Cálculo I - Revisão Funções Trigonométricas

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
ARCOS E ÂNGULOS:
Medindo arcos de circunferência: A medida do comprimento de um arco de
circunferência pode ser feita utilizando-se qualquer das unidades usadas para medir seu raio,
como o metro, o centímetro, etc. No entanto, as unidades mais comumente usadas são o grau e o
radiano.
A unidade grau:
Um grau (10) corresponde a _1_ da circunferência onde está o arco a ser m~dido.
360
Portanto a circunferência tem 360°.
Conhecemos também os submúltiplos do grau, estabelecidos no sistema de base 60:
minuto (de arco) e segundo (de arco). Então:
Um grau tem 60 minutos
1°= 60'
Um minuto tem 60 segundos
1'= 60"
A unidade radianos:
Chama-se radiano o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência
que o contém. I I
1 radiano = 1 rad
Relembrando; o comprimento da circunferência mede C = 2m onde r é o raio.
Uma vez que o raio (r) de uma circunferência é tomado como instrumento de medida, r
é tomado como 1 unidade de medida (raio=l) e denominado raio unitário.
Logo: C = 2m
C = 21fl => C = 21f rad
assim:
3600 21f rad
1800 1f rad
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Consideremos uma circunferência de raio unitário (r=l ), cujo centro coincide com a
origem de um sistema cartesiano ortogonal.
y
-1
Esta estrutura, juntamente com as convenções a seguir, é chamada de circunferência
trigonométrica.
Convenções :
(I) O ponto A(I,O) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência.
(lI) Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o
sinal negativo (-).
(III) Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído
o sinal positivo (+).
(IV) Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas
quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A.
y
lia
A
o <, xI;}JV/ ~ Origemdos arcos
-------
Como a circunferência tem 3600 ou 21trad, cada um desses arcos medem 900 ou 1t/2 rad.
OBS: Se temos um arco de origem A e extremidade E, ele pode assumir infinitos valores,
dependendo do número de voltas no sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (-).
Exemplo:
3" 7•• 8·
"2""2
Seno e Co-seno na Circunferência Trigonométrica
Definição:
Dado um arco trigonométrico AM de medida a, chama-se de co-seno de a a abscissa do
ponto M e seno de a a ordenada do ponto M.
Valores notáveis de seno e co-seno:
00 900 1800 2700 3600
Sen O 1 O -1 O
Cos 1 O -1 O 1
Variação de sinal do seno e do co-seno.
VU"lO
j
Tangente na Circunferência Trigonométrica
Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A.
8
tg a"'" AT
B'
o prolongamento do raio OM intercepta a reta t no ponto T. Chamaremos a reta t de eixo das
tangentes; assim:
Dado um arco trigonométrico AM, M $B e M $B', de medida a, chama-se tangente
de a (tg a) a ordenada do ponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio OM com o
eixo das tangentes.
OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B', pois os prolongamentos dos raios
- -
OB e OB', não interceptam o eixo das tangentes. Por isso dizemos que não existe tangente de
um arco com extremidade em B ou B'.
Variação do sinal da@t~ge:e_
----
+1-
I
I
Alguns valores de seno, co-seno e tangente:
30° 45° 60°
Sen 1 J2 J3- - -
2 2 2
2
Cos J3 12 1- - -
2 2 i 2
Tg J3 1 J3
-
3
~ S~
CoS {~!Dú
!
Y2- ~ ~1300
~c5" W~~ ~
0DP ~ YJ., ~
Secante. cossecante e cotangente
Definições:
Se a é a medida de um arco, ou ângulo qualquer, então:
./ Secante de a (sec a) é o inverso do cos a.
1seca=--
cosa
./ Cossecante de a (cossec a) é o inverso de sen a.
1cosseca=--
sena
./ Cotangente de a (cotg a) é o inverso de tg a.
1cotga=-
tga ,tg a * O ou cosacotga=--sena sen a * O
Outras identidade importantes:
sen 2 X + cos 2 X = 1; senxtgx=--;
cosx
cos sec 2 x = 1+ cot g 2 X
FUNCÃOSENO
Definição: Chama-se função seno a função definida de iR em iR por f(x) = sen x .
Gráfico:
1·-----.
3
x: ~<V\Á.J
() o
gO· A
No" O
;z,id - À
3?;;d O
D(f)=
Im(f)=
O gráfico dej(x)= sen x é chamado senáide.
Podemos dizer que a funçãoj(x)=sen x repete-se periodicamente de 21t em 21t, isto é, é
uma função periódica de período igual a 21t, ou seja,
sen x = sen(x + 2Jr) = sen(x+ 4Jr) = 000 = sen(x + ko2Jr) k E Z o
Exemplos:
1) Esboçar o gráfico dej(x)=l+sen x
2) Esboçar o gráfico dej(x)=3sen x.
3) Esboçar o gráfico dej(x)=sen(3x) no intervalo [O, 21t]o
OBS: O período da função y=sentkx) é dado por 2Jr , (k"* O)
I kl
FUNÇÃO COSSENO
4
i
Definição: Chama-se função cosseno a função definida de 9t em 9t por f(x) = cosx.
Gráfico:
D(±)=
Im(±)=
O gráfico dej(x)= cos x é chamado cossenóide.
Podemos dizer que a funçãoj(x)=cos x repete-se periodicamente de 21[ em 21[, isto é, é
uma função periódica de período igual a 21[.
Exemplos:
1) Esboçar o gráfico dej(x)=2cos x.
OBS: Temos aqui a mesma observação sobre o período da função f(x)=cos(kx) já feita
para a função f(x)=sen(kx)
2) Esboçar o gráfico de f(X)=co{%) no intervalo [O, 21[].
FUNÇÃO TANGENTE
Definição: Chama-se função tangente a função definida para x*- 7r + kn; k E Z por
2
f(x) = tg x.
5
Gráfico:
O(t)=
Im(t)=
A funçãof(x)=tg x tem período igual a n ..
Exemplos:
1) Esboçar o gráfico def(x)=l+tg x
2) Esboçar o gráfico def(x)=tg 3x
LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCíCIOS
Esboçar o gráfico, determinar o domínio, a imagem e o período das seguintes funções:
a) y = -2 + sen x
b) y = 2+senx
c) y = 2sen x
d) y = sen(f)
e) y = sen(x + n-)
t) y=sene; )
g) y = l-senx
6
h) Y = sen(; -X)
i) y = cos2x
j) Y=CO{x- ~)
k) y = -l+cosx
1) y=CO{%)
m) y = 2 -cosx
n) y = tg4x
o) y =tg(%)
p) y = tg(2X+ ~)
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