Aula 04 - Parte 01 - Fundamentos de Física

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02/05/2013 
1 
Disciplina: Fundamentos de Física 
 
Prof. Dr. Fábio de Camargo 
Forças e Equilíbrio Estático 
São Paulo 
2013 
Plano de Ensino 
Unidade Conteúdo Programático Concluído 
1 Sistema Internacional de Unidades 100% 
2 Medidas Físicas 100% 
3 Forças e Equilíbrio Estático 
4 Leis de Newton do Movimento 
5 Trabalho, Energia e Potência 
6 Impulso 
7 Quantidade de Movimento 
8 Colisões 
A Física é a ciência que estuda a natureza e os fenômenos naturais do 
Universo. 
Mecânica... Estuda o quê? 
A física pode ser dividida em algumas áreas: 
 Mecânica: Estuda o movimento e suas 
causas e consequências 
 
 Termologia: Estuda o calor 
 
 Acústica: Estuda o som 
 
 Óptica: Estuda a luz 
 
 Eletricidade: Estuda a eletricidade 
 
 Física Moderna: Estuda a física após 1900 
 
 Física Nuclear: Propriedades básicas dos 
núcleos e da também da matéria nuclear 
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2 
Mecânica: 
dos corpos rígidos 
dos corpos deformáveis 
dos fluidos 
estática 
dinâmica 
Princípios da estática: 
Medições de força 
 e geometria 
• Princípio da alavanca 
• Estudos de polias 
• Plano Inclinado 
• Reações de Apoio e 
etc. 
Leis de Newton 
1ª Lei  Inércia (Repouso ou MRU) 
3ª Lei  Ação e Reação 
2ª Lei  𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎 = 𝐹 
Mecânica Clássica 
Conceitos Fundamentais 
1ª Lei de Newton  Lei da Inércia 
 
 
Definição: “Todo corpo continua no estado de repouso ou de movimento 
retilíneo uniforme, a menos que seja obrigado a mudá-lo por forças a ele 
aplicadas” 
tradução do Princípia 
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Exemplos do Princípio da Inércia no Cotidiano 
2ª Lei de Newton 
 
Um ponto material de massa “m” sob a ação de uma força 
“F” sofre uma aceleração “a” que tem a mesma direção da 
força. 
𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎 = 𝐹 
 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 +⋯ 
𝐹𝑅 = 𝐹𝑅𝑥𝑖 + 𝐹𝑅𝑦𝑗 
𝐹1 
𝐹2 
𝐹𝑅 
 Força Gravitacional (𝑭𝒈): é a força que 
um corpo exerce sobre outro. 
 
 Força Peso (𝑷): 
𝐹𝐺 = 𝐺
𝑀𝑚
𝑟2
 
Força que a Terra exerce sobre os corpos 
“terrestres”  sempre orientada para baixo, 
em direção ao centro da Terra. 
Forças Especiais 
𝑭𝑮 
𝑴 
𝒎 
𝒓 
𝑃 = 𝑚.𝑔 
onde 𝑔 =
𝐺𝑀
𝑟2
 é a aceleração da gravidade (≅ 9,81 𝑚/𝑠2) e 𝑚 a massa do corpo 
𝐹𝐺 = 𝐺
𝑀𝑚
𝑟2
→ 
onde 𝐺 = 6,67 × 10−11
𝑁𝑚2
𝑘𝑔2
 é a constante da 
gravitação universal. 
𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 5,97 × 10
24𝑘𝑔 
𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 6,38 × 10
6 𝑚 
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 Força Normal (𝑵 ou 𝑭𝑵): Força exercida pela superfície sobre 
um corpo na qual ele está apoiado. 
 A força normal é sempre perpendicular a superfície. 
Forças Especiais 
 Força de Tensão ou Tração: (𝑻): força que atua em cordas e 
fios, quando submetidos a uma força externa. 
Forças Especiais 
 Força de Atrito (𝑭𝒂𝒕): força exercida sobre um corpo quando ele 
desliza ou tenta deslizar sobre uma superfície. 
 A força é sempre paralela à superfície e tem o sentido oposto 
ao deslizamento. 
 
