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25/02/2013 1 Disciplina: Fundamentos de Física Prof. Dr. Fábio de Camargo Sistema Internacional de Medidas São Paulo 2013 Plano de Ensino Unidade Conteúdo Programático Concluído 1 Sistema Internacional de Unidades 2 Medidas Físicas 3 Forças e Equilíbrio Estático 4 Leis de Newton do Movimento 5 Trabalho, Energia e Potência 6 Impulso 7 Quantidade de Movimento 8 Colisões Introdução O homem sempre manifestou curiosidade. Essa procura de uma ordem geral culminou: Religião Artes Ciência verbo latino “conhecer” A ciência é o conhecimento organizado de maneira racional e lógica. Ciência se divide em: Humanas, Biológicas e Exatas 25/02/2013 2 Física Ciência do exótico Combinando observações do grande telescópio ESO e do telescópio Chandra de raios-X da NASA, astrônomos descobriram o mais potente par de jatos de um buraco negro estelar. Ciência do trivial Ciência Coisas que não podem ser medidas ∉ Ciência “Uma exigência da ciência é não apenas a capacidade de definir, mas também de medir” Paul A. Tipler Medida Comparação com um padrão Unidade padrão (u.p.) ∴ = 3 𝑢. 𝑝. Características desejáveis de um padrão: Imutável hoje = futuro; Acessível qualquer lab. possa reproduzi-lo; Preciso atender qualquer grau de precisão; Universal resultados em diferentes países → iguais. 25/02/2013 3 Sistema Internacional de Unidades Para exprimir as grandezas físicas basta um número reduzido de grandezas de base. A maioria dos países adotam o SI Exceções países de língua inglesa. Sistema MKS Comprimento (metro) Definido, inicialmente, por dois traços paralelos numa liga metálica de platina-irídio depositada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres na França. 30 protótipos 1 escolhida Padrão internacional de metro (1889 -1960) Fabricados BIPM Incerteza (20 25oC) ± 0,1 ↔ 0,2 𝜇𝑚 1 m Metro padrão antes de 1889 Paris Comprimento Definição: O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo. 𝑣 = 𝑑 𝑡 ⇒ 𝑑 = 𝑣 ∙ 𝑡 Detector 𝑑 𝑣 = 𝑐 ∴ 𝑣 = 𝑐 = 299.792.458𝑚 𝑠 Velocidade da luz Com este padrão qualquer laboratório pode reproduzi-lo. 𝑐 ≅ 300.000𝑘𝑚 𝑠 25/02/2013 4 Massa (kilograma) Definição: o kilograma é a unidade de massa; ele é igual à massa do protótipo internacional do kilograma. O protótipo internacional do kilograma, um artefato feito especialmente de liga metálica de platina-irídio, é conservado no BIPM em Sèvres na França. Liga metálica de platina-irídio Condições controladas: T, P e H Massa A massa do protótipo internacional é sempre igual a 1 kilograma exatamente, m () = 1 kg. Entretanto, em virtude do acúmulo inevitável de contaminantes nas superfícies, o protótipo internacional sofre uma contaminação reversível da superfície de, aproximadamente, 1 µg em massa, por ano. Por isso, o CIPM declarou que, até futuras pesquisas, a massa de referência do protótipo internacional é aquela que se segue imediatamente à lavagem e limpeza segundo um método específico. A massa de referência é, então, definida e utilizada para calibrar os padrões nacionais de platina e irídio. Tempo (segundo) A unidade de tempo, o segundo, foi originalmente definida como a fração 1/86.400 do dia solar médio. A definição exata do “dia solar médio” foi deixada aos cuidados dos