calculo 2

Prévia do material em texto

1 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
2 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Este  material  é  parte  integrante  da  disciplina  “Cálculo  Diferencial  e  Integral  II” 
oferecido  pela  UNINOVE.  O  acesso  às  atividades,  as  leituras  interativas,  os 
exercícios, chats, fóruns de discussão e a comunicação com o professor devem ser 
feitos diretamente no ambiente de aprendizagem on­line.
3 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Sumário 
AULA 01 • REVISÃO:TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V)...........................................................5 
Algumas regras de diferenciação ................................................................................................5 
AULA 02 • REGRA DO PRODUTO .................................................................................................9 
Regra do Quociente ..................................................................................................................10 
Regra da Derivação da Função Composta (Regra da Cadeia) ..................................................10 
Tabela de Derivadas .................................................................................................................12 
AULA 03 • DERIVADA DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL .................................14 
Derivadas Sucessivas ...............................................................................................................14 
Função Inversa (f ­1 ) ...................................................................................................................15 
Definição de Função Inversa .....................................................................................................15 
Gráficos de algumas funções e suas inversas...........................................................................16 
Como derivar a função inversa..................................................................................................16 
AULA 04 • DERIVAÇÃO IMPLÍCITA..............................................................................................18 
Funções implícitas e explícitas ..................................................................................................18 
Derivação implícita ....................................................................................................................19 
AULA 05 • DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA......................................22 
Função na forma paramétrica....................................................................................................22 
Derivada de uma função na forma paramétrica .........................................................................23 
AULA 06 • FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS............................................................................26 
Introdução .................................................................................................................................26 
Função de várias variáveis ........................................................................................................27 
Os cálculos são análogos àqueles das funções de uma variável:..........................................28 
Gráficos.....................................................................................................................................28 
AULA 07 • DERIVADAS PARCIAIS...............................................................................................31 
Funções de várias variáveis ......................................................................................................31 
Derivadas parciais .................................................................................................................31 
AULA 08 • DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ........................................................35 
AULA 09 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................39 
1. Equação de Laplace..............................................................................................................39 
2. Diferencial total (ou Derivada Total).......................................................................................41 
AULA 10 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................43 
3. Vetor gradiente ......................................................................................................................43 
AULA 11 • DERIVADA DIRECIONAL (Inclinação).........................................................................47 
AULA 12 • JACOBIANO ................................................................................................................51 
AULA 13 • MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS....................................54 
Teorema do valor extremo.........................................................................................................54 
Extremos ...................................................................................................................................54 
Determinação dos extremos relativos........................................................................................55 
Ponto de sela ............................................................................................................................56 
AULA 14 • TESTE DA SEGUNDA DERIVADA (PARA EXTREMOS RELATIVOS OU LOCAIS) ...57 
AULA 15 • DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E 
LIMITADOS...................................................................................................................................61 
AULA 16 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................66 
AULA 17 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................70 
AULA 18 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ...........................................................................74 
AULA 19 • REGRA DA CADEIA ....................................................................................................78 
Derivada total ............................................................................................................................78
4 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 20 • PLANO TANGENTE E RETA NORMAL.......................................................................82 
Exercícios..................................................................................................................................84 
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................86
5 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 01 • REVISÃO:TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (T.M.V) 
Incrementos  ou  acréscimos:  O  incremento,  ou  acréscimo,  de  uma  variável  x  é  a 
variação de x quando aumenta, ou diminui, de um valor x = x0 para outro valor x = x1, dentro de 
seu domínio. 
Taxa Média de Variação 
Quando ® Dx  0 temos 
(x) f' 
Δx 
f(x) Δx) f(x 
0 Δx 
lim 
Δx 
Δy 
0 x 
lim = 
- + 
® 
= 
® 
Calcule a derivada da função f(x) = 2x² + 3x – 2 usando a definição pelo limite: 
Resolução: 
. 3 x 4 ) x ( ' f 3 x 4 x 4 lim 
x 
) 3 x 4 x 4 ( x 
lim 
x 
x 3 x x 4 x 4 
lim 
x 
2 x 3 x 2 2 x 3 x 3 x 4 x x 4 x 2 
lim 
x 
2 x 3 x 2 2 x 3 x 3 ] ) x ( x x 2 x [( 2 { 
lim 
x 
) 2 x 3 x 2 ( ] 2 ) x x ( 3 ) x x ( 2 [ 
lim 
x 
) x ( f ) x x ( f 
lim 
x 
y 
lim ) x ( ' f 
0 x 0 x 
2 
0 x 
2 2 2 
0 x 
2 2 2 
0 x 
2 2 
0 x 0 x 0 x 
+ = Þ + + D = 
D 
+ + D D 
= 
= 
D 
D + D + D 
= 
D 
+ - - - D + + D + D + 
= 
= 
D 
+ - - - D + + D + D + 
= 
= 
D 
- + - - D + + D + 
= 
D 
- D + 
= 
D 
D 
= 
® D ® D® D ® D 
® D 
® D ® D ® D 
Algumas regras de diferenciação 
• Derivada de uma constante 
Δx 
f(x) Δx) f(x 
Δx 
Δy - + 
= 
• Taxa instantânea de variação. 
• Derivada da função y =f(x) = y’ = f’(x). 
• f’(x) = 
dx 
dy 
.
6 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
• Regra da Potência 
Exemplos: 
a) f(x) = x 5 ® f’(x) = 5x 4 .                      d)   f(x) = 
3 x 
1 
=  x ­3 ® f’(x) = ­3x ­4 = 
4 x 
3 - 
. 
b) f(x) = x 9 ® f’(x) = 9x 8 .  e)   f(x) = x ® f’(x) = 1x 0 = 1.1 = 1. 
c) f(x) = ­x 6 ® f’(x) = ­6x 5 . 
• Múltiplo Constante (c Î R) 
Exemplos: 
a) f(x) = 2x 3 ® f’(x) = 2.3.x 2 = 6x 2 . 
b) f(x) = 8x 5 ® f’(x) = 8.5.x 4 = 40x 4 . 
c) f(x) = ­5x 2 ® f’(x) = ­5.2.x = ­10x. 
• Regra da Exponencial 
Se f(x.) = b, então f’(x) = 0 
Se n Î R, se f(x) = x n , então f’(x) = n.x n­1 , para x ¹ 0 
f(x) = [ c.f(x) ] ® [ c.f(x) ]’ = c.f’(x) 
f(x) = e x ® f’(x) = e x .x’ = e x .1 = e x
7 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
• Algumas Derivadas de funções trigonométricas 
• Regras da Soma (e da Diferença) 
Exemplos: 
1. Ache a derivada de f(x) = ­x 4 + 4x 2  ­ 6x . 
f(x) = sen x ® f’(x) = cos x.(x)’ = cos x.(1) = cos x 
f(x) = cos x ® f’(x) = ­sen x.(x)’ = ­sen x.(1) = ­sen x 
f(x) = tg x ® f’(x) = 
x 2 cos 
1 
= sec 2 x. 
f(x) = cotg x ® f’(x) = 
x 2 sen 
1 
- = ­cossec 2 x. 
f(x) = sec x ® f’(x) = 
x 2 cos 
senx 
= sec x .tg x. 
f(x) = cossec x ® f’(x) = 
x 2 sen 
cosx 
- = ­ cossec x .cotg x. 
f(x) = arcsen x ® f’(x) = 
2 x 1 
1 
- 
. 
f(x) = arccos x ® f’(x) = 
2 x 1 
1 
- 
- . 
f(x) = arctg x ® f’(x) = 
2 x 1 
1
+ 
. 
f(x) = arccotg x ® f’(x) = 
2 x 1 
1
+ 
- . 
Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos: 
[ ] [ ] (x) ' g (x) ' f ' g(x) f(x) g(x) f(x) 
dx 
d 
+ = + = + 
[ ] [ ] (x) ' g (x) ' f ' g(x) f(x) g(x) f(x) 
dx 
d 
- = - = -
8 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Resolução: f ‘(x) = ­(x4)’ + 4(x2)’ – 6(x)’  = ­(4x3)’ + 4(2x)’ – 6(1)’ Û 
f’(x) = ­4x 3 +8x ­ 6. 
2. Ache a derivada de g(x) = ­ 
2 
1 
x 8 + 4x 2 – 2x + 7. 
Resolução: g’(x) = ­ 
2 
1 
.8x 7 + 4.2x – 2.1 + 0 
Û g ‘(x) = ­4x 7 + 8x ­ 2
9 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 02 • REGRA DO PRODUTO 
Exemplos: 
f  g 
1. Derive y = (4x – 3x 2 ).(7 + 2x). 
Resolução: 
dx 
dy 
= (4x – 3x 2) ’. (7 + 2x) + (4x – 3x 2 ). (7 + 2x)’ = 
= (4 – 6x). (7 + 2x ) + (4x – 3x 2 ). (2) = 28 + 8x – 42x – 12x 2 + 8x – 6x 2 = 
= ­12x 2 – 6x 2 + 8x – 42x  + 8x + 28 Û 
dx 
dy 
= ­18x 2 + 26x + 28. 
2. Derive y = ­3x.(x 3 + 2x). 
Resolução: 
dx 
dy 
= (­3x)’. (x 3 + 2x) + (­3x) . (x 3 + 2x)’ = ­3. (x 3 + 2x) ­ 3x . (3x 2 + 2) = 
= ­3x 3  ­ 6x ­ 9x 3  ­ 6x Û 
dx 
dy 
= ­12x 3  ­ 12x 
Obs.:  Podemos  estender  o  conceito  de  derivada  do  produto  para  mais  do  que  duas 
funções. Por exemplo: Sejam f(x), g(x) e h(x) deriváveis. 
Portanto: [ ] (x) ' h f(x).g(x). (x).h(x) ' f(x).g (x) (x).g(x).h ' f h(x) f(x).g(x). 
dx 
d 
+ + = ,  e  assim  por 
diante . 
Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos: 
[ ] (x) ' f(x).g (x).g(x) ' f f(x).g(x) 
dx 
d 
+ =
10 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Regra do Quociente 
Exemplo: 
Derive y = 
6 4x 
3 x 
+ 
+ 
. 
Resolução: Temos f = x­1 e g = 2x + 3 
Û 
+ + 
- - + 
= 
+ + 
+ - + 
= 
+ 
+ + - + + 
= 
36 48x 2 16x 
12 4x 6 4x 
36 48x 2 16x 
3).4 (x 6) 1.(4x 
2 6) (4x 
6)' 3).(4x (x 6) 3)'.(4x (x 
dx 
dy 
Û 
36 48x 2 16x 
6 
dx 
dy 
+ + 
- 
= 
Regra da Derivação da Função Composta (Regra da Cadeia) 
Exemplos: 
1. Derive y = (x 2 + 1) 3 . 
Resolução: Temos u = x 2 + 1 ® y = u 3 , portanto 
y’ = 
dx 
du 
. 
du 
dy 
dx 
dy 
= = 3u 2 .u’ = 3.(x 2 + 1) 2  . 2x = 3.(x 4 +2x 2 +1).2x Û 
y’ = 6x 5 +12x 3 + 6x 
ou 
Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos: 
[ ] 2 g(x) 
(x) ' f(x).g (x).g(x) ' f 
g(x) 
f(x) 
dx 
d - 
= ú û 
ù 
ê ë 
é 
Seja y = f(u) diferenciável em u . 
Sejam u = g(x) e f[g(x)] diferenciáveis em x, temos: 
dx 
du 
. 
du 
dy 
dx 
dy 
= ou [ ] [ ] (x) .g' g(x) ' f f(g(x)) 
dx 
d 
= 
com g(x) ¹ 0
11 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
y’ = [ (x 2 + 1) 3  ]’.(x 2 + 1)’ = 3.(x 2 + 1) 2  .2x Û y’ = 6x5 +12x3 + 6x 
2. Derive y = (3x 3 +2x) 2 . 
Resolução: Temos u = 3x 3 +2x  y = u 2 , portanto 
y’ = 
dx 
du 
. 
du 
dy 
dx 
dy 
= = 2u .u’ = 2.(3x 3 +2x) . (9x 2 + 2) = (6x 3 + 4x) . (9x 2 + 2) Û 
y’ = 54x 5 + 48x 3 + 8x 
ou 
y’ = [(3x 3 +2 x) 2 ]’.(3x 3 +2 x)’ = 2.(3x 3 +2 x) . (9x 2 + 2) = (6x 3 + 4x) . (9x 2 + 2) Û 
Û y’ = 54x 5 + 48x 3 + 8x 
3. Derive y = sen 2x . 
Resolução:. 
y’ = [sen 2x]’.(2x)’ = cos2x . 2 Û y’ = 2.cos 2x 
NOTA:  Pensando  na  regra  da  cadeia,  podemos,  então,  ampliar  nossos  conceitos  de 
derivação,  uma  vez  que,  ao  derivarmos,  por  exemplo,  cos  x,  temos  que  u  =  x,  logo  u’  =  1, 
portanto,  (cos  x)’  =  [cos  x]’.(x)’  =  (­sen  x)  .  1 Û (cos  x)’  =  ­senx  .  Muitas  vezes  nos 
esquecemos disso, o que acarreta em erros freqüentes e comuns, por exemplo, se a derivada de 
cos x é ­sen x, é natural pensarmos que a derivada de cos 2x é ­sen 2x; natural, porém absurdo, 
pois  já vimos, pela regra da cadeia, que derivada de cos 2x é –2.sen 2x. Uma boa sugestão é 
nunca se esquecer de derivar a função u. 
