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Equações diferenciais II
Parte I (Transformada de Laplace)
Aula 3
Andrey M. Pupasov-Maksimov
Universidade Federal de Juiz de Fora
pupasov.maksimov@ufjf.edu.br
11 de Março de 2015
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 11 de Março de 2015 1 / 11
Plano de aula
1
Transformada da derivada
2
Transformada de Laplace de uma equação diferencial ordinário, linear
3
Transformada Inversa
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Transformada de derivada
Consideramos uma função f (t), dois vezes diferenciável. Se a transformada
de Laplace de f (t) é uma funçao F (s), nos temos
L{f ′(t)}(s) = sF (s)− f (0) , (1)
Denotaremos f ′(t) = g(t), e L{g(t)}(s) = G (s). Dai segue
G (s) = sF (s)− f (0). Aplicando formula (1) para função g(t) recebemos
L{g ′(t)}(s) = sG (s)− g(0) =
s (sF (s)− f (0))− f ′(0) .
Transformada de segunda derivada
L{f ′′(t)}(s) = s2F (s)− sf (0)− f ′(0) .
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Transformada de derivada de ordem arbitrario
Transformada derivada de ordem arbitrario
L{f (n)(t)}(s) = snF (s)−
n∑
j=1
sn−j f (j−1)(0) .
Usando o princípio da indução matemática suponhamos que
L{f (n−1)(t)}(s) = sn−1F (s)−
n−1∑
j=1
sn−1−j f (j−1)(0) .
Denotaremos f (n−1)(t) = g(t), e L{g(t)}(s) = G (s). Aplicando (1) para
função g(t) recebemos
L{g ′(t)}(s) = sG (s)− g(0) =
s
sn−1F (s)− n−1∑
j=1
sn−1−j f (j−1)(0)
− f (n−1)(0) .
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Transformada de Laplace de uma equação diferencial
Consideramos EDO linear não homogêneo com coeficientes constantes
y (n)(t) + an−1y (n−1)(t) + . . .+ a1y ′(t) + a0y(t) = h(t)
e dados iniciais
y (k)(0) = bk , k = 0, n − 1 .
Suponhamos que a solução y(t) existe e possui a transformada de Laplace
L{y(t)}(s) = Y (s), e também L{h(t)}(s) = H(s).
A transformada de Laplace de lado esquerdo de equação diferencial
L

n∑
j=0
ajy
(j)(t)
 (s) =
n∑
j=0
ajL
{
y (j)(t)
}
(s)
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Transformada de Laplace de uma equação diferencial
A transformada de Laplace de lado esquerdo de equação diferencial
L

n∑
j=0
ajy
(j)(t)
 (s) =
n∑
j=0
ajL
{
y (j)(t)
}
(s) =
n∑
j=0
aj
(
s jY (s)−
j∑
i=1
s j−iy (i−1)(0)
)
Usando dados iniciais
L

n∑
j=0
ajy
(j)(t)
 (s) =
n∑
j=0
ajs
jY (s)−
n∑
j=0
aj
j∑
i=1
s j−ibi−1
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Transformada de Laplace de uma equação diferencial
Finalmente
L

n∑
j=0
ajy
(j)(t)
 (s) = Y (s)
n∑
j=0
ajs
j −
n∑
j=0
aj
j∑
i=1
s j−ibi−1 =
Y (s)Pn(s)− Qn−1(s) .
Aqui Pn(s) e Qn−1(s) são polinomiais.
Por outro lado, L
{
n∑
j=0
ajy
(j)(t)
}
(s) = L{h(t)} = H(s), então, a
transformada Laplace de solução satisfaze para uma equação algébrico
Y (s)Pn(s)− Qn−1(s) = H(s)
Solução tem forma seguinte
Y (s) =
H(s) + Qn−1(s)
Pn(s)
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Transformada Inversa
Dada a EDO linear com coeficientes constantes não homogêneo, a
transformada de Laplace de solução pode ser definida como solução de
equação algébrico
Y (s) =
H(s) + Qn−1(s)
Pn(s)
Agora é necesario invertir a transformada de Laplace, ou dada função
H(s)+Qn−1(s)
Pn(s)
determinar tal função y(t), que
L{y(t)} = H(s) + Qn−1(s)
Pn(s)
.
Então, nos temos uma equação integral
∞∫
0
e
−sty(t)dt =
H(s) + Qn−1(s)
Pn(s)
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Transformada inversa
Dada uma função G (s), se existe função g(t), tal que
L{g(t)} (s) = G (s) ,
diz-se que g(t) é transformada inversa de G (s),
g(t) = L−1 {G (s)} (t).
Transformada inversa
L−1 ◦ L = id , L ◦ L−1 = id .
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Linearidade de transformada inversa
Linearidade de transformada inversa
L−1 {aG (s) + bF (s)} (t) = ag(t) + bf (t) ,
é propriedade que permite calcular a transformada inversa usando a Tabela
de Transformada de Laplace.
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Tabela de Transformadas de Laplace
f (t) = L−1 {F (s)} (t) L ↔ L−1 F (s) = L{f (t)}(s)
1 ↔ 1s , s > 0
tn ↔ n!
sn+1
, s > 0
e
kt ↔ 1s−k , s > Rek
sin at ↔ a
s2+a2
, s > 0
cos at ↔ s
s2+a2
, s > 0
sinh at ↔ a
s2−a2 , s > a
cosh at ↔ s
s2−a2 , s > a
f (ct) ↔ 1cF
(
s
c
)
f (t)ekt ↔ F (s − k)
f (n)(t) ↔ snF (s)−
n∑
j=1
sn−j f (j−1)(0)
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