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Controle de Processos Quimicos

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CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS 
 
ENG – 009 
 
 
 
 
Autor: Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid – kalid@ufba.br 
Revisora: Enga Grazziela Gomes 
Laboratório de Controle e Otimização de Processos Industriais - LACOI 
Departamento de Engenharia Química - DEQ 
Escola Politécnica - EP 
Universidade Federal da Bahia – UFBA 
Salvador, junho de 2004. 
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C o n t r o l e d e P r o c e s s o s 
- R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r 
Í N D I C E G E R A L 
 
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 
CAPÍTULO 2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
CAPÍTULO 3. ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS 
CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DA DINÂMICA DE PROCESSOS 
CAPÍTULO 5. INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE 
CAPÍTULO 6. SISTEMAS LINEARES EM MALHAS FECHADAS 
CAPÍTULO 7. ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES 
CAPÍTULO 8. ESTRATÉGIAS DE CONTROLE 
CAPÍTULO 9. CONTROLE AVANÇADO 
CAPÍTULO 10. TEORIA DE CONTROLE MODERNO: ABORDAGEM POR ESPAÇO DE 
 ESTADOS 
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Í N D I C E 
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1-2 
1.1. MOTIVAÇÃO PARA IMPLANTAR UM SISTEMA DA CONTROLE 1-2 
1.2. NORMAS UTILIZADAS EM INSTRUMENTAÇÃO 1-6 
 
Í N D I C E D E T A B E L A S 
Tabela 1-1: Estratégias para o controle de temperatura de um tanque de aquecimento agitado. 1-5 
Tabela 1-2: Sinais padrão de transmissão de informações. 1-7 
Tabela 1-3: Exemplo de identificação de instrumento. 1-9 
 
Í N D I C E D E F I G U R A S 
Figura 1-1: Exemplo de controle de processo. 1-3 
Figura 1-2: Tanque de aquecimento com agitação. 1-4 
Figura 1-3: Tanque de aquecimento agitado com controle feedback. 1-5 
Figura 1-4: Símbolos gerais para instrumento ou função programada. 1-7 
Figura 1-5: Letras de identificação de instrumento ou função programada. 1-8 
 
 
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C A P Í T U L O 1 . I N T R O D U Ç Ã O 
A finalidade do controle de processos é manter as variáveis de processo nas condições 
desejadas com um mínimo custo operacional. 
Variáveis de processo são as propriedades intensivas ou extensivas de uma corrente ou 
substância. 
Como exemplos de variáveis de processo temos: 
• Temperatura; 
• Pressão; 
• Vazão; 
• Composição; 
• Viscosidade; 
• Granulometria; 
• Radioatividade; 
• Condutividade; 
• Dureza; 
• Maleabilidade; 
• Cor; 
• Aroma; 
• Sabor; etc. 
 
1 . 1 . M o t i v a ç ã o p a r a i m p l a n t a r u m s i s t e m a d a c o n t r o l e 
Mudança nas condições de alimentação do processo e no ambiente (perturbações) estão 
sempre acontecendo e se nenhuma ação for tomada importantes variáveis do processo não 
alcançarão as condições desejadas. Porém, esta ação deve ser estabelecida de modo que: 
 
1. A segurança dos equipamentos e dos trabalhadores, 
2. A qualidade do produto; e 
3. A produção 
sejam asseguradas com um mínimo custo de investimento e/ou operacional. 
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√ Exemplo 01 
 
F igura 1 -1 : Exemplo de cont ro le de p rocesso . 
 
√ Exemplo 02 
Seja um tanque agitado, aquecido pela condensação do vapor d’água, conforme mostra a 
Figura 1-2. O objetivo deste processo é aquecer uma corrente de vazão w e temperatura T1 até 
alcançar a temperatura T2. 
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T2(t), w
T1(t), w
vapor condensado 
Figura 1 -2 : Tanque de aquec imento com ag i tação . 
 
Vamos considerar duas perguntas: 
 Pergunta 1: Quanto de calor deve ser fornecido ao líquido no interior do tanque para 
que atinja a temperatura desejada T2? 
Considerando o tanque bem agitado não existem gradientes internos de temperatura e as 
propriedades do fluido na saída do tanque são as mesmas do interior do tanque (tanque 
perfeitamente agitado). 
O balanço de energia em estado estacionário no tanque indica qual a quantidade de calor 
que deve ser transferida é: 
Equação 1 -1 ( )sssszpssss TTcwQ ,1,.. −= 
Mas nas condições de projeto T2 é a temperatura de referência Tr ou temperatura desejada 
(set point), então podemos escrever a equação de projeto para o aquecedor: 
Equação 1 -2 ( )ssSPpssss TTcwQ ,1.. −= 
Pergunta 2: Mas se as condições mudarem (a vazão de líquido aumentar ou diminuir, a 
temperatura da alimentação oscilar ou se desejarmos uma temperatura na saída maior ou 
menor que a estabelecida no projeto), como iremos atuar sobre o sistema para que a 
temperatura na saída do tanque seja a temperatura desejada (T2 = Tr = TSP) ? 
Existem algumas possibilidades, uma delas é medir a temperatura no interior do tanque (T), 
comparar esta com a temperatura desejada (TSP) e atuar sobre a válvula de controle para que 
esta aumente ou diminua o fluxo de vapor para a serpentina, incrementando ou não a 
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transferência de energia para o fluido no tanque (veja Figura 1-3). Esta estratégia denomina-se 
controle por retroalimentação (Feedback Control). 
T
T2(t), w2(t)
T1(t), w1(t)
vapor
condensado
TT
TC
 
F igura 1 -3 : Tanque de aquec imento ag i tado com contro le feedback . 
 
Na Tabela 1-1 vemos outras alternativas de estratégias de controle para este processo. 
Tabe la 1 -1 : Es t ra tég ias para o cont ro le de tempera tura de um tanque de aquec imento 
ag i tado . 
Método 
Variável 
Medida 
Variável 
manipulada 
Classificação 
01 T Q Feedback 
02 T1 Q Feedforward 
03 T w Feedback 
04 T1 w Feedforward 
05 T1 e T Q Feedback / feedforward 
06 T1 e T w Feedback / feedforward 
 
Podemos ainda instalar um trocador de calor a montante do tanque de aquecimento para 
diminuir ou eliminar a oscilação na temperatura T1 ou utilizar um tanque com um volume maior 
de modo a diminuir a oscilação na temperatura de saída T. 
Uma vez estabelecida a estratégia de controle é necessário determinar qual a lei ou 
algoritmo de controle para o controlador. Uma possibilidade é utilizar o controlador 
proporcional, no qual a mudança no fluxo de calor é proporcional à diferença entre a 
temperatura desejada (TSP(t)) e a temperatura medida (T(t)): 
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Equação 1 -3 [ ])()(.)( tTtTKQtQ
SPcss −+= 
Onde Kc é denominado ganho do controlador, este parâmetro é ajustável e define a 
intensidade da correção a ser realizada sobre o processo. 
Do discutido anteriormente deduz-se que para definir um sistema de controle é necessário: 
(1) Conhecer o comportamento no estado estacionário do processo que desejamos 
controlar; 
(2) Conhecer o comportamento dinâmico do processo que desejamos controlar; 
(3) Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser mantidas o mais 
próximo possível dos valores desejados (set point), denomina-se de variáveis 
controladas; 
(4) Estabelecer quais as variáveis de processo que devem ser monitoradas (variáveis 
medidas) a fim de conhecer ou inferir os valores das variáveis controladas ou das 
variáveis de processo que podem interferir no mesmo (perturbações). 
(5) Estabelecer quais os fluxos de massa e energia que deverão ser modificados(variáveis manipuladas) para manterem as variáveis controladas nos seus set point. 
(6) Escolher e dimensionar os instrumentos necessários para o funcionamento do 
sistema de controle: 
(a) Sensores das variáveis de processo envolvidas ou elementos primários de 
medição, 
(b) Transmissores e / ou conversores de sinais, 
(c) Indicadores e / ou registradores de sinais, 
(d) Controladores, 
(e) Elementos finais de controle (válvulas). 
 
Para estabelecer com sucesso o sistema de controle de um processo temos que conhecer 
seu comportamento dinâmico, realizando um estudo de processo em malha aberta, assunto 
que é tratado de uma apostila deste autor, que deve ser consultada para maiores detalhes. 
 
1 . 2 . N o r m a s U t i l i z a d a s e m I n s t r u m e n t a ç ã o 
A ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society estabelece normas e 
procedimentos para especificação e instalação de instrumentos para controle de processos, 
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bem como a simbologia a ser adotada nos fluxogramas e documentos (veja “Standards and 
Recommended Pratices for Instrumentation and Control” editado pela ISA). 
2 . 1 . 1 . S i n a i s d e T r a n s m i s s ã o 
Existem alguns tipos e faixas padronizadas para transmissão de sinais em sistemas de 
controle: 
Tabe la 1 -2 : S ina is padrão de t ransmissão de in fo rmações . 
Tipo de sinal Valores Representação 
Sinal pneumático 






psig 27 a 3
psig 30 a 6
psig 15 a 3
 
representado por 
 
 
Sinal elétrico ou eletrônico 






V 10 a 0
V 5 a 1
mA 20 a 4
 
representado por 
 
 
Sinal digital ou discreto ou 
binário 
, binário elétrico 
, binário pneumático 
 
 
As próximas páginas têm um pequeno resumo da simbologia empregada na confecção de 
fluxogramas para instrumentação e controle de processos. 
 
 
F igura 1 -4 : S ímbo los gera is para ins t rumento ou função programada . 
 
 
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F igura 1 -5 : Le t ras de iden t i f i cação de ins t rumento ou função programada . 
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Tabe la 1 -3 : Exemplo de iden t i f i cação de ins t rumento . 
T RC 210 02 A 
Variável Função Área de atividades 
Nº seqüencial 
da malha 
Identificação funcional Identificação da malha 
Sufixo 
Identificação do instrumento 
 
Onde: 
T Variável medida ou iniciadora: temperatura; 
R Função passiva ou de informação: registrador; 
C Função ativa ou de saída: controlador; 
210 Área de atividades, onde o instrumento ou função programada atua; 
02 Número seqüencial da malha; 
A Sufixo. 
 