Pensando nisso, preparamos uma tabela de derivadas onde a variável a ser operada não é 
“x”, mas sim  “u”  (como  função),  notamos, em sala  de aula,  que houve significativo aumento de 
compreensão das derivadas que usam regra da cadeia. 
Segue abaixo, essa tabela:
12 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Tabela de Derivadas 
Função  Derivada 
c.x n  n.c.x n­1 
x n  n.x n­1 
e u  u’e u 
a u  u’.a u .lna 
u 
u 2 
u' 
ln u 
u 
u' 
u a log 
u 
e a u'.log 
u.lna 
u' 
= 
e ­u  ­u’.e ­u 
sen u  u’.cos u 
cos u  ­u’.sen u 
u cos 
u sen 
u tg = u 2 u'.sec 
u 2 cos 
u' 
= 
u cos 
1 
u sec = = 
u 2 cos 
senu 
u'.  u’.sec u.tg u 
u sen 
1 
u cosec = = - 
u 2 sen 
cosu 
u'.  ­ u’.cosec u.cotg u 
cotg u 
= - 
u 2 sen 
u' 
­ u’.cosec 2 u 
arcsen u 
2 u 1 
u' 
- 
arccos u 
2 u 1 
u' 
- 
- 
arctg u 
2 u 1 
u'
+
13 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
senh u  u’.cosh u 
cosh u  u’.senh u 
tgh u 
u 2 cosh 
u' 
cotgh u 
u 2 senh 
u' 
- 
arcsenh u 
2 u 1 
u' 
+ 
arccosh u 
1 2 u 
u' 
- 
arctgh u 
2 u 1 
u' 
- 
, |u| < 1 
arccotg h u 
1 2 u 
u' 
- 
- , |u| > 1 
f(u).g(u).h(u)  f’(u)g(u)h(u)+f(u)g’(u)h(u)+f(u)g(u)h’(u) 
y=f[g(x)]=f(u) 
f’[g(x)].g’(x) = 
dx 
du 
. 
du 
dy 
(Deriv. função composta) 
u+v  u’ + v’ 
u­v  u’ ­ v’ 
u.v  u’v + uv’ 
u / v 
2 v 
uv' v u' - 
uv ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
+ v'.lnu 
u 
v u' 
. v u
14 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA  03  •  DERIVADA  DAS  FUNÇÕES  LOGARÍTMICA  E 
EXPONENCIAL 
** Exemplo: y = e5x ® y’ = e5x . (5x)’  = y’ = e5x . 5 Û y’ = 5.e 5x 
Derivadas Sucessivas 
Exemplo: 
• f(x) = ­8x4 ® f’(x) = ­32x 3 ® f’’(x) = ­96x2 ® f’’’(x) = ­192x ® f iv (x) = ­192 ® f v (x) = 0. 
• y = 
x 
e a log 
x.lna 
1 
dx 
dy 
x a log = = ® . 
• y = 
x 
1 
dx 
dy 
lnx = ® . 
• y =  x e 
dx 
dy x e = ® . 
• y =  .u' e y' e  u u = ® . ** 
• y =  .lna x a 
dx 
dy x a = ® . 
Seja y = f(x), chamamos de Derivada Primeira a função y’ = f’(x) obtida a partir da 
derivação de y =  f(x);  se derivarmos y’ =  f’(x) obteremos y’’ =  f’’(x) ou Segunda 
Derivada, e assim por diante, até y n = f n (x)possível.
15 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Função Inversa (f ­1 ) 
Convém salientar que f ­1 ¹ 
f 
1 
,ou seja, não use propriedade de potenciação. 
Em linhas gerais, a função inversa f ­­1 desfaz o que a função f fez 
Exemplo: 
a) 
b) 
Definição de Função Inversa 
Seja f uma função Bijetora, ou seja, para cada y Î Imf existe um único x Î Df  tal que y = 
f(x), chamamos de Função Inversa de f e denotamos f ­1 aquela que leva y no único x de f tal que 
y = f(x), ou seja, f ­1 (y) = x. (Veja os diagramas abaixo) 
f(x) = x 2  ­1 
f ­1 (x) =  1 2 x + 
, com x e f(x) ³ ­1.
16 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Gráficos de algumas funções e suas inversas 
a) 
b) 
Como derivar a função inversa 
No nosso estudo, não nos interessa acharmos a função inversa propriamente dita, mas sim 
a sua derivada. 
Sabemos que f ­1 (x) o f(x) = x (função composta) Û f ­1 (f(x)) = x Û [f ­1 (f(x)) ]’ =  x’ Û 
Û [f ­1 (f(x)) ]’ = 1 Û [ f ­1 (f(x)) ]’. f’(x) = 1(regra da cadeia) Û [f ­1 (f(x))]’ = 
(x) ' f 
1 
como y = f(x), também podemos denotar [ f­1 ]’(y) = 
(x) f 
1 
' 
.
17 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Exemplos: 
a) Sendo f(x) = x 5  ­ 2x 3 + 2x 2 + 3, calcule (f ­1 )’ (y)  . 
Resolução: 
[ f ­1  ]’(y) = 
4x 2 6x 4 5x 
1 
(x) ' f 
1 
+ - 
= 
b) Idem para f(x) = x5 + 2x3 + x, com y0 = 4. 
Resolução: 
Temos f(x) = y = 4 Û x5 + 2x3 + x = 4 \ x = 1 
[ f ­1  ]’(y) = 
1 2 6x 4 5x 
1 
(x) ' f 
1 
+ + 
= , logo, substituindo  x = 1 em [ f­1 ]’(y), temos: 
(f ­1 )’ (4) = Û 
+ + 
= 
+ + 1 6 5 
1 
1 2 6.(1) 4 5.(1) 
1 
(f ­1 )’ (4)  = 
12 
1 
Em resumo: A derivada da função inversa é o inverso da derivada da função. 
f(x)
18 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 04 • DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
Funções implícitas e explícitas 
Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se apresentam de forma 
explícita: y = f(x),  isto é, uma das variáveis é fornecida de forma direta (explícita) em termos da 
outra. 
Por Exemplo: 
Nelas dizemos que  y,  s,  e  u  são  funções de  x,  t  e w,  explicitamente. Muitas  funções, 
porém, apresentam­se na forma implícita, veja o exemplo abaixo: 
• Ache a derivada 
dx 
dy 
da função xy = 1 
Resolução:  Nessa  equação,  y  está  definida  implicitamente  como  uma  função  de  x. 
Podemos obter, portanto, a equação em relação à y e daí diferenciá­la. 
• xy = 2 (Forma implícita) 
• y = 
x 
2 
(Escrever a relação y em função de x) 
• y = 2x –1  (Escrever sob nova forma) 
• 
dx 
dy 
= ­2x – 2  (Derivar em relação a x) 
• 
dx 
dy 
= ­ 
2 x 
2 
(Simplificar) 
y = 5x ­ 9 
s = ­25t 3  ­ 3t 2 
u = ­4w 4 + 35w² 
dx 
dy 
Derivada de y em  relação à x.
19 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Esse processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, o que 
não ocorre, por exemplo, com y 5 + 3x 2 y + 5lny 3 = 0. 
Para tanto, podemos utilizar um método chamado Derivação implícita 
(ou diferenciação  implícita),  que nos permite  derivar  uma  função  sem a  necessidade  de 
explicitá­la. 
Derivação implícita 
Essa  derivação  é  feita  em  relação  a  x.  Resolvendo  normalmente  as  derivadas  que 
envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regra da Cadeia, 
uma vez que y é uma função de x. 
Exemplos: 
a) 3x + y 4 
Resolução: 
Sendo y uma função de x, devemos aplicar a regra da cadeia para diferenciar em relação 
a x, daí : 
dx 
dy 3 4y 3 ) 4 (y 
dx 
d 
(3x) 
dx 
d 
) 4 y (3x 
dx 
d 
+ = + = + 
b) 2x ­ 3y 
Resolução: 
dx 
dy 
3 2 (3y) 
dx 
d 
(2x) 
dx 
d 
3y) ­ (2x 
dx 
d 
- = - = 
c) 3xy² 
Resolução: 
dx 
dy 
6xy 2 3y 
dx 
dy 
3x.2y 2 3y ) 2 (y 
dx 
d 
3x. 2 3.y ) 2 (3xy 
dx 
d 
+ = + = + = 
Regra da cadeia
20 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
d) 8x 3  ­ 12y² = 25 
Resolução: 
y 
2 x 
dx 
dy 
24y 
2 24x 
dx 
dy 2 24x 
dx 
dy 
24y 0 ) 2 (12y 
dx 
d 2 24x 25) 12y² ­ 3 (8x 
dx 
d 
= Û = Û - = - Û = - Û = 
e) x 4  ­ y 4 + x² ­ y² + x ­ y = 2 
Resolução: 
1 y 3 4y 
1 2x 3 4x 
dx 
dy 
1 y 3 4y 
1 2x 3 4x 
dx 
dy 
1 2x 3 4x 1) y 3 4y ( 
dx 
dy 
1 2x 3 4x 
dx 
dy 
dx 
dy 
y 
dx 
dy 3 4y 
0 
dx 
dy 
1 
dx 
dy 
y 2x 
dx 
dy 3 4y 3 4x 2) y x 2 y 2 x 4 y 4 (x 
dx 
d 
+ + 
+ + 
= Þ 
- - - 
- - - 
= Þ 
Þ - - - = - - - Þ - - - = - - - Þ 
Þ = - + - + - Þ = - + - + - 
f)  x 3 y 5 = y + 2 
Resolução: 
1 4 5y 3 x 
5 y 2 3x 
dx 
dy 5 y 2 3x 1) 4 5y 3 (x 
dx 
dy 
5 y 2 3x 
dx 
dy 
dx 
dy 4 5y 3 x 0 
dx 
dy 
dx 
dy 4 5y 3 x 5 y 2 3x 2) y 5 y 3 (x 
dx 
d 
- 
- 
= Þ - = - Þ 
Þ - = - Þ + = + Þ + = 
g) tgy = xy 
Resolução: 
y 2 x.cos 1 
y 2 y.cos 
dx 
dy 
y 2 x.cos 1 
y 2 cos 
y. 
dx 
dy 
y 2 cos 
y 2 x.cos 1 
y 
dx 
dy 
x 
y 2 cos 
1 
y 
dx 
dy 
x y 2 sec 
y 
dx 
dy 
y x) y 2 (sec 
dx 
dy 
y 
dx 
dy 
x 
dx 
dy 
y 2 sec 
dx 
dy 
x y 
dx 
dy 
y 2 sec xy) (tgy 
dx 
d 
- 
= Þ 
Þ 
- 
= Þ 
- 
= Þ 
- 
= Þ 
- 
= Þ 
Þ = - Þ = - Þ + = Þ =
21 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
h) x 3 + 5y² = ­8 
Resolução: 
10y 
3x 
dx 
dy 
3x 
dx 
dy 
10y 0 
dx 
dy 
10y 3x 8) ­ 5y² (x 
dx 
d  2 2 2 3 - = Þ - = Þ = + Þ = + 
i) sen x + cos y  = 0 
Resolução: 
seny 
cosx 
dx 
dy 
cosx 
dx 
dy 
0 
dx 
dy 
seny cosx y) cos (senx 
dx 
d 
= Þ = Þ = - Þ +
22 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA  05  •  DERIVADA  DE  UMA  FUNÇÃO  NA  FORMA 
PARAMÉTRICA 
Função na forma paramétrica 
Sejam (I)  duas funções da mesma variável t, com t Î [ a, b ]; a 
cada valor de t, temos x e y definidos. 
Caso as funções x = x(t) e y = y(t) sejam contínuas, quando t varia de a, b, o ponto 
P(x(t), y(t)) descreve uma curva no plano, onde t é o parâmetro. 
