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Resolução moyses_ vol2_cap05

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Curso de
Física Básica
H. Moyses Nussenzveig
Resolução do
Volume II
 Capítulo 5
Ondas
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
1 - Uma corda uniforme de 20m de comprimento e massa de 2 kg está esticada sob uma tensão 
de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e 
freqüência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para 
cima.
a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda λ da onda progressiva gerada 
na corda.
b) Escreva, com função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado à 
distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue 
à outra extremidade.
c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada. (Resolução)
2 - A mesma corda descrita no Probl. 1 está com uma extremidade amarrada num poste. A 
outra, inicialmente em repouso na posição de equilíbrio, é deslocada de 10 cm para cima, com 
velocidade uniforme entre t = 0 e t = 0,5 s. A seguir, é deslocada para baixo, com a magnitude da 
velocidade reduzida à metade da anterior, entre t= 0,5 s e t = 1,5 s, quando retorna à posição de 
equilíbrio.
a) Desenhe a forma da corda no instante t = 1,7 s.
b) Desenhe a forma da corda no instante t = 2,6 s. (Resolução)
3 – Mede-se a velocidade v de propagação de ondas transversais num fio com uma extremidade 
presa a uma parede, que é mantido esticado pelo peso de um bloco suspenso 
da outra extremidade através de uma polia. Depois (fig.), mergulha-se o bloco 
na água até os 2/3 da altura e verifica-se que a velocidade cai para 95,5 % da 
anterior. Qual é a densidade do bloco em relação à água? (Resolução)
4 - a) Mostre, diferenciando a expressão para a velocidade de propagação de ondas numa corda, 
que a variação percentual de velocidade 
v
v∆
 produzida por uma variação percentual 
T
T∆
 da tensão 
na corda é dada por 
T
T
2
1
v
v ∆
=
∆
.
b) Um afinador de pianos faz soar a nota lá de um diapasão, de freqüência υ = 440 Hz, para 
compará-la com a nota lá da escala média de um piano. Com ambos soando simultaneamente, ele 
ouve batimentos cuja intensidade máxima se repete a intervalos de 0,5 s. Que ajuste percentual ele 
deve fazer na tensão da corda do piano para afiná-la? (Resolução)
5 – Desprezando efeitos de tensão superficial, pode-se mostrar que ondas na superfície da 
água, com comprimento de onda λ muito menor que a profundidade da água, propagam-se com 
velocidade de fase 
pi
λ
=ϕ 2
gv , onde g é a aceleração da gravidade. Mostre que a velocidade de 
grupo correspondente é ϕ= v2
1vg . (Resolução)
6 – Duas ondas transversais de mesma freqüência ν = 100 s-1 são produzidas num fio de aço 
de 1 mm de diâmetro e densidade 8 g/cm³, submetido a uma tensão T = 500 N. As ondas são 
dadas por:


 pi
+ω−=
6
tkxcosAy1 , ( )kxtsenA2y2 −ω= , onde A = 2 mm.
2
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas 
duas ondas.
b) Calcule a intensidade da resultante.
c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a região entre os valores 
máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante? (Resolução)
7 – A corda mi de um violino tem uma densidade linear de 0,5 g/m e está sujeita a uma 
tensão de 80N, afinada para uma freqüência υ = 660 Hz.
a) Qual é o comprimento da corda?
 b) Para tocar a nota lá da escala seguinte, de freqüência 880 Hz, prende-se a corda com 
um dedo, de forma a utilizar apenas uma fração f do seu comprimento. Qual é o valor de f? 
(Resolução)
8 – Uma corda de comprimento l está distendida, com uma extremidade presa a um suporte e a 
outra extrremidade livre.
a) Ache as freqüências υn dos modos normais de vibração da corda.
b) Desenhe a forma da corda associada aos três modos de vibração mais baixos (em ordem 
de freqüência crescente). A velocidade de ondas na corda é v. (Resolução)
9 – Considere novamente a corda do problema 8, com um extremo fixo e outro livre e de 
comprimento l. No instante t = 0, um pequeno pulso de forma triangular está se propagando para a 
direita na corda. Depois de quanto tempo a corda voltará à configuração inicial? (Resolução)
10 - Uma corda vibrante de comprimento l presa em ambas as extremidades está vibrando em seu 
n-ésimo modo normal, com deslocamento transversal dado pela (5.7.10, ou seja, 


