Série de Taylor
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Série de Taylor


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Capítulo 1: Erros em cálculo numérico 
1. Introdução 
Um método numérico é um método não analítico, que tem como 
objectivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de 
um certo problema. 
Ao contrário das metodologias analíticas, que conduzem a soluções 
exactas para os problemas, os métodos numéricos produzem, em geral, 
apenas soluções aproximadas. Por este facto, antes da utilização de 
qualquer método numérico é necessário decidir qual a precisão dos 
cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada. A 
precisão dos cálculos numéricos é também, como veremos, um importante 
critério para a selecção de um algoritmo particular na resolução de um 
dado problema. 
A diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exacto chama-
se erro. 
 
2. Fonte e tipos de erros 
A resolução de um problema de engenharia num computador utilizando 
um modelo numérico produz, em geral, uma solução aproximada do 
problema. A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida 
a vários factores. Em função da sua origem, podemos considerar quatro 
tipos de erros. 
 
i) Erros inerentes ao modelo: Um modelo matemático raramente oferece 
uma representação exacta dos fenómenos reais. Na grande maioria dos 
casos são apenas modelos idealizados, já que ao estudar os fenómenos 
da natureza vemo-nos forçados, em regra geral, a aceitar certas 
condições que simplificam o problema de forma a torná-lo tratável. 
 1
ii) Erros inerentes aos dados: Um modelo matemático não contém apenas 
equações e relações, também contém dados e parâmetros que, 
frequentemente, são medidos experimentalmente, e portanto, 
aproximados. As aproximações nos dados podem ter grande 
repercussão no resultado final. 
iii) Erros de truncatura: Muitas equações têm soluções que apenas 
podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser 
descrito como limite da solução em questão. Por definição, um 
processo infinito não pode ser completado, por isso tem de ser truncado 
após certo número finito de operações. Esta substituição de um 
processo infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros 
designado erro de truncatura. 
iv) Erros de arredondamento: Quer os cálculos sejam efectuados 
manualmente quer obtidos por computador somos conduzidos a utilizar 
uma aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em 
consideração um número finito de dígitos. O erro devido a desprezar os 
outros e arredondar o número é designado por erro de arredondamento. 
 
Erros inerentes ao modelo e erros inerentes aos dados são erros iniciais 
do problema, exteriores ao processo de cálculo; Os erros de truncatura e 
erros de arredondamento ocorrem no processo de cálculo duma solução 
numérica. 
 
3. Erros de truncatura 
Os erros de truncatura dependem do método numérico utilizado e por 
isso serão individualmente analisados ao estudar os vários métodos no 
decurso dos diferentes capítulos da disciplina. 
Vamos limitar aqui a análise a um exemplo concreto que ajuda a uma 
melhor percepção deste tipo de erros. 
 2
A generalidade dos métodos numéricos, como veremos ao longo da 
disciplina, são baseados na aproximação de funções por polinómios. Por 
essa razão, quando um erro de um método numérico é questionado, temos 
de verificar a precisão com que o polinómio aproxima a verdadeira 
função. 
Sabemos que o desenvolvimento de Taylor, que é uma série de 
potências infinita, representa de forma exacta uma função no interior de 
um intervalo de convergência. Comparando o desenvolvimento 
polinomial da solução numérica com o desenvolvimento em série de 
Taylor da solução exacta, particularmente determinado para que ordem 
ocorre a discrepância, torna-se possível avaliar o erro de truncatura. 
Consideremos uma função f contínua e com derivadas contínuas, de 
qualquer ordem, nas vizinhanças de uma abcissa x=a, então f pode ser 
representada de forma exacta e única em qualquer ponto x na vizinhança 
de x=a (mais exactamente, no intervalo ]a-R, a+R[ denominado intervalo 
de convergência; R é o raio de convergência da série para x=a) através da 
série de potências: 
 ...)(
!
)(...2)(
!2
)(''))((')()(
)(
+\u2212++\u2212+\u2212+= nax
n
afaxafaxafafxf
n
 
designada por representação em série de Taylor. 
A expansão de Taylor de uma função para a=0 (corresponde a 
representar a função no intervalo ]-R, R[) é designada por série de 
MacLaurin. 
...
!
)0(...2
!2
)0('')0(')0()(
)(
+++++= nx
n
fxfxffxf
n
 