Exemplo: 
Suponhamos a função x = x(t) inversível, temos t = t(x) a inversa de x = x(t) e podemos 
escrever y = y[t(x)] e y define­se como função de x na Forma paramétrica. 
Eliminamos t de (I) e obtemos y =y(x) na Forma Analítica Usual. 
Exemplos: 
a) 
Aplicando t em y, temos: 
3 2x y + = Þ + - = + - = + - = ú û 
ù 
ê ë 
é 5 2 2x 5 2) 2.(x 5 2) .(x 
3 
1 
6 y 
x = x(t) 
y = y(t) 
x = 3t + 2 
y = 6t + 5 
t em função de x 
2) .(x 
3 
1 
t - =
23 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
b)
Aplicando t em y, temos: 
35 3x y + = Þ + + = + + = + + = ú û 
ù 
ê ë 
é 8 27 3x 8 9) 3.(x 8 9) .(x 
5 
1 
15 y 
Derivada de uma função na forma paramétrica 
Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas 
Exemplos: 
1. Calcule 
dx 
dy 
da função y(x), definida na forma paramétrica pelas equações: 
a) 
î 
í 
ì 
+ = 
+ = 
5 6t y 
2 3t x 
b) 
î 
í 
ì 
- = 
- = 
12t 2 18t y 
2 6t x 
Resolução: 
a)  2 
3 
6 
2)' (3t 
5)' (6t 
(t) x' 
(t) y' 
dx 
dy 
= = 
+ 
+ 
= = 
x = x(t) 
y = y(t) 
; t Î [a; b] temos 
dy  =  y’(t) 
dx      x’(t) 
A fórmula que permite calcular a derivada  sem conhecer explicitamente  y 
como y como função de x.  dy 
dx 
x = 5t – 9 
y = 15t + 8 
t em função de x 
9) .(x 
5 
1 
t + =
24 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
b)  2 6t 
6 
12 36t 
2)' (6t 
12t)' 2 (18t 
dx 
dy 
- = 
- 
= 
- 
- 
= ♣ 
OBS: Note, no item b, que a resposta está em função de t, caso quisermos a derivada 
dx 
dy 
em função de x,devemos determinar t = t(x) e substituir em ♣, daí, temos: 
x  =  6t  –  2 Û x  +  2  =  6t Û t  = 
6 
2) (x + 
;  substituindo  t  em  ♣  ,  obtemos  a  seguinte 
expressão: 
6. 
6 
2) (x + 
­ 2 = (x + 2) – 2 = x + 2 – 2 , portanto 
dx 
dy 
= x. 
2. Idem para 
î 
í 
ì 
- = 
= 
t 3 5sen y 
t 3 5cos x  ; 
2 
π 
t 0 £ £ 
Resolução: 
dx 
dy 
= = 
(t) x' 
(t) y' 
t)' 3 5cos ( 
t)' 3 (5sen 
- 
= Þ = 
cost 
sent 
t.sent 2 15cos 
t.cost 2 15sen 
= 
dx 
dy 
tg(t) 
com 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
¹ 
¹ 
2 
π 
t 
0 t 
OBS.:  Temos  que  ter  muita  atenção  quanto  aos  intervalos  de  validade  das  respostas 
obtidas. Note que x’(t) deve ser diferente de zero, pois está operando como denominador da 
expressão  acima,  portanto,  concluímos  que,  para  fazermos  as  simplificações  indicadas,  temos 
que considerar 
t ¹ 0 e  t ¹ 
2 
π 
pois sen 0 = 0  e cos 
2 
π 
= 0, note que, apesar de t  pertencer ao intervalo 
2 
π 
t 0 £ £ , efetivamente estão excluídos os valores de t já mencionados.
25 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
3. Idem para 
ï î 
ï 
í 
ì 
= 
= 
3t y 
2t x  ; +¥ < £ t 0 
Resolução: 
dx 
dy 
= = 
(t) x' 
(t) y' 
+¥ < £ = Þ = t 0 com ; 
2t 
2 3t 
)' 2 (t 
)' 3 (t 
2 
3t 
dx 
dy 
. 
4. Idem para 
î 
í 
ì 
= 
- = 
t 3 4cos y 
t 3 2sen x  ; ú û 
ù 
ê ë 
é - Î 0 ;
2 
π 
t 
Resolução: 
t 
sent 
2cost 
t.cost 2 6sen 
t 2 12sent.cos 
t.cost 2 6sen 
sent) t.( 2 12cos 
t)' 3 2sen ( 
t)' 3 (4cos 
(t) x' 
(t) y' 
dx 
dy 
g 2cot 
dx 
dy 
= Þ = 
- 
- 
= 
- 
- 
= 
- 
= = 
com 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
- ¹ Þ ¹ 
¹ Þ ¹ 
2 
π 
t 0 cost 
0 t 0 sent
26 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 06 • FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
Introdução 
Analisando essas afirmações: 
1. O volume V de uma pirâmide de base quadrada é dado por 
3 
.h 2 x 
V = , onde temos que 
x é o lado do quadrado e h a altura da pirâmide. 
2. A equação da geratriz do tronco de cone é dada por  2 h 
2 
2 
d D 
g + 
- 
= ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ , onde temos: 
Nessa análise, verificamos que as funções apresentadas requerem o uso de duas ou mais 
variáveis independentes. 
Em 
Graficamente: 
g: geratriz  d: diâmetro da base menor 
D: diâmetro de base maior  h: altura do tronco 
1. Temos 
3 
.h 2 x 
h) V(x, : V = 
2. Temos  2 h 
2 
2 
d D 
h) d, g(D, : g + 
- 
= ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ
27 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
OBS.: O estudo das funções de três, ou mais, variáveis difere pouco do estudo de funções 
de duas variáveis, logo, trabalharemos mais com estas, salientando as diferenças. 
Função de várias variáveis 
Definição: Seja A um conjunto do espaço n­dimensional ( A ÍRn ), isto é, os elementos 
de A são n­uplas ordenadas ( x1, x2, x3, ..., xn  ) de números reais, se a cada ponto P do conjunto 
A associamos um único elemento z Î R, temos a função, a qual está definida como f: A ÍRn ® 
R. 
Essa função é chamada de Função de n variáveis reais e denotamos: z = f(P) ou 
z = f ( x1, x2, x3, ..., xn ). 
O conjunto A é denominado Domínio da função z = f(P). As notações são, em geral, do 
tipo: 
• f ( x, y ) = x 3 + xy 2 
• g ( x, y ) = e x­y 
• (x, y, z) = 3x ­ 5y 4 + 5z  (Três variáveis) 
Terna ordenada (D, d, h) em R 3 = R x R x R 
Duas variáveis 
Par ordenado (x, h) no plano R 2 = R x R
28 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Os cálculos são análogos àqueles das funções de uma variável: 
• f ( 2, ­1 )  para f ( x, y )  =  x 3 + xy 2 Þ ( 2 ) 3 – ( 2 )( ­1 ) 2  =  8 – 2 Þ f ( 2, ­1 ) = 6 
• g ( 0, 1 )  para g ( x, y )  =  e x­y Þe 0­1 = e 1 Þ g ( 0, 1 ) = e 
• h ( 3, 2, 4 )  para h ( x, y, z )  =  3x ­ 5y 4 + 5z Þ3( 3 ) – 5( 2 ) 4 + 5( 4 ) = 9 – 80 + 20 Þ 
Þ h ( 3, 2, 4 ) = ­ 51 
Gráficos 
Podemos representar graficamente uma função de duas variáveis como uma superfície no 
espaço, fazendo z = f (x, y). Ao fazer o gráfico de uma função de x e y, devemos lembrar que, 
embora  o  gráfico  seja  tridimensional,  o  domínio  da  função  é  bidimensional  –  consiste  nos 
pontos do plano xy, para os quais a função é definida. 
Exemplos: 
a) Determine o domínio e a imagem da função f (x,y) =  2 y 2 x 36 - - . 
Resolução: 
( ) { } 36 2 y 2 x : 2 R y x, f D 36 2 y 2 x 0 2 y 2 x 36 £ + Î = \ £ + Þ ³ - - 
Temos, pois: x² + y² £ 6² (círculo) logo, { } 6 z 0 : R z f Im £ £ Î = ou Imf  ] 6 0, [ zÎ . 
Centro ( 0, 0 ) e raio £ 6
29 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
b)  Determine  o  Domínio  para  g  (x,  y,  z)  =  2 z 2 y 2 x 25 - - - ,  e  esboce  o  gráfico  do 
domínio. 
Resolução: 
Condição de existência ( C.E ):  25 z y x 0 z y x 25  2 2 2 2 2 2 £ + + Û ³ - - - 
Portanto Dg ( ) { } 25 2 z 2 y 2 x | 3 R z y, x, £ + + Î = . 
c) Determine o domínio da função w = Î 
+ - + - 
- 
5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 
5 
R. 
Resolução: 
Para w pertencente a R, temos x1  ­ x2 + x3  ­ x4 + x5 ¹ 0, logo : 
Dw = { (x1  , x2  , x3  , x4 , x5) Î R5 | x1  ­ x2 + x3  ­ x4 + x5 ¹ 0 }. 
d) z = 2xy 
Resolução: 
Como não há restrições para a multiplicação 2xy, temos ( ) { } 2 R ou 2 R y x, D(z) Î " = 
Nota­se  que  o  gráfico  da  função  seria  quadridimensional  ,  não  podendo 
portanto, ser esboçado.
30 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
e) w  = 
2 z 2 y 2 x 
3 
+ + 
- 
Resolução: 
C.E:  0 2 z 2 y 2 x ¹ + + 
Portanto, Dw ( ) { } } ) 0 0, 0, ( { 3 R ou 0 2 z 2 y 2 x | 3 R z y, x, - ¹ + + Î = . 
f) z  =  4 2 y 2 x - + 
Resolução: 
C.E :  4 2 y 2 x 0 4 2 y 2 x ³ + Þ ³ - + 
Portanto Dw ( ) { } 4 2 y 2 x | 2 R y x, ³ + Î = .
31 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 07 • DERIVADAS PARCIAIS 
As aplicações das  funções de várias  variáveis procuram determinar  como variações de 
uma  das  variáveis  afetam  os  valores  das  funções.  Por  exemplo,  um  economista  que  deseja 
determinar o efeito de um aumento de impostos na economia pode fazer seus cálculos utilizando 
diferentes taxas de imposto, mantendo constantes outras variáveis, como desemprego, etc. 
Analogamente, determinamos a  taxa de variação de uma função  f em relação a uma de 
suas variáveis independentes, que nada mais é que achar a derivada de f em relação a uma de 
suas variáveis independentes. 
Esse processo chama­se Derivada Parcial. 
Uma  função  de  várias  variáveis  tem  tantas  “ parciais”   quantas  são  suas  variáveis 
independentes. 
Funções de várias variáveis 
Derivadas parciais 
Se z = f(x,y), então, derivadas parciais de primeira ordem de f em relação a x e y 
são funções 
x 
z 
¶ 
¶ 
e 
y 
z
¶ 
¶ 
, definidas, como segue : 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
- + 
® 
= 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
- + 
® 
= 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
Δy 
y) f(x, Δy) y f(x, 
0 Δy 
lim 
y 
z 
y 
f 
Δx 
y) f(x, y) Δx, f(x 
0 Δx 
lim 
x 
z 
x 
f 
y constante 
x constante 
Efetivamente, ao derivarmos parcialmente uma função, deriva­se em relação a 
uma variável, considerando­se, as demais, constantes!
32 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Exemplos: 
a) Calcule 
x 
z 
¶ 
¶ 
e 
y 
z
¶ 
¶ 
para a função z = 5xy + 3x 2 y 3  ­ 4x 3 y 2 . 