Força de atrito nula ou 
desprezível 
 
Superfície Ideal 
Forças Especiais 
𝑓𝑎𝑡 = 𝜇𝑁 
onde 𝜇 é o coeficiente de atrito e 𝑁 força normal. 
Módulo da Força de Atrito: 
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 Força Elástica (𝑭𝒆 ): força exercida por uma mola quando 
comprimida ou estendida em relação ao ponto de equilíbrio. 
 A força elástica sempre será na mesma direção do 
deslocamento e porém em sentido contrario. 
 
Forças Especiais 
𝐹 = − 𝑘∆𝑥 
onde 𝑘 é a constante 
elástica da mola e ∆𝑥 o 
deslocamento em relação 
ao ponto de equilíbrio. 
Módulo da Força Elástica: 
3ª Lei de Newton  Lei da Ação e Reação 
 
Definição: A toda ação existe uma reação com a 
mesma intensidade, direção e sentido oposto. 
 As forças atuam em corpos separados 
 
𝑓𝑎𝑡 
𝑃 
− 𝑃 
−𝑓𝑎𝑡 
Exemplos 
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Quando aplica-se uma força sobre um corpo um dos efeitos é 
alterar suas dimensões ou sua forma; outro é modificar seu 
estado de movimento. 
Movimento 
Rotação 
Translação 
+ 
Uma única força pode 
alterar tanto o movimento 
de translação quanto de 
rotação. 
Força Aplicada ao Corpo 
Quando várias forças são aplicadas simultaneamente, seus efeitos podem ser 
cancelados  não ocorrendo mudança nem na translação nem na rotação. 
EQUILÍBRIO 
Corpo em equilíbrio 
Estático (corpo em repouso, parado) 
 
Dinâmico (corpo em movimento, MRU  v = constante) 
Ponto encontra-se em 
equilíbrio estático  
satisfaz a equação: 
𝑅23 
𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 = 0 
Diversas Forças Aplicadas 
Translação + Rotação: 
↓ 
Se o corpo se movia, haverá 
alteração no movimento de 
translação (em módulo) ou 
direção (ou ambas) 
↓ 
Aumento ou diminuição no 
movimento de rotação 
𝐹1 
A CM 
Movimentos: Translação e Rotação 
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𝐹1 
𝐹2 
A 
C 
Linhas de ação não coincidem 
↓ 
Equilíbrio translacional mas não rotacional 
Mesma linha de ação: 
↓ 
Equilíbrio pode ser mantido 
↓ 
Se 𝐹2 = − 𝐹1 
 
 𝐹1 + 𝐹2 = 0 
↓ 
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 = 𝐹1- 𝐹1 = 0 
 𝐹𝑅 = 0 
𝐹1 
𝐹2 
Translação e Rotação 
 Generalizando: 
A afirmação de que um corpo está em equilíbrio completo, quando ambas 
condições são satisfeitas  constitui a essência da 1ª Lei de Newton (Inércia) 
2ª condição de equilíbrio  forças não podem tender a 
girar o corpo 
𝐹𝑅 = 𝐹 = 0 
1ª condição de equilíbrio  representada por: 
𝐹𝑅 = 𝐹𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑗 
 𝐹𝑥 = 0 
 𝐹𝑦 = 0 
As componentes 
devem ser nulas 
Equilíbrio 
Exemplo: Forças aplicadas 
B 
A 
𝐹 
A 
𝐹 
𝑇 
𝑃𝐴 
𝑁𝐴𝐵 
𝑃𝐵 
𝑁𝐵𝐴 𝑁𝐵 
𝑇 
𝑓 𝑎𝑡𝐵𝐴 
𝑓 𝑎𝑡𝐴𝐵 
𝑓 𝑎𝑡𝐵 
B −𝑁𝐵 
−𝑓 𝑎𝑡𝐵 
𝐹 𝑃 
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𝐹1 
𝑁 
𝑓𝑎𝑡 
𝑃𝐴 
 
Condição de Equilíbrio: 
↓ 
Em y (vertical): 
𝑁 − 𝑃𝐴 = 0 
 
 𝑁 = 𝑃𝐴 
 
Em x (horizontal): 
F1 – fat = 0 
 
F1 = fat 
Força Peso  𝑃 = 𝑚.𝑔 , onde g = 9,8 m/s2 
 
Força Normal  sempre normal a superfície!!!! 
 