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Í N D I C E 
CAPÍTULO 2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-2 
2.1. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-3 
2.2. NATUREZA QUALITATIVA DAS RESPOSTAS DE UM SISTEMA 2-5 
2.3. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA COM ENTRADAS E SAÍDAS MÚLTIPLAS 2-7 
 
Í N D I C E D E T A B E L A S 
Tabela 2-1: Raízes da Função de Transferência. 2-6 
 
Í N D I C E D E F I G U R A S 
Figura 2-1: Diagrama de blocos 01. 2-3 
Figura 2-2: Diagrama de blocos 02. 2-4 
Figura 2-3: Diagrama de blocos 03. 2-4 
Figura 2-4: Localização das raízes da equação característica. 2-6 
Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b) 
decrescente; (c) amplitude constante]. 2-7 
Figura 2-6: Diagrama de blocos 04. 2-7 
Figura 2-7: Diagrama de blocos 05. 2-8 
 
 
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C A P Í T U L O 2 . F U N Ç Ã O D E T R A N S F E R Ê N C I A 
“... proporciona uma relação direta entre as entradas (distúrbios, variáveis manipuladas) e as 
saídas (variáveis controladas) do processo.” 
George Stephanoupolos 
Vamos trabalhar com modelos lineares ou linearizados e variáveis desvio: 
Equação 2 -1 


==
==
ss
ss
X - X(t) X(0) -X(t) (t)X
Y - Y(t) Y(0) -Y(t) (t)Y
 
Generalizando, as equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes são da 
forma: 
 
Equação 2 -2 ∑∑
=−
−
−
=
=++++=
m
j
j
j
jn
n
nn
n
n
n
i
i
i
i dt
XdbYa
dt
Yda
dt
Yda
dt
Yda
dt
Yda
0
011
1
1
0
......... 
 
Equação 2 -3 Xb
dt
Xdb
dt
Xda
dt
Xdb
dt
Xdbonde m
m
mm
m
m
m
j
j
j
j ........ 011
1
1
0
++++= −
−
−
=
∑ 
Onde, an, an -1, ..., a1, a0 e bm, bm -1, ..., b1, b0 são constantes. 
Em sistemas fisicamente exeqüíveis n ≥ m. 
Assumindo que inicialmente o sistema está relaxado: 
Equação 2 -4 1000 −=== nkdt
Yd
tk
k
,...,, 
e 
Equação 2 -5 1000 −=== nldt
Xd
tl
l
,...,, 
Ou seja, o termo relativo às condições iniciais I é nulo: I = 0 
Equação transformada: 
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Equação 2 -6 ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑
= = ==
=⇒=
m
j
n
i
m
j
j
j
i
i
j
j
n
i
i
i sXsbsYsasXsbsYsa
0 0 00
)(..)(..).(..).(.. 
Equação 2 -7 ( )0
.
.
)(
)()(
0
0 =+==⇒
∑
∑
=
= I
sa
sb
sX
sYsG
i
i
n
i
m
j
j
j
 
G(s) é chamada de função de transferência e é obtida apenas se I = 0. 
Equação 2 -8 
desviodeformaementradadaLaplacededaTransforma
desviodeformaemsaídadaLaplacededaTransformasG
,
,)( = 
Em diagrama de blocos: 
G(s)
X(s) Y(s)
 
F igura 2 -1 : D iagrama de b locos 01 . 
Em geral a função de transferência pode ser representada por uma divisão entre dois 
polinômios em s: 
Equação 2 -9 
P(s)
Q(s)G(s)= 
2 . 1 . P r o p r i e d a d e s d a F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a 
P1. Descreve as características dinâmicas de um sistema. Se adotarmos uma função 
perturbação X(t) na entrada, cuja transformada é X(s), a resposta do sistema é Y(s) dada por: 
Equação 2 -10 )().()( sXsGsY = 
P2. Se a função de transferência é a resposta do sistema a perturbação impulso unitário: 
X(t) = δ(t), então X(s) = L{δ (t)} = 1, logo: 
Equação 2 -11 )()().()( sGsXsGsY == 
 
P3. A equação diferencial do sistema pode ser obtida da função de transferência 
substituindo s pelo operador diferencial D ≡ d/dt. 
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Equação 2 -12 )(.
1
1.2)(
1
1.2)(:. 22 tXtYss
ssGex 


++
+=⇒++
+=
DD
D
 
Ou, 
Equação 2 -13 XXYYY +=++ DDD .22 
Equação 2 -14 )()(.)()()(
""'" tXtXtYtYtY +=++⇒ 2 
P4. O princípio da superposição é válido (operador linear) para: 
Equação 2 -15 )()()( 21 sXsXsX += 
Equação 2 -16 )()()().()().()().()( 2121 sYsYsXsGsXsGsXsGsY +=+== 
Em diagrama de blocos: 
PROCESSO
X1(t)
Y(t)
X2(t)
 
F igura 2 -2 : D iagrama de b locos 02 . 
 
G(s)
X1(s) Y1(s)
G(s)
X2(s) Y2(s)
+
+
Y(s)
 
F igura 2 -3 : D iagrama de b locos 03 . 
 
P5. O denominador de G(s) igualado a zero é denominado de equaçãocaracterística. A 
estabilidade de um sistema linear invariante com o tempo pode ser determinada avaliando as 
raízes da equação característica: se todas as raízes têm partes reais negativas o sistema é 
estável, caso alguma raiz tenha parte real positiva o sistema é instável. Exemplo: 
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Equação 2 -17 
).21().21(5.2
1)( 2 j
C
j
B
−−++−=+−
+=
ssss
ssG 
Equação característica: 
Equação 2 -18 0522 =+− ss 
Raízes da equação característica: 
Equação 2 -19 ( )jr .211 ++= 
Equação 2 -20 ( )jr .212 +−= 
Portanto, o sistema é instável pois as raízes do denominador da função de transferência 
tem parte real positiva. 
P6. As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os 
zeros do sistema. Quando o número de zeros (nz) é menor que o número de pólos (np), diz-se 
que existem (nz – np) zeros no infinito; a recíproca é válida. Para a Equação 2-17: 
Equação 2 -21 2.j 1 P e 2.j 1 P :pólos 21 =+= 
Equação 2 -22 ∞== z e 1- z :zeros z1 
P7. Em sistemas físicos exeqüíveis: nz ≤ np. 
2 . 2 . N a t u r e z a Q u a l i t a t i v a d a s R e s p o s t a s d e u m 
S i s t e m a 
Freqüentemente, estamos interessados apenas em determinar a estabilidade do sistema, 
uma forma simples e adequada para os propósitos de controle de processos é encontrar as 
raízes do denominador da função de transferência (pólos do sistema) e verificar sua 
localização no plano complexo. Seja G(s) uma função de transferência que pode ser escrita por 
uma razão de dois polinômios Q(s) e P(s): 
Equação 2 -23 
( )in
i
ps
sQ
sP
sQsGsXsGsY
n −
==⇒=
=0
)(
)(
)()()().()( 
Na Tabela 2-1 vemos as diferentes formas das contribuições da função transferência para 
as respostas dos sistemas. Enquanto que na Figura 2-4 podemos verificar a disposição das 
raízes da equação característica no plano complexo. 
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Tabe la 2 -1 : Ra ízes da Função de T ransferênc ia . 
Raízes Características Termos em ƒ (t) para t ≥ 0 
p1 
p2, p2* 
p3, p3* 
p4, p4* 
p5 
p6 
Real, < 0 
Complexa, Re < 0 
Complexa, Re = 0 
Complexa, Re > 0 
Real, > 0 
Real, = 0 
C1. e-p1.t 
e-az.t [C1.cos(b2.t) + C2.sen(b2.t)] 
C1.cos(b3.t) + C2.sen(b3.t) 
Ea4.t [C1.cos(b4.t) + C2.sen(b4.t)] 
C1 ep5.t 
C1 
 
Observações: 
1. Onde a1, a2, ..., b1, b2, ..., p1, p2, ..., são constantes positivas. 
2. Se algumas dessas raízes são repetidas o termo referente a essa raiz é multiplicado por 
uma série de potências de t: 
 K1 + K2.t + K3.t2 + ... + Kr.tr-1, onde r é o número de repetições. 
3. C1 + C2 + K1 + K2, ... + KR são obtidas a partir das condições iniciais. 
Na Figura 2-4 vemos a disposição dos pólos no plano complexo. Observe que as raízes 
reais geram respostas não oscilatórias amortecidas (p1), não oscilatórias não amortecidas (p6) 
e não oscilatórias com amplitude crescente (p5), portanto uma resposta instável; enquanto que 
as raízes complexas originam respostas oscilatórias amortecidas (p2, p2*), não amortecidas (p3, 
p3*) e com amplitudes crescentes (p4, p4*), isto é, a saída do sistema é instável. Em outras 
palavras as raízes localizadas no semi-eixo direito geram respostas instáveis. 
Eixo
imaginário
Eixo
real
p4
p3
p2
p1
p*2
p6 p5
p*3
p*4
 
F igura 2 -4 : Loca l i zação das ra í zes da equação carac ter ís t ica . 
À esquerda do eixo Im: f(t) decresce exponencialmente com t 
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À direita do eixo Im: f(t) cresce exponencialmente com t 
Sejam raízes múltiplas: 
Na origem: f(t) = tn, cte. para n = 0, crescente para n > 0. 
 
Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) 
crescente; (b) decrescente; (c) amplitude constante]. 
 
