MATRIZES E DETERMINANTES

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Cap´ıtulo 1
Matrizes, Determinantes
1a L i¸c a˜ o (c o m p ro jeto r m u ltim ed ia )13/ 03/ 2007
1.1 T eoria G eral d e Matrizes
Definic¸a˜o 1. Uma matriz d e ”m” lin h as e ” n ” co lu n as e´ d ad a po r:
Am×n =


a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
· · · · · · ·
· · · · · · ·
am1 am2 am3 · · · amn


= [aij ]m×n
T ip os E sp eciais d e m atrizes
Definic¸a˜o 2 (M a triz Q u a d ra d a ). Q u an d o m= n .
E x em p lo 1.
A3×3 =

 1 −2 33 0 1
4 5 6


D izemo s qu e A3×3 e´ d e o rd em 3 . E m geral, se temo s u ma matriz An×n d izemo s
qu e e´ d e o rd em n , d en o tamo s po r An.
Definic¸a˜o 3 (M a triz Nu la o u Z ero ). S e aij = 0, ∀i = 1, 2, ..., m, ∀j = 1, 2, ..., n.
Definic¸a˜o 4 (M a triz C o lu n a ). S e po ssu i u ma u´ n ica co lu n a, o u seja n = 1 .
E x em p lo 2 . 
 1−4
3

 = A3×1
1
2 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
Definic¸a˜o 5 (M a triz L in h a ). S e m= 1 .
E x em p lo 3 . [
3 0 −1
]
= A1×3
Definic¸a˜o 6 (M a triz D ia g o n a l). E´ u ma matriz qu ad rad a, o n d e
aij = 0, para i 6= j.
E x em p lo 4 . 
 7 0 00 1 0
0 0 −1


3×3
Definic¸a˜o 7 (M a triz Id en tid a d e). E´ d efi n id a po r aii = 1, e aij = 0, para i 6= j.
E x em p lo 5 .
I3 =

 1 0 00 1 0
0 0 1


3×3
Definic¸a˜o 8 (M a triz T ria n g u la r S u p erio r). E´ u ma matriz qu ad rad a tal qu e
aij = 0, para i > j.
E x em p lo 6 . 
 2 −2 00 1 3
0 0 5


3×3
Definic¸a˜o 9 (M a triz T ria n g u la r In ferio r). E´ u ma matriz qu ad rad a tal qu e
aij = 0, para i < j.
E x em p lo 7 . 
 2 0 07 1 0
−1 0 5


3×3
Definic¸a˜o 10 (M a triz S im e´tric a ). E´ aqu ela matriz qu ad rad a qu e verifi ca
aij = aji .
E x em p lo 8 . 
 2 −1 1−1 1 0
1 0 5


3×3
1.1. TEORIA G ERAL DE MATRIZES 3
O p erac¸o˜es com M atrizes
Definic¸a˜o 11 (A d i¸c a˜ o o u S o m a ). D ad as A = Am×n = [aij ] e B = Bm×n =
[bij ], d efi n imo s a matriz soma A + B po r A + B = [aij + bij ] matriz d e o rd em
m× n.
P rop ried ad es : D a d a s a s m a trizes A , B e C d e m esm a o rd em m × n, tem o s
q u e :
(i) A + B = B + A(c o m u ta tiv a )
(ii) A + (B + C) = (A + B) + C(a sso c ia tiv a )
(iii) A + 0 = A, o n d e o e´ a m a triz n u la d e o rd em n .
Definic¸a˜o 12 (P ro d u to o u M u tip lic a c¸ a˜ o p o r u m esc a la r). S e A = [aij ]m×n e
λ u m n u´ mero , pod emo s d efi n ir u ma n o va matriz tal qu e λ ·A = [λ · aij ]m×n.
P rop ried ad es D a d a s a s m a trizes A e B d a m esm a o rd em m × n e n u´ m ero s
α, β, tem o s q u e :
(i) α · (A + B) = α ·A + α ·B
(ii) (α + β) ·A = α ·A + β ·A
(iii) 0 ·A = 0m×n
(iv ) α · (β ·A) = (α · β) ·A.
Definic¸a˜o 13 (M a triz T ra n sp o sta ). D ad a u ma matriz A = [aij ]m×n , pod emo s
o bter o u tra matriz, d en o tad a po r At = [bij ]n×m , cu jas lin h as sa˜o as co lu n as d e
A , ch amad a a matriz tran spo sta d e A .
E x em p lo 9 .
A =
[
2 −1 4
]
1×3
At =

