Série de Taylor

Prévia do material em texto

Capítulo 1: Erros em cálculo numérico 
1. Introdução 
Um método numérico é um método não analítico, que tem como 
objectivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de 
um certo problema. 
Ao contrário das metodologias analíticas, que conduzem a soluções 
exactas para os problemas, os métodos numéricos produzem, em geral, 
apenas soluções aproximadas. Por este facto, antes da utilização de 
qualquer método numérico é necessário decidir qual a precisão dos 
cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada. A 
precisão dos cálculos numéricos é também, como veremos, um importante 
critério para a selecção de um algoritmo particular na resolução de um 
dado problema. 
A diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exacto chama-
se erro. 
 
2. Fonte e tipos de erros 
A resolução de um problema de engenharia num computador utilizando 
um modelo numérico produz, em geral, uma solução aproximada do 
problema. A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida 
a vários factores. Em função da sua origem, podemos considerar quatro 
tipos de erros. 
 
i) Erros inerentes ao modelo: Um modelo matemático raramente oferece 
uma representação exacta dos fenómenos reais. Na grande maioria dos 
casos são apenas modelos idealizados, já que ao estudar os fenómenos 
da natureza vemo-nos forçados, em regra geral, a aceitar certas 
condições que simplificam o problema de forma a torná-lo tratável. 
 1
ii) Erros inerentes aos dados: Um modelo matemático não contém apenas 
equações e relações, também contém dados e parâmetros que, 
frequentemente, são medidos experimentalmente, e portanto, 
aproximados. As aproximações nos dados podem ter grande 
repercussão no resultado final. 
iii) Erros de truncatura: Muitas equações têm soluções que apenas 
podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser 
descrito como limite da solução em questão. Por definição, um 
processo infinito não pode ser completado, por isso tem de ser truncado 
após certo número finito de operações. Esta substituição de um 
processo infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros 
designado erro de truncatura. 
iv) Erros de arredondamento: Quer os cálculos sejam efectuados 
manualmente quer obtidos por computador somos conduzidos a utilizar 
uma aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em 
consideração um número finito de dígitos. O erro devido a desprezar os 
outros e arredondar o número é designado por erro de arredondamento. 
 
Erros inerentes ao modelo e erros inerentes aos dados são erros iniciais 
do problema, exteriores ao processo de cálculo; Os erros de truncatura e 
erros de arredondamento ocorrem no processo de cálculo duma solução 
numérica. 
 
3. Erros de truncatura 
Os erros de truncatura dependem do método numérico utilizado e por 
isso serão individualmente analisados ao estudar os vários métodos no 
decurso dos diferentes capítulos da disciplina. 
Vamos limitar aqui a análise a um exemplo concreto que ajuda a uma 
melhor percepção deste tipo de erros. 
 2
A generalidade dos métodos numéricos, como veremos ao longo da 
disciplina, são baseados na aproximação de funções por polinómios. Por 
essa razão, quando um erro de um método numérico é questionado, temos 
de verificar a precisão com que o polinómio aproxima a verdadeira 
função. 
Sabemos que o desenvolvimento de Taylor, que é uma série de 
potências infinita, representa de forma exacta uma função no interior de 
um intervalo de convergência. Comparando o desenvolvimento 
polinomial da solução numérica com o desenvolvimento em série de 
Taylor da solução exacta, particularmente determinado para que ordem 
ocorre a discrepância, torna-se possível avaliar o erro de truncatura. 
Consideremos uma função f contínua e com derivadas contínuas, de 
qualquer ordem, nas vizinhanças de uma abcissa x=a, então f pode ser 
representada de forma exacta e única em qualquer ponto x na vizinhança 
de x=a (mais exactamente, no intervalo ]a-R, a+R[ denominado intervalo 
de convergência; R é o raio de convergência da série para x=a) através da 
série de potências: 
 ...)(
!
)(...2)(
!2
)(''))((')()(
)(
+−++−+−+= nax
n
afaxafaxafafxf
n
 
designada por representação em série de Taylor. 
A expansão de Taylor de uma função para a=0 (corresponde a 
representar a função no intervalo ]-R, R[) é designada por série de 
MacLaurin. 
...
!
)0(...2
!2
)0('')0(')0()(
)(
+++++= nx
n
fxfxffxf
n
 
 
Exemplo: Representação em série de MacLaurin de ex, sin(x) e cos(x): 
∑∞
=
=+++++=
0
2
!
...
!
...
!2
1
i
in
x
i
x
n
xxxe ∑∞
=
−=+−+−=
0
2642
)cos(
)!2(
)1(...
!6!4!2
1
i
i
ix
i
xxxx
 3
∑∞
=
−−
−−=+−+−= 1
12
1
753
)sin(
)!12(
)1(...
!7!5!3 i
i
ix
i
xxxxx 
 
Nas aplicações praticas, a série de Taylor tem de ser truncada após um 
termo de certa ordem pois é impossível incluir um número infinito de 
termos. Se a série de Taylor for truncada após o termo de ordem n, será 
expressa como: 
 )()(
!
)(...2)(
!2
)(''))((')()(
1
)(
xRnax
n
afaxafaxafafxf
n
n
++−++−+−+= (1.1) 
em que Rn+1(x) representa o erro originado por truncar os termos de ordem 
n+1 e superiores. O erro pode ser expresso por: 
1
)1(
1
)(
)!1(
)()( +
+
+ −+=
n
n
n
ax
n
fxR ξ com a≤ξ≤x. 
Como ξ não pode ser determinado de forma exacta, o erro é 
frequentemente aproximado fazendo ξ=a. 
Fazendo h=x-a em (1.1) obtém-se: 
)(
!
)(...2
!2
)('')(')()(
1
)(
xRnh
n
afhafhafafahf
n
n
++++++=+ 
 