 δ+pi

 pi
=δ+ω= )vtncosxnsenb)tcos()xksen(b)t,x(y nnnnnnn ll , (n = 1,2,3,...). Calcule a 
energia total de oscilação da corda. 
Sugestão: Considere um instante em que a corda esteja passando pela posição de equilíbrio, de 
modo que sua energia total de oscilação esteja em forma puramente cinética. Calcule a densidade 
linear de energia cinética e integre sobre toda a corda. (Resolução)
11 – (modificada: acrescentou-se a letra 'a' à questão) Duas cordas muito longas, bem esticadas, de 
densidades lineares diferentes µ1 e µ2, estão ligadas uma à outra. Toma-se a posição de equilíbrio 
como eixo dos x e a origem O no ponto de junção, sendo y o deslocamento transversal da corda 
(fig). Uma onda harmônica progressiva, yi=A1cos (k1x - ωt), viajando na corda 1 (x < 0), incide 
sobre o ponto de junção, fazendo-o oscilar com freqüência angular ω. Isto produz na corda 2 (x > 0) 
uma onda progressiva de mesma freqüência, yt=A2 cos (k2x - ωt) (onda transmitida), e dá origem, na 
corda 1, a uma onda que viaja em sentido contrário, yr=B1 cos(k1x +ωt) (onda refletida). Dada a 
onda incidente yi, de amplitude A1, desejam-se obter a amplitude de reflexão 
1
1
A
B
=ρ e a amplitude 
de transmissão 
1
2
A
A
=τ .
a) Use sua intuição para prever quais devem ser os valores de ρ e τ para os casos em que: (i) 
µ1 >> µ2; (ii) µ1 = µ2; e (iii) µ1 << µ2.
b) Dada a tensão T da corda, calcule as velocidades de propagação v1 e v2 nas cordas 1 e 2, 
bem como os respectivos números de onda k1 e k2. O deslocamento total na corda 1 é yi + yr, e na 
corda 2 é yt.
c) Mostre que, no ponto de junção x = 0, deve-se ter yi + yr = yt.
3
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
d) Aplicando a 3ª lei de Newton ao ponto de junção x = 0, mostre que, nesse ponto, deve-se 
ter também tri yx
)yy(
x ∂
∂
=+
∂
∂
.
e) A partir de (b) e (c), calcule as amplitudes de reflexão e transmissão ρ e τ em função das 
velocidades v1 e v2. Discuta o sinal de ρ. (Resolução)
12 – No problema 11, a refletividade r da junção é definida como a razão da intensidade da onda 
refletida para a intensidade da onda incidente, e a transmissividade t como a razão da intensidade 
transmitida para a incidente.
a) Calcule r e t.
b) Mostre que r + t = 1, e interprete esse resultado. (Resolução)
Resolução
R-1) Dados: L = 20m ; m = 2 kg ; A = 3 cm = 0,03 m ; υ = 5 Hz ; T = 10N.
a) A densidade linear da corda vale: m/kg 1,0
L
m
==µ .
Logo, a velocidade será: µ
=
Tv = 
1,0
10
 ⇒ v = 10 m/s
E
υ
=λ v = 
5
10
 ⇒ λ = 2 m
b) Equação da corda:
y (x,t) = A cos (kx - ωt + φ) , onde A foi dado e ω = 2piυ = 10pi rad/s , k = (v / ω) = pi m-1
De acordo com o problema, temos, em t = 0 e x = 0, que y vale 1,5 cm = 0,015 m. Substituindo na 
equação da corda:
y (0,0) = 0,015 = 0,03 cos (φ)
O que nos dá cos φ = (1/2). Logo φ = pi/3 rad.
Portanto:
y(x.t) = 0,03 cos (pix - 10pit + pi/3)
c) A intensidade I representa o fluxo médio de energia através de um ponto qualquer da corda, ou 
seja, a intensidadeé dada como o valor da potência média sobre um período. Assim:
I = (1/2).µ.v.ω².A² ⇒ I = 0,44W
R-3) 
Notação:
µ: densidade linear da corda;
β = m / Vb: densidade do bloco;
ρ: densidade da água;
Vb: volume do bloco [A (área da base) x h (altura)];
Vl: volume do líquido deslocado;
4
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
E = ρ.Vl.g : empuxo sobre o bloco.
Primeira situação:
T – P = 0 ⇒ µ.v² - m.g = 0 ⇒ µ.v² - β.Vb.g = 0 ⇒ µ.v² = β.A.h.g (I)
Segunda situação (bloco é colocado na água):
T + E – P = 0 
µ.(0,955v)² + ρ.Vl.g – m.g = 0 ⇒ (0,955)².µ.v² + ρ.Vl.g – β.Vb.g = 0 (II)
Substituindo (I) em (II), cancelando g e substituindo os termos Vb e Vl:
(0,955)².β.Vb.g + ρ.Vl.g – β.Vb.g = 0 ⇒ 0,0879.β.A.h = ρ.A.(2 / 3).h
R-4)
a) µ
=
Tv
T.
1.
2
1
dT
dv
µ
= = 
T
T.
T.
1.
2
1
µ
 = 
T
1.T.
2
1
µ = T
1.v.
2
1
Logo:
T
dT.
2
1
v
dv
= ou 
b) 
R5)
Seja uma onda na forma:
y = A cos(kx - ωt)
λ
pi
=
2k
pi
λ
=
pi
λ
ω=
ω
=ϕ 2
g
2
.
k
v
λ
pi
pi
λ
=ω
2.
2
.g , que pode ser escrito como
22.
2
.g 