Resolução: 
x 
z
¶ 
¶ 
=  5y + 6xy 3  ­ 12x 2 y 2 
y 
z
¶ 
¶ 
= 5x + 9 x 2 y ­ 8 x 3 y 
b) Idem para h(x,y) =  5 4 y 3 x + + 
Resolução: 
x 
h
¶ 
¶ 
= 
5 4 y 3 x 2 
2 3x 2 .3x 
5 4 y 3 x 2 
1 
+ + 
= 
+ + 
y 
h
¶ 
¶ 
= 
5 4 y 3 x 
3 2y 3 .4y 
4 4 y 3 x 2 
1 
+ + 
= 
+ + 
c) Idem paraz = sen ( 5x + 8y 2  ) 
Resolução: 
x 
z
¶ 
¶ 
=  cos ( 5x + 8y 2  ) . 5  =  5. cos ( 5x + 8y 2  ) 
y 
z 
¶ 
¶ 
=  cos (5x + 8y 2 ) . 16y  =  16y. cos (5x + 8y 2 ) 
d) Idem para f(x,y) = 5x²y + 4x 2 y 2 + 4x 
Resolução: 
x 
f 
¶ 
¶ 
=  10xy + 8xy 2 + 4
33 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
y 
f 
¶ 
¶ 
=  5x² + 8x 2 y 
e) Idem para f(x,y) = 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
= 
¹ 
- 
(0,0) y) (x, 0; 
(0,0) y) (x, ; 
2 5y 2 4x 
3xy 
Resolução: 
PARA (x, y) ¹ ( 0, 0 ) 
2) 2 5y 2 (4x 
3 15y y 2 12x 
x 
f 
2) 2 5y 2 (4x 
y 2 24x 3 15y y 2 12x 
2) 2 5y 2 (4x 
(3xy).(8x) ) 2 5y 2 (3y).(4x 
x 
f 
- 
- - 
= 
¶ 
¶ 
Þ 
- 
- - 
= 
- 
- - 
= 
¶ 
¶ 
2) 2 5y 2 (4x 
3 12x 2 15xy 
x 
f 
2) 2 5y 2 (4x 
2 30xy 2 15xy 3 12x 
2) 2 5y 2 (4x 
10y) (3xy).( ) 2 5y 2 (3x).(4x 
x 
f 
- 
+ 
= 
¶ 
¶ 
Þ 
- 
+ - 
= 
- 
- - - 
= 
¶ 
¶ 
PARA ( x, y ) = ( 0, 0 ) 
x 
f 
¶ 
¶ 
( 0,0 )  =  0 
H L' 
x 
0 
2 5.0 2 4x 
3x.0 
0 x 
lim 
x 
f(0,0) f(x,0) 
0 x 
lim = 
- 
- 
® 
= 
- 
® 
y 
f 
¶ 
¶ 
( 0,0 )  =  0 
H L' 
y 
0 
2 5y 2 4.0 
3.0.y 
0 y 
lim 
y 
f(0,0) y) f(0, 
0 y 
lim = 
- 
- 
® 
= 
- 
® 
Resumindo: 
x 
f 
¶ 
¶ 
= 
ï 
ï 
ï 
î 
ï ï 
ï 
í 
ì 
= 
¹ 
- 
- - 
(0,0) y) (x, 0; 
(0,0) y) (x, ; 2) 2 5y 2 (4x 
3 15y y 2 12x
34 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
y 
f 
¶ 
¶ 
= 
ï 
ï 
ï 
î 
ï ï 
ï 
í 
ì 
= 
¹ 
- 
+ 
(0,0) y) (x, 0; 
(0,0) y) (x, ; 
2) 2 5y 2 (4x 
3 12x 2 15xy 
Notações: 
• Derivadas parciais de primeira ordem: 
Seja  z = f (x,y): 
[ ] 
[ ] ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
¶ 
¶ 
= = = 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= = = 
¶ 
¶ 
y) f(x, 
y y 
z y) (x, y f y 
z 
y) f(x, 
x x 
z y) (x, x f x 
z 
• Os valores das derivadas parciais de primeira ordem no ponto ( a, b ) 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
= 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
b) (a, y f b) (a, y 
z 
b) (a, x f b) (a, x 
z
35 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 08 • DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 
Exemplos: 
1. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 3x 2 y + 2xy 2 – 5x – 4y. 
Resolução: 
6y 
* * 
5x 2 2y 6xy 
* 
2 x 
z 2 
Þ - + Þ 
¶ 
¶ 
4x 
* * 
4 4xy 2 3x 
* 
2 y 
z 2 
Þ - + Þ 
¶ 
¶ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
x 
z 
x 2 x 
z 2 
Derivada parcial de 2ª ordem em relação a x 
Derivada parcial de 2ª ordem em relação a y 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
y 
z 
y 2 y 
z 2 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
y 
z 
x y x 
z 2 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
x 
z 
y x y 
z 2 
Derivadas parciais de 2ª ordem mistas (Derivar de trás para frente...) 
OBS.: Quando a função z = f(x,y) é contínua, então 
x y 
z 2 
y x 
z 2 
¶ ¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶
36 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
4y 6x 
*x * 
4 4xy 2 3x 
y * 
y 
z 
x y x 
z 2 
+ Þ - + Þ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
4y 6x 
*y * 
2 2y 6xy 
x * 
x 
z 
y x y 
z 2 
+ Þ + Þ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
2. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = ln (x² + y² ). 
Resolução: 
2) 2 y 2 (x 
2 2y 2 2x 
2) 2 y 2 (x 
2 4x 2 2y 2 2x 
2) 2 y 2 (x 
2x.2x ) 2 y 2 2.(x * * 
2 y 2 x 
2x * 
2 x 
z 2 
+ 
+ - 
= 
+ 
- + 
= 
+ 
- + 
Þ 
+ 
Þ 
¶ 
¶ 
2) 2 y 2 (x 
2 2y 2 2x 
2) 2 y 2 (x 
2 4y 2 2y 2 2x 
2) 2 y 2 (x 
2y.2y ) 2 y 2 2.(x * * 
2 y 2 x 
2y * 
2 y 
z 2 
+ 
- 
= 
+ 
- + 
= 
+ 
- + 
Þ 
+ 
Þ 
¶ 
¶ 
2) 2 y 2 (x 
4xy 
2) 2 y 2 (x 
2y.2x ) 2 y 2 0.(x *x * 
2 y 2 x 
2y y * 
y 
z 
x y x 
z 2 
+ 
- 
= 
+ 
- + 
Þ 
+ 
Þ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
2) 2 y 2 (x 
4xy 
2) 2 y 2 (x 
2x.2y ) 2 y 2 0.(x *y * 
2 y 2 x 
2x x * 
x 
z 
y x y 
z 2 
+ 
- 
= 
+ 
- + 
Þ 
+ 
Þ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
3. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = sen ( 2x 4 + 4y 2 ). 
Resolução: 
)] 4 2 ( . 4 ) 4 2 [cos( 16 
) 4 2 ( . 64 ) 4 2 cos( . 16 
8 ). 4 2 ( . 8 ) 4 2 cos( . 16 
) 4 2 cos( . 8 8 ). 4 2 cos( 
2 4 4 2 4 2 
2 4 6 2 4 2 
3 2 4 3 2 4 2 
* * 
2 4 3 3 2 4 
* 
2 
2 
y x sen x y x x 
y x sen x y x x 
x y x sen x y x x 
y x x x y x 
x 
z 
+ - + = 
= + - + = 
= + - + 
Þ + = + Þ 
¶ 
¶ 
) 2 4y 4 .sen(2x 2 64y ) 2 4y 4 8.cos(2x 
).8y 2 4y 4 8y.sen(2x ) 2 4y 4 8.cos(2x 
** 
) 2 4y 4 8y.cos(2x ).8y 2 4y 4 cos(2x 
* 
2 y 
z 2 
+ - + = 
= + - + 
Þ 
+ = + Þ 
¶ 
¶
37 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
) 2 4y 4 y.sen(2x 3 64x 
3 ).8x 2 4y 4 8y.sen(2x 
**x 
) 2 4y 4 8y.cos(2x 
y * 
y 
z 
x y x 
z 2 
+ - = 
= + - Þ + Þ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
) 2 4y 4 y.sen(2x 3 64x 
).8y 2 4y 4 .sen(2x 3 8x 
**y 
) 2 4y 4 .cos(2x 3 8x 
x * 
x 
z 
y x y 
z 2 
+ - = 
= + - Þ + Þ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
4. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 5x 3 y 2  ­ 8x 4 y3 + 10x 2 – 8y 2 . 
Resolução: 
10) 3 y 2 48x 2 2(15xy 20 3 y 2 96x 2 30xy 
* * 
20x 3 y 3 32x 2 y 2 15x 
* 
2 x 
z 2 
+ - = + - Þ + - Þ 
¶ 
¶ 
8) y 4 24x 3 2(5x 16 y 4 48x 3 10x 
* * 
16y 2 y 4 24x y 3 10x 
* 
2 y 
z 2 
- - = - - Þ - - Þ 
¶ 
¶ 
16xy) y(5 2 6x 2 y 3 96x y 2 30x 
*x * 
16y 2 y 4 24x y 3 10x 
y * 
y 
z 
x y x 
z 2 
- = - Þ - - Þ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
16xy) y(5 2 6x 2 y 3 96x y 2 30x 
*y * 
20x 3 y 3 32x 2 y 2 15x 
x * 
x 
z 
y x y 
z 2 
- = - Þ + - Þ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
5. Determine as derivadas parciais de 2ª ordem de z = 2xy ­ 3x 2y 3 + 5x 2 – 3y 2 . 
Resolução: 
5) 3 3y 2( 10 3 6y 
* * 
10x 3 6xy 2y 
* 
2 x 
z 2 
+ - = + - Þ + - Þ 
¶ 
¶ 
1) y 2 6(3x 6 y 2 18x 
* * 
6y 2 y 2 9x 2x 
* 
2 y 
z 2 
+ - = - - Þ - - Þ 
¶ 
¶ 
2 18xy 2 
*x * 
6y 2 y 2 9x 2x 
y * 
y 
z 
x y x 
z 2 
- Þ - - Þ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ
38 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
2 18xy 2 
**y 
10x 3 6xy 2y 
x * 
x 
z 
y x y 
z 2 
- Þ + - Þ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ
39 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 09 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS 
1. Equação de Laplace 
Seja  z =  f(x,y)  uma  função  de  duas  variáveis  e 
2 x 
z 2 
¶ 
¶ 
, 
2 y 
z 2 
¶ 
¶ 
suas  “parciais”  de  segunda 
ordem, chamamos de Equação de Laplace a seguinte expressão: 
Analogamente, para w = f(x,y,z), temos a Equação de Laplace: 
Nesses casos, dizemos que z e w (respectivamente) satisfazem a Equação de Laplace. 
Exemplos: 
Verifique se as funções dadas satisfazem a Equação de Laplace. 
a) w = ­4x² + 8y² ­4z² 
0 2 y 
z 2 
2 x 
z 2 
= 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
0 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
= 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
z 
w 
y 
w 
x 
w 
Obs.  : Chamamos de Laplaciano a expressão  ...2 z 
f 2 
2 y 
f 2 
2 x 
f 2 
+ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
devido a sua 
similaridade com a Equação de Laplace  0 ... 
2 z 
f 2 
2 y 
f 2 
2 x 
f 2 
= + 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶
40 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Resolução: 
8 
* * 
8x 
* 
2 x 
w 2 
- Þ - Þ 
¶ 
¶ 
16 
* * 
16y 
* 
2 y 
w 2 
Þ Þ 
¶ 
¶ 
0 8 1 8 
2 z 
w 2 
2 y 
w 2 
2 x 
w 2 
= - + - = 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
\ 
8 z 8 
z 
w  * * * 
2 
2 
- Þ - Þ 
¶ 
¶ 
b) z = e x .cosy 
Resolução: 
.cosy x e .0 x e .cosy x e 
* * 
.cosy x e .0 x e .cosy x e 
* 
2 x 
z 2 
= + Þ = + Þ 
¶ 
¶ 
.cosy x e .cosy x e 0.(seny) 
* * 
.seny x e .seny x e 0.cosy 
* 
2 y 
z 2 
- = - Þ - = - Þ 
¶ 
¶ 
0 .cosy x e .cosy x e 
2 y 
z 2 
2 x 
z 2 
= - = 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
\
c) z = 4x 3 y + 2x 2 y 2 + 5x – 8y 
Resolução: 
2 4y 24xy 
* * 
5 2 4xy y 2 12x 
* 
2 x 
z 2 
+ Þ + + Þ 
¶ 
¶ 
Logo, w satisfaz à “ Laplace” . 
logo, z satisfaz  à  “ Laplace” .
