prova de Calculo 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPI´RITO SANTO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
PRIMEIRA PROVA DE CA´LCULO I
NOME: DATA: 01/04/2015
Todas as respostas devem ser justificadas por ca´lculos explı´citos
Fac¸a a questa˜o 6 e escolha quatro das cinco restantes.
1. (2,25 pontos) Seja f uma func¸a˜o contı´nua em R tal que f(0) = 1 e f(2) = −1 e seja
g(x) = x2 + 3x + 2. A func¸a˜o h(x) = f(g(x)) possui duas raı´zes negativas distintas.
Determine intervalos abertos disjuntos contendo cada uma dessas raı´zes.
2. (2,25 pontos) Calcule: a)lim
x→3
√
4− x− 1√
12− x− 3 b)limx→1
sin(x− 1)
x2 − 1 c)limx→1
2x− 3x− 4√
x4 + 1
3. (2,25 pontos) Considere uma func¸a˜o f(x) definida em R satisfazendo
|f(x)− 7
2 + 5x|x|+ 2
x2 + 16
| ≤ 1
x2
para todo x 6= 0. Calcule lim
x→∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x)
4. (2,25 pontos) Seja f(x) = x
2+x
x2−1 encontre as assı´ntotas verticais e horizontais, caso existam.
5. (a) (0,75 pontos) Calcule a derivada de f(x) = x2 − x− 2 pela definic¸a˜o.
(b) (0,75 pontos) Encontre uma equac¸a˜o de reta tangente a f e que passe no ponto (0,−2)
(c) (0,75 pontos) Encontre uma equac¸a˜o de reta tangente a f e que passe no ponto (3, 0)
6. (a) (0,5 pontos) Enuncie o Teorema do Confronto.
(b) (0,5 pontos) Enuncie o Teorema do Valor Intermedia´rio.
Informac¸o˜es adicionais:
1. lim
x→0
f(x) = lim
x→a
f(x− a)
2. se x→∞ enta˜o podemos considerar |x| = x
3. se x→ −∞ enta˜o podemos considerar |x| = −x
BOA PROVA!