estão presentes todos os harmônicos, podemos expressar as frequências naturais de vibração como:
Onde n representa o n-ésima harmônica, v é a velocidade do som no ar,L comprimento do tubo.
Se uma colunade ar é fechada em uma extremidade e aberta na outra, a extremidade fechada é um nó de deslocamento. Neste caso, o comprimento de onda para o modo fundamental é quatro vezes o comprimento da coluna. Portanto, a frequência fundamental f1 é igual a e as frequências dos harmônicos superiores são iguais a 3f1, 5f1,.... Isto é, em uma coluna de ar que é fechada em uma extremidade, apenas os harmônicos ímpares estão presentes e estes são:
As ondas estacionárias em colunas de ar são as fontes primárias dos sons produzidos por instrumentos de sopro. Em um instrumento de sopro de madeira, uma chave é pressionada abrindo um furo no lado da coluna. O furo define a extremidade da coluna vibrante de ar(pois age como uma extremidade aberta- a pressão pode ser liberada), de modo que a coluna de seja de fato encurtada e a frequência fundamental de eleve. Em um instrumento de metal, o comprimento da coluna de ar é mudado por uma seção ajustável, como em um trombone de vara, ou adicionando-se segmentos ao tubo, como é feito em um trompete quando uma válvula é pressionada.
Cordas Vibrantes
Cordas vibrantes – fios flexíveis e tracionados (tensionados) em seus extremos, utilizados em instrumentos musicais como, violão, guitarra, violino, cavaquinho, banjo, etc.
                                                                         
Harmônicos – são as várias possíveis freqüências naturais das ondas estacionárias que surgem em cordas tensas (sob ação de forças tensoras de intensidade T), com massa m e comprimento L.
m  -  massa da corda (kg)              L  -  comprimento da corda (m)            T  -  força que traciona (tensiona) a corda (N)
m  -  densidade linear de massa da corda (kg/m)  -  mede a massa da corda por unidade de comprimento.
A velocidade de propagação da onda na corda é conhecida como equação de Taylor e sua expressão matemática é:
 
Modos de vibração (harmônicos)
Considere uma corda de comprimento L fixa em seus extremos. Produzindo-se uma perturbação em qualquer ponto entre os extremos fixos, esta perturbação propaga-se até cada uma das extremidades, refletem-se e retornam em sentido contrário, formando ondas estacionárias com nós (pontos que não vibram) e ventres (distância entre dois nós, que chamamos de fuso, onde todos os pontos estão em movimento vibratório).
As figuras abaixo mostram os diversos modos de vibração numa mesma corda (mesmo meio, mesma velocidade)
1o harmônico ou freqüência (som) fundamental  ---  (dois nós e um fuso)
l1/2=L  ---  l1=2L  ---  V=l1f1  ---  f1=V/l1  ---  f1=V/2L
 
2o harmônico  ---  (três nós e dois fusos)
2l2/2=L  ---  l2=L  ---  V=l2f2  ---  f2=V/l2  ---  f2=2V/2L
3o harmônico --- (quatro nós e três fusos)
 
3l3/2=L  ---  l3=2L/3  ---  V=l3f3  ---  f3=V/l3  ---  f3=3V/2L
 
Enésimo harmônico  ---  (“n + 1” nós e n fusos)
nln/2=L  ---  ln=2L/n  ---  V=lnfn  ---  fn=V/ln  ---  fn=nV/2L
Lembrando que f1=V/2L  ---  fn=nf1
Generalizando:
 
Da equação de Taylor, para o enésimo harmônico, teremos:
V=ÖT/m, que, substituída em fn=nV/2L, nos fornece  ---   
Observe na expressão acima que temos três variáveis, comprimento da corda L, densidade linear (corda mais grossa ou mais fina) m e força de tração T.
As cordas são dedilhadas com o polegar, indicador, médio e anular da mão direita e, para variar o comprimento da corda L, o músico coloca os dedos da mão esquerda fazendo pressão no espaço entre os trastes, produzindo assim as diversas notas musicais.
Para variar a densidade linear m, o músico muda de uma corda para a outra e, para afinar o instrumento ele varia a força de tração girando as cravelhas ou tarraxas ( roscas para essa finalidade).
Variando dessa maneira essas três grandezas o músico obtém as várias notas musicais (harmônios, freqüências).
 
