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Resolução moyses_ vol2_cap07

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Resolução de “Curso Básico 
de Física” de H. Moysés 
Nussenzveig 
Capítulo 07 - Vol. 2 
 
Engenharia Física 09 – Universidade Federal de São Carlos 
20/10/2009 
 
ComSizo.blogspot.com Capítulo - 7 
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1 – Uma esfera oca de alumínio tem um raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a 15°C. O 
coeficiente de dilatação linear do alumínio é 2,3 x 10-5/°C. De quantos cm³ varia o volume da 
cavidade interna quando a temperatura sobe para 40°C? O volume da cavidade aumenta ou 
diminui? 
 
∆V = V0.3α.∆T = [(4/3).pi.r³].3.(2,3 .10-5).(40 – 15) = 2,3.pi.r³ , com r = 10 cm 
 
∆V = 7,225 = 7,3 cm³ 
 
2 – Uma barra retilínea é formada por uma parte de latão soldada em outra de aço. A 20°C, o 
comprimento total da barra é de 30 cm, dos quais 20 cm de latão e 10 cm de aço. Os coeficientes de 
dilatação linear são 1,9 x 10-5/°C para o latão e 1,1 x 10-5/°C para o aço. qual o coeficiente de 
dilatação linear da barra? 
 
Para uma dada temperatura T: ∆T = T – T0 
 



∆=∆α=∆
∆=∆α=∆
−
−
T.10.1,1.10T..LL
T.10.9,1.20T..LL
5
AA0A
5
LL0L
 (I) 
 
 ∆L = ∆LL + ∆LA = L0.α.∆T (II) 
 
Somando (I) e substituindo em (II): 
 
 49.10-5.∆T = 30.α.∆T ⇒ α = 1,63 x 10-5/°C 
 
3 - Uma tira bimetálica, usada para controlar termostatos, é 
constituída de uma lâmina estreita de latão, de 2 mm de 
espessura, presa lado a lado com uma lâmina de aço, de 
mesma espessura d= 2 mm, por uma série de rebites. A 15°C, 
as duas lâminas têm o mesmo comprimento, igual a 15 cm, e 
a tira está reta. A extremidade A da tira é fixa; a extremidade 
B pode mover-se, controlando o termostato. A uma 
temperatura de 40°C, a tira se encurvou, adquirindo um raio 
de curvatura R, e a extremidade B se deslocou de uma 
distância vertical y. Calcule R e y, sabendo que o coeficiente 
de dilatação linear do latão é 1,9 x 10-5/°C e o do aço é 
1,1 x 10-5/°C. 
 
 
 
I) � ∆� � ����∆� 	 �� � ��
1 � ��∆�
 � 15,007125 ��∆� � ����∆� 	 �� � ��
1 � ��∆�
 � 15,004123 ��� � � ��� � ��� � � 	 ��
� � �
 � ��� 	 � � ����� � �� � � � 3,002850,00300 	 � � 10� 
 
 
 
 
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II) 
 
 
Aplicando pitágoras no triângulo POB`, temos: �� � � � 
� � !
 	 �� � � � � � 2�! � ! 	 ! � 2�! � �� � 0 � ! � 2� " #
2�
 � 4�� 2 � � " #� � �� 	 !$ % 1,125 �� &' !$ % 19998,9 �� 
 
4 – Num relógio de pêndulo, o pêndulo é uma barra metálica, projetada para que seu período de 
oscilação seja igual a 1 s. Verifica-se que, no inverno, quando a temperatura média é de 10°C, o 
relógio adianta, em média 55 x por semana; no verão, quando a temperatura média é de 30°C, o 
relógio atrasa, em média 1 minuto por semana. 
 a) Calcule o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo. 
 b) A que temperatura o relógio funcionaria com precisão? 
 
Barra) O período do pêndulo pode ser calculado através de: 
�� � 2)*+ 2,- 	 1 � 2)* + 2,9,81 	 + 2, � 0,24849 � 
* Como o pêndulo em questão é físico, seu centro de massa é em + 2, . 
Inverno) Por regra de três: ∆�.� � 55/ 0 7.24.60.60 / ∆�. 0 1 / � ∆�. � 9,09.1034 / 	 �. � 1,0000909 / 
 
�. � 2)56+ 2, 7.- 	 1,0000909 � 2)*6+ 2, 7.9,81 	 6+ 2, 7. � 0,24853 � ∆�. � ���∆� 	 0,00004538 � �0,24849
10 � ��
 
 
Verão) Por regra de três: ∆�8� � �60/ 0 7.24.60.60 / ∆�8 0 1 / � ∆�8 � �9,92.1034 / 	 �. � 0,9999008 / 
 
�. � 2)56+ 2, 78- 	 0,9999008 � 2)*6+ 2, 789,81 	 6+ 2, 78 � 0,24844 � ∆�8 � ���∆� 	 �0,00004909 � �0,24849
30 � ��
 
