Aula 01 - Definição - Equações Diferenciais

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Equações Diferenciais – Aula 01 
Profa. Dra. Carolina Benetti 
O que é uma equação diferencial? 
Quando falamos de equação diferencial, estamos falando de algo que sugere algum 
tipo de equação envolvendo um ou mais derivadas. 
Definição e Termologia 
Equação diferencial → derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a 
uma ou mais variáveis independentes. 
Exemplo: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 
Onde 𝑦 é a variável dependente, e 𝑥 é a variável independente. 
As equações diferenciais se classificam por tipo, ordem e linearidade. 
Classificação por tipo 
E.D.O. – Equações diferenciais ordinárias 
Contém apenas uma variável independente em relação a uma ou mais variáveis 
dependentes. 
Exemplos: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 5𝑡 = 1 
𝑦 = variável dependente e 𝑡 = variável independente 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 
𝑥 = variável dependente e 𝑢 e 𝑦 variáveis independentes 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥
−
2𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0 
𝑦 = variável dependente e 𝑥 = variável independente 
E.D.P. – Equação Diferencial Parcial 
Envolve derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais 
variáveis independentes. 
Exemplos: 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑥
 
Variáveis dependentes: 𝑢, 𝑣 
Variáveis independentes: 𝑥, 𝑦 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
−
2𝜕𝑢
𝜕𝑡
 
Variáveis dependentes: 𝑢 
Variáveis independentes: 𝑥, 𝑡 
Classificação pela ordem 
A ordem da equação diferencial é a mesma da derivada de maior ordem. 
Exemplos: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 8𝑦 = 𝑥 
E.D.O. de 2ª ordem 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
4
− 4𝑦 = 𝑒𝑥 
E.D.O. de 2ª ordem 
(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + 4𝑦𝑑𝑦 = 0 
E.D.O. de 1ª ordem 
𝑎2
𝜕4𝑢
𝜕𝑥4
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
= 0 
E.D.P. de 4ª ordem 
 
Classificação pela linearidade (Linear ou não linear) 
Uma equação diferencial é dita linear quando pode ser escrita da forma: 
𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛+1
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+⋯+ 𝑎(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
- A variável dependente e todas as suas derivadas são de 1o grau (potência 1) 
- Cada coeficiente depende apenas da variável independente. 
Exemplos: 
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=
0
𝑑𝑥
→ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 0 
E.D.O. de 1ª ordem linear 
𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0 
E.D.O. de 2ª ordem linear 
𝑥3
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
− 𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 3𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5𝑥 = 𝑒𝑥 
E.D.O. de 3ª ordem linear 
𝑦 ∙ 𝑦′′ − 2𝑦′ = 𝑥 → 𝑦
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
− 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 
E.D.O. de 2ª ordem não linear 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+ 𝑦2 = 0 
E.D.O. de 3ª ordem não linear 
Problemas de valores iniciais e de valores de contorno 
Exemplos: 
𝑦′′ + 2𝑦′ = 𝑒𝑥; 𝑦(𝜋) = 1 e 𝑦′(𝜋) = 1 
É um problema de valor inicial, pois as duas condições são para 𝑥 = 𝜋 
𝑦′′ + 2𝑦′ = 𝑒𝑥; 𝑦(0) = 1, 𝑦′(1) = 2 e 𝑦′(1) = 4 
É um problema de valores de contorno, pois as condições são especificadas para 
valores distintos de 𝑥. 
Equações diferenciais de 1ª ordem 
Forma padrão: 
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
Obs: Derivada sempre deve estar do lado esquerdo 
Forma diferencial: 
𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑀(𝑥, 𝑦)
−𝑁(𝑥, 𝑦)
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑀(𝑥, 𝑦)
−𝑁(𝑥, 𝑦)
→ −𝑁(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑦 = 𝑀(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑥 
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
Modelo matemático 
Descreve e modela o comportamento de alguns sistemas e fenômenos em termos 
matemáticos. 
I – Identificação de variáveis 
II – Elaborar um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema (leis empíricas) 
 Equações diferenciais → sistemas de equações diferenciais 
Exemplos: 
1) Considerando um corpo em queda livre, qual é a sua aceleração? 
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= −𝑔 → E.D.O. Linear de 1ª ordem 
Supondo que a altura inicial é 𝑆0 e a velocidade inicial é 𝑉0, qual é a velocidade e 
posição em função do tempo (𝑡)? 
Condição inicial: 𝑣(0) = 𝑣0 e 𝑆(0) = 𝑆0 
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= −𝑔 → ∫𝑑𝑣 = ∫−𝑔𝑑𝑡 → 𝑣(𝑡) = 𝑔𝑡 + 𝑐 
𝑣(0) = −𝑔 ∙ 0 + 𝑐 = 𝑣0 → 𝑐 = 𝑣0 
𝑣(𝑡) = 𝑣0 − 𝑔𝑡 
2) 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 = 𝑣(𝑡) = 𝑣0 − 𝑔𝑡 
𝑑𝑠 = (𝑣0 − 𝑔𝑡)𝑑𝑡 
∫𝑑𝑠 = ∫𝑣0 𝑑𝑡 − ∫𝑔𝑡 𝑑𝑡 
𝑠(𝑡) = 𝑣0𝑡 − 𝑔
𝑡2
2
+ 𝑐 → 𝑠(0) = 𝑠0 → 𝑠0 = 𝑐 
𝑠(𝑡) = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 − 𝑔
𝑡2
2