41 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
2 4x 
* * 
8 y 2 4x 3 4x 
* 
2 y 
z 2 
Þ - + Þ 
¶ 
¶ 
0 6xy) 2 y 2 4(x 24xy 2 4y 2 4x 2 4x 2 4y 24xy 
2 y 
z 2 
2 x 
z 2 
¹ + + = + + = + + = 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
\ 
2. Diferencial total (ou Derivada Total) 
Seja  z  =  f(x,y)  uma  função  de  duas  variáveis  e 
x 
z
¶ 
¶ 
, 
y 
z
¶ 
¶ 
as  “parciais”  de  z  =  f(x,y), 
chamamos de Diferencial ( ou Derivada ) Total a seguinte expressão : 
Analogamente, para w = f(x,y,z), temos: 
Exemplos: 
Calcule a expressão do Diferencial Total de: 
a) z = 4x²y + ln ( x 3 y 2  ) 
Logo, z não satisfaz à “ Laplace” . 
y .Δ 
y 
z 
x .Δ 
x 
z 
z Δ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
= 
dt 
dy 
.
y 
z 
dt 
dx 
.
x 
z 
dt 
dz 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
= ou 
z .Δ 
z 
w 
y .Δ 
y 
w 
x .Δ 
x 
w 
w Δ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
= 
ou 
t 
z 
. 
z 
w 
dt 
dy 
. 
y 
w 
dt 
dx 
. 
x 
w 
dt 
dw 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
=
42 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Resolução: 
x 
3 y 2 8x 
x 
3 
8xy 
2 y 3 x 
2 y 2 3x 
8xy 
x 
z + 
= + = + = 
¶ 
¶ 
y 
2 y 2 4x 
y 
2 2 4x 
2 y 3 x 
y 3 2x 2 4x 
y 
z + 
= + = + = 
¶ 
¶ 
dt 
dy 
y 
2 y 2 4x 
dt 
dx 
x 
3 y 2 8x 
dt 
dz 
÷ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
ç 
è 
æ 
÷ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
ç 
è 
æ + 
+ 
+ 
= \ 
b) Idem para z = 
2 2y 3 x 
3xy 
+ 
Resolução: 
2) 2 2y 3 (x 
) 2 y 3 x 6y( 
2) 2 2y 3 (x 
3 6y y 3 6x 
2) 2 2y 3 (x 
y 3 9x 3 6y y 3 3x 
2) 2 2y 3 (x 
2 3xy.3x ) 2 2y 3 3y.(x 
x 
z 
+ 
+ - 
= 
= 
+ 
+ - 
= 
+ 
- + 
= 
+ 
- + 
= 
¶ 
¶ 
2) 2 2y 3 (x 
) 2 y 3 6x(x 
2) 2 2y 3 (x 
) 3 x 2 y 6x( 
2) 2 2y 3 (x 
4 6x 2 6xy 
2) 2 2y 3 (x 
2 12xy 2 6xy 4 3x 
2) 2 2y 3 (x 
3xy.4y ) 2 2y 3 3x.(x 
y 
z 
+ 
- 
= 
+ 
+ - 
= 
= 
+ 
+ - 
= 
+ 
- + 
= 
+ 
- + 
= 
¶ 
¶ 
dt 
dy 
2) 2 2y 3 (x 
) 2 y 3 6x(x 
dt 
dx 
2) 2 2y 3 (x 
) 2 y 3 x 6y( 
dt 
dz 
ú 
ú 
û 
ù 
ê 
ê 
ë 
é 
ú 
ú 
û 
ù 
ê 
ê 
ë 
é 
+ 
- 
+ 
+ 
+ - 
= \
43 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 10 • APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS 
3. Vetor gradiente 
Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis e 
x 
z
¶ 
¶ 
, 
y 
z
¶ 
¶ 
as “parciais”de z = f(x, y). 
Seja P0  (x0,  y0)  um ponto do plano xy,  a projeção de  “ z”  no plano dada por curvas de 
nível  e 
0 P x 
z
¶ 
¶ 
, 
0 P y 
z
¶ 
¶ 
as  derivadas  calculadas no ponto Po, Î plano R 2  ,chamamos  de Vetor 
Gradiente ao seguinte vetor: 
O Vetor Gradiente é ortogonal à  reta  tangente a uma curva de nível pelo ponto P0  (x0, 
y0). 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= Ñ 
0 P y 
z 
,
0 P x 
z 
0 P 
z
44 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Analogamente,  quando  temos w =  f(x,  y,  z), o Vetor Gradiente  será ortogonal ao plano 
tangente a uma superfície de nível por um ponto P (x0, y0, z0) do espaço R 3 ,  daí : 
Exemplos: 
Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto P0 Î plano R 2 . 
a) z = ln (x² + y²) em P0  (0, ­1). 
Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po Î plano R2. 
Resolução: 
0 
1 
0 
2 1) ( 2 0 
2.0 
1) (0, x 
z 
2 y 2 x 
2x 
x 
z 
= = 
- + 
= - ¶ 
¶ 
Þ 
+ 
= 
¶ 
¶ 
2 
1 
2 
2 1) ( 2 0 
2.1 
1) (0, y 
z 
2 y 2 x 
2y 
y 
z 
= = 
- + 
= - ¶ 
¶ 
Þ 
+ 
= 
¶ 
¶ 
b) z = x.cos y em Po (­3, 
2 
p 
). 
Resolução: 
0 
2 
π 
cos 
2 
π 3, x 
z 
cosy x.0 1.cosy 
x 
z 
= = 
- ¶ 
¶ 
Þ = + = 
¶ 
¶ 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
O Vetor Gradiente aponta para onde z = f(x,y) tem maior velocidade. 
Obs.:  Em  Geometria  Analítica,  o  Vetor  Gradiente  recebe  o  nome  de  Vetor 
Normal. 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= Ñ 
0 P z 
z 
,
0 P y 
z 
,
0 P x 
z 
P 
z 
0 
2) (0, 
1) (0, z = - Ñ 
\
45 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
3 3.1 
2 
π 
3).sen ( 
2 
π 3, y 
z 
x.seny x.seny 0.cosy 
x 
z 
= = - - = 
- ¶ 
¶ 
Þ - = - = 
¶ 
¶ 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
c)  z = 2x 3 y 2 + 5x –3y  em Po  ( 1, 2 ). 
Resolução: 
29 5 6.4 5 2 .(2) 2 6(1) (1,2) x 
z 
5 2 y 2 6x 
x 
z 
= + = + = 
¶ 
¶ 
Þ + = 
¶ 
¶ 
1 3 2.2 3 .(2) 3 2(1) (1,2) y 
z 
3 y 3 2x 
y 
z 
= - = - = 
¶ 
¶ 
Þ - = 
¶ 
¶ 
d) z = 2x 3 y 2  .e xy  em Po  ( ­1, 1 ). 
Resolução: 
e 
6 1 6.e 3) .( 1 2.e 1).(1)] ( .[3 1).(1) ( .e 2 .(1) 2 1) 2( 
1) 1, ( x 
z 
xy) .(3 xy .e 2 y 2 2x xy .e 3 y 3 2x xy .e 2 y 2 6x xy .ye 2 y 3 2x xy .e 2 y 2 6x 
x 
z 
- 
= - - = - - = - + - - = 
- ¶ 
¶ 
Þ 
Þ + = + = + = 
¶ 
¶ 
e 
4 1 4.e 2) .( 1 2.e 1).(1)] ( .[2 1).(1) ( .(1).e .3 1) 2( 
1) 1, ( x 
z 
xy) .(2 xy y.e 3 2x xy .e 2 y 4 2x xy y.e 3 4x xy .xe 2 y 3 2x xy y.e 3 4x 
y 
z 
= - = - - - = - + - - = 
- ¶ 
¶ 
Þ 
Þ + = + = + = 
¶ 
¶ 
e) z = ­3.ln ( x 3 + y² ) em Po  ( 2, 3 ). 
Resolução: 
17 
36 
2 3 3 2 
2 3.3.(2) 
(2,3) x 
z 
2 y 3 x 
2 3x 
3. 
x 
z 
- = 
+ 
- 
= 
¶ 
¶ 
Þ 
+ 
- = 
¶ 
¶ 
\ 3) (0, ) 
2 
π 3, ( 
z = 
- 
Ñ 
\ 1) (29, 
2) (1, z 
= Ñ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - = 
- 
Ñ 
e 
4 
, 
e 
6 
1) 1, ( z 
\
46 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
17 
18 
2 3 3 2 
3.2.3 
(2,3) y 
z 
2 y 3 x 
2y 
3. 
y 
z 
- = 
+ 
- 
= 
¶ 
¶ 
Þ 
+ 
- = 
¶ 
¶ 
f) z =  xy  em P0  ( 2,1 ). 
Resolução: 
4 
2 
2 2 
1 
2.1 2 
1 
(2,1) xy 2 
y 
x 
z 
= = = = 
¶ 
¶ 
\ 
2 
2 
2 
1 
2.1 2 
2 
(2,1) xy 2 
x 
y 
z 
= = = = 
¶ 
¶ 
\ ÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
= Ñ 
2 
2 
, 
4 
2 
(2,1) z 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - - = Ñ 
17 
18 
, 
17 
36 
(2,3) 
z
47 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 11 • DERIVADA DIRECIONAL (INCLINAÇÃO) 
Se z =  f(x,y)  é uma  função diferenciável de x e y  com u = u1i + u2j  um vetor unitário, 
então, a  derivada direcional de z na direção de u é denotada por: 
Seja o vetor gradiente 
)0 y , 0 (x 
z Ñ temos que a derivada direcional é a direção assumida 
pelovetor  gradiente  quando  “aplicado”  no  vetor  unitário  u,  logo,  para  calcularmos  a  derivada 
direcional,  temos  o  vetor  decomposto  em  j 
0 P y 
z 
i 
0 P x 
z 
0 zP 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
= Ñ e,  combinado  com  a 
equação (I),  chegamos em: 
Exemplos: 
a) Ache a derivada direcional de f(x,y) = 2x 3 y no ponto P0  (2, ­1) na direção a = 3i + 4j. 
Resolução: 
Como a não é vetor unitário, temos que normalizá­lo, daí: 
u =  j 
5 
4 
i
5 
3 
u 
25 
4j 
25 
3i 
2 4 2 3 
4j 3i 
2 
2 a 
2
1 a 
4j 3i 
a 
a 
.a 
a 
1 
+ = Þ + = 
+ 
+ 
= 
+ 
+ 
= = 
Logo: 
16j 24i (1,2) z j 
3 2.(2) 1)i .( 2 6.(2) 
j 1) (2, 
3 2x i 1) (2, y 
2 6x j 1) (2, y 
z 
i 1) (2, x 
z 
1) z(2, 
+ - = Ñ Þ + - = 
- + - = - ¶ 
¶ 
+ - ¶ 
¶ 
= - Ñ 
Portanto: 
Duz = 
x 
z
¶ 
¶ 
.u1 + 
y 
z
¶ 
¶ 
.u2 
(I) 
Duz =  0 P z Ñ  .u1 
Produto Escalar
48 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Duz  =  0 P z 
Ñ .u  = Þ + 
- 
= + - = + + - ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
5 
64 
5 
72 
5 
4 
16. 
5 
3 
24. j
5 
4 
i
5 
3 
16j). 24i ( 
Duz = 
5 
8 - 
b) Ache a derivada direcional de f(x,y) = ­3xy 2 no ponto P0 (0, 3) na direção a = 2i ­ 5j. 
Resolução: 
Como “a” não é vetor unitário, temos que normalizá­lo, daí: 
u =  j 
29 
29 5 
i 
29 
29 2 
u 
29 
5j 
29 
2i 
2 5) ( 2 2 
5j 2i 
2 
2 a 
2
1 a 
5j 2i 
a 
a 
.a 
a 
1 
- = Þ - = 
- + 
- 
= 
+ 
- 
= = 
Logo: 
0j 27i 1,2) ( z 
6.(0).(3)j i 2 3(3) j (0,3) 6xy i (0,3) 
2 3y j (0,3) y 
z 
i (0,3) x 
z 
(0,3) z 
+ - = - Ñ 
Û - - = - - = 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
= Ñ 
Portanto: 
Duz =  0 P z Ñ .u Þ + 
- 
= - + - = - + - ÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
0 
29 
29 54 
29 
29 5 
0. 
29 
29 2 
27. j 
29 
29 5 
i 
29 
29 2 
0j). 27i ( 
ÞDuz = 
29 
29 54 
- 
c) Idem para z = x² + 4xy ­ 2y² , P0  (3, 1) e  u = 2i ­ 5j. 
Resolução: 
Logo: 
8j 10i z(3,1) 4)j (12 4)i (6 
j (3,1) 4y) (4x i (3,1) 4y) (2x j (3,1) y 
z 
i (3,1) x 
z 
z(3,1) 
+ = Ñ Û - + + = 
= - + + = 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
= Ñ 
Portanto:
49 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Duz  =  0 P z Ñ .u  = Þ - = - + = - +  40 20 ) 5 .( 8 2 . 10 ) j 5 i 2 ).( j 8 i 10 (  Duz = ­20 
d) Idem para f(x,y) = xcos²y , P0  (4, 
2 
p 
) , u = < 3, 1 > . 
Resolução: 
Logo: 
0j 0i )
2 
π z(4, 0j 0i 8.1.0j i 2 0 j 
2 
π 
.cos 
2 
π 
2.(4).sen i 
2 
2 
π 
cos 
j 
)
2 
π (4, 
sy 2x.seny.co i 
)
2 
π (4, 
y 2 cos j 
)
2 
π (4, y 
z 
i 
)
2 
π (4, x 
z 
)
2 
π z(4, 
+ = Ñ Þ + = - Þ - = 
= - = 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
= Ñ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
Portanto: 
Duz  =  0 P z Ñ .u  = Þ + = + = + +  0 0 1 . 0 3 . 0 ) j i 3 ).( j 0 i 0 (  Duz = 0 
e) Idem para f(x,y) = e 3xy ,  P0  (2, 0)  e  u = ­2i + 2j. 