2 . 3 . F u n ç ã o d e T r a n s f e r ê n c i a c o m E n t r a d a s e S a í d a s 
M ú l t i p l a s 
Considere a Figura 2-6: 
PROCESSO
X1(t)
Y1(t)
X2(t)
Y2(t)
 
F igura 2 -6 : D iagrama de b locos 04 . 
Equação 2 -24 
( )
( )
( )
( )



tY
t
t
t
2
1
2
1 Y SAÍDAS 
X
X
 ENTRADAS
 
MODELO MATEMÁTICO (variáveis desvio ou sistema relaxado): 
Equação 2 -25 212111212111
1 XbXbYaYa
dt
dY ... +++= 
Equação 2 -26 222121222112
2 XbXbYaYa
dt
dY ... +++= 
Condições iniciais: 
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Equação 2 -27 0 (0)Y (0)Y 21 == 
Aplicando a Transformada de Laplace e resolvendo para Y1(s) e Y2(s): 
Equação 2 -28 (s)X
P(s)
]ba)ba[(s
(s)X
P(s)
]ba)ba[(s
(s)Y 2
22121222
1
21121122
1
+−++−= 
Equação 2 -29 (s)X
P(s)
]ba)ba[(s
(s)X
P(s)
]ba)ba[(s
(s)Y 2
22212211
1
11212111
2
+−++−= 
Onde P(s) é a equação característica dada por: 
Equação 2 -30 )().(P(s) 221121122211
2 aaaasaas −−+−= 
Equação 2 -31 


+=
+=⇒
)().()().()(
)().()().()(
2221212
2121111
sXsGsXsGsY
sXsGsXsGsY
 
Ou em notação matricial: 
Equação 2 -32 



=


)(
)(
.
)()(
)()(
)(
)(
2
1
2221
1211
2
1
sX
sX
sGsG
sGsG
sY
sY
 
O sistema de Equação 2-32 é denominado Matriz das Funções de Transferência. 
Em diagramas de blocos: 
 
X1(s)
X2(s)
G11(s)
G12(s)
G21(s)
G22(s)
+
+
+
+
Y2(s)
Y1(s)
 
F igura 2 -7 : D iagrama de b locos 05 . 
Os sistemas podem ser: 
SISO – Single Input Single Output 
SIMO – Single Input Multiple Output 
MISO - Multiple Input Single Output 
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MIMO - Multiple Input Multiple Output 
Obs.: Os processos químicos são, na sua maioria, MIMO-NL. 
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Í N D I C E 
CAPÍTULO 3. ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS 3-3 
3.1. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 3-6 
3.2. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS 3-22 
3.3. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 3-25 
3.4. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS TIPO ATRASO-AVANÇO 3-45 
3.5. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM TEMPO MORTO 3-48 
3.6. EXERCÍCIOS 3-55 
 
Í N D I C E D E T A B E L A S 
Tabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primários de medição. 3-6 
Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema PKAtY .)( . 3-11 
Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema PKAtY .)( . 3-15 
Tabela 3-4: Classificação dos Sistemas de 2ª ordem. 3-27 
Tabela 3-5: Tanques em série com e sem interação. 3-40 
 
Í N D I C E D E F I G U R A S 
Figura 3-1: Desenho esquemático de um termopoço / termopar. 3-3 
Figura 3-2: Diagrama de blocos 01. 3-6 
Figura 3-3: Diagrama de blocos 02. 3-8 
Figura 3-4: Diagrama de blocos 03. 3-8 
Figura 3-5: Função degrau de amplitude A. 3-10 
Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. 3-12 
Figura 3-7: Comportamento dinâmico de termopares sem (τTs) e com poço (τTc). 3-13 
Figura 3-8: Função impulso de amplitudeA. 3-14 
Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-15 
Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-16 
Figura 3-11: Função pulso de amplitude A. 3-17 
Figura 3-12: Resposta de sistema de 1ª ordem a perturbação pulso de amplitude A. 3-19 
Figura 3-13: Função seno de amplitude A, freqüência ω e período T. 3-20 
Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação seno de amplitude A e freqüência w. 3-22 
Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo. 3-23 
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Figura 3-16: Tanque com vazão de descarga constante. 3-23 
Figura 3-17: Processo capacitivo submetido a perturbação degrau de amplitude A. 3-25 
Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2ª ordem. 3-26 
Figura 3-19: Resposta do sistema de 2ª ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-28 
Figura 3-20: Influência do fator de amortecimento ζ e do período natural de oscilação τ de um sistema de 2ª 
ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-29 
Figura 3-21: Influência do fator de amortecimento ζ na resposta do sistema de 2ª ordem subamortecido, 
submetido a perturbação de amplitude A. 3-30 
Figura 3-22: Características do sistema de 2ª ordem subamortecido submetido a perturbação degrau de 
amplitude A. 3-32 
Figura 3-23: Respostas dos sistemas de 2ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-34 
Figura 3-24: Dois tanques não-interativos em série. 3-35 
Figura 3-25: Dois tanques interativos em série. 3-38 
Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A. 3-40 
Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbação na composição e temperatura da alimentação. 3-41 
Figura 3-28: Resposta do sistema (Equação 3-184). 3-47 
Figura 3-29: Diagrama pólo-zero para o sistema (Equação 3-184) – X: localização do pólo, □ : localização do 
zero. 3-47 
Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero. 3-48 
Figura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulação em escoamento pistão. 3-49 
Figura 3-32: (a) Resposta ao degrau das aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem de um tempo morto puro. (b) 
Resposta ao degrau de um sistema de 1ª ordem com tempo morto (τm = 0.25τP) utilizando aproximações 
de Padé de 1ª e 2ª ordem para 
sme τ− . 3-51 
Figura 3-33: Reator gotejante com reciclo. 3-52 
Figura 3-34: Reator com reciclo submetido a perturbação degrau na composição da alimentação: (a) resposta 
completa; (b) detalhe nos instantes iniciais. 3-55 
Figura 3-35: Tanque para alivio de pressão. 3-55 
Figura 3-36: Tanque não interativos em série. 3-57 
Figura 3-37: Tanque de aquecimento. 3-60 
Figura 3-38: Gráfico exercício (7). 3-60 
Figura 3-39: Gráfico para exercício (9). 3-62 
Figura 3-40: Gráfico do exercício (10). 3-63 
Figura 3-41: Gráfico do exercício (11). 3-63 
Figura 3-42: Gráfico do exercício (12). 3-64 
Figura 3-43: Esquema do exercício (13). 3-64 
 
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C A P Í T U L O 3 . A N Á L I S E D A D I N Â M I C A D E 
P R O C E S S O S 
No capítulo anterior, verificamos que a modelagem matemática de processos conduz a 
sistemas de equações diferenciais. Estas equações podem ser resolvidas pelo método da 
Transformada de Laplace que conduz às suas respectivas funções de transferência. Neste 
capítulo, estudaremos com mais detalhes alguns tipos de funções de transferência (1ª ordem e 
2ª ordem) e a resposta desses sistemas a diversos tipos de perturbações (degrau, rampa, 
impulso, pulso, seno). 
Prosseguindo com a metodologia adotada, sempre partiremos de um sistema físico de 
interesse no controle de processos químicos. 
Elementos de medição, linhas de transmissão e elementos finais de controle introduzem 
atrasos (lag) dinâmicos no sistema de controle. Por exemplo, a Figura 3-1 mostra um termopar 
(thermocouple) inserido em poço de termopar (termopoço, termowell) de massa m e calor 
específico C. 
Termopoço
Termopar
Fluido a
temperatura T(t)
 
F igura 3 -1 : Desenho esquemát ico de um termopoço / t e rmopar . 
O atraso dinâmico introduzido pela combinação termopar/termopoço pode ser estimado se 
assumimos algumas hipóteses simplificadoras: 
a. O termopar e o termopoço estão sempre na mesma temperatura Tm(t), que pode ser 
diferente da temperatura do fluido T(t) que envolve o poço; 
b. Não existe perda de calor pela extremidade do poço exposta ao meio ambiente; 
c. A resistência à transferência de calor é determinada pelo inverso do coeficiente global 
de troca térmica R = 1/(UG.A); 
d. Toda capacidade térmica se concentra na massa de metal que compõe o poço. 
 
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Balanço de Energia no Poço1 
Equação 3 -1 { } { } { }saientraacumula −= 
Equação 3 -2 
{ } ( )[ ]tT
dt
dCmacumula m..=
 
Equação 3 -3 { } { } { } { } { }radiaçãoconduçãoconvecçãosaientra ++=− 
Equação 3 -4 { } { } ( ) ( )[ ]tTtTAUsaientra mG −=− . 
 
Onde, 
Equação 3 -5 
[ ] ( )2..º/111 mSCJ
hU iG
=+= ∑∑
iR 
 
Substituindo a Equação 3-2 e a Equação 3-4 na Equação 3-1, obtemos 
Equação 3 -6 
( )[ ] ( ) ( )[ ]tTtTAUtT
dt
dCm mGm −= ...
 
ou 
Equação 3 -7 
( )[ ] ( ) ( )tTtTtT
dt
d
mmT =+τ
 
Onde τT é a constante de tempo do termopoço no estado estacionário. 
Equação 3 -8 
[ ] ( )[ ] 00
.
. =→== m
G
T Tdt
ds
AU
Cmτ
 
Equação 3 -9 ssm,ss
TT =⇒
 
Subtraindo a Equação 3-7 da Equação 3-9: 
Equação 3 -10 
( )[ ] ( ) ( ) ssm,ssmm,ssmT TtTTtTTtTdtd −=−+−τ . 
Definindo as variáveis desvio: 
 
1 Devido às hipóteses adotadas este modelo denomina-se Modelo de Parâmetros 
Concentrados, um modelo mais preciso conduziria a um Sistema de Equações Diferenciais 
Parciais (SEDP). 
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Equação 3 -11 
( ) ( ) m,ssmm TtTtT −= 
e 
Equação 3 -12 ( ) ( ) ssTtTtT −= 
Então: 
Equação 3 -13 
( )[ ] ( ) ( )tTtTtT
dt
d
mmT =+τ ..
 
Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-13: 
Equação 3 -14 ( ) ( ) ( )sTsTTsTs mmmT =+− 0..τ 
Mas, 
Equação 3 -15 
( ) ( ) 000 =−=−= ssmssmssmmm TTTTT ,,, 
Então: 
Equação 3 -16 
( )
( ) 1.
1
+= ssT
sT
T
m
τ
 
 
Portanto, para que a temperatura indicada/transmitida pelo termopar esteja o mais próximo 
possível da temperatura do fluido, ou seja, Tm(t) = T(t), a constante de tempo do conjunto 
termopar/termopoço deve ser minimizada, para isto acontecer a capacitância térmica dos 
sistema ( )Cm . deve ser mínima, enquanto a facilidade à transferência de calor (UG*A) deve 
ser máxima (resistência mínima). 
A Equação 3-16 define a função transferência de primeira ordem de ganho unitário e 
constante de tempo τT, entre a entrada do sistema – temperatura do fluido, perturbação T(t) – 
e a saída do sistema – temperatura medida Tm(t). 
Podemos representar a função de transferência (da Equação 3-16) através de um diagrama 
de bloco: 
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1/ τTs + 1
T(s) Tm(s)
 
F igura 3 -2 : D iagrama de b locos 01 . 
 
Na Tabela 3-1 vemos valores típicos de constantes de tempo de alguns elementos primários 
de medição. 
Tabe la3 -1 : Constan tes de tempo de e lementos pr imár ios de med ição . 
Tipo Ordem de τm 
Termômetro de vidro Minutos 
Termômetro bimetálico < 1 minuto 
Termômetro a expansão Minutos 
Termopar em bainha Segundos 
Termopar com poço Minutos 
Termômetro a resistência Segundos a minutos 
Transmissão pressão absoluta 0.2 - 1.7 segundos 
Transmissão pressão diferencial 0.2 - 1.7 segundos 
Turbina 0.03 segundos 
Vortex 2.5 segundos 
 
Em geral, as constantes de tempo dos elementos de medição e transmissão devem ser 
menores que um décimo da constante de tempo do processo. 
3 . 1 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s 
d e P r i m e i r a O r d e m 
Genericamente, um sistema de 1ª ordem2 é definido pela seguinte situação diferencial: 
Equação 3 -17 ( )[ ] ( ) ( )txbtyaty
dt
da ...1 =+ ο 
Se ao ≠ 0, então podemos dividir a Equação 3-17 por ao e obtemos: 
 
2 A literatura também denomina o sistema de 1ª ordem de atraso de primeira ordem (first 
order lag) ou atraso linear (linear lag). 
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Equação 3 -18 ( )[ ] ( ) ( )txKtyty
dt
d
PP Χ=+ ..τ 
onde 
Equação 3 -19 ο
τ
a
a
P
1=
 
Equação 3 -20 
o
P a
bK = 
Observe que aplicando a Equação 3-18 no estado estacionário: 
Equação 3 -21 ss.Χ= Pss KY 
E substituindo as variáveis desvio: 
Equação 3 -22 
( ) ( )
( ) ( )


−=
−=
ss
ss
XtXtX
YtYtY
 
Obtemos: 
Equação 3 -23 ( )[ ] ( ) ( )tKtYtY
dt
d
PP Χ=+ ..τ 
O novo estado estacionário alcançado após o sistema sofrer a perturbação X(t) será: 
Equação 3 -24 
∞Χ=∞ .pKY 
logo 
Equação 3 -25 
( ) ( )
( ) ( ) ss
ss
-0
0
Χ∞Χ
−∞=Χ−∞Χ
−∞=∞Χ
∞=Κ YYYYYp
 
ou 
Equação 3 -26 entradaiosestacionárestados
saídaiosestacionárestados
p ∆
∆=Κ
 
Portanto, o ganho do processo determina o estado estacionário que o sistema irá atingir 
após sofrer uma perturbação. 
Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-23. 
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Equação 3 -27 
( ) ( ) ( )ssYsYs pp ΧΚ=− ...τ 
mas 
Equação 3 -28 ( ) ( ) 000 =−=−= ssssss YYYYY 
Então a função de transferência de um sistema de 1ª ordem é dada por: 
Equação 3 -29 
( ) ( )( ) 1. +
Κ=Χ= ss
sysG
p
p
τ
 
 
E a resposta do sistema ( )sY a uma perturbação ( )sX é 
Equação 3 -30 
( ) ( ) ( ) ( )s
s
ssGsY
p
p Χ+
Κ=Χ= .
1.
. τ
 
Em diagramas de blocos: 
 
G(s)
( )sX ( )sY
 
F igura 3 -3 : D iagrama de b locos 02 . 
ou 
1. +
Κ
sp
p
τ
( )sX ( )sY
 
F igura 3 -4 : D iagrama de b locos 03 . 
√ Resistência e Capacitância 
Os sistemas de 1ª ordem são caracterizados pelo ganho KP, que estabelece o seu estado 
estacionário, e pela sua constante de tempo τP, que determina o seu comportamento 
transitório. 
A constante de tempo pode ser obtida se identificamos a capacitância C e a resistência R 
do processo de 1ª ordem. Por definição estas propriedades são: 
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Equação 3 -31 processodomotrizforçadovariação
processodocapacidadedavariaçãoC =
 
Equação 3 -32 resultantefluxodovariação
processodomotrizforçadavariaçãoR =
 
 
Por definição, a constante de tempo de um processo de 1ª ordem é o produto da 
capacitância do processo vezes sua resistência: 
Equação 3 -33 
R.Cp =τ 
Nos exemplos estudados: 
ƒ Nível de um tanque 
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ] sRARC
mA
dh
hAd
dh
dvC
msR
dq
dh
qRh
R
hqarlaescoamentopara
qghhqmas
dq
dhR
p ===
====
==
=⇒=
=⇒==
..
.
/
.min
f,
2
2
τ
 
ƒ Tanque de aquecimento 
[ ]
( ) [ ]
[ ] s
q
V
Cq
CV
RC
sJ
C
CqdH
dTRTTCq
C
JCVCmdTCmH
dT
d
dT
dHC
p
p
T
p
p
pp
T
T p
====
===⇒−=∆Η
===

 +== ∫
..
..
.
.
º
..
1
'
º...'
º
....º
º
ρ
ρτ
ρρ
ρ
 
[ ]
[ ]
[ ] s
AU
CmRC
sJ
C
AUdQ
dRdAUQ
C
JCm
d
dCm
G
G
G
===
==Τ=⇒Τ=∆
==Τ
Τ=Τ=
Τ .
..
.
º
.
1
'
..'
º
...
d
dQC
τ
 
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3 . 1 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a 
P e r t u r b a ç ã o D e g r a u 
A função degrau pode ser descrita matematicamente das seguintes formas: 
Equação 3 -34 ( ) ( )οο t-t.uA+=− ssXttX 
Onde, 
A Amplitude de perturbação 
u(t – to) Função degrau unitário 
Equação 3 -35 ( ) ( )tXtX ss οt.uA+= 
Onde, uto(t) ≡ u(t – to) 
Equação 3 -36 
 ≥=+= ∞ o,,
o,
 t ,
 t , 
)(
tparaXAX
tparaX
tX
ssoss
oss p
 
Graficamente a função degrau corresponde a Figura 3-5: 
 
F igura 3 -5 : Função degrau de ampl i tude A. 
Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-34 e em seguida a 
transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace: 
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Equação 3 -37 
( ) ( ).stο.
s
−= esX A
 
 
Substituindo a Equação 3-37 na Equação 3-30: 
Equação 3 -38 
( ) ( ) ( )s.tPPs.t οο .
1s.s
.
1.
.
s
−−



 +
Κ=+
Κ= ee
s
sY
P
P
τ
τ
τ
.AA
 
Expandindo em frações parciais: 
Equação 3 -39 
( ) ( )s.t
P
PP
P
P ο.
1
. −












 +
−

 Κ= e
s
s
sY
τ
ττ
τ
.A
 
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace: 
Equação 3 -40 
( ) ( )oP t-t.exp1 u




 −−−Κ=
P
tt
tY τ
ο.A
 
Ou 
Equação 3 -41 
( ) ( )oP t-t.exp1 u




 −−−Κ+=
P
ss
ttYtY τ
ο.A
 
Calculando a razão PKAtY .)( para alguns valores de τP construímos a Tabela 3-2: 
Tabe la 3 -2 : Tempo ( t ) e va lor a lcançado pe lo s is tema PKAtY .)( . 
t – to 0.0 
10
Pτ
 5
Pτ
 2
Pτ
 
τP 2*τP 3*τP 4*τP ∞ 
( )
pΚ.A
tY
 
0.000 0.095 0.181 0.394 0.632 0.865 0.950 0.982 1.000 
 
A partir da curva Pt τ versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-6, concluímos que todo 
sistema de 1ª ordem é caracterizado por: 
(a) O sistema alcança 63.2% do valor do estado estacionário após decorrer o espaço de 
tempo de uma constante de tempo τP, isto é: 
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Equação 3 -42 
( )
632.0
p
=Κ.A
pY τ
 
(b) No instante inicial a inclinação da curva é unitária, isto é: 
Equação 3 -43 
( ) 0.1
0p
=



Κ
=t
tY
dt
d
.A
 
(c) A interseção da tangente da curva no instante inicial com a assíntota da função no 
estado estacionário acontece no ponto (1.0, τP). 
(d) Para fins práticos, admite-se que o estado estacionário foi atingido quando um espaço 
de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes a constante de tempo τP. 
 
 
F igura 3 -6 : Resposta de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação degrau . 
Observação: Curva vermelha (A) entrada X(t) e curva azul (B) respostaY(t). 
Comparando a resposta de um termopar sem e com poço, verificamos que o poço introduz 
um atraso dinâmico que, a depender do sistema em estudo, não pode ser negligenciado. Veja 
Figura 3-7. 
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F igura 3 -7 : Compor tamento d inâmico de te rmopares sem (τ T s ) e com poço (τ T c ) . 
Observação: Curva A perturbação; Curva B termopar sem poço Tm’s(t); Curva C termopar com poço 
Tm’c(t). 
 