Força de atrito  𝑓𝑎𝑡 = 𝜇 . 𝑁 Coeficiente de atrito 
estático 
dinâmico 
Exemplo: Condição Equilíbrio 
 
Condição Equilíbrio 
 Equilíbrio de uma Partícula: 
 Regras (ou “Receita de Bolo”): 
1-) Fazer esquema do aparelho ou estrutura analisado, mostrando 
dimensões e ângulos. 
 
2-) Selecionar um corpo como a partícula em equilíbrio, traçar um diagrama 
separadamente (DCL – diagrama de corpo livre), onde todas as forças 
aplicadas ao corpo são representadas por meio de setas (vetores). 
 
3-) Traçar um sistema de eixos retangulares (cartesiano) e decompor 
quaisquer forças inclinadas em suas componentes retangulares. 
 
4-) Realizar a soma algébrica (separadamente) de todas as componentes 
em x e em y, anulando as forças quando possível. 
 
5-) Cálculo de forças, ângulos, distâncias etc. 
1-) O lustre de massa igual a 10,20 kg é sustentado por uma corda ideal que é 
presa ao teto. Calcule a força de tração que mantém o sistema em equilíbrio. 
Considere g = 9,8 m/s2. 
Exemplo: 
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𝑇1 
𝑃1 
−𝑇2 
−𝑇1 
𝑇2 
Exemplo: Resolução 
1-) O lustre de massa igual a 10,20 kg é sustentado por uma corda ideal que é 
presa ao teto. Calcule a força de tração que mantém o sistema em equilíbrio. 
Considere g = 9,8 m/s2. 
T1 = P1 
 
P1 = 100 N 
 
 T1 = 100 N 
T2 -T1 = 0 
 
 
 T2 = 100 N −𝑇1 
𝑇2 
Exemplo: Resolução 
𝑇1 
𝑃1 
2-) Uma placa de peso P está pendurado por uma corda amarrada em O a duas 
outras: umapresa no teto e a outra na parede. Deseja-se encontrar as tensões 
nas três cordas, supondo o peso de cada uma delas desprezível. 
Exemplo: 
Loja 
60o 
𝑇1 
𝑇3 
𝑇2 
O 
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𝑇2 
𝑇1 
𝑇3𝑥 
𝑇3𝑦 
𝑇2 = 𝑇3𝑥 
𝑇1 = 𝑇3𝑦 
Loja 
𝑃 
𝑇1 
𝑇1 + −𝑃 = 0 
𝑇1 = 𝑃 
Exemplo: Resolução 
2-) Uma placa de peso P está pendurado por uma corda amarrada em O a duas 
outras: uma presa no teto e a outra na parede. Deseja-se encontrar as tensões 
nas três cordas, supondo o peso de cada uma delas desprezível. 
Loja 
60o 
𝑇1 
𝑇3 
𝑇2 
O 
𝑇3𝑥 
𝑇3𝑦 𝑇3 
60o 
Em x: 
 
𝑇3𝑥 = 𝑇2 
 
𝑇3𝑥 − 𝑇2 = 0 
 
 𝑇3 cos 60º - 𝑇2 = 0 
Em y: 
 