Resolução: 
Logo: 
j i j i j e i e 
j e i e j e x i e y j 
x 
z 
i 
x 
z 
z 
xy xy 
z 
6 0 1 . 6 0 . 6 . 0 
). 2 .( 3 ). 0 .( 3 . 3 . 3 
) 0 , 2 ( 
0 0 
) 0 ).( 2 ( 3 ) 0 ).( 2 ( 3 
) 0 , 2 ( 
3 
) 0 , 2 ( 
3 
) 0 , 2 ( ) 0 , 2 ( ) 0 , 2 ( 
+ = Ñ Þ + = + 
Þ + = + = 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
= Ñ 
Portanto: 
Duz  =  0 P z Ñ .u  = Þ + = + - = + + -  12 0 6 . 2 0 . 2 ) j 6 i 0 ).( j 2 i 2 (  Duz = 12 
f) Idem para z = 2x² + 5xy ­ 2y² , P0  (2, 2) e  u = 2 (i + j). 
Resolução: 
Logo:
50 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
2j 18i z(2,2) 8)j (10 10)i (8 4.(2)]j [5.(2) 5.(2)]i [4.(2) 
j (2,2) 4y) (5x i (2,2) 5y) (4x j (2,2) x 
z 
i (2,2) x 
z 
z(2,2) 
+ = Ñ =Þ - + + Þ - + + = 
= - + + = 
¶ 
¶ 
+ 
¶ 
¶ 
= Ñ 
Portanto: 
Duz  =  0 P z Ñ .u  = Þ + = + = + +  4 36 2 . 2 2 . 18 ) j 2 i 2 ).( j 2 i 18 (  Duz = 40
51 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 12 • JACOBIANO 
Estudando  futuramente,  em Cálculo  III,  as  integrais múltiplas,  verificaremos que um dos 
tópicos abordados é a chamada mudança de variáveis, em que, numa integral dupla, dada pela 
fórmula [ ]  dv du 
) v , u ( 
) y , x ( 
. ) v , u ( y ), v , u ( x f dA ) y , x ( f 
S R ¶ 
¶ 
= òò òò , é tratado um conceito muito importante 
denominado  Jacobiano.  Não  faremos  sua  demonstração  agora,  porém,  mostraremos  o 
Jacobiano como sendo mais uma aplicação das derivadas parciais estudadas em Cálculo II. 
Sendo a mudança de variável, mencionada anteriormente, dada pela transformação T do 
plano uv no plano xy : T(u,v) = (x,y). 
Resultamos, sem maiores demonstrações, no produto vetorial: 
Onde ru e rv  são vetores tangentes a uma superfície S pertencente ao plano uv. 
Chamamos,  pois,  de  Jacobiano  da  transformação  T  com  x  =  f(u,  v)  e  y  =  g(u,  v)  à 
equação:
OBS.: Se T for uma transformação de espaços, temos o Jacobiano 
w) v, (u, 
z) y, (x, 
¶ 
¶ 
análogo: 
Exemplos: 
Calcule os jacobianos 
v) (u, 
y) (x, 
¶ 
¶ 
a seguir: 
ru x  rv =  k 
v 
y 
u 
y 
v 
x 
u 
x 
k 
v 
y 
v 
x 
u 
y 
u 
x 
0 
v 
y 
v 
x 
0 
u 
y 
u 
x 
k j i 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
u 
y 
.
v 
x 
v 
y 
.
u 
x 
v 
y 
v 
x 
u 
y 
u 
x 
v 
y 
u 
y 
v 
x 
u 
x 
v) (u, 
y) (x, 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
- 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶
52 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
a) 
ï î 
ï 
í 
ì 
- = 
+ = 
2v u y 
5v 2u x 
Resolução: 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
= - 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
= + 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
- = - 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
= + 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
1 2v) (u 
u u 
y 
5 5v) (2u 
v v 
x 
2 2v) (u 
v v 
y 
2 5v) (2u 
u u 
x 
Portanto, [ ] 9 5 4 (5.1) 2) 2.( 
u 
y 
.
v 
x 
v 
y 
.
u 
x 
v) (u, 
y) (x, 
- = - - = - - = 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
- 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
. 
b) 
ï 
î 
ï 
í 
ì 
- = 
+ - = 
3v 2 4u y 
3 2v 3u x 
Resolução: 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
= - 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
= + - 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
- = - 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
- = + - 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
8u 3v) 2 (4u 
u u 
y 2 6v ) 3 2v 3u (
v v 
x 
3 3v) 2 (4u 
v v 
y 
3 ) 3 2v 3u (
u u 
x 
Portanto, [ ] 2 48uv 9 .8u) 2 (6v 3) 3.( 
u 
y 
.
v 
x 
v 
y 
.
u 
x 
v) (u, 
y) (x, 
- = - - - = 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
- 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
Lembrando... 
u 
y 
.
v 
x 
v 
y 
.
u 
x 
v) (u, 
y) (x, 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
- 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
Lembrando...  u 
y 
v 
x 
v 
y 
u 
x 
v u 
y x 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
- 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
. . 
) , ( 
) , (
53 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
c) 
ï 
î 
ï 
í 
ì 
+ = 
- = 
2v 2e 3 3u y 
4 5v u e x 
Resolução: 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
= + 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
- = - 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
= + 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
= - 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
2 9u ) 2v 2e 3 (3u 
u u 
y 3 20v ) 4 5v u (e 
v v 
x 
2v 4e ) 2v 2e 3 (3u 
v v 
y u e ) 4 5v u (e 
u u 
x 
Portanto, 
[ ] 
). 3 v 2 45u 2uv 4.(e 
3 v 2 180u 2uv 4e ) 2 ).9u 3 20v [( ) 2v .(4eu e 
u 
y 
.
v 
x 
v 
y 
.
u 
x 
v) (u, 
y) (x, 
+ = 
= + = - - = 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
- 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
Lembrando... 
u 
y 
.
v 
x 
v 
y 
.
u 
x 
v) (u, 
y) (x, 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
- 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶
54 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA  13  •  MÁXIMOS  E  MÍNIMOS  DE  FUNÇÕES  DE  DUAS 
VARIÁVEIS 
Teorema do valor extremo 
Da mesma  forma  estudada  em Cálculo  I,  citaremos  o  Teorema  do  Valor  Extremo  para 
funções de duas variáveis. 
Extremos 
No curso de Cálculo II, aprendemos a determinar Máximos e Mínimos de funções de uma 
variável.  Nesta  aula  começaremos  a  aprender,  utilizando  técnicas  análogas,  a  determiná­los  a 
partir de funções de duas variáveis. 
Analisando um gráfico de uma função f de duas variáveis, podemos notar pontos altos e 
baixos  em  suas  vizinhanças  imediatas.  Tais  pontos  são  chamados  de  máximos  e  mínimos 
relativos de f, respectivamente. 
• O mais alto máximo dentro do domínio de f é chamado de máximo absoluto. 
• O mais profundo mínimo dentro do domínio de f é chamado de mínimo absoluto. 
Vamos defini­los, portanto, da seguinte maneira: 
• Uma função f(x,y) possui máximo relativo num ponto P0  (x0, y0), caso exista um círculo 
com centro em P0  , de modo que f(x0,y0) ³ f(x,y) para todo ponto (x, y) do domínio de f, 
no  interior  do  círculo,  analogamente,  ela  possui  um  máximo  absoluto  em  P0  se 
f(x0,y0) ³ f(x,y) para todos os pontos (x, y) do domínio de f. 
Seja f(x,y) uma função contínua num conjunto fechado e limitado R, então, f possui 
tanto máximo quanto mínimo absolutos em R
55 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
• Uma função f(x,y) possui mínimo relativo num ponto P0  (x0, y0), caso exista um círculo 
com centro em P0  , de modo que f(x0,y0) £ f(x,y) para todo ponto (x, y) do domínio de f, 
no interior do círculo, analogamente, ela possui um mínimo absoluto em P0 se f(x0,y0) 
£ f(x,y) para todos os pontos (x, y) do domínio de f. 
Obs.: Se a função possui máximo ou mínimo relativo, dizemos que ela possui extremo 
relativo no ponto, e se ela possui máximo ou mínimo absoluto, diz­se que ela possui extremo 
absoluto no ponto. 
Determinação dos extremos relativos 
Para  determinarmos  os  extremos  relativos,  verificamos  que  a  função  f  tem  derivadas 
parciais de primeira ordem contínuas em (x0, y0) e que f(x0, y0) é extremo relativo de f, daí, tem­ 
se o plano tangente ao gráfico de z = f (x, y) em (x0, y0, z0) paralelo ao plano xy com equação z = 
z0. 
Os pontos críticos de f são aqueles em que as “parciais” de primeira ordem são zero ou f 
não é diferenciável, daí, temos a definição: 
Exemplo: 
· Seja f (x,y) = 3 + x² + y², com x² + y² £ 9. Ache os extremos de f . 
Resolução: 
Temos x² + y² £ 9 o disco fechado R de raio 3 e centro (0, 0) no plano xy. 
Daí, pela última definição: 
0 ) , (  0 0 = ¶ 
¶ 
y x x 
f 
2x = 0 
Û \ (x, y) = (0, 0) , logo f(x,y) = f (0,0) = 3 
O ponto (x0, y0) é chamado de crítico de uma função f(x,y), de duas variáveis, se 
0 )0 y , 0 (x x 
f 
= 
¶ 
¶ 
e  0 )0 y , 0 (x y 
f 
= 
¶ 
¶ 
ou  se  uma  ou  ambas  derivadas  parciais  de 
primeira ordem  não existirem em (x0, y0). 
Único
56 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
0 
y 
f 
) y , x (  0 0 
= 
¶ 
¶ 
2y = 0 
Veja o gráfico... 
Ponto de sela 
Chamamos de Ponto de Sela, o ponto P (x0, y0, f(x0,y0)) onde = 
¶ 
¶ 
)0 y , 0 (x x 
f 
0 )0 y , 0 (x y 
f 
= 
¶ 
¶ 
, 
todavia, a função não possui  nem mínimo nem máximo relativo no ponto, pois, dependendo da 
direção, ele apresenta comportamento de máximo ou de  mínimo. 
Veja o gráfico abaixo de uma função de duas variáveis no ponto P0  (0, 0), ele apresenta f 
(0, 0) = 0 comportando­se como máximo na direção de x e como mínimo na direção de y, e note 
o formato do gráfico que lembra uma sela. 
Extremo Relativo
57 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 14 • TESTE DA SEGUNDA DERIVADA (PARA EXTREMOS 
RELATIVOS OU LOCAIS) 
Exemplos: 
a) Determine todos os pontos extremos e pontos de sela da função f(x,y)=x² +xy+y²­6x + 2. 
Resolução: 
•  2x 6 y 0 6 y 2x 
x 
f 
- = Û = - + = 
¶ 
¶ 
. 
•  0 2y x 
y 
f 
= + = 
¶ 
¶ 
. 
• Substituindo y da primeira derivada na segunda: 
4 x 12 3x 0 4x 12 x 0 2x) 2(6 x = Þ - = - Þ = - + Þ = - + . 
Substituindo x em y da primeira derivada: 
2 y 8 6 y 2(4) 6 y - = Þ - = Þ - = , portanto, temos P0  (x0, y0) = P0  ( 4, ­2) 
Seja  f  uma  função  de  duas  variáveis  dotada  de  derivadas  parciais  de  segunda 
ordem,  contínuas  num  círculo  centrado  num  ponto  crítico  (x0,y0),  temos  o 
discriminante D... 
D = 
2 
)0 y , 0 (x 
y x 
f 2 
)0 y , 0 (x 
2 y 
f 2 
. 
)0 y , 0 (x 
2 x 
f 2 
÷ 
÷ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
ç 
ç 
è 
æ 
¶ ¶ 
¶ 
- 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
Se... 
D > 0  e 
2 x 
f 2 
¶ 
¶ 
> 0  então, f  tem  mínimo relativo em (x0, y0) . 
D > 0  e 
2 x 
f 2 
¶ 
¶ 
< 0  então, f  tem  máximo relativo em (x0, y0) . 
D < 0 então, f  tem ponto de sela em (x0, y0) .
58 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
2 
2 
x 
f 
¶ 
¶ 
2 
* * 
6 y 2x 
* 
Þ - + Þ . 
