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Curso de Física Básica H. Moyses Nussenzveig Resolução do Volume II Capítulo 5 Ondas Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5 1 - Uma corda uniforme de 20m de comprimento e massa de 2 kg está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e freqüência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda λ da onda progressiva gerada na corda. b) Escreva, com função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado à distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada. (Resolução) 2 - A mesma corda descrita no Probl. 1 está com uma extremidade amarrada num poste. A outra, inicialmente em repouso na posição de equilíbrio, é deslocada de 10 cm para cima, com velocidade uniforme entre t = 0 e t = 0,5 s. A seguir, é deslocada para baixo, com a magnitude da velocidade reduzida à metade da anterior, entre t= 0,5 s e t = 1,5 s, quando retorna à posição de equilíbrio. a) Desenhe a forma da corda no instante t = 1,7 s. b) Desenhe a forma da corda no instante t = 2,6 s. (Resolução) 3 – Mede-se a velocidade v de propagação de ondas transversais num fio com uma extremidade presa a uma parede, que é mantido esticado pelo peso de um bloco suspenso da outra extremidade através de uma polia. Depois (fig.), mergulha-se o bloco na água até os 2/3 da altura e verifica-se que a velocidade cai para 95,5 % da anterior. Qual é a densidade do bloco em relação à água? (Resolução) 4 - a) Mostre, diferenciando a expressão para a velocidade de propagação de ondas numa corda, que a variação percentual de velocidade v v∆ produzida por uma variação percentual T T∆ da tensão na corda é dada por T T 2 1 v v ∆ = ∆ . b) Um afinador de pianos faz soar a nota lá de um diapasão, de freqüência υ = 440 Hz, para compará-la com a nota lá da escala média de um piano. Com ambos soando simultaneamente, ele ouve batimentos cuja intensidade máxima se repete a intervalos de 0,5 s. Que ajuste percentual ele deve fazer na tensão da corda do piano para afiná-la? (Resolução) 5 – Desprezando efeitos de tensão superficial, pode-se mostrar que ondas na superfície da água, com comprimento de onda λ muito menor que a profundidade da água, propagam-se com velocidade de fase pi λ =ϕ 2 gv , onde g é a aceleração da gravidade. Mostre que a velocidade de grupo correspondente é ϕ= v2 1vg . (Resolução) 6 – Duas ondas transversais de mesma freqüência ν = 100 s-1 são produzidas num fio de aço de 1 mm de diâmetro e densidade 8 g/cm³, submetido a uma tensão T = 500 N. As ondas são dadas por: pi +ω−= 6 tkxcosAy1 , ( )kxtsenA2y2 −ω= , onde A = 2 mm. 2 Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5 a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas duas ondas. b) Calcule a intensidade da resultante. c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a região entre os valores máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante? (Resolução) 7 – A corda mi de um violino tem uma densidade linear de 0,5 g/m e está sujeita a uma tensão de 80N, afinada para uma freqüência υ = 660 Hz. a) Qual é o comprimento da corda? b) Para tocar a nota lá da escala seguinte, de freqüência 880 Hz, prende-se a corda com um dedo, de forma a utilizar apenas uma fração f do seu comprimento. Qual é o valor de f? (Resolução) 8 – Uma corda de comprimento l está distendida, com uma extremidade presa a um suporte e a outra extrremidade livre. a) Ache as freqüências υn dos modos normais de vibração da corda. b) Desenhe a forma da corda associada aos três modos de vibração mais baixos (em ordem de freqüência crescente). A velocidade de ondas na corda é v. (Resolução) 9 – Considere novamente a corda do problema 8, com um extremo fixo e outro livre e de comprimento l. No instante t = 0, um pequeno pulso de forma triangular está se propagando para a direita na corda. Depois de quanto tempo a corda voltará à configuração