Exemplo: Da análise matemática sabem que existe o limite 
x
x
x
)1(lim 1+∞→ e que o seu valor é o número irracional e. Para que este 
número seja utilizado, é necessário conhecer o seu valor. Através da sua 
definição não é possível calcular o seu valor exacto, tanto pela 
complexidade das operações a efectuar como pela impossibilidade de 
atingir o limite. Recorre-se então a um processo de cálculo mais simples, 
que fornece um valor aproximado desse número dentro de um certo grau 
de precisão considerado satisfatório. 
Utilizando o desenvolvimento em série de Taylor de ex temos: 
 4
∑∑ ∞
=
∞
=
===
00
1
!
1
!
1
ii
i
ii
ee 
Truncando a série, por exemplo, após os oito primeiros termos obtemos 
7182539.2
!7
1...
!3
1
!2
111
!
17
0
=+++++== ∑
=i i
e 
cujas primeiras quatro casas decimais coincidem com o valor exacto de e. 
Quantos mais termos da série de Taylor tomarmos, mais nos aproximamos 
do valor exacto. 
O exemplo anterior ilustra um método numérico para o cálculo do 
número e entre outros possíveis. Utilizando a expansão em série de 
Taylor, truncamos a série infinita, utilizando uma soma parcial. Este tipo 
de erro motivado por truncar uma série - chamado erro de truncatura – é 
inerente à maioria dos métodos numéricos. 
 
4. Erros de arredondamento 
Os erros de arredondamento estão associados ao facto dos 
computadores utilizarem um número limitado de dígitos para 
representarem números. 
 
5. Valores aproximados, erros e precisão 
Quando um número real não pertence ao sistema de numeração dum 
computador é representado por um número desse sistema por 
arredondamento. A discrepância entre o valor real e o valor arredondado é 
denominado erro de arredondamento. Duas medidas podem ser utilizadas 
para o quantificar: o erro absoluto e o erro relativo. 
Seja x o valor aproximado duma quantidade cujo valor exacto é x. O 
erro de x , define-se como: xxx −=∆ . 
Define-se ainda erro absoluto dex , como o valor absoluto de x∆ , 
| x∆ |. 
 5
Exemplo: π=3.14159265... e π =
7
22 =3.14285714… donde π∆ = 
0.00126449… 
 
Nos números anteriores os ... indicam que os números possuíam mais 
dígitos, mas que nós não queremos ou não podemos continuar a 
representá-los. Uma situação deste tipo ocorre sempre que um número não 
pode ser representado por um número exacto de casas decimais. Sempre 
que no decurso dos cálculos ocorra uma situação análoga temos que 
decidir com quantos dígitos queremos trabalhar. Este aspecto é de 
particular importância quando de utilizamos computadores pois este retém 
apenas um número fixo de algarismos. 
Como estamos a lidar com aproximações, é necessário estabelecer 
critérios para avaliar o seu grau de precisão. 
No exemplo anterior, se estivéssemos a trabalhar com 3 casas decimais 
π =3.142 e π∆ =0.0004073...<0.5×10-3. 
Em geral, dizemos que x é o valor aproximado de x, arredondado para 
k casas decimais correctas sse: 
kxxx −×≤−=∆ 105.0 . 
A importância dum erro pode, em geral, ser melhor apreciada se o 
compararmos à quantidade a ser aproximada, ou seja, utilizando o erro 
relativo, 
x
xrx
∆= 
O erro relativo como expressa o erro como fracção de x está 
relacionado com o erro percentual, erro percentual ou percentagem de erro 
define-se como |rx|×100. 
 6
Na prática o que se utiliza é um limite superior de qualquer dos erros, 
uma vez que para conhecermos x∆ ou xr teríamos de conhecer o valor 
exacto de x. 
 
6. Propagação do erro 
O objectivo primordial do cálculo de erros consiste em dados os erros 
de um conjunto de quantidades, determinar o erro de uma dada função 
dessas quantidades. 
Dada uma função f(x, y, z) das variáveis x, y, z determinar um limite 
superior do valor absoluto do erro que vem para o valor da função, f , 
quando se utilizam os valores aproximados x , y , z . Este problema pode 
ser resolvido com base na fórmula de propagação do erro: 
zzyx
z
fyzyx
y
fxzyx
x
ff ∆+∆+∆≤∆ ),,(),,(),,( ∂
∂
∂
∂
∂
∂ 
 
Exemplo: Determinar um limite superior do erro absoluto do volume de 
uma esfera, 3
6
1 = V dπ , se o diâmetro é d=3.7±0.05 cm e π ≅ 3.14. 
Resolução: Considerando π e d como variáveis, calculemos as derivadas 
parciais: 
3
6
1 = V d∂π
∂ e 2
2
1 = V d
d
π∂
∂ 
Sendo 14.3=π e 7.3=d , utilizando a fórmula anterior temos que: 
dd
d
VdVV ∆+∆≤∆ ),(),( π∂
∂ππ∂π
∂ =
05.07.314.3
2
100159.0)7.3(
6
1 23 ××+ = 1.088 e portanto 
=±≅ ∆Vd V
6
1 = V 3π 3088.1508.26 cm± .
 7