2 y 
f 2 
¶ 
¶ 
2 
* * 
2y x 
* 
Þ + Þ . 
÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
y 
f 
x y x 
f 2 
1 
x * * 
2y x 
y * 
Þ + Þ . 
\D = 
( ) 
3 D 2 (1) 2.2 
2 
2) (4, 2 2) (4, 2 . 2) (4, 2 
2 
2) (4, 
y x 
f 2 
2) (4, 
2 y 
f 2 
. 
2) (4, 
2 x 
f 2 
= Þ - = 
- - - - = 
- 
¶ ¶ 
¶ 
- 
- ¶ 
¶ 
- ¶ 
¶ 
÷ ÷ 
÷ 
ø 
ö 
ç ç 
ç 
è 
æ 
• 
• Logo,  f (4, ­2)  = (4)² + (4).(­2) + (­2) ² ­ 6.(4) + 2 =  16 – 8 + 2 – 24 + 2 Þ 
Þ f (4, ­2)  = ­12 , então, o ponto P (4, ­2, ­12) é Ponto de mínimo relativo de f(x, y). 
b) Idem para f(x, y) = 2x 3 + 4y 2 – 6x – 8y 
Resolução: 
• 
ï 
î 
ï 
í 
ì 
= 
- = 
Þ = Þ = - Þ = - Þ = - = 
¶ 
¶ 
1 1 x 
1 1 x 
1 2 x 0 1 2 x 0 1) 2 6.(x 0 6 2 6x 
x 
f 
•  1 y 8 8y 0 8 8y 
y 
f 
= Þ = Þ = - = 
¶ 
¶ 
. 
Único Ponto Crítico no plano 
D = 3 > 0 
2 x 
f 2 
¶ 
¶ 
= 2 > 0 
Temos, portanto, Mínimo Relativo
59 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
• Portanto, temos  os  pontos críticos no plano 
ï 
î 
ï 
í 
ì - 
1) (1, 0 Q 
e 
1) 1, (0 P 
•  2 
2 
x 
f 
¶ 
¶ 
12x 6 6x 
* * 
2 
* 
Þ - Þ . 
• 
2 y 
f 2 
¶ 
¶ 
8 8 8y 
* * * 
Þ - Þ . 
• ÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
¶ 
¶ 
= 
¶ ¶ 
¶ 
y 
f 
x y x 
f 2 
0 
x * * 
8 8y 
y * 
Þ - Þ . 
• Como temos mais do que um ponto crítico, montaremos uma tabela: 
Ponto 
crítico 
no plano 
÷ 
ø 
ö ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
0 y , 0 x 
2 x 
f 2 
÷ 
ø 
ö ç 
è 
æ 
¶ 
¶ 
0 y , 0 x 
2 y 
f 2 
÷ 
ø 
ö ç 
è 
æ ¶ ¶ 
¶ 
0 y , 0 x y x 
f 2 
D =  . 2 
x 
f 2 
¶ 
¶ 
- 
¶ 
¶ 
2 
2 
y 
f 
2 
y x 
f 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
¶ ¶ 
¶ Conclusão 
P0  (­1, 1)  ­12  8  0  ­12 . 8 ­ 0² = ­96 < 0  Sela 
Q0  (1, 1)  12 > 0  8  0  12 . 8 ­ 0² = 96 > 0 
Mínimo 
Relativo 
• Aplicando os pontos críticos na função z = f (x,y) = 2x3 + 4y2 – 6x – 8y , temos: 
P0  (­1, 1) Þ z0 = f (­1, 1) = 2 .(–1) 3 + 4. (1) 2 – 6. (­1) – 8(1) = ­2 + 4 + 6 ­ 8 Þ z0 = 0 . 
Q0  (1, 1) Þ z0 = f (1, 1) = 2 .(1) 3 + 4. (1) 2 – 6. (1) – 8(1) = 2 + 4 ­ 6 ­ 8 Þ z0 = ­8 . 
Finalmente... 
NOTA: 
Vimos  nos  exemplos  a  e  b  que,  ao  determinarmos  os  pontos  de  máximo  e  mínimo 
relativos,encontramos pontos P0, Q0 etc Î R 2  (Plano Cartesiano). 
P (­1, 1, 0)  Ponto de sela. 
Q (1, 1, ­8)  Ponto de mínimo relativo.
60 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Na verdade, o que ocorre é que, para cada um destes (x0, y0) , associaremos pontos  (x0, 
y0,  f  (x0,  y0)) Î R 3  (Espaço Cartesiano),  onde  f  (x0,  y0)  é o  verdadeiro extremo máximo ou 
mínimo. 
Daí: 
No exemplo a, temos: 
f(x,y) = x² + xy + y² ­ 6x + 2 
Mínimo relativo =  z0 = f (x0, y0) = f (4, ­2) = ­12  em P0  (4, ­2) Î R 2 . 
Ponto de mínimo relativo de f: P (x0, y0, f (x0, y0)) = P (4, ­2, ­12) Î R 3 . 
No exemplo b, temos: 
f (x,y) = 2x 3 + 4y 2 – 6x – 8y 
Sela =  z0 = f (x0, y0) = f (­1, 1) = 0  em P0  (­1, 1) Î R 2 . 
Ponto de sela de f: P (x0, y0, f (x0, y0)) = P (­1, 1, 0) Î R 3 . 
Mínimo relativo =  z0 = f (x0, y0) = f (1, 1) = ­8  em Q0  (1, 1) Î R 2 . 
Ponto de mínimo relativo de f: P (x0, y0, f (x0, y0)) = P (1, 1, ­8) Î R 3 .
61 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 15 • DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM 
CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS 
Teorema do Valor Extremo para funções de duas variáveis 
Conforme  citado  no  teorema  anterior,  os  pontos  extremos  absolutos  de  uma  função 
ocorrem em pontos críticos localizados no interior do conjunto (Região) R, ou em pontos sobre 
a  sua fronteira. 
Exemplo: 
Determine os valores de máximo e mínimo absoluto de f (x, y) = 4xy – 8x ­ 8y + 2 sobre a 
região triangular R Î R 2  (Plano Cartesiano) com vértices A0 (0, 0) , B0 (5, 0) e C0 (0, 5). 
Veja a figura... 
Seja f uma função contínua de duas variáveis num conjunto fechado e limitado R, 
então, f possui extremo máximo absoluto e mínimo absoluto para algum ponto 
de R. 
Existem três procedimentos básicos para se determinar os máximos e mínimos 
absolutos em conjuntos fechados e limitados R : 
I. Determinar os valores de f  nos pontos críticos de f em R. 
II. Determinar todos os valores extremos de fronteira de R. 
III.O maior valor encontrado nos procedimentos I  e II é o valor máximo absoluto; 
o menor valor encontrado nos procedimentos I  e II é o valor mínimo absoluto
62 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Resolução: 
= 
¶ 
¶ 
x 
f 
4y – 8 = 0 Þ y0 = 2 
= 
¶ 
¶ 
y 
f 
4x – 8 = 0 Þ x0 = 2 
\D0 (x0, y0  ) = D0  (2, 2)  é o Único Ponto Crítico no interior de R. 
Vamos determinar os pontos de fronteira de R onde poderão ocorrer valores extremos: 
• Para a fronteira  ( 0, 0 ) até ( 5, 0 ) , temos 
[ ] 
ï î 
ï 
í 
ì 
\ = 
\ Î 
constante 0 y 
e 
variável 0,5 x 
u ( x ) = f ( x, 0 ) = 4.x.0 – 8.x – 8.0 + 2 = ­8x + 2. 
u’ ( x ) = ­8 ¹ 0 
Portanto, não há ponto crítico em u (x) , além dos vértices A0 ( 0, 0 ) e B0 ( 5, 0 ). 
• Para a fronteira  ( 0, 0 ) até ( 0, 5 ),  temos 
[ ] ï î 
ï 
í 
ì 
\ Î 
\ = 
variável 0,5 y 
e 
constante 0 x 
Logo, para determinar os pontos críticos, determinemos a equação da reta que contém o 
segmento que representa esta fronteira: 
5 x y : r 25 5x 5y 0 5y 5x 25 0 
1 5 0 
1 0 5 
1 y x 
: r + - = Þ + - = Þ = - - Þ = . 
w ( x ) = ( ) ( ) ( ) 38 20x 2 4x w(x) 2 5 x 8. 8x 5 x 4x. 5 x x, f - + - = Þ + + - - - + - = + - . 
w’ ( x )  =  ­8x + 20 = 0 Þ x0 = 
2 
5 
,  substituindo em  5 x y + - = temos y0 = 
2 
5 
. 
Portanto, temos o ponto crítico E0 ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
2 
5
,
2 
5 
, além dos vértices B0 ( 5, 0 ) e C0 ( 0, 5 ).
63 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
O  último  procedimento  agora  é  montar  uma  tabela  para  indicarmos  os  Extremos 
Absolutos: 
Aplicando, na função f ( x, y ) = 4xy – 8x ­ 8y + 2, os pontos críticos encontrados no plano, 
obtemos: 
Ponto Crítico no Plano  A0  B0  C0  D0  E0 
( x0, y0  )  ( 0, 0 )  ( 5, 0 )  ( 0, 5 )  ( 2, 2 ) 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
2 
5
,
2 
5 
z0 =  f ( x0, y0  )  2  ­38  ­38  ­14  ­13 
Conclusão  Máx. Abs.  Mín. Abs.  Mín. Abs.  ­­o­­  ­­o­­ 
z0 = 2  : Valor ( ou Extremo ) máximo absoluto. 
Daí,  temos ... 
z0 =  ­38  : Valor ( ou Extremo ) mínimo absoluto. 
Finalmente, temos os pontos no espaço como resposta: 
Qual a área máxima que um retângulo pode ter se seu perímetro é de 22 cm? 
Resolução: 
Esse exemplo é um clássico cuja metodologia de resolução auxilia em problemas práticos 
de otimização, como, por exemplo, os famosos problemas das caixas abertas: 
Figura ilustrativa... 
Ponto de  Máximo Absoluto  A ( 0, 0, 2 ) 
Ponto de  Mínimo Absoluto  B ( 5, 0, ­38 ) 
Ponto de  Mínimo Absoluto  C ( 0, 5, ­38 )
64 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Temos 
ï î 
ï 
í 
ì 
= ® 
= + = ® 
xy A máxima Área 
e 
22 2y 2x P Perímetro 
Daí, Þ = + Þ = + Þ = + 11 y x 22 y) 2.(x 22 2y 2x  y = 11 – x  ☼☼ 
Substituindo y em A, temos  11x 2 x A x) x.(11 A xy A + - = Þ - = Þ = 
A partir desse momento, o problema  limita­se a encontrar o ponto crítico da função de 
segundo grau (com concavidade para baixo):  A(x) = ­x 2 + 11x . 
Usando os conhecimentos adquiridos, temos  11 2x (x) A' 11x)' 2 x ( (x) A' + - = Þ + - = . 
Igualando essa derivada a zero, temos 
2 
11 
x 11 2x 0 11 2x (x) A' = Þ = Þ = + - = . 
Substituindo x em ☼☼ temos 
2 
11 
y 
2 
11 22 
y 
2 
11 
11 y x 11 y = Þ 
- 
= Þ - = Þ - = . 
Logo, a área máxima do “retângulo”  é Þ = = = 
4 
121 
2 
11 
. 
2 
11 
xy A  A = 30,25 cm 2 
Figura final...
65 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Você  deve  estar  confuso,  pois  a  pergunta  pede  a  área  de  um RETÂNGULO e  a 
resposta final define um QUADRADO. 
A explicação é simples... 
Por definição,  retângulo é  todo quadrilátero que possui os quatro ângulos  internos 
retos. Portanto, o QUADRADO também é um  RETÂNGULO.
66 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 16 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
1. Determine o  volume máximo que pode  ter  uma  caixa  retangular aberta no  topo,  cuja 
área total é de 20 cm². 
Resolução: 
Na  aula  15,  estudamos  o  problema  de  área  máxima  de  um  retângulo.  Naquela 
oportunidade, comentamos que a metodologia de  resolução auxiliaria em problemas práticos de 
otimização, como por exemplo, os famosos problemas das caixas abertas. 
Acompanhe  atentamente  a  resolução  do  primeiro  exemplo,  pois  você  resolverá  o 
segundo... 
Figura Ilustrativa... 
Temos 
ï 
î 
ï 
í 
ì 
= ® 
= + + = ® 
xyz V máximo Volume 
e 
20 xy 2yz 2xz A total Área 
Daí, 
2y 2x 
xy 20 
z xy 20 2y) z.(2x xy 20 2yz 2xz 20 xy 2yz 2xz 
+ 
- 
= Þ - = + Þ - = + Þ = + + 
Substituindo z em V, temos: 
Qualquer dúvida com relação ao exercício proposto será sanada nas aulas 
presenciais, nos fóruns, chats ou através de e­mail. 