inicial? (Resolução) 10 - Uma corda vibrante de comprimento l presa em ambas as extremidades está vibrando em seu n-ésimo modo normal, com deslocamento transversal dado pela (5.7.10, ou seja, δ+pi pi =δ+ω= )vtncosxnsenb)tcos()xksen(b)t,x(y nnnnnnn ll , (n = 1,2,3,...). Calcule a energia total de oscilação da corda. Sugestão: Considere um instante em que a corda esteja passando pela posição de equilíbrio, de modo que sua energia total de oscilação esteja em forma puramente cinética. Calcule a densidade linear de energia cinética e integre sobre toda a corda. (Resolução) 11 – (modificada: acrescentou-se a letra 'a' à questão) Duas cordas muito longas, bem esticadas, de densidades lineares diferentes µ1 e µ2, estão ligadas uma à outra. Toma-se a posição de equilíbrio como eixo dos x e a origem O no ponto de junção, sendo y o deslocamento transversal da corda (fig). Uma onda harmônica progressiva, yi=A1cos (k1x - ωt), viajando na corda 1 (x < 0), incide sobre o ponto de junção, fazendo-o oscilar com freqüência angular ω. Isto produz na corda 2 (x > 0) uma onda progressiva de mesma freqüência, yt=A2 cos (k2x - ωt) (onda transmitida), e dá origem, na corda 1, a uma onda que viaja em sentido contrário, yr=B1 cos(k1x +ωt) (onda refletida). Dada a onda incidente yi, de amplitude A1, desejam-se obter a amplitude de reflexão 1 1 A B =ρ e a amplitude de transmissão 1 2 A A =τ . a) Use sua intuição para prever quais devem ser os valores de ρ e τ para os casos em que: (i) µ1 >> µ2; (ii) µ1 = µ2; e (iii) µ1 << µ2. b) Dada a tensão T da corda, calcule as velocidades de propagação v1 e v2 nas cordas 1 e 2, bem como os respectivos números de onda k1 e k2. O deslocamento total na corda 1 é yi + yr, e na corda 2 é yt. c) Mostre que, no ponto de junção x = 0, deve-se ter yi + yr = yt. 3 Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5 d) Aplicando a 3ª lei de Newton ao ponto de junção x = 0, mostre que, nesse ponto, deve-se ter também tri yx )yy( x ∂ ∂ =+ ∂ ∂ . e) A partir de (b) e (c), calcule as amplitudes de reflexão e transmissão ρ e τ em função das velocidades v1 e v2. Discuta o sinal de ρ. (Resolução) 12 – No problema 11, a refletividade r da junção é definida como a razão da intensidade da onda refletida para a intensidade da onda incidente, e a transmissividade t como a razão da intensidade transmitida para a incidente. a) Calcule r e t. b) Mostre que r + t = 1, e interprete esse resultado. (Resolução) Resolução R-1) Dados: L = 20m ; m = 2 kg ; A = 3 cm = 0,03 m ; υ = 5 Hz ; T = 10N. a) A densidade linear da corda vale: m/kg 1,0 L m ==µ . Logo, a velocidade será: µ = Tv = 1,0 10 ⇒ v = 10 m/s E υ =λ v = 5 10 ⇒ λ = 2 m b) Equação da corda: y (x,t) = A cos (kx - ωt + φ) , onde A foi dado e ω = 2piυ = 10pi rad/s , k = (v / ω) = pi m-1 De acordo com o problema, temos, em t = 0 e x = 0, que y vale 1,5 cm = 0,015 m. Substituindo na equação da corda: y (0,0) = 0,015 = 0,03 cos (φ) O que nos dá cos φ = (1/2). Logo φ = pi/3 rad. Portanto: y(x.t) = 0,03 cos (pix - 10pit + pi/3) c) A intensidade I representa o fluxo médio de energia através de um ponto qualquer da corda, ou seja, a intensidadeé dada como o valor da potência média sobre um período. Assim: I = (1/2).µ.v.ω².A² ⇒ I = 0,44W R-3) Notação: µ: densidade linear da corda; β = m / Vb: densidade do bloco; ρ: densidade da água; Vb: volume do bloco [A (área da base) x h (altura)]; Vl: volume do líquido deslocado; 4 Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5 E = ρ.Vl.g : empuxo sobre o bloco. Primeira situação: T – P = 0 ⇒ µ.v² - m.g = 0 ⇒ µ.v² - β.Vb.g = 0 ⇒ µ.v² = β.A.h.g (I) Segunda situação (bloco é colocado na água): T + E – P = 0 µ.(0,955v)² + ρ.Vl.g – m.g = 0 ⇒ (0,955)².µ.v² + ρ.Vl.g – β.Vb.g = 0 (II) Substituindo (I) em (II), cancelando g e substituindo os termos Vb e Vl: (0,955)².β.Vb.g + ρ.Vl.g – β.Vb.g = 0 ⇒ 0,0879.β.A.h = ρ.A.(2 / 3).h R-4) a) µ = Tv T. 1. 2 1 dT dv µ = = T T. T. 1. 