 2−1
4


3×1
E x em p lo 10 .
A =

 2 10 3
−1 4


3×2
At =
[
2 0 −1
1 3 4
]
2×3
P rop ried ad es :
(i) A m a triz A e´ sim e´tric a se, e so m en te se A = At
(ii) Att = A
(iii) (A + B)t = At + Bt
(iv ) (λ ·A)t = λ ·At, o n d e λ e´ u m n u´ m ero .
Definic¸a˜o 14 (M u ltip lic a c¸ a˜ o d e m a trizes). S ejam A = Am×n = [aij ] e B =
Bn×p = [brs ], d efi n imo s a matriz A ·B = [ck l]m×p,
o n d e ck l =
n∑
j= 1
ak j · bjl
4 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
O b serv ac¸a˜o 1. P od emo s efetu ar o p rod u to d as matrizes A = Am×n = [aij ] e B =
Bl×p = [brs ], qu an d o n = l. A matriz A ·B tera´ o rd em m× p.
E x em p lo 11.
A = A3×2 =

 2 14 2
5 3

 B = B2×2 =
[
1 −1
0 4
]
A·B =

 2 14 2
5 3


3×2
·
[
1 −1
0 4
]
2×2
=

 2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 44 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4
5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4


3×2
=

 2 24 4
5 7


3×2
1.2 S istemas L ineares
2a L i¸c a˜ o (c o m p ro jeto r m u ltim ed ia ) 15/ 03/ 2007
Definic¸a˜o 15 . S eja A = [aij ] u ma matriz e b1, b2, ..., bn n u´ mero s. A s
equ ac¸ o˜ es d o tipo :
(∗)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
sa˜o co n h ecid as como u m sistema d e equ ac¸ o˜ es lin eares d e ”m” equ ac¸ o˜ es e ” n ” in c o´ g n itas.
O b serv ac¸a˜o 2 . Uma so lu c¸ a˜o d e (* ) e´ u ma n -u p la d e n u´ mero s (x1, x2, ..., xn) qu e
satisfac¸a simu lta´n eamen te as ”m” equ ac¸ o˜ es.
O b serv ac¸a˜o 3 . S e bi = 0, ∀i = 1, 2, .., m d izemo s qu e o sistema e´ h omog eˆn eo .
O b serv ac¸a˜o 4 . O sistema d e equ ac¸ o˜ es:
(∗∗)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
...................................................
...................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
e´ c h amad o sistema h omog eˆn eo assoc iad o a (* ).
O b serv ac¸a˜o 5 . P od emo s escrever o sistema (* ) n a fo rma matric ial:


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
am1 am2 · · · amn

 ·


x1
x2
·
·
xm


=


b1
b2
·
·
bm


O U A ·X = B
1.2 . SISTEMAS LINEARES 5
o n d e
A =


a11 · · · a1n
· · · · ·
· · · · ·
am1 · · · amn

 , X =


x1
·
·
xm

 , B =


b1
·
·
bm


A e´ c h amad a a matriz d o s coefi c ien tes d o sistema, X e´ a matriz d as in c o´ g n itas
e B e´ a matriz d o s termo s in d epen d en tes.
Definic¸a˜o 16 . A o sistema pod emo s assoc iar a matriz amp liad a d o sistema ,
d ad a po r 

a11 a12 · · a1n b1
a21 a22 · · a2n b2
· · · · · ·
am1 am2 · · amn bm


E x em p lo 12 . O sistema:
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 = 3x2 − 2x3 = 5
P od e ser escrito n a fo rma matric ial segu in te:

 1 4 32 5 4
1 −3 −2

 ·

 x1x2
x3

 =

 14
5


P ara reso lver o sistema, co n sid eramo s a matriz amp liad a.