3 . 1 . 2 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a 
P e r t u r b a ç ã o I m p u l s o 
A função impulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas: 
Equação 3 -44 ( ) ( ) ( )οδδ t-t.t. AA +=+= sstoss XXtX 
Onde A é a amplitude da perturbação e δ(t) é denominada Função Impulso Unitário ou 
Função Delta de Dirac. 
Equação 3 -45 



>
≥=+
<
= ∞
o,
o,,
o,
 t , 
 t ,
 t , 
)(
tparaX
tparaXAX
tparaX
tX
oss
ssoss
oss
 
Graficamente a função impulso correspondente ao Figura 3-8: 
Página 3-14 de 65 
 
 
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F igura 3 -8 : Função impu lso de ampl i tude A. 
Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-44 e em seguida a 
Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace: 
Equação 3 -46 ( ) ( )stoeAsX −= . 
Substituindo a Equação 3-46 na Equação 3-30: 
Equação 3 -47 ( ) ( ) ( ).st
P
PP.st οο .
1s.s
.
1.
−−


 +
Κ=+
Κ= ee
s
sY
P
P
τ
τ
τ
.A.A 
Expandindo em frações parciais: 
Equação 3 -48 
( ) ( )s.t
p
pp
p
p ο.
1
. −













 +
−


 Κ= e
s
s
sY
τ
ττ
τ
.A
 
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace: 
Equação 3 -49 
( ) ( )o
pp
p t-tttexptY u..




τ
−−




τ
Κ= ο.A
 
e 
Página 3-15 de 65 
 
 
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Equação 3 -50 
( ) ( )o
pp
p
ss t-t
ttexpYtY u..




τ
−−




τ
Κ+= ο.A
 
Calculando a razão PKAtY .)( para alguns valores de τP, construímos a Tabela 3-3: 
Tabe la 3 -3 : Tempo ( t ) e va lor a lcançado pe lo s is tema PKAtY .)( . 
t – to 0.0 
10
Pτ
 5
Pτ
 2
Pτ
 
τP 2*τP 3*τP 4*τP ∞ 
( )
pΚ.A
tY
 
0.0 0.905 0.819 0.606 0.368 0.135 0.050 0.018 0.0 
 
A partir da curva Pt τ versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-9, concluímos que todo 
sistema de 1ª ordem, quando submetido a uma perturbação tipo impulso tem uma resposta 
inicial muito rápida, mas decorrido um espaço de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes, sua 
constante de tempo retorna ao estado estacionário anterior à perturbação. 
 
Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 
Porém, um sistema físico real responderá a uma perturbação impulso conforme mostra a 
Figura 3-10, pois é impossível que ele saia do seu estado de repouso Xss e alcance 
instantaneamente o valor A. 
Página 3-16 de 65 
 
 
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Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 
 
3 . 1 . 3 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a 
P e r t u r b a ç ã o P u l s o 
A função pulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas: 
Equação 3 -51 



>
≤≤=+
<
= ∞
1,
1,,
o,
 t , 
t t ,
 t , 
)(
tparaX
tparaXAX
tparaX
tX
oss
ossoss
oss
 
Equação 3 -52 
( ) ( ) ( )[ ]ttXtX
1o ttss uu −+= .A 
Equação 3 -53 
( ) ( ) ( )[ ]ttXtX
1o ttss uu −+= .A 
Graficamente a função impulso correspondente a Figura 3-11: 
Página 3-17 de 65 
 
 
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F igura 3 -11 : Função pu lso de ampl i tude A. 
Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-54 e em seguida a 
Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace: 
Equação 3 -54 ( ) ( ) ( ){ }1t-tut-tu −= οL.AsX 
ou 
Equação 3 -55 ( ) ( ){ } ( ){ }[ ]1t-tut-tu −= οL.AsX 
Equação 3 -56 ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( )[ ]stst eesX .. .. οο −− −= tutu LL.A 
Equação 3 -57 
( ) ( ) ( ) 

=
−−
s
e
s
esX
stst .. 1
-
ο
.A
 
Substituindo a Equação 3-57 na Equação 3-30: 
Equação 3 -58 
( ) ( ) ( ) 


+
Κ=
−−
s
e
s
e
s
sX
stst ..
p
p
1
-
1.
ο
τ.A
 
Expedindo em frações parciais: 
Página 3-18 de 65 
 
 
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Equação 3 -59 
( ) ( )
( ) 


























 +
−−













 +
−



 Κ=
−
−
st
p
ppst
p
pp
e
s
s
e
s
ssY
.
.
p
p
1
.
1
.
1
τ
ττ
τ
ττ
τ
ο.A 
 
Ou 
Equação 3 -60 
( ) ( )
( ) 


























 +
−−













 +
−Κ=
−
−
st
p
st
p
e
s
s
e
s
ssY
.
.
p
p
1
1
11.
1
11
τττ
ο.A 
 
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace: 
Equação 3 -61 
( ) ( ) ( )













 −−−−







 −−−Κ= oo t-tut-tu pp
o tttt
tY ττ
1
p
exp1.exp1
.A 
 
ou 
Equação 3 -62
( ) ( ) ( )













 −−−−







 −−−Κ+= oo t-tut-tu pp
o
ss
tttt
YtY ττ
1
p
exp1.exp1
.A 
 
Na Figura 3-12, Pt τ versus PKAtY .)( , observamos o comportamento dinâmico de um 
sistema de 1ª ordem quando submetido a uma perturbação tipo pulso de amplitude A: 
Página 3-19 de 65 
 
 
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F igura 3 -12 : Resposta de s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação pu lso de ampl i tude A. 
 
3 . 1 . 4 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a 
P e r t u r b a ç ã o S e n o i d a l 
A função seno pode ser descrita matematicamente da seguinte forma: 
Equação 3 -63 ( ) ( )( ) ( )οοω+= t-tt-t.XtX ss u.sen.A 
Onde, ω = 2πƒ. 
Graficamente a função seno correspondente a Figura 3-13: 
Página 3-20 de 65 
 
 
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F igura 3 -13 : Função seno de ampl i tude A, f reqüênc ia ω e per íodo T . 
Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-63 e em seguida a 
Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace: 
Equação 3 -64 
( ) 22s
.
ω
ω
+=
AsX
 
Substituindoa Equação 3-64 na Equação 3-30, expandindo em frações parciais e aplicando 
a Transformada Inversa de Laplace L-1: 
Equação 3 -65 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )ooo22 p t-tt-tt-t.1. K usencos ωωτωτωωτ τ +−+= −− pttpp poetY .A 
Lembrando da seguinte identidade trigonométrica: 
Equação 3 -66 ( ) ( ) ( )θ+ω=ω+ω t.rt.qt.p sen.cos.sen. 
onde 
Página 3-21 de 65 
 
 
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Equação 3 -67 ( )qp22 arcig=+= θeqpr 
Equação 3 -68 
( ) ( )
( )
( )( ) ( )oo22 p22 t-tt-t1.
.
1.
..
usen 


 ++
Κ++=
−−
θωωτωτ
τω τ
pp
tt
pp
poeK
tY
AA
 
Equação 3 -69 ( )t.-ω=θ arcig 
Ou 
Equação 3 -70 ( ) ( ) ( )tYtYtY estdin += 
Onde, 
Equação 3 -71 
( )
( )( )
( )o
p
tt
p
p t-t
e.
tY
po
u.
.
..
.din 122 +ωτ
τωΚ=
τ−−A
 
E, 
Equação 3 -72 
( ) ( )( ) ( )oo
p
p
est t-tt-t.
K
tY u.sen.
.
. θ+ω+ωτ= 122
A.
 
Observe que a resposta à perturbação seno é composta de duas partes: uma diminui a 
medida que o tempo aumenta Ydin(t) e a outra é uma função periódica Yest(t). Portanto, no 
estado estacionário a resposta de um sistema de 1ª ordem a uma perturbação seno é uma 
função periódica, veja Figura 3-14, dada por: 
Perturbação: 
Equação 3 -73 ( ) ( ) ( )tt..XtX ss u.sen ω+= A 
Resposta ( t → ∞ ) 
Equação 3 -74 
( ) ( )[ ]θ+ω+ωτ+= t.
K
YtY
p
p
ss sen..
.
122
A.
 
Comparando Equação 3-63 com Equação 3-74, veja Figura 3-14, concluímos que: 
(a) A amplitude da resposta do sistema é menor que a amplitude da perturbação, ou seja, o 
sistema amortece a entrada; 
(b) A resposta do sistema é uma onda senoidal com a mesma freqüência de entrada; 
Página 3-22 de 65 
 
 
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(c) A resposta está defasada de um ângulo de fase θ em relação ao estímulo, neste caso 
está atrasada pois θ é menor que zero. 
 
 
F igura 3 -14 : Respost a de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação seno de ampl i tude A 
e f reqüênc ia w . 
 
3 . 2 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s 
C a p a c i t i v o s P u r o s 
Se a constante ao da Equação 3-17 for zero, então: 
Equação 3 -75 
( )[ ] ( )txbtY
dt
da .. =1
 
Dividindo por a1: 
Equação 3 -76 
( )[ ] ( ) ( )tXKtX
a
btY
dt
d .. ′==
1 
Onde 
Processos definidos pela Equação 3-75 são denominados capacitivos ou integradores. 
Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-76: 
Página 3-23 de 65 
 
 
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Equação 3 -77 ( ) ( )sXsYs .. Κ′= 
Então a função de transferência de um sistema capacitivo é dada por: 
Equação 3 -78 
( ) ( )( ) ssX
sYsG Κ′==
 
Em diagramas de blocos: 
s
'Κ( )sX ( )sY
 
F igura 3 -15 : D iagrama de b locos de um s is tema capac i t i vo . 
√ Exemplo de um processador integrador: 
Seja um tanque aberto no qual sua descarga é dada por uma bomba dosadora que mantém 
a vazão constante, conforme a Figura 3-16: 
q1(t)
h(t)
q2 = cte.
 
Figura 3 -16 : Tanque com vaz ão de descarga constan te . 
Realizando o balanço de massa no tanque, obtemos: 
Equação 3 -79 
( )[ ] ( ) 21 qtqthdt
dA −=.
 
