Potencial Elétrico

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Halliday 
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Fundamentos de Física 
Volume 3 
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Capítulo 24 
Potencial Elétrico 
24.1 O Que é Física? 
Os físicos e engenheiros descobriram 
experimentalmente que a força elétrica é 
conservativa e que, portanto, é possível 
associar à força elétrica uma energia 
potencial elétrica. 
 
A motivação para associar uma energia 
potencial a uma força é o fato de que isso 
permite aplicar a lei de conservação da 
energia mecânica a sistemas fechados que 
envolvam a força. 
Quando uma força eletrostática age entre duas ou mais partículas de um 
sistema, podemos associar uma energia potencial elétrica U ao sistema. 
 
Se a configuração do sistema muda de um estado inicial i para um estado 
final f, a força eletrostática realiza um trabalho W sobre as partículas. A 
variação de energia potencial associada é dada por 
 
Como acontece com qualquer força conservativa, o trabalho realizado 
pela força eletrostática é independente da trajetória. 
 
Por conveniência, em geral usamos, como configuração de referência de 
um sistema de partículas carregadas, a configuração na qual a distância 
entre as partículas é infinita e definimos a energia potencial de referência 
como sendo zero. Nesse caso, 
f i∆ = − =−U U U W.
24.2 Energia Potencial Elétrica 
.∞=−U W
Exemplo: Trabalho e Energia Potencial Associados a um Campo Elétrico 
A energia potencial por unidade de carga associada a um campo elétrico é chamada de 
potencial elétrico (ou, simplesmente, potencial) e representada pela letra V. Assim, 
 
 
A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é igual à diferença entre os potenciais 
elétricos dos dois pontos. Assim, 
 
 
 
A diferença de potencial entre dois pontos é, portanto, o negativo do trabalho realizado pela 
força eletrostática para transportar uma carga unitária de um ponto até o outro. 
 
Se tomarmos Ui = 0 no infinito como referência para a energia potencial, o potencial elétrico 
no infinito também será nulo. Nesse caso, podemos definir o potencial elétrico em qualquer 
ponto do espaço através da relação 
 
 
onde W∞ é o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando a 
partícula é deslocada do infinito para o ponto f. 
 
A unidade de potencial do SI é o volt (V), que equivale a um joule por coulomb. 
 
24.3 Potencial Elétrico 
24.3 Potencial Elétrico: Unidades 
A definição de volt permite adotar uma unidade mais 
conveniente para o campo elétrico, que até agora vem sendo 
expresso em newtons por coulomb. Com duas conversões de 
unidades, obtemos 
 
 
 
Podemos também definir uma unidade de energia que é 
conveniente no caso da medida de energia de sistemas de 
dimensões atômicas ou subatômicas. Um elétron-volt (eV) é a 
energia igual ao trabalho necessário para deslocar uma carga 
elementar e, como a de um elétron ou de um próton, através 
de uma diferença de potencial de um volt. Como o valor 
absoluto desse trabalho é q∆V, temos: 
24.3 Potencial Elétrico: Trabalho Realizado por uma Força Aplicada 
Se uma partícula de carga q é transportada do ponto i para o ponto f, na presença de 
um campo elétrico, através da aplicação de uma força, a força aplicada realiza um 
trabalho Wap sobre a carga, enquanto o campo elétrico realiza um trabalho W sobre a 
mesma carga. A variação ∆K da energia cinética da partícula é dada por 
 
 
Suponha que a partícula esteja parada antes e depois do deslocamento. Nesse caso, 
Kf = Ki = 0 e 
 
 
Relacionando o trabalho realizado pela força à variação da energia potencial da 
partícula durante o deslocamento, obtemos: 
 
 
Podemos também relacionar Wap à diferença de potencial elétrico ∆V entre as 
posições inicial e final da partícula: 
24.4 Superfícies Equipotenciais 
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície 
equipotencial, que pode ser uma superfície imaginária ou uma superfície real. 
Quando uma partícula carregada é deslocada de um ponto para outro de uma 
superfície equipotencial, o trabalho total realizado pelo campo elétrico é sempre nulo. 
24.4 Superfícies Equipotenciais 
24.5 Cálculo do Potencial a Partir do Campo 
Para a situação da Fig. 24-4, 
 
 
Trabalho total: 
 
 
 
 
 
Assim, a diferença de potencial Vf –Vi entre dois pontos 
i e f na presença de um campo elétrico é igual ao negativo 
da integral de linha do ponto i até o ponto f. Como a força 
eletrostática é conservativa, todas as trajetórias levam ao 
mesmo resultado. 
Se Vi = 0, temos: 
 
 
 
Esse é o potencial V em qualquer ponto f em relação ao 
potencial no ponto i. Se o ponto i está no infinito, esse é o 
potencial V em qualquer ponto f em relação ao infinito. 
Exemplo: Determinação da Diferença de Potencial a Partir do Campo Elétrico 
Exemplo: Determinação da Diferença de Potencial a Partir do Campo Elétrico (continuação) 
24.6 Potencial Produzido por uma Carga Pontual 
Considere um ponto P situado a uma distância R de uma partícula fixa de 
carga positiva q. Imagine que uma carga de prova positiva q0 é deslocada do 
ponto P até o infinito. Como a trajetória seguida pela carga de prova é 
irrelevante, podemos escolher a mais simples: uma reta que liga a partícula 
fixa ao ponto P e se estende até o infinito. Nesse caso, temos: 
 
 
 
se Vf = 0 (no ∞) e Vi = V (em R). Assim, o módulo do campo elétrico no 
ponto onde se encontra a carga de prova é 
 
 
 
Isso nos dá: 
 
 
 