 1 4 3 12 5 4 4
1 −3 −2 5


Usan d o o perac¸ o˜ es elemen tares, a ser d efi n id as, ch egamo s a

 1 0 0 30 1 0 −2
0 0 1 2


qu e e´ a matriz amp liad a d o sistema so lu c¸ a˜o :
x1 = 3
x2 = −2
x3 = 2
6 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
Definic¸a˜o 17 (O p era c¸ o˜ es E lem en ta res). T emo s treˆs o perac¸ o˜ es so bre as lin h as
d e u ma matriz.
(i) P ermu ta d a i-e´sima lin h a pela j-e´sima lin h a ( Li ⇔ Lj ).
(ii) M u ltip licac¸ a˜o d a i-e´sima lin h a po r u m escalar n a˜o n u lo k . (Li ⇒ k · Li).
(iii) S u bstitu ic¸ a˜o d a i-e´sima lin h a pela i-e´sima lin h a mais k vezes a j-e´sima
lin h a.(Li ⇒ Li + k · Lj).
E x em p lo 13 . L2 ⇔ L3 .
 1 04 −1
−3 4

 ⇒

 1 0−3 4
4 −1


E x em p lo 14 . L2 ⇒ −3 · L2
 1 04 −1
−3 4

 ⇒

 1 0−12 3
−3 4


E x em p lo 15 . L3 ⇒ L3 + 2 · L1
 1 04 −1
−3 4

 ⇒

 1 04 −1
−1 4


Definic¸a˜o 18 (M a trizes E q u iv a len tes). D ad as d u as matrizes d o tipo m ×
n, d izemo s qu e B e´ lin h a equ ivalen te a A , se B e´ o b tid a d e A atrav e´s d e
u m n u´ mero fi n ito d e o perac¸ o˜ es elemen tares so bre as lin h as d e A , d en o tamo s
A ⇒ B o u A ∼ B.
Definic¸a˜o 19 (F o rm a E sc a d a ). Uma matriz m × n, e´ lin h a red u zid a a`
fo rma escad a, se verifca:
(a) O p rimeiro elemen to NA˜ O n u lo d e u ma lin h a NA˜ O n u lae´ 1 .
(b ) C ad a co lu n a qu e co n te´m o p rimeiro elemen to NA˜ O n u lod e algu ma lin h atem
tod o s o s seu s o u tro s elemen to s igu ais a zero .
(c) T od a lin h a n u la oco rre abaixo d e tod as as lin h as NA˜ O n u las (isto e´, d aqu elas
qu e po ssu em pelo men o s u m elemen to NA˜ O n u lo ).
(d ) S e as lin h as 1 , 2 , ..., r sa˜o as lin h as n a˜o n u las, e se o p rimeiro elemen to
NA˜ O n u lo d a lin h a i oco rre n a co lu n a ki, en ta˜o k1 < k2 < ... < kr.
T eorem a 1. T od a matriz Am×n e´ lin h a equ ivalen te a u ma u´ n ica matriz-lin h a
red u zid a a` fo rma escad a.
Definic¸a˜o 2 0 . D ad a u ma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz-lin h a red u zid a a`
fo rma escad a lin h a equ ivalen te a A . O po sto d e A , d en o tad o po r p , e´ o n u´ mero
d e lin h as n a˜o n u las d e B . A n u lid ad e d e A e´ a d iferen c¸a n - p .
1.2 . SISTEMAS LINEARES 7
E x em p lo 16 . D etermin ar o po sto e a n u lid ad e d a matriz segu in te:
A =

 1 2 1 0−1 0 3 5
1 −2 1 1


F azemo s as segu in tes o perac¸ o˜ es elemen tares:
L2 ⇒ L2 + L1 ⇒ (1/2)(L2 + L1),
L3 ⇒ L3 + (−1)L1, i. e´.,

