Baixe o app para aproveitar ainda mais
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Métodos Numéricos e Computacionais Unidade - 1 Prof.: Silvio Alves CEFET – MG Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Introdução à computação numérica Definição e motivação. Etapas na solução de um problema numérico. Notação algorítmica e notação atemática. Complexidade computacional. Tipos de erros. Conversão de números para os sistemas decimal e binário. Aritmética de ponto flutuante 2 1. Definição e motivação. Métodos numéricos e computacionais são uma metodologia para resolver problemas matemáticos por intermédio de um computador. Temos sempre uma solução numérica, mesmo quando não existe solução analítica. Obtem-se resultados aproximados. Exemplo: 2. Etapas na solução de um problema numérico 2.1 Definição do problema Define-se qual é o problema real a ser resolvido. Exemplo: Dado encontre 2.2 Modelagem matemática O problema real é transformado no problema original através de uma formulação matemática. Normalmente, o problema original tem mais solução do que o problema real. Exemplo: No exemplo anterior temos 2.3 Solução numérica Inicialmente escolhe-se o método numérico a ser utilizado. Nesta etapa temos: Elaboração do algoritmo; Codificação do programa; Processamento do programa. 2.4 Análise dos resultados Verifica-se se solução numérica é adequada ao problema real. Caso não seja satisfatória a solução encontrada deve-se escolher outro problema original através de nova formulação matemática. 3. Notação algorítmica e notação matemática 3.1 Notação algorítmica Descreve-se um algoritmo para resolver o problema real levando em consideração apenas aspectos de raciocínio lógico, sem apresentar detalhes da implementação. 3.1.1 Estrutura do algoritmo Algoritmo <nome do algoritmo> {Objetivo: <objetivo do algoritmo>} Parâmetros de entrada <a,b,c,...> Parâmetros de saída <x,y,z, ...> : . Fim algoritmo 3.1.2 Variáveis e comentários Variável: local onde armazenaremos determinado valor. Pode ser um número, matriz, vetor, etc. Comentário: é um texto utilizado para descrever qualquer parte do algoritmo, tornando-o mais claro. 3.1.3 Expressões e comandos de atribuição Podem ser aritméticas, lógicas e literais. Utilizamos o símbolo para atribuir o resultado de uma expressão a uma variável. <variavel> <expressão> Aritméticas: sen, cos, tan, sec, exp, abs, max, min, resto, etc. 11 Lógicas: >, <, =, .., e, ou, não. Literais: Formada por operadores literais e operandos, os quais são constantes e ou variável do tipo literal. Exemplo: x {m,a,r,i,a}. 3.1.4 Comandos de entrada e saída Entrada: leia<lista de variáveis> Saída: escreva <lista de variáveis> 3.1.5 Estruturas condicionais Estrutura condicional simples: se<condição>então <comandos> Fim se Estrutura condicional composta: se<condição>então <comandos_1> senão <comandos_2> Fim se 3.1.6 Estruturas de repetição Número indefinido de repetições: Repita <comandos_1> Se <condição> então Interrompa Fim se <comandos_2> Fim repita <comando_3> Número definido de repetições: Para <controle> <valor inicial> até <valor final> passo 2 faça <comandos> Fim para 3.1.7 Falha no algoritmo Utilizado para indicar que há uma falha no algoritmo, tipo divisão por zero, uso inapropriado de parâmetros, etc. Comando: abandone. Exemplo de algoritmo Considere o vetor x={1,2,1,3,4,2,3,5,6,1,2} de tamanho n. Calcule a média aritmética de x. Algoritmo media {Objetivo: calcular a média aritmética de x} Parâmetro de entrada: x Parâmetro de saída: media Soma 0 Para i 1 até n faça Soma soma + x(i) Fim para media soma/n Escreva media Fim algoritmo Notação matemática É a modelagem matemática do problema real. Definida a notação matemática através de expressões aritméticas e lógicas devemos transformá-la em notação algorítima. Exemplo: 4. Complexidade computacional A complexidade computacional de um algoritmo se refere à estimativa do esforço computacional despendido para resolver o problema. É medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas efetuadas para resolver um sistema linear de ordem n. Pode-se também utilizar o tempo para executar o algoritmo. 5. Tipos de erros Durante a solução de um problema podemos cometer vários erros: Erro de truncamento: erro devido à aproximação de uma fórmula por outra. Exemplo: Como não conseguimos efetuar a soma infinitas vezes então devemos fazer um truncamento considerando n variando de 0 até t. Assim Quanto maior o valor de t melhor será a aproximação. Erro absoluto e erro relativo: Podemos mensurar o erro de forma absoluta: erro absoluto=valor real – valor aproximado Ou podemos mensurar de forma relativa: Erro na modelagem: modelo não representa bem os dados. Erro grosseiro: erro na elaboração do algoritmo, na sua implementação ou na digitação de dados. Erro de arredondamento: erro na representação dos dados considerando a transformação de cada número em base 2. 6. Conversão de número para os sistemas decimal e binário Considere o número x na base decimal, 10. Para transformar este número em base binária, base 2, basta fazer sucessivas divisões deste número por 2. Simbologia: : x na base 10 : x na base 2. Exemplo 1: Transfome para base 2. Solução: Basta fazer sucessivas divisão por 2. Assim, Considerando o último quociente e os demais restos teremos: Exemplo 2: Transforme o número 125 para a base 2. Solução: Assim, 7. Aritmética de ponto flutuante A vírgula separa a parte inteira da parte decimal; Ponto flutuante representa vírgula flutuante; Para compreender os erros faz-se necessário conhecer como os números são armazenados em um computador; Exemplo: 12,34 representa um ponto fixo e representa um ponto flutuante pois a vírgula não está fixa; Um ponto flutuante tem a forma geral dada por Onde são dígitos da parte fracionária; B é o valor da base; p é o número de dígitos; e é um expoente inteiro; Exemplos: Podemos representar um número usando ponto flutuante de acordo com a quantidade de casas decimais . Exemplos: A precisão é uma das causas de erros. Exemplo: Somar 234 e 3,2. Precisão de dois dígitos Precisão de três dígitos Logo, considerando todas as mantissas Se considerarmos a mantissa de tamanho 2 teremos Exercícios Livro Algoritmo numéricos , página 27 1.11 1.12 1.13 Escrever um algoritmo que efetua a soma de números entre 1 até n. Escrever um algoritmo que efetua a soma de todos os números ímpares entre 100 e 1000.
Compartilhar