 𝑇3 sen 60º - 𝑇1 = 0 
Fx = 0 
Fy = 0 
Seja g = 9,8m/s2 e mplaca = 70 kg, determine os valores de todas as 
variáveis para que o sistema continue em equilíbrio. 
Resp.: T1 = 686 N, T2 = 396,06N, T3 = 792,12 N, P = 686N 
Exemplo: Resolução 
3-) O bloco A de massa m1 = 61,22 kg repousa sobre um plano inclinado 
de ângulo  = 30o, sem atrito. Uma corda flexível é presa ao centro da face 
esquerda do corpo, passa por uma roldana também sem atrito e é ligada a 
um segundo bloco de massa m2. Determine a massa do bloco B e a força 
normal atuante no sistema, para que o sistema mantenha-se em equilíbrio. 
Adote: g = 9,8 m/s2. 
m1 
m2 
Exemplo: 
Resp.: N1 = 519,58 N, m2 = 30,61 kg 
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4-) Determine as intensidades de F1 e F2 de modo que o ponto material P 
esteja em equilíbrio. 
𝐹 1 𝐹 2 
𝐹 3 (400 N) 
30o 
60o 
30o 
P 
Exemplo: 
Resp.: F1 = 461,88 N, F2 = 230,94 N 
5-) Determine a tensão nos cabos AB e AD para que ocorra o equilíbrio do 
motor de 250 kg mostrado abaixo. Adote: g = 9,8 m/s2. 
𝐷 
𝐶 
𝐵 
𝐴 42o 
Exemplo: 
Resp.: TAB = 3661,47 N, TAD = 2721,00 N 
6-) Determine a intensidade e o ângulo  de F de modo que o ponto 
material esteja em equilíbrio. 
F 
7,5 kN 
30o 
60o 
2,0 kN 
4,5 kN  
Resp.: F  10,97 kN e   48,6o 
Exemplo: 
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7-) Determine a força necessária na corda AB para suportar os livros cuja 
massa é de 5 kg, sabendo que  = 30º e que a força F aplicada sobre a 
corda BC = 16N. 
B 
𝐶 
𝐴 
 
 
Exemplo: 
Resp.: TAB  43,28 kN e   71,33
o 
 
8-) Determine o valor da força T3 e o ângulo que ela forma em relação a y 
de modo que o sistema permaneça em equilíbrio. 
200 𝑁 
30o 
T3 
150 𝑁 
Exemplo: 
Resp.: T3  104,67 N e   44,2
o 
9-) A obra de arte de um artista plástico, que busca conscientizar a 
população da importância do uso da bicicleta como meio de transporte e o 
respeito à vida, será exposto no Museu de Arte Moderna de São Paulo 
empregando cabos de aço, conforme mostra o diagrama abaixo. 
Considerando estes cabos ideais e sabendo-se que a massa da obra de 
arte é de 25 kg qual será a tensão que cada cabo 
 suportará? Use g = 9,8 m/s2. 
Exemplo: 
Resp.: T1  104 N e T2  231 N
 
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10-) Veja o esquema abaixo e calcule as trações em cada fio. 
Considerando g = 9,8 m/s2 pode-se afirmar que as tensões T1, T2 e T3 em 
cada fio e a massa m que mantém o sistema em equilíbrio são 
respectivamente: 
a-) 33,9 N, 58,8 N, 33,9 N e 3,5 kg. 
b-) 33,9 N, 33,9 N, 58,8 N e 3,2 kg. 
c-) 58,8 N, 33,9 N, 33,9 N e 3,2 kg. 
d-) 30,1 N, 60,2 N, 30,1 N e 3,4 kg. 
Resp: a 
Exemplo: 
11-) Dois blocos com massas m1 = 15 kg e m2 = 30 kg encontram-se um 
sobre o outro e o conjunto formado pelos dois blocos está apoiado sobre 
uma mesa, conforme mostra a figura abaixo. Nesta situação e 
considerando g = 9,8 m/s2, os módulos das reações normais a superfícies 
dos blocos 1 e 2 são respectivamente: 
a-) 147 N e 294 N. 
b-) 300 N e 150 N. 
c-) 147 N e 441 N. 
d-) 150 N e 450 N. 
Resp: c 
Exemplo: 
Exemplo: 
12-) Os blocos de pesos P = 30 N e Q encontram-se em equilíbrio com a 
ajuda de fios e polia ideais. É conhecido o ângulo  = 30º. 
Pedem-se: 
 a-) o peso Q; 
 b-) a tração no fio AB. 
 