 1 2 1 0−1 0 3 5
1 −2 1 1

 ⇒

 1 2 1 00 2 4 5
0 −4 0 1

 ⇒

 1 2 1 00 1 2 5/2
0 −4 0 1

 = B
Na matriz resu ltan te B , efetu amo s as o perac¸ o˜ es :
L1 ⇒ L1 + (−2)L2, L3 ⇒ (1/8)L3,
L1 ⇒ L1 + 3 · L3, L2 ⇒ L2 + (−2) · L3

 1 2 1 00 1 2 5/2
0 −4 0 1

 ⇒

 1 0 −3 −50 1 2 5/2
0 0 8 11

 ⇒

 1 0 −3 −50 1 2 5/2
0 0 1 11/8


⇒

 1 0 0 −7/800 1 0 −1/4
0 0 1 11/8


O po sto d e A e´ 3 e a n u lid ad e d e A , e´ 4 -3 = 1 .
E x em p lo 17 (S o lu c¸ a˜ o d e u m sistem a d e E q u a c¸ o˜ es L in ea res). C alcu le a so lu c¸ a˜o
d o sistema {
2x1 + x2 = 5
x1 − 3x2 = 6
A matriz amp liad a d o sistema e´
(
2 1 5
1 −3 6
)
T ran sfo rman d o a matriz a` fo rma escad a, tem-se
(
1 0 3
0 1 −1
)
qu e e´ a matriz amp liad a d o sistema equ ivalen te ao sistema in ic ial, i. e´.,
{
x1 = 3
x2 = −1
8 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
E x em p lo 18 . D etermin ar a so lu c¸ a˜o d o sistema.{
2x1 + x2 = 5
6x1 + 3x2 = 15
A matriz amp liad a assoc iad a ao sistema e´(
2 1 5
6 3 15
)
⇒
(
1 1/2 5/2
0 0 0
)
O qu al equ ivale, {
x1 + (1/2)x2 = 5/2
0x1 + 0x2 = 0
T emo s qu e x1 = 5/2 − (1/2)x2 , fazen d o x2 = λ , resu lta qu e a so lu c¸ a˜o
pod e ser escrita n a fo rma (x1, x2) = ( 5/2 − (1/2)λ, λ ) = ( 5/2, 0 ) +
λ( −1/2, 1 ) . P o rtan to este sistema admite in fi n itas so lu c¸ o˜ es.
O bservar qu e a matriz tem po sto 1 , e a n u lid ad e d a matriz e´ 2 -1 = 1 .
E x em p lo 19 . A n alisar a existeˆn c ia d e so lu c¸ o˜ es para o sistema{
2x1 + x2 = 5
6x1 + 3x2 = 10
A matriz amp liad a assoc iad a ao sistema e´(
2 1 5
6 3 10
)
⇒
(
1 1/2 0
0 0 1
)
O qu al equ ivale, {
x1 + (1/2)x2 = 0
0x1 + 0x2 = 1
C omo NA˜ O ex iste n en h u m valo r d e x1 e x2 satisfazen d o a segu n d a equ ac¸ a˜o ,
d izemo s qu e o sistema e´ in compat´ıvel. O bservar qu e a matriz d o sistema in ic ial
tem po sto e o po sto d e su a matriz amp liad a e´ 2 .
C aso G eral. D a d o o sistem a d e m eq u a c¸ o˜ es lin ea res c o m n in c o´ g n ita s