O que você deve saber
 
1o harmônico ou freqüência (som) fundamental  ---  (dois nós e um fuso)
l1/2=L  ---  l1=2L  ---  V=l1f1  ---  f1=V/l1  ---  f1=V/2L
 
2o harmônico  ---  (três nós e dois fusos)
2l2/2=L  ---  l2=L  ---  V=l2f2  ---  f2=V/l2  ---  f2=2V/2L
3o harmônico  ---  ( quatro nós e três fusos)
 
3l3/2=L  ---  l3=2L/3  ---  V=l3f3  ---  f3=V/l3  ---  f3=3V/2L
 
Enésimo harmônico  ---  (“n + 1” nós e n fusos)
nln/2=L  ---  ln=2L/n  ---  V=lnfn  ---  fn=V/ln  ---  fn=nV/2L
Lembrando que f1=V/2L  ---  fn=nf1
Generalizando:
 
Procedimento
Foram coletados em laboratórios os seguintes dados para realização dos cálculos e o gráfico.
Foram utilizados os seguintes materiais:
1-Gerador de Áudio
2-Balança
3-Fonte
4-Trena
5- Pesos (M1, M2, M3)
2.1. Coleta de dados
Encontrar o coeficiente de atrito da corda utilizada no gerador de áudio:
 
Encontrar a força de tração para todas as massas:
M1= 57,759 g 0,058 kg F = 0,57 N
M2= 108,320 g 0,108 kg F = 0,108 N
M3= 158,827 g 0,159 kg F = 11,58 N
G=10m/s²
T1=0,57N
T2=0,108N
T3=11,58N
Tabela de frequência experimental utilizando o gerador de áudio para M1:
TABELA – 1A
	FREQUÊNCIA (Hz)
	Nº FUSOS (QUANT.)
	10,5
	1
	12
	2
	30
	3
	34
	4
	75
	5
	PARA SISTEMA DE MASSA (M = 0,058 kg)
Tabela de frequência teórica utilizando o cálculo através da formula:
TABELA – 1B
	n 
	l (m)
	F (N)
	µ(kg/m)
	FREQUENCIA (Hz)
	1
	1,2
	0,577
	3.6x10³
	16,68
	2
	1,2
	0,577
	3.6x10³
	33,36
	3
	1,2
	0,577
	3.6x10³
	50,04
	4
	1,2
	0,577
	3.6x10³
	66,72
	5
	1,2
	0,577
	3.6x10³
	83,40
	PARA SISTEMA DE MASSA (M1 = 0,058 kg)
Tabela de frequência experimental utilizando o gerador de áudio para dois fusos e alterando sua massa em M2 e M3:
	FREQUÊNCIA (Hz)
	Nº FUSOS (QUANT.)
	14,43
	2
	PARA SISTEMA DE MASSA (M2 = 108,32 kg)
	FREQUÊNCIA (Hz)
	Nº FUSOS (QUANT.)
	55,34
	2
	PARA SISTEMA DE MASSA (M3 = 158,87 kg)
Este valor de frequência foi obtido através da formula apenas substituindo seus valores pelos dados que tínhamos em laboratório apenas alterando o valor das massas e assim obtendo a força (N) para calcular e ver a variação entres as duas frequências.
M2= 108,320 g 0,108 kg F = 0,108 N
M3= 158,827 g 0,159 kg F = 11,58 N
2.2. Gráfico 
 TABELA – 1A
TABELA – 1B
COMPARAÇÃO TABELA – 1A E TABELA – 1B.
Analisado os gráficos dos dados experimentais com os dados calculados podemos ver que as medidas coletadas em laboratório não são precisas já as que foram calculadas com auxílio da formula apresentam menos variações e tem menos erros.
Gráfico de variação de frequência apenas alterando o valor das massas.
CONCLUSÃO
No experimento quando o vibrador e a corda estão em ressonância firmam-se ondas estacionárias, e nesse momento a amplitude é máxima. Ao aumentarmos o número de fusos essa amplitude sofre um decaimento.
Podemos ver através dos gráficos, que a frequência de ressonância é diretamente proporcional ao número de fusos. Percebemos também, que a fórmula é válida, é assim podemos ter os resultados mais precisos do que os coletados em laboratório.
Os erros nos cálculos das frequências embora não sejam pequenos, estão dentro dos padrões aceitáveis para esta experiência.
Confirmamos experimentalmente que durante a frequência de ressonância os nós permanecem parados assim podendo ser visto para realização desses relatório.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
http://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_estacion%C3%A1ria
http://fisicaevestibular.com.br/acustica3.htm