astrônomos. Porém, medições mostraram que as irregularidades na rotação da Terra tornaram esta definição insatisfatória. Para conferir maior exatidão à definição da unidade de tempo, a 11ª CGPM (1960) adotou uma definição fornecida pela União Astronômica Internacional com base no ano tropical 1900. No entanto, a pesquisa experimental já tinha demonstrado que um padrão atômico de intervalo de tempo, baseado numa transição entre dois níveis de energia de um átomo, ou de uma molécula, poderia ser realizado e reproduzido com exatidão muito superior. 25/02/2013 5 Transição Atômica Tempo Definição: O segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133. Conclui-se que a frequência de transição hiperfina do estado fundamental do átomo de césio 133 é exatamente igual a 9.192.631.770 hertz. (hfs Cs) = 9.192.631.770 Hz, ou seja, 9,2 GHz Relógio Atômico 25/02/2013 6 Comparação entre relógios Corrente Elétrica (ampere) Definição: O ampere é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, se mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível, e situados à distância de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre estes condutores uma força igual a 2 x 10-7 newton por metro de comprimento. Disto resulta que a constante magnética µ0, também conhecida como a permeabilidade do vácuo, é exatamente igual a 4π x 10-7 H/m. Temperatura Termodinâmica (kelvin) Definição: o kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. Disto resulta que a temperatura termodinâmica do ponto triplo da água é exatamente 273,16 kelvins, Ttpw= 273,16 K. 25/02/2013 7 Diagrama de Fase da água 𝑇𝑎𝑚𝑏. = 20 ℃ 𝑝𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑜 ≅ 0,61 𝑘𝑃𝑎 𝑇𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑜 ≅ 0,01 ℃ 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 0,1 𝑀𝑃𝑎 Quantidade de Substância (mol) Definição: 1. O mol é a quantidade de substância de um sistema que contém tantas entidades elementares quantos átomos existem em 0,012 kilograma de carbono 12; seu símbolo é “mol”. 2. Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem ser especificadas, podendo ser átomos, moléculas, íons, elétrons, assim como outras partículas ou agrupamentos especificados de tais partículas. Conclui-se que a massa molar de carbono 12 é exatamente igual a 12 gramas por mol, exatamente, M (12C) = 12 g/mol. Intensidade Luminosa (candela) Definição: A candela é a intensidade luminosa, numa dada direção, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de frequência 540 x 1012 hertz e que tem uma intensidade radiante nessa direção de 1/683 watt por esferorradiano. Conclui-se que a eficácia luminosa espectral de uma radiação monocromática de frequência 540 x 1012 hertz é exatamente igual a 683 lúmens por watt, K = 683 lm/W = 683 cd sr/W. 25/02/2013 8 Resumindo Unidades Fundamentais do SI Grandeza de base Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa kilograma kg Tempo segundo s Corrente Elétrica ampere A Temperatura termodinâmica kelvin K Intensidade Luminosa candela cd Quantidade de substância mol mol Algumas Unidades Derivadas do SI Grandeza Nome Símbolo Força Newton 1 N = kg m/s2 Trabalho, Energia Joule 1 J = N m Potência Watt 1 W = J/s Pressão Pascal 1 Pa = kg m-1s2 Frequência