a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
· · · · · ·
· · · · · ·
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bn
A p resen ta -se treˆs c a so s:
(i) E x iste u m a u´ n ic a so lu c¸ a˜ o , d izem o s q u e o sistem a e´ c o m p a t´ıv el.
(ii) E x istem in fi n ita s so lu c¸ o˜ es, i,´e., o sistem a e´ in d eterm in a d o .
(iii) NA˜ O ex iste so lu c¸ a˜ o , d izem o s q u e o sistem a e´ in c o m p a t´ıv el.
D en o ta n d o p o r A = [aij ]m×n a m a triz a sso c ia d a a o sistem a e p o r Aa , a
m a triz a m p lia d a a sso c ia d a a o sistem a , tem o s o seg u in te resu lta d o .
1.3 . DETERMINANTES 9
T eorem a 2 . T emo s o s segu in tes items.
(i) O sistema tem so lu c¸ a˜o ⇔ po sto d e A = po sto d e Aa .
(ii) S e o po sto d e A = po sto d e Aa = p = n , en ta˜o a so lu c¸ a˜o sera´ u´ n ica.
(iii) S e o po sto d e A = po sto d e Aa = p < n , en ta˜o pod emo s esco lh er n -p
in c o´ g n itas, e as o u tras p in c o´ g n itas sera˜o d ad as em fu n c¸ a˜o d estas.
O b serv ac¸a˜o 6 . No caso (iii), d izemo s qu e o grau d e liberd ad e d o sistema e´
n -p .
E x em p lo 2 0 . S e co n sid eramo s a matriz:
Aa =

 1 0 0 30 1 0 −2
0 0 1 2


T emo s qu e, m= 3 , n = 3 e p = 3 . P o sto d e A = P o sto d a matriz amp liad a= 3 . L ogo ,
o sistema assoc iad o tem so lu c¸ a˜o u´ n ica d ad a po r x1 = 3, x2 = −2, x3 = 2.
E x em p lo 2 1. S eja
Aa =
(
1 0 7 −10
0 1 5 −6
)
T em-se qu e m= 2 , n = 3 e p = 2 . P o sto d e A = P o sto d a matriz amp liad a= 2 , o
grau d e liberd ad e e´ 1 , pod emo s esco lh er u ma in c o´ g n ita e as o u tras d u as sera˜o
d ad as em fu n c¸ a˜o d a p rimeira, i.e´., x1 = −10− 7x3, x2 = −6− 5x3 .
E x em p lo 2 2 . C o n sid eramo s
Aa =

 1 0 7 −100 1 5 −6
0 0 0 2


m= n = 3 , po sto d e A = 2 , po sto d a matriz amp liad a= 3 , po rtan to o sistema e´ in -
compat´ıvel o u seja NA˜ O tem so lu c¸ a˜o .
1.3 Determinantes
3a L i¸c a˜ o (20/ 03/ 2007)
S eja A =
(
a b
c d
)
m a triz d e o rd em 2× 2, o n d e a, b, c e d ∈ < .
D efi n im o s seu d eterm in a n te c o m o o n u´ m ero ad− bc , d en o ta m o s
|A| = D e t(A) =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad− bc.
10 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
E x em p lo 2 3 . D ad a A =
(
2 1
1 4
)
, tem-se qu e
|A| =
∣∣∣∣ 2 11 4
∣∣∣∣ = 2 · 4− 1 · 1 = 7.
S e c o n sid era m o s u m a m a triz d e o rd em 3 d a fo rm a
A =