No estado estacionário: 
Equação 3 -80 
( ) 2,2,121 00 qqqqq ssss ==⇒=− 
Utilizando as variáveis desvio: 
Equação 3 -81 
( )[ ] ( )tqth
dt
dA 1=.
 
Aplicando a Transformada de Laplace e rearranjando: 
Página 3-24 de 65 
 
 
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Equação 3 -82 
( ) ( )( ) ssAsq
shsG Κ′===
.
1
1 
3 . 2 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a C a p a c i t i v o a 
P e r t u r b a ç ã o D e g r a u 
Função de Transferência: 
Equação 3 -83 
( ) ( )( ) ssX
sYsG Κ′==
 
Função Perturbação: 
Equação 3 -84 
( ) stesX ..
s
ο−= A
 
Resposta: 
Equação 3 -85 
( ) stesY ..
s
.
2
Ο−Κ′= A
 
Equação 3 -86 ( ) ( ) ( )ΟΟΚ′+= t-tt-t..YtY ss u.A 
Analisando a Equação 3-86 observamos que o sistema tende para +∞ se a amplitude da 
perturbação for positiva (A > 0), ou tende para -∞ se a amplitude da perturbação for negativa (A 
< 0). Na Figura 3-17 está plotado o comportamento dinâmico do processo capacitivo a 
perturbação degrau. 
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F igura 3 -17 : Processo capac i t i vo submet ido a per tu rbação degrau de ampl i tude A. 
Podemos constatar que: 
(a) Processos integradores são instáveis e de difícil controle e são não auto-regulados 
(enquanto que os sistemas de 1ª ordem são auto-regulados); 
(b) No exemplo, pequenas diferenças entre vazões da alimentação q1(t) e da descarga 
q2(t), levarão o tanque a transbordar ou secar. 
 
3 . 3 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s 
d e S e g u n d a O r d e m 
Genericamente, um sistema de 2ª ordem é definido pela seguinte equação diferencial: 
Equação 3 -87 
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXbtYatY
dt
datY
dt
daZ .... 12
2
=++ Ο
 
Se ao ≠ 0 então podemos dividir a Equação 3-87 por ao e obtemos: 
Equação 3 -88 
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXtYtY
dt
dty
dt
d
p ..... Κ=+ζτ+τ 22
2
2
 
Onde, 
oa
a 2=τ
 Período natural de oscilação 
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ζ Fator de amortecimento (Damping Factor) 
Ο
=Κ
a
b
P
 Ganho do processo 
e Ο
=ζτ
a
a12 .
 
Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-88, 
obtemos a função de transferência do sistema de 2ª ordem: 
Equação 3 -89 
( ) ( )( ) 1...2. 22 ++
Κ==
sssX
sYsG P ζττ 
Sistemas de 2ª ordem podem surgir devido a: 
(1) Processos multiplicativos (sistemas de 1ª ordem em série), por exemplo: 2 tanques em 
série; 
(2) Sistemas intrinsecamente de 2ª ordem (raros em processos químicos), por exemplo: 
válvula de controle; 
(3) Sistema de controle feedback (malha fechada), por exemplo: sistema de 1ª ordem com 
controlador P + I. 
A resposta do sistema ( )sY a uma perturbação ( )sX é: 
Equação 3 -90 
( ) ( ) ( ) ( )sX
ss
sXsGsY P .
1...2.
. 22 ++
Κ== ζττ 
Em diagramas de blocos: 
1..222 ++
Κ
ss
P
ζττ
( )sX ( )sY
 
F igura 3 -18 : D iagrama de b loco para s is t ema de 2 ª o rdem. 
Logo: 
Equação 3 -91 
( ) ( ) ( ) ( )sXpsps
KsY P .
. 21
2
−−=
τ
 
Onde p1 e p2 são as raízes da função de transferência, pólos do sistema: 
Página 3-27 de 65 
 
 
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Equação 3 -92 2
4.4.2
22
2
1
ττ
ζ
τ
ζ −+−
=p
 e 2
4.4.2
22
2
2
ττ
ζ
τ
ζ −−−
=p
 
Os parâmetros KP e τ tem o mesmos significados dos sistemas de 1ª ordem: KP é o ganho 
do processo, enquanto que τ determina a velocidade da resposta dos sistema. 
A Tabela 3-4 mostra a classificação dos sistemas de 2ª ordem a depender dos valores do 
fator de amortecimento ζ. 
Tabe la 3 -4 : C lass i f i cação dos S is temas de 2 ª o rdem. 
Fator de amortecimento Pólos 
p1 e p2 
Classificaçãoζ > 1 Reais e distintos 
parte real negativa 
Superamortecido 
ζ = 1 Reais iguais 
parte real negativa 
Criticamente amortecido 
0 < ζ > 1 Complexos conjugados parte 
real negativa 
Subamortecido 
ζ = 0 Complexas iguais 
parte real nula 
Oscilatório com amplitude 
cte. 
ζ < 0 Complexos conjugados parte 
real positiva 
instável 
 
3 . 3 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a 
P e r t u r b a ç ã o D e g r a u 
Função degrau de amplitude A 
Equação 3 -93 ( ) ( )Ο+= t-t.tX uAssX 
Transformada de Laplace da função perturbação utilizando variáveis desvio: 
Equação 3 -94 
( ) stesX ..
s
Ο−= A
 
Substituindo a Equação 3-94 na Equação 3-91: 
Página 3-28 de 65 
 
 
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Equação 3 -95 
( ) ( ) ( ) stP epsps
KsY .
21
2
.
s
.
.
Ο−
−−=
Aτ
 
Expandindo em frações parciais a Equação 3-95 e aplicando a Transformada Inversa de 
Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ. 
√ Perturbação Degrau de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1 
Equação 3 -96
( ) ( )Ο− 












 −
−
+


 −−Κ= t-t1.
1
1
1 *
2
2
*
2.
P
*
usenhhcos ttetY
t
τ
ζ
ζ
ζ
τ
ζτζA
 
onde, 
Equação 3 -97 t * = t - t o 
Na Figura 3-19, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta de um sistema de 2ª 
ordem superamortecido a uma perturbação degrau é semelhante a resposta do sistema de 1ª 
ordem, mas note que existe um ponto de inflexão em ti e que a resposta inicialmente é lenta 
(derivada pequena), depois aumenta de velocidade derivada máxima no ponto de inflexão, ou 
segunda derivada igual a zero) e então o sistema reage como se fosse de 1ª ordem. 
 
 
F igura 3 -19 : Resposta do s is tema de 2 ª o rdem superamor tec ido a per tu rbação 
degrau . 
No Figura 3-20, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a medida que o fator de 
amortecimento ζ aumenta, o sistema torna-se mais lento, isto é, o parâmetro ζ determina a 
suavidade e rapidez da resposta do sistema a perturbação; percebemos também que, a 
medida que o período natural de oscilação τ diminui, a resposta fica mais rápida. 
Página 3-29 de 65 
 
 
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F igura 3 -20 : In f luênc ia do fa to r de amor tec imento ζ e do per íodo natura l de osc i lação 
τ de um s is tema de 2 ª o rdem superamor tec i do a per tu rbação degrau . 
Observação: Curva A – perturbação; Curva B - τ = 1.0 e ζ = 1.0; Curva C - τ = 1.5 e ζ = 1.0; Curva D - τ 
= 1.0 e ζ = 1.5. 
 
√ Perturbação Degrau e Sistema Criticamente Amortecido ζ = 1 
Equação 3 -98 
( ) ( )Οτ− 







τ+−Κ= t-te
t.tY tp u...
**
11A
 
Veja na Figura 3-20 a resposta do sistema de 2ª ordem criticamente amortecido a 
perturbação degrau de amplitude A. 
 
√ Perturbação Degrau e Sistema Superamortecido 0 < ζ < 1 
Equação 3 -99 
( ) ( )Ο− 













−
+


−Κ= t-t- 1
1
- 1
1 *
2
2
*
2
p
*
usencos ttetY t τ
ζ
ζ
ζ
τ
ζτA
 
Uma amostra mais conveniente de escrever a Equação 3-99 é: 
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Equação 3 -100 
( ) ( ) ( )Ο− 


 +
−
−Κ= t-t.t...
1
11.. *
.
2P
*
usen θωζ
τ
ζ t
etY A
 
Onde, 
Equação 3 -101 τ
ζ−=ω
21
 
e 
Equação 3 -102 




ζ
ζ=θ
2-1
arcig
 
Portanto, observamos que a resposta de um sistema de 2ª ordem subamortecido a 
perturbação degrau é uma senoide de amplitude decrescente (devido ao termo exponencial 
eζ.t/τ), de freqüência ω e ângulo de fase θ. 
Na Figura 3-21, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta desse sistema 
perturbação degrau é uma curva oscilatória que gradativamente tende a atingir A.KP, 
diminuindo a amplitude da oscilação. 
Através da Figura 3-21 percebemos que a medida que o amortecimento diminui, isto é, ζ 
diminui, a oscilação aumenta, porém a rapidez da resposta também (maior derivada da curva 
no ponto de inflexão, e este acontece em um menor intervalo de tempo). 
 
F igura 3 -21 : In f luência do fa to r de amor tec imento ζ na resposta do s is tema de 2 ª 
o rdem subamor tec ido , submet ido a per tu rbação de ampl i tude A. 
 