 
Substituindo R por r, 
Uma partícula positivamente carregada produz um 
potencial elétrico positivo. Uma partícula 
negativamente carregada produz um potencial elétrico 
negativo. 
24.7 Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais 
Podemos calcular o potencial produzido em um ponto 
do espaço por um grupo de cargas pontuais usando o 
princípio de superposição. Para isso, calculamos 
separadamente os potenciais produzidos pelas cargas 
no ponto dado e somamos os potenciais. No caso de 
n cargas, o potencial é dado por 
Exemplo: Potencial Total de Várias Partículas Carregadas 
Exemplo: O Potencial Não é um Vetor 
No ponto P, a carga pontual positiva (que está a uma distância r(+)) produz 
um potencial V(+) e a carga negativa (que está a uma distância r(-)) produz um 
potencial V(-). Assim, o potencial total no ponto P é 
 
 
 
 
 
Os dipolos que ocorrem naturalmente têm dimensões reduzidas. Assim, 
normalmente estamos interessados em pontos distantes do dipolo, tais que r 
>> d, onde d é a distância entre as cargas. Nesse caso, se p = qd, 
24.8 Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico 
24.8 Momento Dipolar Induzido 
24.9 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas 
(a) Uma barra fina, uniformemente carregada, produz um potencial elétrico V no ponto P. (b) Um elemento 
de carga pode ser tratado como uma partícula. (c) O potencial produzido por um elemento de carga no 
ponto P depende da distância r. Precisamos somar os potenciais produzidos por todos os elementos da 
carga, da extremidade esquerda (d) à extremidade direita (e) da barra. 
Se λ é a carga por unidade de comprimento, a 
carga em dx é 
Na Fig. 24-13, considere um elemento de área constituído por 
um anel de raio R’ e largura radial dR’. A carga desse elemento 
é dada por 
 
 
 
A contribuição desse anel para o potencial elétrico no ponto P é 
 
 
 
 
O potencial total no ponto P pode ser calculado somando (por 
integração) as contribuições de todosos anéis de R’ = 0 até 
R’ = R: 
24.9 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas 
Suponha que uma carga de prova positiva q0 sofra um 
deslocamento de uma superfície equipotencial para a 
superfície vizinha. O trabalho realizado pelo campo 
elétrico sobre a carga de prova durante o deslocamento é 
−q0 dV. 
 
O trabalho realizado pelo campo elétrico também pode ser 
escrito como o produto escalar . 
 
Assim, 
 
ou seja, 
 
Como E cos θ é a componente de na direção de , 
 
 
 
Se tomamos o eixo s como sendo, sucessivamente, os 
eixos x, y e z, verificamos que as componentes do campo 
elétrico em qualquer ponto do espaço são dadas por 
24.10 Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial 
0 0( ) = cosq E ds q E dsθ⋅
 
0 0= cosq dV q E dsθ−
cos dVE dsθ = −
E

ds
Exemplo: Cálculo do Campo a Partir do Potencial 
24.11 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais 
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas 
pontuais fixas é igual ao trabalho que deve ser realizado 
por um agente externo para montar o sistema, começando 
com as cargas a uma distância infinita umas das outras. 
A Fig. 24-15 mostra duas cargas pontuais, q1 e q2, separadas por 
uma distância r. Quando trazemos a carga q1 do infinito e a 
colocamos no lugar, não realizamos trabalho porque não existe uma 
força eletrostática agindo sobre q1. Quando, porém, trazemos q2 do 
infinito e a colocamos no lugar, realizamos um trabalho, já que q1 
exerce uma força eletrostática sobre q2 durante o deslocamento. 
O trabalho realizado é q2V, onde V é o potencial criado por q1 no ponto onde colocamos q2. 
Exemplo: Energia Potencial de um Sistema de Três Partículas Carregadas 
Exemplo: Conversão de Energia Cinética em Energia Potencial Elétrica 
Sabemos que . 
 
Como o campo elétrico é nulo em todos os pontos de um condutor, 
Vf = Vi para qualquer par de pontos i e f do condutor. 
24.12 Potencial de um Condutor Carregado 
24.12 Centelhamento de um Condutor Carregado 
Nos condutores não esféricos, uma carga superficial não se distribui uniformemente na superfície do 
condutor. Em vértices e arestas, a densidade de cargas superficiais (e, portanto, o campo elétrico 
externo, que é proporcional à densidade de cargas superficiais) pode atingir valores muito elevados. 
Nas vizinhanças desses vértices e arestas, o ar pode se ionizar, produzindo as centelhas que golfistas e 
montanhistas observam na ponta de arbustos, tacos de golfe e martelos de alpinismo quando o céu está 
carregado. As centelhas, como o cabelo em pé, podem ser um sinal de que um relâmpago está para 
acontecer. Nessas circunstâncias, é mais prudente abrigar-se no interior de uma casca condutora, local 
onde o campo elétrico com certeza é zero. Um carro (a menos que se trate de um modelo conversível 
ou com carroceria de plástico) constitui uma proteção quase ideal. 
24.12 Condutor em um Campo Elétrico 
Se um objeto feito de um material condutor é 
submetido a um campo elétrico externo, como na Fig. 
24-20, o potencial continua a ser o mesmo em todos 
os pontos do objeto. Os elétrons de condução se 
distribuem na superfície de tal forma que o campo 
elétrico que produzem no interior do objeto cancela o 
campo elétrico externo. Além disso, a distribuição de 
elétrons faz com que o campo elétrico total seja 
perpendicular à superfície em todos os pontos da 
superfície. Se houvesse um meio de remover o 
condutor da Fig. 24-20 deixando as cargas superficiais 
no lugar, a configuração de campo elétrico 
permaneceria exatamente a mesma, tanto para os 
pontos externos como para os pontos internos. 
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