 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33


D efi n im o s o d eterm in a n te (u sa n d o a p rim eira lin h a ) c o m o o n u´ m ero
|A| = a11 ·
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ − a12 ·
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ + a13 ·
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = D e t(A)
T a m b e´m p o d e ser esc rito n a fo rm a
D e t(A) = a11 · D e t(A11) = a12 · D e t(A12) + a13 · D e t(A13)
S e u sa m o s a seg u n d a lin h a , tem o s :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ + a22 ·
∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ − a23 ·
∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = D e t(A)
o u
D e t(A) = −a21 · D e t(A21) + a22 · D e t(A22)− a23 · D e t(A23)
O b serv ac¸a˜o 7 . P ara calcu lar o d etermin an te d e u ma matriz pod emo s u sar
qu alqu er lin h a o u co lu n a.
C aso G eral : C o n sid era m o s A m a triz q u a d ra d a d e o rd em n , e seja
A = [aij ]n×n, e Aij a su b m a triz q u a d ra d a d e o rd em (n -1), o b tid a d e A retira n d o -
se a i-e´sim a lin h a e a j-e´sim a c o lu n a , ch a m a d a c o m p lem en to a lg e´b ric o d o ele-
m en to aij .
D efi n im o s o d eterm in a n te d a m a triz A , seg u n d o a lin h a i, p o r :
D e t(A) = |A| = (−1)i+1 · ai1D e t(Ai1) + · · ·+ (−1)
i+n · ainD e t(Ain)
1.4 . INV ERSA˜O DE MATRIZES 11
P rop ried ad es
(a) S e o s elem en to s d e u m a lin h a (o u c o lu n a )d e u m a m a triz sa˜ o to d o s zero s,
en ta˜ o D e t(A) = 0 .
(b ) S e tro c a m o s d e p o si¸c a˜ o d u a s lin h a s, o d eterm in a n te tro c a d e sin a l.
(c) S e m u ltip lic a m o s u m a lin h a d a m a triz p o r u m a c o n sta n te, o d eterm in a n te
e´ m u ltip lic a d o p o r esta c o n sta n te.
(d ) O d eterm in a n te d e u m a m a triz q u e tem d u a s lin h a s (c o lu n a s) ig u a is e´ zero .
(e) O d eterm in a NA˜ O m u d a se so m a m o s a u m a lin h a o u tra lin h a m u ltip lic a d a
p o r u m a c o n sta n te.
(f) D e t(A ·B) = D e t(A) ·D e t(B) .
(g ) D e t(A) = D e t(At) .
1.4 Inv ersa˜o d e Matrizes
4a L i¸c a˜ o (22/ 03/ 2007)
D a d a u m a m a triz d o tip o
A =
(
a b
c d
)
S e D e t(A) = ad − bc 6= 0, d eseja m o s a ch a r u m a m a triz in v ersa d e A , isto e´,
q u erem o s d eterm in a r u m a m a triz X d e o rd em 2, ta l q u e
A ·X = X ·A = I2
C a lc u la n d o o p ro d u to , tem o s q u e:
(
a b
c d
)
·
(
x y
z w
)
=
(
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
)
=
(
1 0
0 1
)
R eso lv en d o a p rim eira c o lu n a , c a lc u la m o s x e z , e e reso lv en d o a seg u n d a c o lu n a
a ch a m o s y e w .
E x em p lo 2 4 . A ch ar a matriz A d e o rd em 2 tal qu e A ·X = I2 , o n d e
A =
(
2 1
4 3
)
D evemo s reso lver o s sistemas segu in tes:
{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usan d o a teo ria d as equ ac¸ o˜ es lin eares, ach amo s : x= 1 , z= -1 , y = -1 / 2 , w = 1 .
Definic¸a˜o 2 1. D ad a u ma matriz qu ad rad a d e o rd em n , ch amamo s d e in versa
d e A a u ma matriz B tal qu e A · B = B · A = In . Nesta caso , d en o tamo s
B = A−1 e d izemo s qu e A e´ u ma matriz in versı´vel.
12 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
O b serv ac¸a˜o 8 . S e ex iste a in versa, ela e´ u´ n ica.
O b serv ac¸a˜o 9 . S e A e B sa˜o matrizes in versı´veis, en ta˜o A ·B e´ in versı´vel e
(A ·B)−1 = B−1 ·A−1 .
O b serv ac¸a˜o 10 . Nem tod a matriz tem in versa.
O b serv ac¸a˜o 11. S e A e´ in versı´vel, en ta˜o D e t(A−1) = (D e t(A))−1 .
T eorem a 3 . Uma matriz qu ad rad a e´ in versı´vel, se e somen te se, D e t(A) 6= 0 .
Neste caso ,
A−1 = [bij ]
t
n×n, o n d e bij =
(−1)i+jD e t(Aij)
D e t(A)
O b serv ac¸a˜o 12 . S e d efi n imo s a matriz ad ju n ta d e A , d en o tad a po r A d j A ,
como a matriz tran spo sta d o s co fato res d e A , temo s qu e:
A−1 =
1
D e t(A)
· (AdjA) .
E x em p lo 2 5 . C o n sid eramo s a matriz
A =
[
6 2
11 4
]
temo s qu e D e t(A) = 4 · 6− 2 · 11 = 2 6= 0, logo ex iste a matriz in versa d e A .
P rimeiro calcu lamo s a matriz d o s co fato res d e A , i e´.,
[
6 −11
−2 4
]
logo a tran spo sta d esta matriz, o u seja,
AdjA =
[
4 −2
−11 6
]
P o rtan to , A−1 =
1
2
[
4 −2
−11 6
]
=
[
2 −1
−11/2 3
]
R E G R A DE C AM E R
C o n sid era m o s o sistem a d e n -eq u a c¸ o˜ es e n -in c o´ g n ita s.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
1.4 . INV ERSA˜O DE MATRIZES 13
P o d em o s esc rev er n a fo rm a m a tric ia l


