ed-ii-p1-transformada-laplace-aula8R

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Equações diferenciais II
Parte I (Transformada de Laplace)
Aula 8. Resumo do parte I.
Andrey M. Pupasov-Maksimov
Universidade Federal de Juiz de Fora
pupasov.maksimov@ufjf.edu.br
27 de Março de 2015
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 27 de Março de 2015 1 / 12
Plano de aula
1
Resumo do parte I
2
Resumo de Tabela
3
Resumo de prova
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 27 de Março de 2015 2 / 12
Topicos considerados
Transformada de Laplace:
Definição, propriedades, condições de existência, exemplos.
Transformada inversa:
Usando tabela, o fração parcial e o complemento ao quadrado,
teoremas de deslocamento.
Aplicação de transformada de Laplace para resolução de EDO lineares.
Integral de convolução:
Definição, exemplos, relações com transformada de Laplace.
Função degrau ua(t) := u(t − a), função delta de Dirac δ(t − a).
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Conteudo de prova
Problema 1. Use a transformada de Laplace para resolver o problema
homogênea de valor inicial dada.
Problema 2. Use a transformada de Laplace para resolver o problema (não
homogênea) de valor inicial sob ação de termo forçante (funções continuas,
descontínuas, ou delta de Dirac).
Problema 3. Encontre a transformada de Laplace F (s) de função f (t).
Problema 4. Encontre a transformada inversa g(t) de função racional
G (s), g(t) = L−1 {G (s)} (t).
Problema 5. Encontre o integral de convolução (usando a transformada de
Laplace e transformada inversa).
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Resumo de Tabela de Transformada de Laplace
Quais classes de funções possuem a transformada de Laplace em forma
analítica? Chamaremos tais funções como admissíveis.
Funções potências, f (t) = tα, em particular f (t) = 1, ou f (t) = tn,
n ∈ N.
Função exponencial, f (t) = eat , para a ∈ C.
Funções trigonométricas f (t) = cos(wt), f (t) = sin(wt).
Funções hiperbólicos f (t) = cosh(wt), f (t) = sinh(wt).
O produto de função admissível e um função exponencial f (t)eat .
O translação (deslocamento) de um função admissivel, f (t − b)ub(t)
A derivadas de função admissível f {n}(t).
O integral de convolução de funções admissíveis, f ∗ g
Combinações lineares de funções admissíveis.
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Resumo de Tabela de Transformada de Laplace
Funções básicos:
f (t) = L−1 {F (s)} (t) L ↔ L−1 F (s) = L{f (t)}(s)
tn ↔ n!
sn+1
, s > 0
e
kt ↔ 1s−k , s > Rek
sin at ↔ a
s2+a2
, s > 0
cos at ↔ s
s2+a2
, s > 0
sinh at ↔ a
s2−a2 , s > a
cosh at ↔ s
s2−a2 , s > a
δ(t) ↔ 1, s > 0
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Resumo de Tabela de Transformada de Laplace
O produto com função exponencial:
f (t) = L−1 {F (s)} (t) L ↔ L−1 F (s) = L{f (t)}(s)
f (t)ekt ↔ F (s − k)
tnekt ↔ n!
(s−k)n+1 , s > 0
e
kt
sin at ↔ a
(s−k)2+a2 , s > k
e
kt
cos at ↔ s−k
(s−k)2+a2 , s > k
e
kt
sinh at ↔ a
(s−k)2−a2 , s > a+ k
e
kt
cosh at ↔ s−k
(s−k)2−a2 , s > a+ k
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Resumo de Tabela de Transformada de Laplace
O translação (deslocamento) de um função admissivel, f (t − b)ub(t):
f (t) = L−1 {F (s)} (t) L ↔ L−1 F (s) = L{f (t)}(s)
f (t − b)ub(t) ↔ F (s)e−bs
(t − b)nub(t) ↔ n!e−bssn+1 , s > 0
e
k(t−b)
sin a(t − b)ub(t) ↔ ae−bs(s−k)2+a2 , s > k
e
k(t−b)
cos a(t − b)ub(t) ↔ (s−k)e
−bs
(s−k)2+a2 , s > k
e
k(t−b)
sinh a(t − b)ub(t) ↔ ae−bs(s−k)2−a2 , s > a+ k
e
k(t−b)
cosh a(t − b)ub(t) ↔ (s−k)e
−bs
(s−k)2−a2 , s > a+ k
δ(t − b) ↔ e−bs , s > 0
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Resumo de Tabela de Transformada de Laplace
A derivadas de função admissível f {n}(t). O integral de convolução de
funções admissíveis, f ∗ g .
f (t) = L−1 {F (s)} (t) L ↔ L−1 F (s) = L{f (t)}(s)
f (n)(t) ↔ snF (s)−
n∑
j=1
sn−j f (j−1)(0)
f ∗ g =
t∫
0
f (t − τ)g(τ)dτ ↔ F (s)G (s)
1 ∗ f =
t∫
0
f (τ)dτ ↔ F (s)s
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Problema 3. Exercicios.
Problema 3. Encontre a transformada de Laplace F (s) de função f (t).
Nível básico: f (t) = t2 − 3t + cos t
L{t2 − 3t + cos t} (s) = 2
s3
− 3 1
s2
+
s
s2 + 1
Nível intermediário: f (t) = (t2 − 3t)u
1
(t).
L{(t2 − 3t)u
1
(t)
}
(s) = L{((t − 1+ 1)2 − 3(t − 1+ 1))u
1
(t)
}
(s) =
L{((t − 1)2 + 2(t − 1) + 1− 3(t − 1)− 3))u
1
(t)
}
(s) =
2e
−s
s3
− e
−s
s2
− 2e
−s
s
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Problema 3. Exercicios.
Problema 3. Encontre a transformada de Laplace F (s) de função f (t).
Nível intermediário: f (t) = (t − 4)3u
4
(t) + e−2tu
6
(t).
L{(t − 4)3u
4
(t)
}
(s) =
3!e−4ts
s4
,
L{e−2tu
6
(t)
}
(s) =
e
−6s
s
∣∣∣∣
s→s−(−2)
=
e
−6(s+2)
s + 2
Então
L{f (t)} (s) = 3!e
−4ts
s4
+
e
−6(s+2)
s + 2
Veja também: Boyce, Cap.6, p.527, Problemas 1-18.
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Problema 3. Exercicios.
Problema 3. Encontre a transformada de Laplace F (s) de função f (t)
(Boyce, p.527, Problema 17).
Nível intermediário: f (t) = (t − 3)u
2
(t) + (t − 2)u
3
(t).
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