Estatística Probabilidade

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CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA DE SÃO PAULO - Campo Limpo 
ESTATÍSTICA - 2014 
Profa. Eng. PATRÍCIA DE FREITAS 
PROBABILIDADE 
O experimento de probabilidade é uma 
ação, ou tentativa, pela qual resultados 
específicos são obtidos. O resultado de uma 
única tentativa em um experimento de 
probabilidade de um resultado. O grupo de 
todos os resultados possíveis de um 
experimento de probabilidade é o espaço 
amostral. Um evento é o subgrupo do espaço 
amostral. Ele pode existir de um ou mais resultados. 
Ex. 1) Um experimento de probabilidade consiste no lançamento de uma moeda e então 
a rolagem de um dado de 6 lados. Determine o número de resultados e identifique o espaço 
amostral. 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E A REGRA DA MUILTIPLICAÇÃO 
 
Probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro 
evento já tenha ocorrido. A probabilidade condicional de o evento B ocorrer, dado que o 
evento A tenha ocorrido é denotada por P(B/A) e lê-se “probabilidade de B dado A”. 
Ex.1) Duas cartas são selecionadas em sequência de um baralho normal. Encontre a 
probabilidade de que a segunda carta seja uma dama, dado que a primeira carta seja um rei. 
(assuma que o rei está sem reposição). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ex.2) A tabela mostra os resultados de um estudo no qual os pesquisadores examinaram 
o QI de uma criança e a presença de um gene específico nela. 
a) Encontre a probabilidade de que a criança tenha um QI alto, dado que a criança tenha 
o gene. 
 Gene presente Gene não presente total 
QI alto 33 19 52 
QI normal 39 11 50 
total 72 30 102 
 
b) encontre a probabilidade de que a criança não tenha o gene. 
c) encontre a probabilidade de que a criança não tenha o gene, dado que a criança tenha 
QI normal. 
 
 
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO 
A probabilidade de que dois eventos A e B ocorram em sequência é: 
P(A e B)= P(A).P(B/A) 
Se os eventos A e B forem independentes, então a regra pode ser simplificada para P(A 
e B)= P(A).P(B). Essa regra simplificada pode ser estendida para qualquer número de 
eventos independentes. 
Ex 1. Duas cartas são selecionadas, sem reposição da 1ª carta, de um baralho normal. 
Encontre a probabilidade de selecionar um rei e então uma dama. 
 
Ex. 2. Uma moeda é jogada e um dado é lançado. Encontre a probabilidade de se obter 
uma cara e então jogar um 6. 
 
Exercícios: 
1) Uma moeda é jogada e um dado PE lançado. Encontre a probabilidade de se 
obter uma coroa e um 2. 
2) A probabilidade de que uma carta cirurgia no joelho seja um sucesso é de 0,85. 
Encontre a probabilidade de que 3 cirurgias sejam um sucesso. 
3) Encontre a probabilidade de que nenhuma das 3 cirurgias seja um sucesso. 
 
 
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4) Encontre a probabilidade de que pelo menos uma das 3 cirurgias seja um 
sucesso. 
 
 
 
REGRA DA ADIÇÃO 
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se A e B não puderem ocorrer ao 
mesmo tempo. 
Diagrama de Venn 
 
 
 
 
A e B são mutuamente exclusivos A e B não são mutuamente exclusivos 
Ex. 1. Decida se os eventos são mutuamente exclusivos. Explique seu raciocínio. 
1. Evento A: rolar um número 3 em um dado. 
Evento B: rolar um número 4 em um dado. 
2. Evento A: selecionar aleatoriamente um estudante do sexo masculino. 
Evento B: selecionar aleatoriamente um graduando em enfermagem. 
3. Evento A: selecionar aleatoriamente um doador de sangue tipo O. 
Evento B: selecionar aleatoriamente um doador de sangue do sexo feminino. 
 
Probabilidade de A ou B 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos = P(A ou B) = P(A) + P(B). 
 
