Lista 5 Sequencias Series

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Uberlaˆndia - Lista 5 - FVR II
Profa. Dra. Taciana Oliveira Souza
(1) Quais das sequeˆncias {an} a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de
cada sequeˆncia convergente.
(a) an = 2 + (0, 2)
n (b) an =
1− 2n
1 + 2n
(c) an =
n2 − 2n+ 1
n− 1
(d) an = 1 + (−1)n (e) an =
(
n+ 1
2n
)(
1− 1
n
)
(f) an =
(−1)n+1
2n− 1
(g) an =
√
2n
n
(h) an = sen
(
pi
2
+
1
n
)
(i) an =
cos(n)
n
(j) an =
n
2n
(k) an =
ln(n+ 1)√
n
(l) an =
(
1 +
7
n
)n
(m) an = 7
1
n (n) an =
n
√
5n (o) an = ln
(
1 +
1
n
)n
(p) an =
(ln(n))200
n
(q) an =
(
1
3
)n
+
1√
2n
(2) Escreva cada uma das frac¸o˜es decimais abaixo como uma se´rie infinita e expresse a soma
desta como o quociente de dois nu´meros inteiros:
(a) 0, 777 . . .
(b) 0, 2424 . . .
(c) 0, 112112112 . . .
(3) Quais se´ries a seguir convergem e quais divergem? Justifique sua resposta. Se uma se´rie
convergir calcule sua soma.
(a)
∞∑
n=1
( 1√
2
)n−1
(b)
∞∑
n=1
(−1)n+1 3
2n
(c)
∞∑
n=1
cos((n− 1)pi) (d)
∞∑
n=1
e−3(n−1)
(e)
∞∑
n=1
3
10n−1
(f)
∞∑
n=1
2n−1 − 1
3n−1
(g)
∞∑
n=1
(n− 1)!
3n−1
(h)
∞∑
n=1
ln
( 2
n+ 1
)
(i)
∞∑
n=1
( e
pi
)n−1
(4) Quais se´ries a seguir convergem e quais divergem? Justifique sua resposta.
(a)
∞∑
n=1
1
2
√
n+ 3
√
n
(b)
∞∑
n=1
sen2(n)
2n−1
(c)
∞∑
n=1
2n
3n− 1
(d)
∞∑
n=1
( n
3n+ 1
)n
(e)
∞∑
n=1
(ln(n))2
n3
(f)
∞∑
n=1
1− n
n2n
(g)
∞∑
n=1
10n+ 1
n(n+ 1)(n+ 2)
(h)
∞∑
n=1
1
3n−1 + 1
(i)
∞∑
n=1
1
n n
√
n
(j)
∞∑
n=1
n
√
2
2n
(k)
∞∑
n=1
n!e−n (l)
∞∑
n=1
n10
10n
(m)
∞∑
n=1
(n+ 3)!
3!n!3n
(n)
∞∑
n=1
n!
(2n+ 1)!
(o)
∞∑
n=1
(n!)n
(nn)2
(p)
∞∑
n=2
1
n ln(n)
(q)
∞∑
n=2
1
n ln2(n)
(r)
∞∑
n=2
1
n
√
ln(n)
Respostas:
C = converge, D = diverge
(1) (a) Converge para 2; (b) Converge para 1; (c) Diverge para ∞;
(d) Diverge; (e)Converge para 1/2; (f)Converge para 0;
(g)Diverge para ∞; (h) Converge para 1; (i) Converge para 0;
(j) Converge para 0; (k)Converge para 0; (l) Converge para e7;
(m) Converge para 1; (n) Converge para 1; (o) Converge para 1;
(p) Converge para 0; (q) Converge para 0.
(3) (a) C (b) C (c) D (d) C (e) C (f) C (g) D (h) D (i) C
(4) (a) D (b) C (c) D (d) C (e) C (f) C (g) C (h) C (i) D
(j) C (k) D (l) C (m) C (n) C (o) D (p) D (q) C (r) D