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
an1 an2 · · · ann

 ·


x1
x2
·
·
xn


=


b1
b2
·
·
bn


O U A ·X = B
S e D e t(A) 6= 0 , en ta˜ o A−1 ex iste e A−1 · (A ·X) = A−1 ·B
⇔ (A−1 ·A) ·X = In ·X = A
−1 ·B ⇔ X = A−1 ·B .
Na fo rm a m a tric ia l

x1
x2
·
·
xn


=


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
an1 an2 · · · ann


−1
·


b1
b2
·
·
bn


U sa n d o a fo´ rm u la d a m a triz in v ersa , tem -se q u e:

x1
x2
·
·
xn


=
1
D e t(A)
·


∆11 ∆12 · · · ∆1n
∆21 ∆22 · · · ∆2n
· · · · · ·
∆n1 ∆n2 · · · ∆nn

 ·


b1
b2
·
·
bn


o n d e ∆ij e´ o d eterm in a n te d a su b -m a triz d e o rd em (n -1), c o rresp o n d en te a
aij .E n ta˜ o
x1 =
b1 ·∆11 + ·... ·+bn ·∆n1
D e t(A)
O U
x1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
b1 a12 · · · a1n
b2 a22 · · · a2n
· · · · · ·
bn an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣
E m fo rm a g era l xi =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · b1 · a1n
a21 a22 · b2 · a2n
· · · · · ·
an1 an2 · bn · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣
i=1,2, ..., n .
E x em p lo 2 6 . D ad o o sistema d e 3 equ ac¸ o˜ es e 3 in c o´ g n itas:

2x − 3y + 7z − 1
x + 3z = 5
2y − z = 0
14 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
resu lta qu e
D e t

 2 −3 71 0 3
0 2 −1

 = −1 6= 0
L ogo , pod emo s u sar a regra d e C ramer, i. e´.,
x =
∣∣∣∣∣∣
1 −3 7
5 0 3
0 2 −1
∣∣∣∣∣∣
−1
= −49, y =
∣∣∣∣∣∣
2 1 7
1 5 3
0 0 −1
∣∣∣∣∣∣
−1
= 9, z =
∣∣∣∣∣∣
2 −3 1
1 0 5
0 2 0
∣∣∣∣∣∣
−1
= 18.
M AT R IZ E S E L E M E N T AR E S .
P a ra c a lc u la r a in v ersa d e u m a m a triz , p rec isa m o s d e u m n u´ m ero g ra n d e d e
o p era c¸ o˜ es. O p ro cesso en v o lv e a in tro d u c¸ a˜ o d e m a trizes elem en ta res.
E x em p lo 2 7 . D ad a a matriz
A =

 1 2 40 1 3
2 1 −4


M u ltip licamo s a p rimeira lin h a (L1) , po r 2 e o btemo s

 2 4 80 1 3
2 1 −4


qu e e´ igu al ao p rod u to

 2 0 80 1 0
0 0 1

 ·

 1 2 40 1 3
2 1 −4


.
E x em p lo 2 8 . D ad a a matriz
A =

 1 2 40 1 3
2 1 −4


S e permu tamo s a p rimeira e su n d a lin h a d a matriz A , tem-se

 0 1 31 2 4
2 1 −4


1.4 . INV ERSA˜O DE MATRIZES 15
Q u e resu lta ser o p rod u to

 0 1 81 0 0
0 0 1

 ·

 1 2 40 1 3
2 1 −4


E x em p lo 2 9 . D ad a a matriz
A =

 1 2 40 1 3
2 1 −4


S e somamo s a` p rimeira lin h a d e A a segu n d a lin h a mu ltip licad a po r 2 , o b temo s