Hertz 1 Hz = s-1 Carga elétrica Coulomb 1 C = A s Potencial Elétrico Volt 1 V = J/C Resistência Elétrica Ohm 1 = V/A Capacitância Farad 1 F = C/V Campo Magnético Tesla 1 T = N/Am Fluxo Magnético Weber 1 Wb = Tm2 Indutância Henry 1 H = J/A2 Prefixos do SI Fator Prefixo Símbolo 101 deca da 102 hecto h 103 kilo k 106 mega M 109 giga G 1012 tera T1015 peta P 1018 exa E 1021 zetta Z 1024 yotta Y Fator Prefixo Símbolo 10-1 deci d 10-2 centi c 10-3 mili m 10-6 micro 10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f 10-18 atto a 10-21 zepto z 10-24 yocto y 25/02/2013 9 Escrevendo com prefixo SI Prefixo SI + Unidade SI Exemplos: Exemplos do cotidiano 64 e 100 m 17 a 51 m Diâmetro do fio de cabelo Ordem de Grandeza 25/02/2013 10 Outros Sistemas de Unidades Sistema CGS: Comprimento: centímetro (cm) Massa: grama (g) Tempo: segundo (s) Temperatura: Celsius (oC) Sistema Inglês de Unidades: Comprimento: pé (ft) ou polegadas (in) Massa: pound = libra (lb) Tempo: segundo (s) Temperatura: Rankine (oR) Fatores de Conversão de Unidades Sistema CGS: Comprimento: 1 m = 100 cm Massa: 1 kg = 1000 g Temperatura: K = oC + 273,15 Sistema Inglês de Unidades: Comprimento: 1ft = 12 in = 30,48 cm 1 mi = 1,609 km 1 yd = 3 ft = 91,44 cm Massa: 1 lb = 453,592 g Temperatura: oR = oF + 460 oF = 32 + 1,8 oC Fatores de Conversão de Unidades Unidades fora do SI, em uso com o SI 25/02/2013 11 Fatores de Conversão de Unidades Unidades fora do SI associadas com o sistema CGS e o sistemas gaussiano CGS Conversão de Unidades Todas as medidas de grandezas físicas têm um número e uma unidade. Quando opera-se com essas grandezas, as unidades são tratadas como qualquer grandeza algébrica. Exemplo: Calcular em milhas a distância percorrida em 3 h por um carro que se desloca à velocidade de 80 km/h. 𝑣 = 𝑑 𝑡 ⇒ 𝑑 = 𝑣 ∙ 𝑡 = 80 𝑘𝑚 ∙ 3 ⇒ 𝑑 = 240 𝑘𝑚 𝑑 = 240 𝑘𝑚 ∙ 1 𝑚𝑖 1,61 𝑘𝑚 ⇒ 𝑑 = 149, 07 𝑚𝑖 Fator de conversão Exercícios: 1) Se o seu carro estiver a 90 𝑘𝑚/, qual a sua velocidade em 𝑚/𝑠 e 𝑚𝑖/? 2) Imagine que você está pilotando uma moto a 20 𝑚/𝑠, qual será a sua velocidade em 𝑘𝑚/ e 𝑚𝑖/? 3) Qual o equivalente de 65 𝑚𝑖/ em 𝑚/𝑠? 4) Qual a densidade da água (1 g/cm3) em kg/m3 e kg/l? 25/02/2013 12 Respostas dos Exercícios: 1) Se o seu carro estiver a 90 𝑘𝑚/, qual a sua velocidade em 𝑚/𝑠 e 𝑚𝑖/? 2) Imagine que você está pilotando uma moto a 20 𝑚/𝑠, qual será a sua velocidade em 𝑘𝑚/ e 𝑚𝑖/? 3) Qual o equivalente de 65 𝑚𝑖/ em 𝑚/𝑠 e k𝑚/? 4) Qual a densidade da água (1 g/cm3) em kg/m3 e kg/l? 90 𝑘𝑚 = 25 𝑚 𝑠 90 𝑘𝑚 = 55,9 𝑚𝑖 20 𝑚 𝑠 = 72 𝑘𝑚 20 𝑚 𝑠 = 44,7 𝑚𝑖 65 𝑚𝑖 = 29,1 𝑚 𝑠 65 𝑚𝑖 = 104,6 𝑘𝑚 1 𝑔 𝑐𝑚3 = 1000 𝑘𝑔 𝑚3 1 𝑔 𝑐𝑚3 = 1 𝑘𝑔 𝑙 Questões 1) O que é uma medida? 2) Por que precisamos estabelecer padrões de unidades? 3) Quais as características desejáveis de um padrão? 4) O que é o Sistema Internacional de Unidades? 5) Quais são as grandezas fundamentais utilizadas para descrever a Mecânica? Questões 6) Quais são os padrões adotados para as grandezas do item anterior? Faça uma descrição da evolução do padrão e especifique o padrão atual descrevendo-o resumidamente. 7) Quais os outros sistemas de unidades mais empregados? Faça uma tabela comparando os sistemas de unidades com o SI das principais grandezas. 