Algumas características importantes devem ser observadas nos sistemas subamortecidos 
submetidos a perturbação degrau: 
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C1. Tempo de ascensão (Rise Time) tr: Tempo necessário para atingir pela primeira vez o 
novo estado estacionário. 
C2. Tempo do Primeiro Pico (Time to First Peak) tp: Tempo requerido para atingir o primeiro 
máximo da curva. 
C3. Tempo de resposta (Setting Time) ts: Tempo decorrido até que a saída oscilatória do 
sistema esteja dentro da faixa de +/- 5% do estado estacionário. Também se utiliza o valor ±1% 
para determinar o ts. 
C4. Sobre-elevação (Overshoot) OS: Razão entre o valor da função no pico máximo e o 
valor do novo estado estacionário: 
Equação 3 -103 



 Π=Κ== 2P -1
.-exp
.
0 ζ
ζ
A
a
b
aS
 
C5. Razão de Decaimento (Decay Ratio) DR: razão entre o valor do segundo pico e do 
primeiro pico: 
Equação 3 -104 




ζ
ζΠ===
2-1
-exp
a
cSDR ..20 2
 
C6. Período de oscilação (Period of oscilation) T1: Período de tempo transcorrido entre dois 
máximos: 
Equação 3 -105 
21 1
2
ζ−
τΠ= ..T
 
Lembre que em uma senoide a freqüência em ciclos por unidade de tempo ft é dada por: 
Equação 3 -106 Π
ω=
.2t
f
 
E que o período de oscilação é o inverso da freqüência: 
Equação 3 -107 
ω
Π==Τ .21
t
t f
 
Onde a freqüência angular ω é dada pela Equação 3-101. 
C7. Período Natural de Oscilação (Natural Period of oscilation) τ: período do sistema 
quando o amortecimento é nulo, isto é, ζ = 0: 
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Equação 3 -108 nn
n
f... Π=ω=Π
Τ=τ
2
11
2 
Onde ωn é a freqüência natural de oscilação do sistema não amortecido ζ = 0. 
Veja na Figura 3-22 a indicação das características discutidas anteriormente. 
 
F igura 3 -22 : Carac t e r ís t icas do s is tema de 2 ª o rdem subamor tec ido submet ido a 
per tu rbação degrau de ampl i tude A. 
Quando um sistema refere uma perturbação o desejável é ter uma resposta sem oscilações 
que atinja rapidamente o novo estado estacionário. Porém, estes objetivos são excludentes 
entre si, pois para garantir uma resposta não oscilatória ζ ≥ 1 temos que sacrificar a rapidez da 
resposta; por outro lado, se desejarmos uma resposta muito rápida, não podemos escolher um 
fator de amortecimento muito pequeno, pois a mesma seria muito oscilatória com uma sobre-
elevação grande. 
Os projetistas de sistemas de controle, freqüentemente, trabalham com um fator de 
amortecimento na faixa de 0.4 a 0.8, isto é, 0.4 ≥ ζ ≤ 0.8, desta forma, consegue-se um 
compromisso entre velocidade de resposta, sobre-elevação, tempo de resposta e oscilação 
adequado para a maioria dos casos. 
3 . 3 . 2 . C o m po r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a 
P e r t u r b a ç ã o I m p u l s o 
A função impulso pode ser descrita matematicamente da seguinte forma: 
Equação 3 -109 ( ) ( )Ο−δ+= tt.XtX ss A 
Ou em variável no domínio de Laplace: 
Equação 3 -110 ( ) ssX .t-e. Ο= A 
Substituindo a Equação 3-110 na Equação 3-91: 
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Equação 3 -111 
( ) ( ) ( ) sP pspssX .t-21
2
e.
.
Ο
−−
Κ= .Aτ
 
Expandindo em frações parciais a Equação 3-111 e aplicando a Transformada Inversa de 
Laplace, encontramos soluções diferentes a depender do valor do fator de amortecimento ζ. 
 
√ Perturbação Impulso de Amplitude A e Sistema Superamortecido ζ > 1 
Equação 3 -112 
( ) ( )**2.
2P
t
1
.
1
11..
*
uenh 


 −
−
Κ= − tsetY
t
τ
ζ
ζτ
τ
ζ
A
 
 
√ Perturbação Impulso e Sistema Criticamente amortecido ζ = 1: 
Equação 3 -113 
( ) ( )*2*P t....
*
uττ
t
ettY
−Κ=A
 
 
√ Perturbação Impulso e Sistema Subamortecido 0 < ζ < 1: 
Equação 3 -114 
( ) ( )*tp tte.tY u..sen.... *.
*




τ
ζ−
ζ−τ
Κ= τ
ζ− 2
2
1
1
11A
 
Na Figura 3-23 vemos a resposta do sistema de 2ª ordem a perturbação impulso. Observe 
que o sistema retorna ao antigo estado estacionário depois de decorrido algum tempo 
(processo auto-regulado). As características observadas para a perturbação degrau também 
são aplicáveis para perturbação impulso (tp, ts, OS, DR). 
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F igura 3 -23 : Respos tas dos s is temas de 2 ª o rdem a per t u rbação impu lso de 
ampl i tude A. 
3 . 3 . 3 . P r o c e s s o s M u l t i c a p a c i t i v o s c o m o S i s t e m a s d e 
S e g u n d a O r d e m 
Processos de ordem superior podem ser o resultado da associação em série de processos 
de primeira ordem. Por exemplo, dois tanques (cada tanque é um sistema de 1ª ordem) em 
série constituem um sistema de 2ª ordem, que podem ser não-interativos ou interativos. 
Outro exemplo de sistemas multiplicativos são: 
ƒ Tanque de aquecimento com agitação no qual a vazão e temperatura da corrente 
de alimentação variam: o balanço de massa constitui um sistema de 1ª ordem, mas o 
balanço de energia é de 2ª ordem em relação a vazão e de 1ª ordem em relação a 
temperatura de alimentação; 
ƒ Torre de destilação, pois cada prato acumula massa e energia, constituindo, 
segundo um modelo de parâmetros concentrados, cada um deles um tanque agitado; 
ƒ Reatores de mistura perfeita (CSTR) com variação na composição e temperatura 
de alimentação: as duas equações diferenciais (balanço molar e de energia), constituem 
um sistema de equações diferenciais interativas. 
Estudaremos neste item os tanques em série e o reator CSTR. 
 
√ Tanques não interativos em série 
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Sejam dois tanques conforme a Figura 3-24, a descarga do primeiro tanque alimenta o 
segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impõe ao escoamento uma resistência 
R1 e R2. 
q1(t)
Tanque 1 h1(t)
Tanque 2 h2(t)
q3(t)
R2
q2(t)
R1
 
F igura 3 -24 : Do is tanques não- in te ra t i vos em sér ie . 
 
Realizando o balanço de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar, 
obtemos: 
1º tanque 
Equação 3 -115 
( )[ ] ( ) ( )tqthth
dt
d
PP 11111 .. Κ=+τ
 
2º tanque 
Equação 3 -116 
( )[ ] ( ) ( )tqthth
dt
d
PP 21222 .. Κ=+τ
 
Onde 
Equação 3 -117 11111 ,. RRA PP =Κ=τ 
Equação 3 -118 22222 ,. RRA PP =Κ=τ 
e 
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Equação 3 -119 
( ) ( )
1
1
2 R
thtq =
 
Substituindo a Equação 3-119 na Equação 3-116 e utilizando variáveis desvio, temos: 
Equação 3 -120 
( )[ ] ( ) ( )tqthth
dt
d
PP 11111 .. Κ=+τ
 
Equação 3 -121 
( )[ ] ( ) ( )
1
1
1222 .. R
ththth
dt
d
PP Κ=+τ
 
Aplicando a Transformada de Laplace e escrevendo as funções de transferências: 
Equação 3 -122 
( ) ( )( ) 1.1
1
1
1
1 +
Κ==
ssq
shsG
P
P
τ
 
Equação 3 -123 
( ) ( )( ) 1.2
2
2
2
2 +
Κ==
ssq
shsG
P
P
τ
 
Mas, 
Equação 3 -124 
( ) ( )
1
1
2 R
shsq =
 
Então, 
Equação 3 -125 
( ) ( )( ) 1.1. 2
12
2
12
1
2*
2 +=+== s
KK
s
RK
sh
shsG
P
PP
P
P
ττ 
Podemos escrever a função da transferência global do sistema Gg(s), isto é, com a saída do 
processo (h2(t)) varia com a perturbação inicial (q1(t)): 
Equação 3 -126 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )sq
sh
sh
sh
sq
shsGsGsGg
1
2
1
2
1
1*
21 .. ===
 
Equação 3 -127 
( )
)1.(.)1.()1.(
.
)1.( 21
2
2
12
1
1
++
Κ=+
ΚΚ
+
Κ=
ssss
sG
PP
P
P
PP
P
P
g ττττ 
Ou 
Equação 3 -128 
( ) ( )( ) 1...2. 221
2
++
Κ==
sssq
shsG Pg ζττ
 
Onde, 
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KP = KP2 = R2 21
. PP τττ = e 
( )
21
21
.2 PP
PP
ττ
ττζ +=
 
Portanto, da Equação 3-126 concluímos que dois tanques em série formam um sistema de 
2ª ordem. 
Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série não-interativa: 
(a) Os sistemas são sempre criticamente amortecidos ζ = 1 (quando τP1 = τP2) ou 
superamortecidos ζ ≥ 0 (quando τP1 ≠ τP2) pois: 
Equação 3 -129 
( ) ( ) 2121
21
21 ..21
..2 PPPPPP
PP ττττττ
ττζ ≥+⇒≥+=
 
Elevando ambos os membros da Equação 3-129 ao quadrado: 
Equação 3 -130 21
2
221
2
1 ..4..2 PPPPPP ττττττ ≥++ 
Equação 3 -131 0..2
2
221
2
1 ≥+− PPPP ττττ 
Equação 3 -132 ( ) 0221 ≥− PP ττ 
Conforme queríamos demonstrar: 
(b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série. 
(c) Devido ao fato do sistema ser não-interativo, podemos resolver primeiro a Equação 
3-120, conhecer o comportamento do nível do 1º tanque (h1(t)) a perturbação (q1(t)) e então 
utilizar este resultado para resolver a Equação 3-121, obtendo a variação de h2(t) com h1(t), 
 
√ Tanques interativos em série 
Seja dois tanques conforme a Figura 3-25, a descarga do primeiro tanque alimenta o 
segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impões ao escoamento uma resistência 
R1 e R2, porém ao contrário do sistema não interativo, o nível de segundo tanque influência no 
nível do primeiro. 
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q1(t)
Tanque 1 h1(t) Tanque 2 h2(t)q2(t)
R1
q3(t)
R2 
F igura 3 -25 : Do is tanques in te ra t i vos em sér ie . 
Realizando os balanços de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar, 
obtemos: 
1º tanque 
Equação 3 -133 
( )[ ] ( ) ( )tqtqth
dt
dA 2111 .. =
 
2º tanque 
Equação 3 -134 
( )[ ] ( ) ( )tqtqth
dt
dA 2322 .. =
 
Mas, 
Equação 3 -135 
( ) ( ) ( )
1
21
2 R
ththtq −=
 
E, 
Equação 3 -136 
( ) ( )
2
2
3 R
thtq =
 
Substituindo a Equação 3-135 e Equação 3-136 na Equação 3-133 e Equação 3-134 e 
rearranjando: 
Equação 3 -137 
( )[ ] ( )( ) ( )thtqRthth
dt
dRA 2111111 +=+ ...
 
