ed-ii-p1-transformada-laplace-aula9R

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Equações diferenciais II
Parte I (Transformada de Laplace)
Aula 9. Resumo do parte I.
Andrey M. Pupasov-Maksimov
Universidade Federal de Juiz de Fora
pupasov.maksimov@ufjf.edu.br
1 de Abril de 2015
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 1 de Abril de 2015 1 / 16
Plano de aula
1
Transformada inversa de um função racional
2
Transformada de Laplace e o integral de convolução
3
Transformada de Laplace e EDO lineares
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 1 de Abril de 2015 2 / 16
Transformada inversa de um função racional
Problema 4. Encontre a transformada inversa g(t) de um função racional
G (s) = as+b
s2+ds+c
, g(t) = L−1 {G (s)} (t).
O metodo geral de resolução é o complemento ao quadrado
G (s) =
as + b
s2 + ds + c
=
as + b
s2 + 2d
2
s + d
2
4
− d2
4
+ c
=
as + b(
s + d
2
)
2 − d2
4
+ c
Caso 1. Raízes múltiplos, c − d2
4
= 0,
Caso 2. Raízes complexos, c − d2
4
> 0,
Caso 3. Raízes reais, c − d2
4
< 0.
Nesse caso c − d2
4
= 0, então
G (s) =
as + b
s2 + ds + c
=
as + b(
s + d
2
)
2
== a
s + d
2
− d
2
+ ba(
s + d
2
)
2
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 1 de Abril de 2015 3 / 16
Transformada inversa de um função racional
Caso 1. Raízes múltiplos, c − d2
4
= 0, então
G (s) =
as + b
s2 + ds + c
=
as + b(
s + d
2
)
2
= a
s + d
2
− d
2
+ ba(
s + d
2
)
2
=
a
s + d
2(
s + d
2
)
2
+ a
−d
2
+ ba(
s + d
2
)
2
= a
1(
s + d
2
) + (b − ad
2
)
1(
s + d
2
)
2
Usando L−1
{
n!
(s−k)n+1
}
= tnekt
L−1 {G (s)} = aL−1
{
1(
s + d
2
)}+ (b − ad
2
)
L−1
{
1(
s + d
2
)
2
}
=
ae−
dt
2 +
(
b − ad
2
)
te−
dt
2
Conclusão: a resposta e uma combinação linear de produtos de polinomiais
e exponenciais.
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 1 de Abril de 2015 4 / 16
Transformada inversa de um função racional
Caso 1. Raízes múltiplos, exemplo, c − d2
4
= 0,
G (s) =
2s + 3
s2 + 6s + 9
=
2s + 3
(s + 3)2
= 2
s + 3− 3+ 3
2
(s + 3)2
=
2
s + 3
(s + 3)2
+ 2
−3+ 3
2
(s + 3)2
= 2
1
(s + 3)
+ (3− 6) 1
(s + 3)2
Usando L−1
{
n!
(s−k)n+1
}
= tnekt
L−1 {G (s)} = 2L−1
{
1
(s + 3)
}
− 3L−1
{
1
(s + 3)2
}
=
2e
−3t − 3te−3t
Conclusão: a resposta e uma combinação linear de produtos de polinomiais
e exponenciais.
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 1 de Abril de 2015 5 / 16
Transformada inversa de um função racional
Caso 2. Raízes complexos, c − d2
4
= w2 > 0, então
G (s) =
as + b
s2 + ds + c
=
as + b(
s + d
2
)
2
+ w2
= a
s + d
2
− d
2
+ ba(
s + d
2
)
2
+ w2
=
a(s + d
2
)(
s + d
2
)
2
+ w2
+
−da
2
+ b(
s + d
2
)
2
+ w2
=
a(s + d
2
)(
s + d
2
)
2
+ w2
+
(
b
w − ad2w
)
w(
s + d
2
)
2
+ w2
Usando L−1
{
s−k
(s−k)2+w2
}
= coswt ekt e L−1
{
w
(s−k)2+w2
}
= sinwt ekt ,
L−1 {G (s)} = aL−1
{
(s + d
2
)(
s + d
2
)
2
+ w2
}
+
(
b
w
− ad
2w
)
L−1
{
w(
s + d
2
)
2
+ w2
}
=a coswt e−
dt
2 +
(
b
w
− ad
2w
)
sinwt e−
dt
2
Conclusão: a resposta e uma combinação linear de produtos de funções
trigonométricos e exponenciais.