25/02/2013 13 Questões 8) O que é um fator de conversão e para que ele serve? Dê exemplos. 9) Para que utilizamos os múltiplos e submúltiplos das unidades do SI? 10) Liste as ordens de grandeza que você convive e aquelas que você se lembra. Dimensões das Grandezas Físicas Por convenção as grandezas físicas são organizadas segundo um sistema de dimensões. Cada uma das sete grandezas de base do SI é considerada como tendo sua própria dimensão. Dimensões das Grandezas Físicas Como a medida de qualquer área é o produto de 2 comprimentos, dizemos que a área tem dimensões de comprimento ao quadrado ⟹ 𝐿2 Dimensões das grandezas fundamentais: Dimensão de comprimento: 𝐿; Dimensão de massa: 𝑀; Dimensão de tempo: 𝑇. Exemplo: Determine a área de um retângulo de lados 2 m e 3 m. 𝐴 = 𝑏 ∙ = 𝑙 ∙ 𝑙 = 2 ∙ 3 ⇒ 𝐴 = 6 𝑚2 Pode-se escrever as dimensões de todas grandezas 25/02/2013 14 Dimensões das Grandezas Físicas Todas as outras grandezas são grandezas derivadas, que podem ser expressas em função das grandezas de base por meio de equações da física. As dimensões das grandezas derivadas são escritas sob a forma de produtos de potências das dimensões das grandezas de base por meio de equações que relacionam as grandezas derivadas às grandezas de base. Em geral a dimensão de uma grandeza Q é escrita sob a forma de um produto dimensional onde os expoentes α, β, γ, δ, ε, δ e ε , que são em geral números inteiros pequenos, positivos, negativos ou zero, são chamados de expoentes dimensionais. Dimensões das Grandezas Físicas Existem algumas grandezas derivadas Q para as quais a equação de definição é tal que todos os expoentes dimensionais na expressão da dimensão de Q são iguais a zero. Isto se aplica, em particular, para uma grandeza definida como a razão entre duas grandezas de mesmo tipo. Essas grandezas são descritas como sendo adimensionais, ou de dimensão um. A unidade derivada coerente dessas grandezas adimensionais é sempre o número um, 1, isto é, a razão entre duas unidades idênticas para duas grandezas do mesmo tipo. Existem também, grandezas que não podem ser descritas por meio das sete grandezas de base do SI, mas cujo valor é determinado por contagem. Por exemplo, o número de moléculas. Essas grandezas de contagem são também, geralmente, consideradas como grandezas adimensionais, ou de dimensão um, e possuem como unidade o número 1(um). Tabela de Dimensões Grandeza Símbolo Fórmula Dimensão Área 𝐴 𝐴 = 𝑏 ∙ 𝐿2 Volume 𝑉 𝑉 = 𝑏 ∙ ∙ 𝑙 𝐿3 Velocidade 𝑣 𝑣 = ∆𝑠 ∆𝑡 𝐿 𝑇 = 𝐿𝑇−1 Aceleração 𝑎 𝑎 = ∆𝑣 ∆𝑡 𝐿 𝑇2 = 𝐿𝑇−2 Força 𝐹 𝐹 = m ∙ a 𝑀𝐿 𝑇2 = 𝑀𝐿𝑇−2 Pressão 𝑝 𝑝 = 𝐹 𝐴 𝑀 𝐿𝑇2 = 𝑀𝐿−1𝑇−2 Densidade 𝜌 𝜌 = 𝑚 𝑉 𝑀 𝐿3 = 𝑀𝐿−3 Energia 𝐸 𝐸 = 𝑚𝑔 𝑀𝐿2 𝑇2 = 𝑀𝐿2𝑇−2 Potência 𝑃 𝑃 = ∆𝐸 ∆𝑡 𝑀𝐿2 𝑇3 = 𝑀𝐿2𝑇−3 25/02/2013 15 Operação com grandezas As operações de soma e subtração com grandezas físicas só tem significado se as duas possuírem as mesmas dimensões. Somente podemos realizar as operações acima se as grandezas possuírem as mesmas dimensões e unidades. 