λ
pi
pi
λ
=ω ou ( ) 2
2
2
1
2
1 2
2
g 


λ
pi


pi
λ
=ω
( ) 2
2
2
1
2
1 22g 


λ
pi


λ
pi
=ω
−
( ) 2
1
2
1 2g 


λ
pi
=ω ⇒ ( ) ( ) 2121 kg=ω
dk
dvg
ω
=
5
6,758,7 ≈=
ρ
β
T
T.
2
1
v
v ∆
=
∆
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
( ) 2
1
2
1
g 2
g
2
1v 


pi
λ
= 
2
1
g 2
.g
2
1v 


pi
λ
= = ϕv.
2
1
R-6) Temos:


 pi
+ω−=
6
tkxcosAy1 ≡ A1 cos (θ + φ1) 
( )kxtcosA2y2 −ω= ≡ A2 sen (-θ) ≡ A2.[-sen (θ)] ≡ 

 

 pi
−+θ
2
cosA2 ≡ A2 cos (θ +φ2)
Onde definimos:
 
(I)
Em notação complexa, podemos escrever:
z1 = )(i1 1e.A
φ+θ
z2 = )(i2 2e.A
φ+θ
que representam, também, as equações das duas ondas. Logo:
z = z1 + z2 = )(i1 1e.A
φ+θ + )(i2 2e.A
φ+θ = )(i1 221e.A
φ−φ+φ+θ + )(i2 2e.A
φ+θ
[ ]44 344 21
β
+= φ−φφ+θ
i
212
e.B
2
)(i
1
)(i Ae.Aez
em que
(II)
Para um dado complexo z, temos:
β
=
ie.Bz e seu conjugado será β−= ie.B*z
z = B cosβ + iB senβ ⇒ z* = B cosβ - iB senβ
E
z.z* = B² 
Como z é dado por (II):
B² = [A1cos (φ1 - φ2) + A2]² + [A1sen(φ1 - φ2)]² 
 = A1²cos²(φ1 - φ2) + 2.A1.A2cos (φ1 - φ2) + A2² + A1²sen²(φ1 - φ2)
 A1²
B² = A1² + A2² + 2.A1.A2cos (φ1 - φ2) (III)
Basta substituirmos os valores na equação (III), lembrando que: A1 = 2mm = 2x10-3m; A2 = 2A1; φ1 
e φ2 dados em (I). Com isso, obtemos:
6
A1 = A
A2 = 2A
φ1 = pi/6
φ2 = - (pi/2)
B.eiβ = 2
)(i
1 Ae.A 21 +
φ−φ
B = 5,29x10-3 m
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
Encontrando β :
De acordo com (II):
β+β=β seniBcosBe.B i = [A1cos (φ1 - φ2) + A2] + i[A1sen (φ1 - φ2)]
Aplicando a identidade de números complexos:
B cosβ = A1cos (φ1 - φ2) + A2 ⇒
Resolvendo, encontramos:
cosβ = 0,945 ⇒ β = 0,33
A onda resultante é a parte real de:
 )(i 2e.Bz β+φ+θ=
y = (Re)z = B cos (θ + φ2 + β) = 
R-11) Temos o seguinte esquema:
µ1 µ2
 O v 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 1
0
0
0
i
t
r
y A cos k x t x
y A cos k x t x
y B cos k x t x
ω
ω
ω
= − <
= − >
= + <
1
1
B
A