 
Exemplo: Representação em série de MacLaurin de ex, sin(x) e cos(x): 
\u2211\u221e
=
=+++++=
0
2
!
...
!
...
!2
1
i
in
x
i
x
n
xxxe \u2211\u221e
=
\u2212=+\u2212+\u2212=
0
2642
)cos(
)!2(
)1(...
!6!4!2
1
i
i
ix
i
xxxx
 3
\u2211\u221e
=
\u2212\u2212
\u2212\u2212=+\u2212+\u2212= 1
12
1
753
)sin(
)!12(
)1(...
!7!5!3 i
i
ix
i
xxxxx 
 
Nas aplicações praticas, a série de Taylor tem de ser truncada após um 
termo de certa ordem pois é impossível incluir um número infinito de 
termos. Se a série de Taylor for truncada após o termo de ordem n, será 
expressa como: 
 )()(
!
)(...2)(
!2
)(''))((')()(
1
)(
xRnax
n
afaxafaxafafxf
n
n
++\u2212++\u2212+\u2212+= (1.1) 
em que Rn+1(x) representa o erro originado por truncar os termos de ordem 
n+1 e superiores. O erro pode ser expresso por: 
1
)1(
1
)(
)!1(
)()( +
+
+ \u2212+=
n
n
n
ax
n
fxR \u3be com a\u2264\u3be\u2264x. 
Como \u3be não pode ser determinado de forma exacta, o erro é 
frequentemente aproximado fazendo \u3be=a. 
Fazendo h=x-a em (1.1) obtém-se: 
)(
!
)(...2
!2
)('')(')()(
1
)(
xRnh
n
afhafhafafahf
n
n
++++++=+ 
 
Exemplo: Da análise matemática sabem que existe o limite 
x
x
x
)1(lim 1+\u221e\u2192 e que o seu valor é o número irracional e. Para que este 
número seja utilizado, é necessário conhecer o seu valor. Através da sua 
definição não é possível calcular o seu valor exacto, tanto pela 
complexidade das operações a efectuar como pela impossibilidade de 
atingir o limite. Recorre-se então a um processo de cálculo mais simples, 
que fornece um valor aproximado desse número dentro de um certo grau 
de precisão considerado satisfatório. 
Utilizando o desenvolvimento em série de Taylor de ex temos: 
 4
\u2211\u2211 \u221e
=
\u221e
=
===
00
1
!
1
!
1
ii
i
ii
ee 
Truncando a série, por exemplo, após os oito primeiros termos obtemos 
7182539.2
!7
1...
!3
1
!2
111
!
17
0
=+++++== \u2211
=i i
e 
cujas primeiras quatro casas decimais coincidem com o valor exacto de e. 
Quantos mais termos da série de Taylor tomarmos, mais nos aproximamos 
do valor exacto. 
O exemplo anterior ilustra um método numérico para o cálculo do 
número e entre outros possíveis. Utilizando a expansão em série de 
Taylor, truncamos a série infinita, utilizando uma soma parcial. Este tipo 
de erro motivado por truncar uma série - chamado erro de truncatura \u2013 é 
inerente à maioria dos métodos numéricos. 
 
4. Erros de arredondamento 
Os erros de arredondamento estão associados ao facto dos 
computadores utilizarem um número limitado de dígitos para 
representarem números. 
 
5. Valores aproximados, erros e precisão 
Quando um número real não pertence ao sistema de numeração dum 
computador é representado por um número desse sistema por 
arredondamento. A discrepância entre o valor real e o valor arredondado é 
denominado erro de arredondamento. Duas medidas podem ser utilizadas 
para o quantificar: o erro absoluto e o erro relativo. 
Seja x o valor aproximado duma quantidade cujo valor exacto é x. O 
erro de x , define-se como: xxx \u2212=\u2206 . 
Define-se ainda erro absoluto de