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 1 de Abril de 2015 6 / 16
Transformada inversa de um função racional
Caso 2. Raízes complexos, exemplo c − d2
4
= w2 > 0,
G (s) =
pis + 2
s2 + 4s + 13
=
pis + 2
(s + 2)2 + 9
= pi
s + 2− 2+ 2pi
(s + 2)2 + 32
=
pi(s + 2)
(s + 2)2 + 32
+
−2pi + 2
(s + 2)2 + 32
=
pi(s + 2)(
s + d
2
)
2
+ w2
+
(
2
3
− 2pi
3
)
3
(s + 2)2 + 32
Usando L−1
{
s−k
(s−k)2+w2
}
= coswt ekt e L−1
{
w
(s−k)2+w2
}
= sinwt ekt ,
L−1 {G (s)} = piL−1
{
s + 2
(s + 2)2 + 32
}
+
(
2
3
− 2pi
3
)
L−1
{
3
(s + 2)2 + 32
}
=pi cos 3t e−2t +
2
3
(1− pi) sin 3t e−2t
Conclusão: a resposta e uma combinação linear de produtos de funções
trigonométricos e exponenciais.
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 1 de Abril de 2015 7 / 16
Transformada inversa de um função racional
Caso 3. Raízes reais, c − d2
4
= −w2 < 0, então
G (s) =
as + b
s2 + ds + c
=
as + b(
s + d
2
)
2 − w2
= a
s + d
2
− d
2
+ ba(
s + d
2
)
2 − w2
=
a(s + d
2
)(
s + d
2
)
2 − w2
+
−da
2
+ b(
s + d
2
)
2 − w2
=
a(s + d
2
)(
s + d
2
)
2 − w2
+
(
b
w − ad2w
)
w(
s + d
2
)
2 − w2
Usando L−1
{
s−k
(s−k)2−w2
}
= coshwt ekt e L−1
{
w
(s−k)2−w2
}
= sinhwt ekt ,
L−1 {G (s)} = aL−1
{
(s + d
2
)(
s + d
2
)
2 − w2
}
+
(
b
w
− ad
2w
)
L−1
{
w(
s + d
2
)
2 − w2
}
=a coshwt e−
dt
2 +
(
b
w
− ad
2w
)
sinhwt e−
dt
2
Conclusão: a resposta e uma combinação linear de produtos de funções
hiperbólicos e exponenciais.
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 1 de Abril de 2015 8 / 16
Transformada inversa de um função racional
Caso 3. Raízes reais, c − d2
4
= −w2 < 0, exemplo
G (s) =
1
2
s + 4
s2 − 2s − 3 =
1
2
s + 4
(s − 1)2 − 4 =
1
2
s − 1+ 1+ 8
(s − 1)2 − 22 =
1
2
(s − 1)
(s − 1)2 − 22 +
1
2
+ 4
(s − 1)2 − 22 =
1
2
(s − 1)
(s − 1)2 − 22 +
(
2+ 1
4
)
2
(s − 1)2 − 22
Usando L−1
{
s−k
(s−k)2−w2
}
= coshwt ekt e L−1
{
w
(s−k)2−w2
}
= sinhwt ekt ,
L−1 {G (s)} = 1
2
L−1
{
(s − 1)
(s − 1)2 − 22
}
+
9
4
L−1
{
2
(s − 1)2 − 22
}
=
1
2
cosh2t et +
9
4
sinh2t et
Conclusão: a resposta e uma combinação linear de produtos de funções
hiperbólicos e exponenciais.
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 1 de Abril de 2015 9 / 16
O integral de convolução
Problema 5. Encontre o integral de convolução (usando a transformada de
Laplace e transformada inversa).
Generalmente, (f ∗ g)(t) =
t∫
0
f (t − τ)g(τ)dτ = L−1 {F (s)G (s)}.
Exemplo. Encontre o integral de convolução
(u
2
(t)− u
4
(t)) ∗ u
3
(t) =.Lembramos as transformadas de Laplace para
funções degrau
L{u
3
(t)} = e
−3s
s
L{u
2
(t)− u
4
(t)} = e
−2s − e−4s
s
Então
L−1 {F (s)G (s)} = L−1
{(
e
−2s − e−4s) e−3s
s2
}
= L−1
{
e
−5s
s2
}
− L−1
{
e
−7s
s2
}
= (t − 5)u
5
(t)− (t − 7)u
7
(t) .
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Transformada de Laplace e EDO lineares
Problema 1. Use a transformada de Laplace para resolver o problema
homogênea de valor inicial dada
y ′′ + 1.5y ′ − 6.3y = 0 , y(0) = 0.5 , y ′(0) = 0 .
