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373979-1_MNC-Introdução

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Métodos Numéricos e Computacionais
Unidade - 1
Prof.: Silvio Alves
CEFET – MG
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
Introdução à computação numérica
Definição e motivação.
Etapas na solução de um problema numérico.
Notação algorítmica e notação atemática.
Complexidade computacional.
Tipos de erros.
Conversão de números para os sistemas decimal e binário.
Aritmética de ponto flutuante
2
1. Definição e motivação.
Métodos numéricos e computacionais são uma metodologia para resolver problemas matemáticos por intermédio de um computador. 
Temos sempre uma solução numérica, mesmo quando não existe solução analítica.
Obtem-se resultados aproximados.
Exemplo: 
2. Etapas na solução de um problema numérico
2.1 Definição do problema
		Define-se qual é o problema real a ser resolvido.
Exemplo: Dado encontre
2.2 Modelagem matemática
		O problema real é transformado no problema original através de uma formulação matemática.
		Normalmente, o problema original tem mais solução do que o problema real.
Exemplo: No exemplo anterior temos
2.3 Solução numérica
 		Inicialmente escolhe-se o método numérico a ser utilizado. Nesta etapa temos:
Elaboração do algoritmo;
Codificação do programa;
Processamento do programa.
2.4 Análise dos resultados
		Verifica-se se solução numérica é adequada ao problema real. 
		Caso não seja satisfatória a solução encontrada deve-se escolher outro problema original através de nova formulação matemática.
3. Notação algorítmica e notação matemática
3.1 Notação algorítmica
		Descreve-se um algoritmo para resolver o problema real levando em consideração apenas aspectos de raciocínio lógico, sem apresentar detalhes da implementação.
3.1.1 Estrutura do algoritmo
Algoritmo <nome do algoritmo>
{Objetivo: <objetivo do algoritmo>}
Parâmetros de entrada <a,b,c,...>
Parâmetros de saída <x,y,z, ...>
:
.
Fim algoritmo
3.1.2 Variáveis e comentários
Variável: local onde armazenaremos determinado valor. Pode ser um número, matriz, vetor, etc.
Comentário: é um texto utilizado para descrever qualquer parte do algoritmo, tornando-o mais claro.
3.1.3 Expressões e comandos de atribuição
		Podem ser aritméticas, lógicas e literais.
		Utilizamos o símbolo para atribuir o resultado de uma expressão a uma variável.
<variavel> <expressão>
Aritméticas: sen, cos, tan, sec, exp, abs, max, min, resto, etc.
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Lógicas: >, <, =, .., e, ou, não.
Literais: Formada por operadores literais e operandos, os quais são constantes e ou variável do tipo literal. 
Exemplo: x {m,a,r,i,a}.
3.1.4 Comandos de entrada e saída
Entrada: leia<lista de variáveis>
Saída: escreva <lista de variáveis>
3.1.5 Estruturas condicionais
Estrutura condicional simples: 
se<condição>então
<comandos>
Fim se
Estrutura condicional composta: 
se<condição>então
<comandos_1>
senão 
<comandos_2>
Fim se
3.1.6 Estruturas de repetição
Número indefinido de repetições:
Repita
<comandos_1>
Se <condição> então
Interrompa
Fim se
<comandos_2>
Fim repita
<comando_3>
Número definido de repetições:
Para <controle> <valor inicial> até <valor final> passo 2 faça 
<comandos>
Fim para
3.1.7 Falha no algoritmo
		Utilizado para indicar que há uma falha no algoritmo, tipo divisão por zero, uso inapropriado de parâmetros, etc.
Comando: abandone.
Exemplo de algoritmo
Considere o vetor x={1,2,1,3,4,2,3,5,6,1,2} de tamanho n. Calcule a média aritmética de x.
Algoritmo media
{Objetivo: calcular a média aritmética de x}
Parâmetro de entrada: x
Parâmetro de saída: media
Soma 0
Para i 1 até n faça
Soma soma + x(i) 
Fim para
media soma/n
Escreva media
Fim algoritmo
Notação matemática
É a modelagem matemática do problema real. 
Definida a notação matemática através de expressões aritméticas e lógicas devemos transformá-la em notação algorítima.
Exemplo:
4. Complexidade computacional
A complexidade computacional de um algoritmo se refere à estimativa do esforço computacional despendido para resolver o problema.
É medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas efetuadas para resolver um sistema linear de ordem n.
Pode-se também utilizar o tempo para executar o algoritmo.
5. Tipos de erros
Durante a solução de um problema podemos cometer vários erros:
Erro de truncamento: erro devido à aproximação de uma fórmula por outra.
Exemplo: 
Como não conseguimos efetuar a soma infinitas vezes então devemos fazer um truncamento considerando n variando de 0 até t. Assim
Quanto maior o valor de t melhor será a aproximação.
Erro absoluto e erro relativo:
Podemos mensurar o erro de forma absoluta:
 
erro absoluto=valor real – valor aproximado
Ou podemos mensurar de forma relativa:
Erro na modelagem: modelo não representa bem os dados.
Erro grosseiro: erro na elaboração do algoritmo, na sua implementação ou na digitação de dados.
Erro de arredondamento: erro na representação dos dados considerando a transformação de cada número em base 2.
6. Conversão de número para os sistemas decimal e binário
		Considere o número x na base decimal, 10. Para transformar este número em base binária, base 2, basta fazer sucessivas divisões deste número por 2.
Simbologia: : x na base 10
 : x na base 2.
Exemplo 1: Transfome para base 2. 
Solução: Basta fazer sucessivas divisão por 2. Assim,
Considerando o último quociente e os demais restos teremos:
 
Exemplo 2: Transforme o número 125 para a base 2.
Solução: 
Assim, 
7. Aritmética de ponto flutuante
 A vírgula separa a parte inteira da parte decimal;
Ponto flutuante representa vírgula flutuante;
 Para compreender os erros faz-se necessário conhecer como os números são armazenados em um computador;
Exemplo: 12,34 representa um ponto fixo e 
 representa um ponto flutuante pois a vírgula não está fixa; 
		Um ponto flutuante tem a forma geral dada por
Onde 
 são dígitos da parte fracionária;
 B é o valor da base;
 p é o número de dígitos;
 e é um expoente inteiro;
Exemplos: 
Podemos representar um número usando ponto flutuante de acordo com a quantidade de casas decimais .
Exemplos:
 A precisão é uma das causas de erros. Exemplo: Somar 234 e 3,2.
Precisão de dois dígitos
Precisão de três dígitos
Logo, considerando todas as mantissas
Se considerarmos a mantissa de tamanho 2 teremos
Exercícios
Livro Algoritmo numéricos , página 27
 1.11
 1.12
 1.13
 Escrever um algoritmo que efetua a soma de números entre 1 até n.
 Escrever um algoritmo que efetua a soma de todos os números ímpares entre 100 e 1000.

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