ρ = 2
1
A
A
τ =
a)
(iii) 
1 2
1 1
2
1
0 0
B A
A
µ µ
ρ
τ
<<
≅ − → ≅ −
≅ → ≅
1 2 
1 0
0 1
se µ µ
ρ
τ
<
− < <
< <
(ii)
1 2
1
2 2
0 0
1
B
A A
µ µ
ρ
τ
=
= → =
= → ≅
(i)
1 2
1 1
2 2
1
2 2
B A
A A
µ µ
ρ
τ
>>
≅ → ≅
≅ → ≅
1 2 
0 1
0 2
se µ µ
ρ
τ
>
< <
< <
 
b) 1
1
Tv
µ
= ; 2
2
Tv
µ
= ; 1
1
k
v
ω
= ; 2
2
k
v
ω
= .
c) Continuidade da corda, caso contrário ela estaria quebrada.
d) yi + yr = yt
7
B
A)cos(Acos 2211 +φ−φ=β
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
As derivadas no ponto de junção são iguais (a tangente é horizontal).
( ) ( ) ( ) ( )0 0i r t,t ,ty y yx x
∂ ∂
+ =
∂ ∂ (*)
e) 
( ) ( ) ( )1 1 1 2A cos t B cos k x t A cos tω ω ω− + − = −
( ) ( ) ( )1 1 2A B cos t A cos tω ω+ =
Pode-se cancelar cos(ωt), pois o termo é válido para qualquer t e há t que não zera o cosseno).
Logo:
A1 + B1 = A2 (**)
1 1 1 1 1 1
0 0
k A sen k x t k B sen k x tω ω
= =
    
− − + − −            EF EF = ( ) ( )1 1 1 1
k A sen t k B sen tω ω− − − =
= ( ) ( )1 1 1 1k A sen t k B sen tω ω− (***)
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20t ,ty k A sen k x t k A sen tx ω ω
∂
= − − =
∂ (****)
Igualando (***) = (****):
( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 2k A sen t k B sen t k A sen tω ω ω− = 
 ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2k A k B sen t k A sen tω ω− = 
 1 1 1 1 2 2k A k B k A− =
1 2
1 1 2
1 1
B Ak k k
A A
− = ⇒
1 2 2
1 1 1
1 B k A
A k A
ρ τ
− =
EF EF
2 1
1 2
k v
k v
k v
ω= 
= 
De (**): 1 2
1 1
1 B A
A A
+ =
1
2
1
1 v
v
ρ τ
ρ τ
+ =
− =
Logo:
1 2
2 1
v v
v v
ρ −=
+
2
2 1
2.v
v v
τ =
+
R-12)
Dados: r
i
Ir
I
= ; t
i
It
I
= .
a)
2 21
2
I v Aµ ω=
2 2
1 1 1
1
2i
I v Aµ ω= ; 2 21 1 1
1
2r
I v Bµ ω= ; 2 22 2 2
1
2t
I v Aµ ω=
2
21
1
Br r
A
ρ = ⇒ =  
8
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
2
22 2 2 2 2
1 1 1 1 1
v A vt t
v A v
µ µ
τ
µ µ
 
= ⇒ =  
b) 
9

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