 1 4 100 1 3
2 1 −4


qu e e´ o p rod u to 
 1 2 80 1 0
0 0 1

 ·

 1 2 40 1 3
2 1 −4


Definic¸a˜o 2 2 . Uma matriz elemen tar e´ u ma matriz o btid a atrav e´s d a ap licac¸ a˜o
d e u ma o perac¸ a˜o elemen tar com lin h as n a matriz id en tid ad e.
T eorem a 4 . S e A e´ u ma matriz, resu ltad o d e algu ma o perac¸ a˜o com lin h as d e
A , e´ ig u al ao p rod u to d a matriz elemen tar co rrespo n d en te com a matriz A .
C orol´ario 1. Uma matriz elemen tar E1 e´ in versı´vel e su a in versa e´ a matriz
elemen tar E2 qu e co rrespo n d e a` o perac¸ a˜o com lin h as in versa d a o perac¸ a˜o
efetu ad a po r E1 .
T eorem a 5 . S e A e´ in versı´vel, su a matriz lin h a red u zid a a fo rma escad a e´
a id en tid ad e. T ambe´m, temo s qu e A e´ d ad a po r u m p rod u to d e matrizes ele-
men tares.
T eorem a 6 . S e A pod e ser red u zid a a` matriz id en tid ad e, po r u ma seq” u eˆn c ia
d e o perac¸ o˜ es elemen tares com lin h as, en ta˜o A e´ in versı´vel e a matriz in versa d e
A e´ o b tid a como u m p rod u to d e matrizes elemen tares.
E x em p lo 3 0 . S eja
A =


2 1 0 0
1 0 −1 1
0 1 1 1
−1 0 0 3


16 CAPI´TULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
J u n to a` matriz A co locamo s a matriz id en tid ad e, a id e´ia e´ tran sfo rmar a matriz
A n a id en tid ad e. 

2 1 0 0 ‖ 1 0 0 0
1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0
0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0
−1 0 0 3 ‖ 0 0 0 1


T rocamo s a p rimeira e segu n d a lin h a,


1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0
2 1 0 0 ‖ 1 0 0 0
0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0
−1 0 0 3 ‖ 0 0 0 1


S omamo s a` qu arta a p rimeira


1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0
2 1 0 0 ‖ 1 0 0 0
0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0
1 + 0 0 0− 1 3 + 1 ‖ 0 0 + 1 0 1


S omamo s a` segu n d a, a p rimeira mu ltip licad a po r -2


1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0
2− 2 1 0− (−2) 0− 2 ‖ 1 0− 2 0 0
0 1 1 1 ‖ 0 0 1 0
1 0 −1 4 ‖ 0 1 0 1


S u btra´ımo s a segu n d a lin h a d a terceira,


1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0
0 1 2 −2 ‖ 1 −2 0 0
0 1− 1 1− 2 1 + 2 ‖ 0− 1 0 + 2 1 0
1 0 −1 4 ‖ 0 1 01


M u d amo s o sin al d a terceira lin h a

1 0 −1 1 ‖ 0 1 0 0
0 1 2 −2 ‖ 1 −2 0 0
0 0 1 −3 ‖ 1 −2 −1 0
0 0 −1 4 ‖ 0 1 0 1


D epo is trabalh amo s co n ven ien temen te com a qu arta lin h a


1 0 0 0 ‖ 3 −3 −3 2
0 1 0 0 ‖ −5 6 2 −4
0 0 1 0 ‖ 4 −5 −4 3
0 0 0 1 ‖ 1 −1 −1 1


1.4 . INV ERSA˜O DE MATRIZES 17
D ed u zimo s qu e
A−1 =


3 −3 −3 2
−5 6 2 −4
4 −5 −4 3
1 −1 −1 1