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Exemplo: Resolução 
12-) Resolução: 
Equilíbrio dos Blocos: 
P 
𝑇1 
𝑃𝑃 
Bloco P: 
T1 - PP = 0 
T1 = PP 
T1 = 30 N 
Bloco Q: 
T2 - PQ = 0 
T2 = PQ (I) 
Q 
𝑇2 
𝑃𝑄 
Dados: 
 = 30o 
PP = 30 N 
PQ = ? 
Equilíbrio do Nó: 
Em x: 
T2 – Tx = 0 
T2 = Tx 
T2 = T cos 30º 
T2 = T . 0,866 (II) 
Exemplo: Resolução 
Equilíbrio do Nó: 
Em y: 
Ty – T1 = 0 
Ty = T1 
T sen 30º = T1 
T . 0,5 = T1 
mas = T1 = 30 N 
  1,22 T2 (I) 
T . 0,5 = 30 
T = 30 / 0,5 
T = 60 N 
Retomando a eq. (II): 
T2 = T . 0,866 
T2 = 60 . 0,866 
T2 = 51,96 N 
 
Retomando a eq. (I): 
T2 = PQ 
PQ = 51,96 N 
Exemplo: 
13-) Os blocos de pesos P e Q = 100 N estão em equilíbrio conforme figura 
anexa. Os ângulos são conhecidos:  = 45º e  = 60º. Pedem-se: 
 a-) o peso de P; 
 b-) a tração no fio AC. 
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Exemplo: Resolução 
13-) Resolução: 
Bloco P: 
T - PP = 0 
T = PP 
P 
𝑇 
𝑃𝑃 
Dados: 
 = 60o 
 = 45o 
PQ = 100 N 
PP = ? 
Bloco Q: 
T2 - PQ = 0 
T2 = PQ 
T2 = 100 N 
Q 
𝑇2 
𝑃𝑄 
Equilíbrio do Nó: 
Em x: 
T2x – T1x = 0 
T2x = T1x 
T1 cos 45º = T2 cos 30º 
T1 0,707 = T2 0,866 
T1  1,22 T2 
Sabe-se que T2 = 100N 
Logo: T1 = 1,22 . 100 
 T1  122 N 
Equilíbrio dos Blocos: 
𝑇2𝑦 
𝑇 
𝑇1𝑥 𝑇2𝑥 c 
𝑇1𝑦 
𝑇1 𝑇2 
Exemplo: Resolução 
Equilíbrio do Nó: 
Em y: 
T1y + T2y – T = 0 
T1y + T2y = T 
T1 sen 45º + T2 sen 30º = T 
T1 0,707 + T2 0,5 = T 
mas T1 = 122 N e T2 = 100 N 
122 . 0,707 + 100 0,5 = T 
86,62 + 50 = T 
 T = 136,62 N 
Exemplo: 
14-) O bloco de peso P = 50 N, é sustentado por dois outros blocos de 
pesos iguais Q = 29 N, através de fios e polias ideais. 
Observe a figura que representa o diagrama deste esquema e determine: 
 a-) as trações nos fios; 
 b-) a altura y; 
 c-) o ângulo  
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Exemplo: Resolução 
14-) Resolução: Equilíbrio dos Blocos: 
Dados: 
PQ = 29 N Trações ? 
PP = 50 N y (altura) = ? 
 = ? 
Q 
𝑇1 
𝑃𝑞 
Q 
𝑇2 
𝑃𝑄 
P 
𝑇 
𝑃𝑃 
Bloco Q: 
T1 - Pq = 0 
T1 = Pq 
T1 = 29 N 
Bloco Q: 
T2 - Pq = 0 
T2 = Pq 
T2 = 29 N 
Bloco P: 
T - PP = 0 
T = PP 
T = 50 N 
Exemplo: Resolução 
Equilíbrio do Nó: 
Em y: 
T1y + T2y – PP = 0 
T1y + T2y = PP 
T1 sen  + T2 sen  = PP 
29 sen  + 29 sen  = PP 
2 . 29 sen  = 50 
58 sen  = 50 
sen  = 
50
58
 
sen  = 0,862 
 = arc sen 0,862 
 = 59,55o 
Cálculo da altura (y): 
tg  = 
𝑐𝑜
𝑐𝑎 
tg  = 
𝑦
2,0
 