𝐴 = 𝐵 + 𝐶 𝐷 = 𝐵 − 𝐶 Exemplo A pressão de um fluído em movimento depende da densidade 𝜌 e da velocidade 𝑣 do fluído. Sem se preocupar com os conceitos, encontre uma relação simples entre a densidade e a velocidade para se ter as dimensões corretas da pressão. dim𝑝 dim𝜌 = 𝑀 𝐿𝑇2 𝑀 𝐿3 = 𝑀 𝐿𝑇2 ∙ 𝐿3 𝑀 = 𝐿2 𝑇2 = dim𝑣2 ⇒ dim𝑝 = dim 𝜌 ∙ 𝑣2 Obs.: A Lei de Bernoulli afirma ser constante a soma: 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑣2 Exercício 1) Mostre a equivalência dimensional das energias cinética e potencial e trabalho. (Sugestão: Use as equações no SI) 2) Mostrar que o produto da massa pela aceleração e pela velocidade tem dimensões de potência. 3) A unidade SI de força é denominada newton (N). Ache as dimensões e as unidades SI da constanteG na Lei da Gravitação de Newton, 𝐹 = 𝐺 𝑚1𝑚2 𝑟2 . 4) Quando um corpo cai através do ar atua sobre ele uma força de resistência que depende do produto da área superficial do corpo e do quadrado da velocidade, ou seja, 𝐹 = 𝐶𝐴𝑣2, em que 𝐶 é uma constante. Determine as dimensões e unidades SI desta constante. 25/02/2013 16 Notação Científica É uma forma conveniente de representar números muito grandes ou muito pequenos. Qualquer número é escrito da seguinte forma: × 10 1 ↔ 10 expoente Exemplo: • 12.000.000 = 1,2 × 107 • 150.000.000.000 = 1,5 × 1011 • 0,01 = 1 × 10−2 • 0,00000000292 = 2,92 × 10−9 expoente 7 expoente 11 expoente -2 expoente -9 Propriedades da Potenciação 𝑎𝑥 ∙ 𝑎𝑡= 𝑎𝑥+𝑡 → 102 ∙ 103 = 𝑎𝑥 𝑎𝑡 = 𝑎𝑥−𝑡 → 105 103 = 𝑎𝑥 𝑡 = 𝑎𝑥∙𝑡 → 102 3 = 𝑎0 = 1 → 20 = 𝑎−𝑥 = 1 𝑎𝑥 → 3−2 = 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑚 → 5 2 3 = 105 105−3 = 102 102∙3 = 106 1 1 32 52 3 Operações Matemáticas 1,200 × 102 + 8 × 10−1 = 1200 × 10−1 + 8 × 10−1 = 2,5 × 103 − 5 × 102 = 2500 × 10−2 −5 × 10−2 = 2 × 106 + 9 × 10−3 = 15×103 5×10−2 = 2 × 102 ∙ 3,2 × 10−5 = = 120,0 + 0,8 = 120,8 = 1200 + 8 × 10−1 = 1208 × 10−1 = 120,8 = 2500 − 500 = 2000 = 2495 × 10−2 = 24,95 = 2.000.000 + 0,009 = 2.000.000,009 ≅ 2 × 106 15 5 ∙ 103 10−2 = 3 × 103− −2 = 3 × 105 = 2 ∙ 3,2 × 102+ −5 = 6,4 × 10−3 25/02/2013 17 Algarismos Significativos (AS) Algarismo significativo é um número representativo de uma dada medida que possui valor confiável. Isto é, a precisão do valor de uma quantidade física é refletida no número de algarismos significativos usados na indicação deste valor. Observações Importantes: • 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑛ã𝑜 𝑠ã𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 • 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑛ã𝑜 𝑠ã𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 Exemplo: • 2,50 • 90,2 • 0,054 • 0,00006 • 6900 Obs.: quando o número de AS não for especificado, é prudente considerar todos os escritos. Algarismos Significativos (AS) 3 AS 3 AS 2 AS 1 AS 4 AS O menor AS em um número é o algarismo significativo mais à direita algarismo duvidoso (AD) Exemplo: • 8,47 • 1,7272 • 10,56 • 0,2981 • 1,7270 Algarismos Significativos (AS) 7 é o < AS AD 2 é o < AS AD 6 é o < AS AD 1 é o < AS AD 0 é o < AS AD 25/02/2013 18 Arredondamento de Números CONDIÇÃO PROCEDIMENTO EXEMPLO < 5 O último algarismo a permanecer fica inalterado. 4,76201 > 5 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. 3,77620 = 5 (i) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade no algarismo a permanecer. 