Passo 1 (A transformada de Laplace de EDO).
L{y ′′ + 1.5y ′ − 6.3y} = L{0}
L{y ′′} = s2Y − s0.5− 0
L{1.5y ′} = 1.5(sY − 0.5)
L{−6.3y} = −6.3Y
=⇒ (s2 + 1.5s − 6.3)Y − 0.5s − 0.75 = 0
Passo 2 (Calculo de Y ).
Y (s) =
0.5s + 0.75
s2 + 1.5s − 6.3
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 1 de Abril de 2015 11 / 16
Transformada de Laplace e EDO lineares
Passo 3 A transformada inversa de Y
Y (s) =
0.5s + 0.75
s2 + 1.5s − 6.3 = 0.5
s + 1.5
(s + 0.75)2 − 6.3− 0.752 =
0.5
s + 0.75+ 0.75
(s + 0.75)2 − 6.86 =
0.5
s + 0.75
(s + 0.75)2 − 6.86 +
0.5× 0.75√
6.86
√
6.86
(s + 0.75)2 − 6.86
Dai segue
L−1 {Y (s)} =
0.5L−1
{
s + 0.75
(s + 0.75)2 − 2.622
}
+ 0.14L−1
{
2.62
(s + 0.75)2 − 2.622
}
=
0.5 cosh(2.62t)e−0.75t + 0.14 sinh(2.62t)e−0.75t
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Transformada de Laplace e EDO lineares
Problema 2. Usea transformada de Laplace para resolver o problema (não
homogênea) de valor inicial sob ação de termo forçante.
y ′′ + 3y ′ + 2y = u
2
(t)− u
1
(t) , y(0) = 0 , y ′(0) = 1 .
Passo 1 (A transformada de Laplace de EDO).
L{y ′′ + 3y ′ + 2y} = L{u
2
(t)− u
1
(t)}
L{y ′′} = s2Y − s0− 1
L{3y ′} = 3(sY − 0)
L{2y} = 2Y
=⇒ (s2 + 2s + 3)Y − 1 = e−2s
s
− e
−s
s
Passo 2 (Calculo de Y ).
Y (s) =
1
s2 + 3s + 2
+
e
−2s
s(s2 + 3s + 2)
− e
−s
s(s2 + 3s + 2)
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Transformada de Laplace e EDO lineares
Passo 3 A transformada inversa de Y
Y (s) =
1
s2 + 3s + 2
+
e
−2s
s(s2 + 3s + 2)
− e
−s
s(s2 + 3s + 2)
s2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)
1
s2 + 3s + 2
=
A
s + 1
+
B
s + 2
=
A(s + 2) + B(s + 1)
(s + 1)(s + 2)
s = −1⇒ A = 1 , s = −2⇒ B = −1 ,
1
s(s2 + 3s + 2)
=
A
s + 1
+
B
s + 2
+
C
s
=
A(s + 2)s + B(s + 1)s + C (s + 1)(s + 2)
s(s + 1)(s + 2)
s = −1⇒ A = −1 , s = −2⇒ B = 1
2
, s = 0⇒ C = 1
2
,
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Transformada de Laplace e EDO lineares
Passo 3 A transformada inversa de Y
Y (s) =
1
s2 + 3s + 2
+
e
−2s
s(s2 + 3s + 2)
− e
−s
s(s2 + 3s + 2)
=
1
s + 1
− 1
s + 2
+
(
−1
s + 1
+
1
2
s + 2
+
1
2
s
)
(e−2s − e−s)
L−1
{
1
s + 1
}
= e−t , L−1
{
1
s + 2
}
= e−2t
Usando 2 Teorema de deslocamento
L−1
{(
−1
s + 1
+
1
2
s + 2
+
1
2
s
)
e
−2s
}
=
(
−e−(t−2) + 1
2
e
−2(t−2) +
1
2
)
u
2
(t) ,
L−1
{(
−1
s + 1
+
1
2
s + 2
+
1
2
s
)
e
−s
}
=
(
−e−(t−1) + 1
2
e
−2(t−1) +
1
2
)
u
1
(t) ,
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Transformada de Laplace e EDO lineares
Resposta:
y(t) = e−t − e−2t +
(
−e−(t−2) + 1
2
e
−2(t−2) +
1
2
)
u
2
(t)−
(
−e−(t−1) + 1
2
e
−2(t−1) +
1
2
)
u
1
(t)
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