☼☼
67 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
2y 2x 
20xy 2 y 2 x 
V 
2y 2x 
2 y 2 x 20xy 
V 
2y 2x 
xy 20 
xy. V xyz V 
+ 
+ - 
= Þ 
+ 
- 
= Þ 
+ 
- 
= Þ = ÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
A partir desse momento, o problema limita­se a encontrar os pontos críticos da função de 
duas variáveis : 
2y 2x 
20xy 2 y 2 x 
V 
+ 
+ - 
= . 
Usando os conhecimentos adquiridos em derivação parcial, temos: 
. 
2 2y) (2x 
20) 2xy 2 x .( 2 2y 
2 2y) (2x 
2 40y 3 4xy 2 y 2 2x 
2 2y) (2x 
40xy 2 y 2 2x 40xy 2 40y 3 4xy 2 y 2 4x 
2 2y) (2x 
20xy).2 2 y 2 x ( 2y) 20y).(2x 2 2xy ( 
2 2y) (2x 
2y)' 20xy).(2x 2 y 2 x ( 2y) 20xy)'.(2x 2 y 2 x ( 
x 
V 
+ 
+ - - 
= 
+ 
+ - - 
= 
+ 
- + + + - - 
= 
= 
+ 
+ - - + + - 
= 
= 
+ 
+ + - - + + - 
= 
¶ 
¶ 
Igualando essa derivada a zero, temos: 
Û = 
+ 
+ - - 
Þ = 
¶ 
¶ 
0 
2 2y) (2x 
20) 2xy 2 x .( 2 2y 
0 
x 
V 
(*) 0 20 2xy 2 x 
0 
x 
V 
paraade possibilid Única : 0 20 2xy 2 x 
caixa. há não 0, y se pois, 0, y 0 2 y 0 2 2y 
quociente. do existência de Cond. : 0 2y 2x 
= + - - Þ 
= 
¶ 
¶ 
= + - - 
= ¹ Þ ¹ Þ ¹ 
¹ + 
ï 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
ï 
í 
ì 
Analogamente:
68 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
. 
2 2y) (2x 
20) 2xy 2 y .( 2 2x 
2 2y) (2x 
2 40x y 3 4x 2 y 2 2x 
2 2y) (2x 
40xy 2 y 2 2x 40xy 2 40x 2 y 2 4x y 3 4x 
2 2y) (2x 
20xy).2 2 y 2 x ( 2y) 20x).(2x y 2 2x ( 
2 2y) (2x 
2y)' 20xy).(2x 2 y 2 x ( 2y) 20xy)'.(2x 2 y 2 x ( 
y 
V 
+ 
+ - - 
= 
+ 
+ - - 
= 
+ 
- + + + - - 
= 
= 
+ 
+ - - + + - 
= 
+ 
+ + - - + + - 
= 
¶ 
¶ 
. 
Igualando essa derivada a zero, temos: 
Û = 
+ 
+ - - 
Þ = 
¶ 
¶ 
0 
2 2y) (2x 
20) 2xy 2 y .( 2 2x 
0 
y 
V 
(**) 0 20 2xy 2 y 
0 
x 
V 
para ade possibilid Única : 0 20 2xy 2 y 
caixa. há não 0, x se pois, 0, x 0 2 x 0 2 2x 
quociente. do existência de Condição : 0 2y 2x 
= + - - Þ 
= 
¶ 
¶ 
= + - - 
= ¹ Þ ¹ Þ ¹ 
¹ + 
ï 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
ï 
í 
ì 
Temos, então, o sistema formado pelas equações (*)  e (**)... 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
ï 
î 
ï 
í 
ì 
ï 
î 
ï 
í 
ì 
ï î 
ï 
í 
ì 
® = Þ = - 
® - = Þ = + 
Û = - + Þ = - 
Þ + 
= + - - 
= - + 
Þ 
= + - - 
- = + - - 
Þ 
zero. de diferentes y e x Com y x 0 y x 
negativas. medidas possui 
não caixa a pois , y x 0 y x 
0 y) y.(x (x 0 2 y 2 x 
) ( 
0 20 2xy 2 y 
0 20 2xy 2 x 
0 20 2xy 2 y 
1) ( . 0 20 2xy 2 x 
(**) 
(*) 
ABSURDO 
Logo, substituindo x = y em (*)  [ Também poderia ser em (**) ], temos...
69 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
. 
3 
20 
y 
3 
20 2 y 20 2 3y 20 2 2y 2 y 0 20 2.y.y 2 (y) (*) = Þ 
- 
- 
= ÞÞ - = - Þ - = - - Þ = + - - = 
Como x = y, temos  . 
3 
20 
y x = = 
Usando sua calculadora... 
2,582 y x @ = . 
Substituindo x e y  em ☼☼ , temos: 
( ) 
1,291 z 
10,328 
13,333 
10,328 
6,667 20 
4.(2,582) 
2 2,582 20 
4x 
2 x 20 
2x 2x 
xx 20 
2y 2x 
xy 20 
z @ Þ @ 
- 
@ 
- 
@ 
- 
= 
+ 
- 
= 
+ 
- 
= . 
Logo, o volume máximo da caixa é Þ @ = 1 ,582).1,29 (2,582).(2 xyz V  V @ 8,607 cm 3 
Figura Final... 
AGORA É A SUA VEZ... 
2.  Determine  a  mínima  quantidade  de  material  utilizado  na  construção  de  uma  caixa 
retangular aberta no topo, cujo volume é de 30 cm 3 . 
Resposta: 
2 cm 45,94 A @ onde  cm 1,96 z e cm 3,91 y x @ @ = 
Aqui vale o mesmo comentário sobre quadrados e retângulos do final da aula 15.
70 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 17 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
3. Um tanque de experimentos para análise de fluxo de fluidos  líquidos deve ser feito de 
tal  maneira  que  o  seu  perímetro  frontal,  somado  ao  comprimento,  seja  de  20  metros  (Veja  a 
figura). Determine o volume máximo desse tanque. 
Resolução: 
Temos 
ï î 
ï 
í 
ì 
= ® 
= + + ® 
xyz V máximo Volume 
e 
20 y 2z) (2x inicial Condição 
Daí,  20 2z 2x y 20 y 2z 2x + - - = Þ = + + 
Substituindo y em V, temos: 
( ) 20xz 2 2xz z 2 2x V 20 2z 2x xz. V xyz V + - - = Þ + - - = Þ = 
A partir desse momento, o problema limita­se a encontrar os pontos críticos da função de 
duas variáveis:  20xz 2 2xz z 2 2x V + - - = . 
Então... 
Qualquer dúvida com relação ao exercício proposto será sanada nas aulas 
presenciais, nos fóruns, chats ou através de e­mail.
71 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
10) z 2x 2z( 20z 2 2z 4xz 20xz) 2 2xz z 2 2x (
x x 
V 
+ - - = + - - = + - - 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
. 
Igualando essa derivada a zero, temos: 
(*) 0 10 z 2x 
0 
x 
V 
para ade possibilid Única : 0 10 z 2x 
tanque há não 0, z se pois, 0, z 0 2z 
0 10) z 2x 2z( 0 
x 
V 
= + - - Þ 
Þ 
= 
¶ 
¶ 
= + - - 
= ¹ Þ ¹ 
Û = + - - Þ = 
¶ 
¶ 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
Analogamente... 
10) 2z x 2x( 20x 4xz 2 2x 20xz) 2 2xz z 2 2x (
y y 
V 
+ - - = + - - = + - - 
¶ 
¶ 
= 
¶ 
¶ 
. 
Igualando essa derivada a zero, temos: 
(**) 0 10 2z x 
0 
x 
V 
para ade possibilid Única : 0 10 2z x 
tanque há não 0, x se pois, 0, x 0 2x 
0 10) 2z x 2x( 0 
y 
V 
= + - - Þ 
Þ 
= 
¶ 
¶ 
= + - - 
= ¹ Þ ¹ 
Û = + - - Þ = 
¶ 
¶ 
ï 
ï 
î 
ï 
ï 
í 
ì 
. 
Temos, então, o sistema formado pelas equações (*)  e (**)... 
3 
10 
z 10 3z 0 10 3z ) (
0 20 4z 2x 
0 10 z 2x 
2) .( 0 10 2z x 
0 10 z 2x 
(**) 
(*) 
= Þ = Þ = - Þ + 
= - + 
= + - - 
Þ 
- = + - - 
= + - - 
Þ 
ï î 
ï 
í 
ì 
ï î 
ï 
í 
ì 
ï î 
ï 
í 
ì 
Logo, substituindo 
3 
10 
z = em (**)  [ Também poderia ser em (*) ], temos... 
. 
3 
10 
x 
3 
20 30 
x 
3 
20 
10 x 
3 
20 
10 x 10 
3 
20 
x 0 10 
3 
10 
2. x (**) 
= Þ 
- 
= Þ - = Þ 
Þ + - = - Þ - = - - Þ = + - - = ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ
72 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Logo, temos  . 
3 
10 
z x = = 
Substituindo x e z  em ☼☼ , temos: 
3 
20 
y 
3 
60 20 20 
20 
3 
20 
3 
20 
20 
3 
10 
2. 
3 
10 
2. y = Þ 
+ - - 
= + - - = + - - = ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
. 
Logo, o volume máximo da caixa é Þ = = = 
27 
2.000 
3 
10 
. 
3 
20 
. 
3 
10 
xyz V  V = 74,074 m 3 
Figura final ... 
Agora é a sua vez 
4. Refaça o exercício anterior, só que, agora, isole “z” na equação ☼☼ .
73 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Temos 
ï î 
ï 
í 
ì 
= ® 
= + + ® 
xyz V máximo Volume 
e 
20 y 2z) (2x inicial Condição 
Daí, = Þ = + + z 20 y 2z 2x  Continue daqui... ☼☼ 
Resposta: 
V = 74,074 m 3
74 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
AULA 18 • EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
5. Um engenheiro projeta uma sala frigorífica em que o custo do material usado no piso 
equivale  a  quatro  vezes  o  custo  do  material  usado  nas  quatro  paredes  laterais.  Determine  o 
volume máximo da sala frigorífica em função do custo. 
Resolução: 
Temos 
ï î 
ï 
í 
ì 
= ® 
= + + ® 
xyz V máximo Volume 
e 
C 4xy 2yz 2xz total Custo 
Daí... 
2y 2x 
4xy C 
z 
4xy C 2y) z.(2x 4xy C 2yz 2xz C 4xy 2yz 2xz 
+ 
- 
= 
Þ - = + Þ - = + Þ = + + 
Substituindo z em V, temos ... 
2y 2x 
Cxy 2 y 2 4x 
V 
2y 2x 
2 y 2 4x Cxy 
V 
2y 2x 
4xy C 
xy. V xyz V 
+ 
+ - 
= Þ 
+ 
- 
= Þ 
+ 
- 
= Þ = ÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
A partir desse momento, o problema limita­se a encontrar os pontos críticos da função de 
duas variáveis ... 
2y 2x 
Cxy 2 y 2 4x 
V 
+ 
+ - 
= . 
Usando os conhecimentos adquiridos em derivação parcial, temos : 
Qualquer dúvida com relação ao exercício proposto será sanada nas aulas 
presenciais, nos fóruns, chats ou através de e­mail. 
☼☼
75 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
. 
2 2y) (2x 
C) 8xy 2 4x .( 2 2y 
2 2y) (2x 
2 2Cy 3 16xy 2 y 2 8x 
2 2y) (2x 
2Cxy 2 y 2 8x 2 2Cy 2Cxy 3 16xy 2 y 2 16x 
2 2y) (2x 
Cxy).2 2 y 2 4x ( 2y) Cy).(2x 2 8xy ( 
2 2y) (2x 
2y)' Cxy).(2x 2 y 2 4x ( 2y) Cxy)'.(2x 2 y 2 4x ( 
x 
V 
+ 
+ - - 
= 
+ 
+ - - 
= 
= 
+ 
- + + + - - 
= 
= 
+ 
+ - - + + - 
= 
= 
+ 
+ + - - + + - 
= 
¶ 
¶ 
Igualando essa derivada a zero, temos : 
(*) C 8xy 2 4x 
0 
x 
V 
para ade possibilid Única : 0 C 8xy 2 4x 
sala. há não 0, y se pois, 0, y 0 2 y 0 2 2y 
quociente. do existência de Cond. : 0 2y 2x 
0 
2 2y) (2x 
C) 8xy 2 4x .( 2 2y 
0 
x 
V 
+ - - Þ 
Þ 
= 
¶ 
¶ 
= + - - 
=