 
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Resolvendo o sistema, temos: � 0,00004538 � �0,24849
10 � ��
�0,00004909 � �0,24849
30 � ��
� 
a) � � 1,9.1034/: 
b) �� � 19,6: 
 
5 – A figura ilustra um esquema possível de 
construção de um pêndulo cujo comprimento l não 
seja afetado pela dilatação térmica. As três barras 
verticais claras na figura, de mesmo comprimento l1, 
são de aço, cujo coeficiente de dilatação linear é 
1,1 x 10-5/°C. As duas barras verticais escuras na 
figura, de mesmo comprimento l2, são de alumínio, 
cujo coeficiente de dilatação linear é 
2,3 x 10-5/°C. Determine l1 e l2 de forma a manter 
l = 0,5 m. 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando a situação, temos: 
1o) Antes da dilatação: + � + � 2
+ � +$
 � 2+$ � + � + � 2+$ � 0,5 
;
 
2o) Depois da dilatação: + < � + � 2
+ � +$< 
 � 2+$< � + � + < � 2+$< � 0,5 
;;
 
Analisando as dilatações: 
=ç&
 ∆�$ � ��+$∆� � 1,1.1034. +$∆� 
;;;
 
+=?ã&
 ∆� � ��+ ∆� � 2,3.1034. + ∆� 
;A
 
Por I, II, III e IV: B + < � + � 2,3.1034. + ∆� � 2,3.1034. 
2+$ � 0,5
∆�+ < � + � 2+$< � 0,5 � 
2+$ � 0,5
 � 2 ∆�$ � 2,2.1034. +$∆�� 
Resolvendo o sistema: +$ � 0,48 �� e + � 0,46 �� 
 
6 - a) Um líquido tem coeficiente de dilatação 
volumétrica β. Calcule a razão ρ/ρ0 entre a 
densidade do líquido à temperatura T e sua 
densidade ρ0 à temperatura T0. 
 b) No método de Dulong e Petit para 
determinar β, o líquido é colocado num tubo em U, 
com um dos ramos imerso em gelo fundente 
(temperatura T0) e o outro em óleo aquecido à 
temperatura T. O nível atingido pelo líquido nos 
dois ramos é, respectivamente, medido pelas alturas 
h0 e h. Mostre que a experiência permite determinar 
β (em lugar do coeficiente de dilatação aparente do 
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líquido), e que o resultado independe de o tubo em U ter secção uniforme. 
 c) Numa experiência com acetona utilizando este método, T0 é 0°C, T é 20°C, h0 = 1 m e 
h = 1,03 m. Calcule o coeficiente de dilatação volumétrica da acetona. 
 
a) Para um líquido de coeficiente de expansão volumétrica β temos: 
 
∆V = V0 β ∆T 
Onde 
∆V = V - V0 
∆T = T - T0 
 
V = V0 [1+ β(T – T0)] 
 
Quando uma porção de um líquido sofre expansão térmica sua densidade diminui, mas sua massa 
não é alterada. 
 
MT = MTo 
Com esta condição podemos escrever: CA � C�A� 	 CVE F1 � βHT – TEKL � C�A� 	 MMN � $$O PHQ – QRK 
;
 
 
Se β(T-To) <<1, a expressão acima pode ser escrita através da expanssão de Taylor como: CC� S 1 � β
T – TE
 
 
b) As diferenças de pressão são: 
 
∆P1 = P1 – Patm = ρogho 
∆P2 = P2 – Patm = ρgh 
 
Como P1 = P2 = P (estão a mesma altura) 
 
∆P1 = ∆P2 
ρogho = ρgh 
 
 
 Substituindo esta expressão em (I) 
 
 
 
 
 
 
Este resultado só depende das alturas do líquido nos ramos, ou seja, este resultado independe da 
forma da seção transversal do tubo. 
 
c) Substituindo os valores dados na equação obtida no item b: T � U � U�U�
� � ��
 � 1,03 � 1,001,00
20 � 0
 	 T � 1,5.103V/: 
)(
)(1
1
h
00
0
0
0
0
0
00
TTh
hh
h
h
TT
h
hh
−
−
=
=
−+
=
=
β
β
ρ
ρ
ρρ
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7 – Um tubo cilíndrico delgado de secção uniforme, feito de um material de coeficiente de dilatação 
linear α, contém um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica β. À temperatura T0, a altura da 
coluna líquida é h0. 
 a) Qual é a variação ∆h de altura da coluna quando a temperatura sobe de 1°C? 
 b) Se o tubo é de vidro (α = 9 x 10-6/°C) e o líquido é mercúrio (β = 1,8 x 10-4/°C), mostre 
que este sistema não constitui um bom termômetro, do ponto de vista