Equação 3 -138 
( )[ ] ( ) ( )th
R
Rth
R
Rth
dt
dRA 1
1
2
2
1
2
222 1 .... =

 ++
 
Observe que a Equação 3-137 e a Equação 3-138 dependem ao mesmo tempo de h1(t) e 
h2(t) portanto, temos que resolvê-las simultaneamente, utilizando variáveis desvio e aplicando a 
Transformada de Laplace, obtemos: 
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Equação 3 -139 ( ) ( ) ( )tqRshshshsRA 1121111 .... =−+ 
Equação 3 -140 
( ) ( ) ( )sh
R
Rsh
R
RshsRA 1
1
2
2
1
2
222 ..1... =

 ++
 
Definindo τ1 = A1R1 e τ2 = A2R2 e resolvendo para ( )sh1 e ( )sh2 : 
Equação 3 -141 
( ) ( ) ( )sqsRAs
RRsRsh 1
2121
2
21
2112
1
1....
..
++++
++= ττττ
τ
 
Equação 3 -142 
( ) ( ) ( )sqsRAs
Rsh 1
2121
2
21
2
2
1.... ++++= ττττ 
Observe que τ1 e τ2 não são constantes de tempo, embora possuam unidade de tempo. 
Escrevendo as funções de transferência: 
Equação 3 -143 
( ) ( )( ) 1...2.
..
22
2112
1
1
1 ++
++==
ss
RRsR
sq
shsG ζττ
τ
 
Equação 3 -144 
( ) ( )( ) 1...2. 22 21
2
2 ++== ss
R
sq
shsG ζττ
 
Onde, 
Equação 3 -145 21 ττ=τ . 
E, 
Equação 3 -146 
( )
21
2121
2 ττ
+τ+τ=ζ
..
.RA
 
Portanto, da Equação 3-143 e da Equação 3-144 concluímos que dois tanques em série 
formam um sistema de 2ª ordem e que os denominadores das funções de transferências são 
os mesmos. Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série 
interativa: 
(a) Os sistemas são sempre superamortecidos ζ > 1, pois: 
Equação 3 -147 
( ) ( ) 1
2
1
2 21
2121
21
21 >ττ
+τ+τ⇒≥ττ
τ+τ
..
.
..
RAse
 
(b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série 
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(c) “Sistemas capacitivos interativos são sempre superamortecidos, exceto quando ocorre 
produção de substâncias ou absorção/liberação de energia”. 
 
Da Tabela 3-5, concluímos que o amortecimento nos sistemas interativos é maior do que 
nos não interativos, pois o produto A1*R2 denominado fator de interação é sempre maior que 
1, quanto maior A1*R2 mais intensa é a interação. 
Tabe la 3 -5 : Tanques em sér ie co m e sem in te ração . 
 Não-interativo Interativo 
τ 21 . PP ττ 21 ττ . 
ζ 
( )
21
21
.2 PP
PP
ττ
ττ +
 
( )
21
2121
2 ττ
+τ+τ
..
RA
 
( )
( )sq
sh
1
1
 
( )1.1 +
Κ
sP
P
τ ( ) 1.
.
2121
2
21
211.2
+++++
++
sRAs
RRsR
ττττ
τ
 
( )
( )sq
sh
1
2
 
( ) 1... 21221
2
+++
Κ
ss PPPP
P
ττττ ( ) 1... 2121221
2
+++++ sRAs
R
ττττ
τ
 
 
Da Figura 3-26, concluímos que a associação de capacitâncias torna a resposta do sistema 
mais lenta e que os sistemas interativos são mais amortecidos que os não interativos. 
 
Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A. 
Observação: Curva A – tanque; Curva B – 2 tanques não interativos; Curva C – 2 tanques interativos; 
Curva D – 4 tanques não interativos. 
 
√ Reator de Mistura Perfeita 
Uma configuração de reator bastante utilizada em processos químicos é o reator de mistura 
perfeita (Continuos Stirred Tank Reacion) ou CSTR. O estudo desse sistema é interessante 
Página 3-41 de 65 
 
 
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pois este reator submetido a uma perturbação na carga, isto é, na composição e temperatura 
da alimentação constitui um sistema multiplicativo de 2ª ordem. 
Seja um CSTR adiabático, conforme a Figura 3-27, no entanto acontece uma reação de 
isomerização irreversível e exotérmica: 
Equação 3 -148 B A → 
Com equação da taxa: 
Equação 3 -149 ( ) ( ) ( )tCtt A.ℜ=Γ 
Onde, 
Equação 3 -150 ( ) ( )( )tTRgEet .. −Οℜ=ℜ 
CA(t)
T(t)
h = cte.
q2
T2(t)
CA2(t)
q1
T1(t)
CA1(t)
 
F igura 3 -27 : Reator CSTR submet ido a per tu rbação na composição e tempera tura da 
a l imentação . 
Balanço molar no reator: 
Equação 3 -151 
( ) ( ) ( ) ( )tVtCqtCq
dt
tdCV AAAA Γ+−= .... 2211
 
Onde, 
Equação 3 -152 ( ) ( ) ( )tCtt AAA ..v ℜ−=Γ−=Γ=Γ 
Balanço de energia no reator: 
Equação 3 -153 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )tVTtTCpqTtTCpq
dt
tdTCV rp Γ∆Η−−−−= °° ........ 222111 ρρρ
 
Por hipótese: 
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- R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r 
Equação 3 -154 
cteqqq === 21 
E 
Equação 3 -155 
cteCCC ppp === 21 
Substituindo a Equação 3-154 e a Equação 3-155 na Equação 3-153 e rearranjando: 
Equação 3 -156 
( ) ( ) ( )( ) ( )tVtTtTCq
dt
tdTCV rpp Γ∆Η−−= ........ 21ρρ
 
Onde 
Equação 3 -157 ( ) ( )( ) ( )tCet AtTRgE .. .−Οℜ=Γ 
Lembrando que o reator está perfeitamente agitado [CA2(t) = CA(t) e T2(t) = T(t)], então: 
Equação 3 -158 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tCeVtCqtCq
dt
tdCV A
tTRgE
AA
A ...... .−Οℜ−−= 1
 
E 
Equação 3 -159 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tCeVtTCqtTCq
dt
tdTCV A
tTRgE
rppp .............
.
1
−
Οℜ∆Η−−= ρρρ
 
A Equação 3-158 e a Equação 3-159 constituem um sistema de equações diferenciais não-
lineares interativas. Portanto, antes de aplicar a Transformada de Laplace, devemos linearizar 
os termos não-lineares: 
Equação 3 -160 
( )( ) ( )tCe AtTRgE ..− 
Expandindo a Equação 3-160 em série de Taylor e truncando no segundo termo: 
Equação 3 -161 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )ssssATRgE
ss
ssAA
TRgE
ssA
TRgE
A
tTRgE
TtTCe
TRg
E
CtCeCetCe
SS
SSSS
−
+−+≅
−
−−
.,
.
2
,
.
,
..
..
.
...
 
Substituindo a Equação 3-161 na Equação 3-158 e na Equação 3-159 e rearranjando: 
Equação 3 -162 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )ssssATRgE
ss
ssAA
TRgE
ssA
TRgE
AA
A
TtTCe
TRg
EVCtCeV
CeVtCqtCq
dt
tdCV
SSss
SS
−ℜ−−ℜ−
+ℜ−−=
−−
−
,
.
2,
.
,
.
1
.
.....
οο
ο
 
e 
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Equação 3 -163 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )ssssATRgE
ssAA
TRgE
rssA
TRgE
r
ppp
TtTCeV
CtCeVCeV
tTCqtTCq
dt
tdTCV
SS
SSSS
−ℜ−
+−ℜ∆Η−ℜ∆Η−
+−=
−
Ο
−
Ο
−
Ο
,
.
,
.
,
.
1
..
..
......... ρρρ
 
Utilizando as variáveis desvio: 
Equação 3 -164 
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )tTCe
TRg
EV
tCqtCeVq
dt
tCdV
ssA
TRgE
ss
AA
TRgEA
ss
ss
,
.
2
1
.
..
.
.
..
−
Ο
−
Ο
ℜ−
+=ℜ++
 
e 
Equação 3 -165 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )tCe
TRg
EVtTCq
tTCe
TRg
EVCq
dt
tTdCV
A
TRgE
ss
rp
ssA
TRgE
ss
rpp
ss
ss
..
.
......
.
......
.
21
,
.
2
−
Ο
−
Ο
ℜ∆Η−
=

 ℜ∆Η++
ρ
ρρ
 
Definindo os seguintes ganhos e constantes de tempo: 
Equação 3 -166 
( )ssTRgEc eVq
V
... −Οℜ+
=τ
 
Equação 3 -167 
( )ssTRgECC eVq
q
... −Οℜ+
=Κ
 
Equação 3 -168 
( )
( )ss
ss
TRgE
TRgE
ss
CT eVq
e
TRg
EV
.
.
2
..
.
.
..
−
Ο
−
Ο
ℜ+
ℜ
=Κ
 
e 
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