2 1 µ = T 1.T. 2 1 µ = T 1.v. 2 1 Logo: T dT. 2 1 v dv = ou b) R5) Seja uma onda na forma: y = A cos(kx - ωt) λ pi = 2k pi λ = pi λ ω= ω =ϕ 2 g 2 . k v λ pi pi λ =ω 2. 2 .g , que pode ser escrito como 22. 2 .g λ pi pi λ =ω ou ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 g λ pi pi λ =ω ( ) 2 2 2 1 2 1 22g λ pi λ pi =ω − ( ) 2 1 2 1 2g λ pi =ω ⇒ ( ) ( ) 2121 kg=ω dk dvg ω = 5 6,758,7 ≈= ρ β T T. 2 1 v v ∆ = ∆ Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5 ( ) 2 1 2 1 g 2 g 2 1v pi λ = 2 1 g 2 .g 2 1v pi λ = = ϕv. 2 1 R-6) Temos: pi +ω−= 6 tkxcosAy1 ≡ A1 cos (θ + φ1) ( )kxtcosA2y2 −ω= ≡ A2 sen (-θ) ≡ A2.[-sen (θ)] ≡ pi −+θ 2 cosA2 ≡ A2 cos (θ +φ2) Onde definimos: (I) Em notação complexa, podemos escrever: z1 = )(i1 1e.A φ+θ z2 = )(i2 2e.A φ+θ que representam, também, as equações das duas ondas. Logo: z = z1 + z2 = )(i1 1e.A φ+θ + )(i2 2e.A φ+θ = )(i1 221e.A φ−φ+φ+θ + )(i2 2e.A φ+θ [ ]44 344 21 β += φ−φφ+θ i 212 e.B 2 )(i 1 )(i Ae.Aez em que (II) Para um dado complexo z, temos: β = ie.Bz e seu conjugado será β−= ie.B*z z = B cosβ + iB senβ ⇒ z* = B cosβ - iB senβ E z.z* = B² Como z é dado por (II): B² = [A1cos (φ1 - φ2) + A2]² + [A1sen(φ1 - φ2)]² = A1²cos²(φ1 - φ2) + 2.A1.A2cos (φ1 - φ2) + A2² + A1²sen²(φ1 - φ2) A1² B² = A1² + A2² + 2.A1.A2cos (φ1 - φ2) (III) Basta substituirmos os valores na equação (III), lembrando que: A1 = 2mm = 2x10-3m; A2 = 2A1; φ1 e φ2 dados em (I). Com isso, obtemos: 6 A1 = A A2 = 2A φ1 = pi/6 φ2 = - (pi/2) B.eiβ = 2 )(i 1 Ae.A 21 + φ−φ B = 5,29x10-3 m Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5 Encontrando β : De acordo com (II): β+β=β seniBcosBe.B i = [A1cos (φ1 - φ2) + A2] + i[A1sen (φ1 - φ2)] Aplicando a identidade de números complexos: B cosβ = A1cos (φ1 - φ2) + A2 ⇒ Resolvendo, encontramos: cosβ = 0,945 ⇒ β = 0,33 A onda resultante é a parte real de: )(i 2e.Bz β+φ+θ= y = (Re)z = B cos (θ + φ2 + β) = R-11) Temos o seguinte esquema: µ1 µ2 O v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 0 0 0 i t r y A cos k x t x y A cos k x t x y B cos k x t x ω ω ω = − < = − > = + < 1 1 B A ρ = 2 1 A A τ = a) (iii) 1 2 1 1 2 1 0 0 B A A µ µ ρ τ << ≅ − → ≅ − ≅ → ≅ 1 2 1 0 0 1 se µ µ ρ τ < − < < < < (ii) 1 2 1 2 2 0 0 1 B A A µ µ ρ τ = = → = = → ≅ (i) 1 2 1 1 2 2 1 2 2 B A A A µ µ ρ τ >> ≅ → ≅ ≅ → ≅ 1 2 0 1 0 2 se µ µ ρ τ > < < < < b) 1 1 Tv µ = ; 2 2 Tv µ = ; 1 1 k v ω = ; 2 2 k v ω = . c) Continuidade da corda, caso contrário ela estaria quebrada. d) yi + yr = yt 7 B A)cos(Acos 2211 +φ−φ=β Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5 As derivadas no ponto de junção são iguais (a tangente é horizontal). ( ) ( ) ( ) ( )0 0i r t,t ,ty y yx x ∂ ∂ + = ∂ ∂ (*) e) ( ) ( ) ( )1 1 1 2A cos t B cos k x t A cos tω ω ω− + − = − ( ) ( ) ( )1 1 2A B cos t A cos tω ω+ = Pode-se cancelar cos(ωt), pois o termo é válido para qualquer t e há t que não zera o cosseno). Logo: A1 + B1 = A2 (**) 1 1 1 1 1 1 0 0 k A sen k x t k B sen k x tω ω = = − − + − − EF EF = ( ) ( )1 1 1 1 k A sen t k B sen tω ω− − − = = ( ) ( )1 1 1 1k A sen t k B sen tω ω− (***) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20t ,ty k A sen k x t k A sen tx ω ω ∂ = − − = ∂ (****) Igualando (***) = (****): ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 2k A sen t k B sen t k A sen tω ω ω− = ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2k A k B sen t k A sen tω ω− = 1 1 1 1 2 2k A k B k A− = 1 2 1 1 2 1 1 B Ak k k A A − = ⇒ 1 2 2 1 1 1 1 B k A A k A ρ τ − = EF EF 2 1 1 2 k v k v k v ω= = De (**): 1 2 1 1 1 B A A A + = 1 2 1 1 v v ρ τ ρ τ + = − = Logo: 1 2 2 1 v v v v ρ −= + 2 2 1 2.v v v τ = + R-12) Dados: r i Ir I = ; t i It I = . a) 2 21 2 I v Aµ ω= 2 2 1 1 1 1 2i I v Aµ ω= ; 2 21 1 1 1 2r I v Bµ ω= ; 2 22 2 2 1 2t I v Aµ ω= 2 21 1 Br r A ρ = ⇒ = 8 Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5 2 22 2 2 2 2 1 1 1 1 1 v A vt t v A v µ µ τ µ µ = ⇒ = b) 9
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