tg 59,55o =
𝑦
2,0
 
Y = 2,0 . tg 59,54º 
Y = 2,0 . 1,7 
Y = 3,4 m 
 
y 
2,0 m 
Exemplo: 
15-) Três corpos, em equilíbrio estático, sustentam-se mutuamente, 
interligados através de três fios amarrados entre si pelo nó A. Sabe-se o 
peso do corpo 1, P1 = 500 N. 
Considere o sistema de polias e fios como ideais. Calcule o peso dos outros 
dois corpos. 
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Exemplo: Resolução 
15-) Resolução: 
Dados: 
P1 = 500 N 
P2 = ? 
P3 ? 1 
𝑇2 
𝑃1 
Bloco 1: 
T2 – P1 = 0 
T2 = P1 
T2 = 500 N 
Equilíbrio dos Blocos: 
2 
𝑇1 
𝑃2 
Bloco 2: 
T1 – P2 = 0 
T1 = P2 
3 
𝑇3 
𝑃3 
Bloco 3: 
T3 – P3 = 0 
T3 = P3 
Exemplo: Resolução 
Equilíbrio do Nó: 
Em x: 
T3x – T1x = 0 
T3 cos 37 - T1 cos 53 = 0 
T3 0,8 - T1 0,6 = 0 
T3 0,8= T1 0,6 
T3 = T1 0,75 
Em y: 
T3y + T1y – T2 = 0 
T3 cos 53 + T1 cos 37 - T2 = 0 
T3 cos 53 + T1 cos 37 = T2 
T3 0,6 + T1 . 0,8 = T2 
mas T3 = T1 0,75 
T2 = 500 N 
(T1 0,75 ) 0,6 + T1 . 0,8 = 500 
1,25 T1 = 500 
T1 = 400 N 
 
mas como: T3 = T1 0,75 
T3 = 400 . 0,75 
T3 = 300 N 
Como T1 = P2 
P2 = 400 N 
 
T3 = P3 
P3 = 300 N 
 
Exemplo: 
16-) O cilindro de peso P = 400 N, está apoiado em uma superfície 
horizontal, lisa, sendo mantido em equilíbrio com a ajuda de dois blocos de 
pesos M = 200 N e Q = 400 N. 
Determine o ângulo  e a reação do apoio horizontal. 
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Exemplo: Resolução 
Dados: 
PQ = 400 N 
PP = 400 N 
M = 200 N 
 = ? 
N = ? 
16-) Resolução: 
𝑃𝑃 
𝑇2 
𝑇2𝑥 
𝑁 𝑇2𝑦 
 
Equilíbrio dos Blocos: 
M 
𝑇1 
𝑃𝑀 
Bloco M: 
T1 - PM = 0 
T1 = PM 
T1 = 200 N 
Q 
𝑇2 
𝑃𝑄 
𝑇1 
Bloco M: 
T2 - PQ = 0 
T2 = PQ 
T2 = 400 N 
Exemplo: Resolução 
Equilíbrio do Nó: 
Em x: 
T2x - T1 = 0 
T2x = T1 
T2x = 200 N 
mas T2x = T2 cos  
200 = T2 cos  
mas T2 = 400 
200 = 400 cos  
cos  = 
200
400
 
cos  = 0,5 
 = arc cos 0,5 
 = 60o 
 
T2y 
T2x 
Em y: 
T2y + N - PP = 0 
T2y + N = PP 
T2 sen 60 + N = 400 
400 0,866 + N = 400 
346,41 + N = 400 
N = 400 – 346,41 
N =53,59 N 
Exemplo: 
17-) A esfera de peso P = 50 N encontra-se em equilíbrio, apoiada numa 
superfície vertical lisa e sustentada por um fio que forma um ângulo 
 = 30º com a vertical. Analise a figura e determine a tração do fio e a 
reação da parede. 
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Exemplo: Resolução 
Dados: 
P = 50 N 
 = 30o 
T = ? 
N = ? 
17-) Resolução: 
𝑇1𝑦 
𝑇1𝑥 
1 
𝑁 
𝑃 
Em y: 
T1y – P = 0 
T1y = P 
T1 sen 60 = P 
T1 0,866 = P 
T1 0,866 = 50 
T1 = 57,74 N 
Em x: 
N - T1x = 0 
N = T1x 
N = T1 cos 60o 
N = T1 . 0,5 
N = 57,74 . 0,5 
N = 28,87 N 
30o 
60o