Ex. 1. Você seleciona uma carta de um baralho. Encontre a probabilidade de esta carta 
ser um 4 ou um Ás. 
 
 
Ex. 2. Você joga um dado. Encontre a probabilidade de rolar um número menor que 3 
ou rolar um número ímpar. 
 
A B A∩B B A 
A e B 
 
 
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Ex. 3. Um banco de sangue cataloga os tipos de sangue, excluindo fator Rh + ou -, dado 
por doadores durante os últimos 5 dias. O número de doadores que doou cada tipo sanguíneo 
é mostrado na tabela abaixo. Um doador é selecionado aleatoriamente. 
 O A B AB TOTAL 
FATOR 
Rh 
+ 156 139 37 12 344 
- 28 25 8 4 65 
TOTAL 184 164 45 16 409 
 
1. Encontre a probabilidade de que o doador tenha sangue tipo O ou tipo A. 
2. Encontre a probabilidade de que o doador tenha sangue tipo B ou que o Rh seja 
negativo. 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DE CONTAGEM 
Permutação: organização ordenada de objetos. O número de diferentes permutações de 
n objetos distintos é n! 
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1 
Caso especial: 0! = 1 
1! = 1 
2! = 2.1= 2 
3! = 3.2.1 = 6 
4! = 4.3.2.1 = 24 
 
O objetivo de um Sudoku 9 x 9 é preencher o quadriculado de modo que cada fileira, 
cada coluna e cada quadriculado 3x3 contenha os dígitos de 1 a 9. De quantas maneiras 
diferentes podemos preencher a 1ª fileira de uma quadriculado de Sudoku 9 x 9 (que está em 
branco)? 
 
 
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Permutação de n objetos retirados r de uma vez: 
 
 
 
 
Ex.1. Encontre o número de maneiras nas quais podemos formar códigos de 3 dígitos 
em que nenhum dígito é repetido. 
 
Permutações distinguíveis 
n objetos, onde n1 são de um tipo e n2 outro tipo. 
 
 
 
Ex.1. Um empreiteiro planeja desenvolver um loteamento. O loteamento consiste em 6 
casas com vários planos. De quantas maneiras distinguíveis as casas podem ser organizadas? 
 
 
Combinação 
 
 
 
 
Ex.1. Um departamento de transporte estadual planeja desenvolver uma nova seção de 
uma rodovia interestadual e recebe 16 ofertas de concorrência para o projeto. O Estado 
planeja contratar 4 das empresas na concorrência. Quantas combinações diferentes de 4 
empresas podemos selecionar das 16 empresas na concorrência? 
 
 
 
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Ex.2. Temos 11 letras consistindo de um M, quatro Is, quatro Ss e dois Ps. Se as letras 
forem organizadas em ordem aleatória, qual a probabilidade de que a ordem forme a palavra 
Mississipi? 
 
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA 
Um psicólogo industrial aplicou um teste de inventário de personalidade para identificar 
características passivo-agressivas em 150 colaboradores. Os indivíduos recebiam uma 
pontuação de 1 a 5, sendo 1 extremamente passivo e 5 extremamente agressivo. Uma 
pontuação 3 não indicava nenhuma das duas características. Os resultados estão indicados à 
direita. Construa uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória x. depois, 
represente graficamente a distribuição, usando um histograma. 
 
 Escore x frequência P(x) 
1 24 
2 33 
3 42 
4 30 
5 21 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMINAL 
 sucesso 
Probabilidade 
 Fracasso 
Onde: 
n = número de vezes que a tentativa é repetida. 
p = P(S)= probabilidadede sucesso em uma tentativa única. 
q = P(F)= probabilidade de fracasso em uma tentativa única (q = 1 - p) 
x = variável aleatória representa a contagem dos números de sucesso nas tentativas: 
x = 0,1,2,3,...,n. 
Os ensaios são independentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ex.1. Cirurgias de microfraturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em pacientes 
com joelhos degenerativos. A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade de 
a cirurgia ser um sucesso em exatamente 2 pacientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BONS ESTUDOS!