5,75504 = 5 (ii) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 2,14500 2,11500 Norma ABNT NBR 5891:1977 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for... 4,76 3,78 5,76 2,14 2,12 Exercícios 1) Arredonde os números para uma casa decimal aplicando as regras de arredondamento. a) 53,24 b) 68,93 c) 42,87 d) 25,08 e) 53,99 f) 2,352 g) 25,6501 h) 76,2500002 i) 24,75 j) 24,7500 k) 24,65 l) 24,6500 Respostas dos Exercícios 53,2 1) Arredonde os números para uma casa decimal aplicando as regras de arredondamento. a) 53,24 b) 68,93 c) 42,87 d) 25,08 e) 53,99 f) 2,352 g) 25,6501 h) 76,2500002 i) 24,75 j) 24,7500 k) 24,65 l) 24,6500 68,9 42,9 25,1 54,0 2,4 25,7 76,3 24,8 24,8 24,6 24,6 25/02/2013 19 Operações Adição e Subtração: O resultado deve ser representado com casas decimais iguais àquelas apresentadas pela parcela que possuir o menor número de casas decimais. Exemplo: 8,1 m + 3,77 m = 11,87 23,55 mm + 32,5 mm - 18,234 mm = 37,816 = 11,9 m Parcela < # casas decimais 1 casa decimal Arredondando Parcela < # casas decimais = 37,8 m 1 casa decimal Arredondando Operações Multiplicação e Divisão: O resultado de uma multiplicação ou divisão tem o mesmo número de AS que o número menos preciso (menor número de AS) utilizado no cálculo. Exemplo: 3,218 m ÷ 0,53 m = 6,07169811321 25,40 × 12,2 × 123,02 = 38121,4376 = 6,1 m 4 AS 2 AS Arredondando 2 AS 4 AS 3 AS 5 AS 3 AS Posso ?! = 3,81214376 × 104 Arredondando = 3,81 × 104 3 AS Operações Funções Transcendentes: O resultado do cálculo de uma função transcendente é dado com o mesmo número de AS que o argumento da função. Exemplo: 𝑠𝑒𝑛34𝑜 = 0,559192903471 ln 9,536 = 2,23601784872 = 0,56 2 AS 2 AS Arredondando 4 AS Arredondando = 2,236 4 AS 25/02/2013 20 Exercícios: 1) Aplicando a regra apropriada sobre algarismos significativos determine: a) 1,58 × 0,03 = b) 1,4 + 2,53 = c) 2,34 × 102 + 4,93 = d) cos 23,6𝑜 = Respostas Exercícios: 1) Aplicando a regra apropriada sobre algarismos significativos determine: a) 1,58 × 0,03 b) 1,4 + 2,53 c) 2,34 × 102 + 4,93 d) cos 23,6𝑜 = 0,0474 = 3,93 = 234+ 4,93 1 AS Arredondando 1 AS 1 CD Arredondando 1 CD 0 CD Arredondando 0 CD = 238,93 = 0,05 = 3,9 = 239 = 2,39 × 102 3 AS Arredondando 3 AS = 0,916 = 0,916362729562 Exercícios: 2) Considerando a placa de madeira, determine: a) A área Ar da parte retangular b) A área As da parte semicircular c) A área A de toda a placa. 1,2 m 1 ,3 7 m 25/02/2013 21 Respostas dos Exercícios: 2) Considerando a placa de madeira, determine: a) A área 𝐴𝑟 da parte retangular b) A área 𝐴𝑠 da parte semicircular c) A área 𝐴 de toda a placa. 1,2 m 1 ,3 7 m 𝐴𝑟 = 1,37 × 1,2 = 1,644 = 1,6 𝑚 2 𝐴𝑠 = 𝜋𝑅2 2 = 3,1416 2 1,37 2 2 = 0,73705863 = 0,737 𝑚2 𝐴 = 𝐴𝑟 + 𝐴𝑠 = 1,644 + 0,73705863 = 2,38105863 = 2,4 𝑚 2 1 CD (𝐴𝑟) Exercícios: 3) Considerando a placa de madeira do exercício anterior, determine: a) O volume 𝑉𝑟 da parte retangular. b) O volume 𝑉𝑠 da parte semicircular. c) O volume 𝑉 de toda a placa. 1,2 m 1 ,3 7 m 16,5 mm Respostas dos Exercícios: 3) Considerando a placa de madeira do exercício anterior, determine: a) O volume 𝑉𝑟 da parte retangular b) O volume 𝑉𝑠 da parte semicircular c) O volume 𝑉 de toda a placa. 𝑉𝑟 = 𝐴𝑟 ∙ = 1,644 ∙ 16,5 × 10 −3 = 0,027126 = 0,027 𝑚3 𝑉𝑠 = 𝐴𝑠 ∙ = 0,73705863 ∙ 16,5 × 10 −3 = 0,01216147 = 0,0122 𝑚3 𝑉 = 𝐴 ∙ = 2,38105863 ∙ 16,5 × 10−3 = 0,03928746 = 0,039 𝑚3 𝑉 = 𝑉𝑟 +𝑉𝑠 = 0,027126+ 0,01216147 = 0,03928747 = 0,039 𝑚 3 1,2 m 1 ,3 7 m 16,5 mm (2 AS) (3 AS) (2 AS) (3 CD)
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