Simulação de Processos - Transformada de Laplace

Prévia do material em texto

Simulação de Processos químicos 
Transformada de Laplace
Curso de Graduação em Engenharia Química
Introdução
Grande parte da teoria de controle clássico está baseada em sistemas lineares
Existe solução analítica
É necessário, portanto, resolver equações diferenciais ordinárias lineares no estudo de controle
A transformada de Laplace é uma técnica que simplifica esta resolução
Transforma equações diferenciais em equações algébricas
A transformada é uma ferramenta útil, porém não essencial
Equações diferenciais lineares podem ser resolvidas diretamente
A TRANSFORMADA DE LAPLACE
A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática bastante útil para a solução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Nas aplicações em Controle, entre outras vantagens, também facilita o entendimento da resposta no tempo de sistemas dinâmicos.
Sistema Dinâmico:
Um sistema cuja saída não depende apenas do valor atual da entrada, mas também de valores passados da entrada ou da própria saída.
Exemplo: nível de um tanque, o sistema massa-mola-amortecedor, ...
OBS: quando são “tabelas” de entrada/saída, não são dinâmicos e são chamados de sistemas estáticos
A representação matemática de um sistema dinâmico se dá na forma de equações diferenciais (sistemas contínuos) ou equações a-diferença (sistemas amostrados)
Exemplos:
Sistema Dinâmico
F
x
x(t) depende das constantes m, k
A Transformada de Laplace nos ajudará a analisar como será a resposta no tempo (solução da equação diferencial)
Equação diferencial :
Definição da Transformada de Laplace
A Transformada de Laplace de uma função f(t) é chamada de F(s). 
Ao aplicar a Transformada de Laplace, diz-se que a função foi transformada do domínio do tempo para o domínio S ou para o domínio da frequência.
A representação matemática da Transformada de Laplace é dada por:
L 
Onde:
F(s) é a Transformada de Laplace de f(t) 
“s” é a variável associada a Transformada de Laplace (1/t)
O procedimento inverso é denotado por:
e chamado de Transformada Inversa de Laplace
L 
Esquema de aplicação da Transformada de Laplace
A(s)
F(s)
A’(s)
F’(s)
f(t)
EDO
df(t)/dt
Integração
L
L-1
Solução Algébrica
Propriedade da Transformada de Laplace
a) A Transformada de Laplace é uma operação linear, ou seja:
para a1 e a2 parâmetros constantes,
L 
L 
L 
b) Teorema da diferenciação
L 
L 
L 
Na grande maioria dos casos, consideraremos condições iniciais nulas, logo, a ordem da derivada associa a ordem da variável “s”
c) Teorema da integração
L 
d) Teorema da translação (no tempo)
L 
f) Teorema do valor final
g) Teorema do valor inicial
e) Teorema da translação na frequencia
L 
Tabela de Transformadas de Laplace
Fonte: Wu Hong Kwong, Introdução ao controle de processos químicos
OBS: praticamente todos os livros de controle trazem uma tabela de transformadas, algumas mais, outras menos completas, tal qual eram encontradas as tabelas de integrais.
Exemplo 1
Obtenha a Laplace da seguinte função:
Aplicando a propriedade da linearidade
=
L [u(t)] = 1/s 
L 
Inversão de Transformadas
Formalmente, o problema é, dado X(s), achar x(t):
O método mais comum é o chamado método de expansão por frações parciais. Ele consiste basicamente em re-arrumar F(s)
de tal modo que Fi(s) sejam funções simples, cujas inversas possam ser facilmente encontradas (p.e.: em tabelas). Como a transformada é linear:
Inversão de Transformadas
Um modelo linear genérico é da forma:
Portanto, as funções F(s) são, em geral, quocientes de polinômios:
Inversão de Transformadas
O denominador de F(s) pode ser fatorado:
onde pi são as raízes e mi as suas respectivas multiplicidades e expandido como:
Os coeficientes acima podem ser obtidos por comparação direta com a equação anterior (na realidade, existem técnicas mais eficientes)
Inversão de Transformadas
A partir da eq. anterior, a f(t) é prontamente obtida:
Em geral, as raízes são complexas:
Inversão de Transformadas
Utilizando a identidade de Euler
e os fatos de que as raízes complexas vêm aos pares e seus coeficientes também são complexos conjugados, resulta em:
	que é a forma geral das respostas
Importância de Propriedades da Transformada
Teorema do valor final
É possível obter o valor estacionário final mesmo sem inverter a transformada
Translação da função
Se houver tempo morto, inverta como se não houvesse, e depois faça uma translação no resultado obtido, substituindo t por (t-t0)
Propriedades da F.T.
Realizabilidade
A ordem do denominador deve ser igual ou superior à ordem do numerador
Necessidade física
Pólos e Zeros
Pólos são as raízes do denominador
Zeros são as raízes do numerador
Ganho Estacionário
Considere condições iniciais nulas e encontre a Transformada de Laplace da equação diferencial
Solução:
L 
L 
L 
L 
Sistema Dinâmico
x(t)
y(t)
Função de transferência: relaciona a saída com a entrada do sistema dinâmico
Fç de transferência
X(s)
Y(s)
Exemplo 2
2. Considere u(t) como um degrau unitário e obtenha a Transformada de Laplace da função
Solução:
Faça c(t) = f(t - 3) , assim 
Aplicando a transformada
Para ser didático: 
L 
L 
L 
Consultando a tabela de transformadas (2 e 5)
Usando o teorema da translação no tempo
L 
Exemplo 3
3. Dado um sistema representado por uma função de transferência 
Solução:
G(s)
 X(s)
Y(s)
Considerando condições iniciais nulas, encontre a equação diferencial que representa este sistema
Uma expressão menos formal:
Exemplo 4
4. Da questão 3, considerando uma entrada do tipo degrau unitário, encontre a resposta no tempo (solução da equação diferencial)
Solução:
Usando o método de frações parciais (Corrípio 3ª Ed. pg 18 a 21) 
Aplicando a tabela de transformadas:
ou
Exemplo 5
Exemplo de como conferir as contas no MATLAB/SIMULINK
Solução Matlab:
t=0:0.1:10;
y=-1/2*exp(-t)+1/6*exp(-3*t)+1/3;
plot(t,y,'r:')
grid on
Solução Matlab:
hold on
plot(tout,ys)