Relatório da ponte de palitos

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Gleiciane Souza Ribeiro
Matheus Villela Ciotti
Meison David Rocha
PONTE TRELIÇADA
Ponte Treliçada
Ouro Branco,
2018
Gleiciane Souza Ribeiro
Matheus Villela Ciotti
Meison Rocha
Mecânica Vetorial
Ponte Treliçada
Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de São João Del Rei, como requisito parcial para obtenção de créditos na disciplina de Mecânica Vetorial.
Prof. Alexandre Galvão.
Ouro Branco,
2018
1 INTRODUÇÃO
As pontes são estruturas de interligar pontos de mesmo nível separados por diversos tipos de obstáculos naturais. Desde o início da humanidade elas são utilizadas, como por exemplo, em civilizações que as faziam com madeiras e amarras em vales no meio das florestas para permitir a travessia de rios e penhascos. Com o passar do tempo essas construções, realizadas de maneira primitiva, deram lugar para o concreto e ferro, utilizados no mundo todo. A Figura 1, a seguir, evidencia uma ponte ferroviária, com treliças tipo Warren, localizada na Grã Bretanha.
Figura 1
Fonte: https://br.depositphotos.com/43317225/stock-photo-warren-truss-type-railway-bridge.html
De fabricação e montagem bastante simples, as treliças são estruturas muito rígidas que transferem a carga a partir de um ponto único a uma área muito mais ampla, e isso garante a absorção do peso e do impacto. As pontes de treliças apenas irão ocupar um espaço maior em comparação com outros modelos, já que suas vigas de ação ocupam uma extensão vinte vezes maior do que os cabos de aço.
Tais construções apresentam robustez considerável e até mesmo as menores delas estão sujeitas as influências do ambiente, solicitações de carregamento e características dos matérias, sendo então, necessário um estudo profundo de engenharia para a execução de um projeto. As pontes devem ser capazes de resistir a deformações (dilatação pelo aumento de temperatura), flexões, torções e vibrações, tendo como destaque a ressonância, além de questões como a durabilidade e o desgaste natural de seus materiais.
2 OBJETIVOS
Este projeto tem como objetivo a construção e o teste de carga de uma ponte treliçada, utilizando palitos de picolé. A ponte deve ser capaz de vencer um vão de 1 metro, estando apoiada livremente nas suas extremidades (10 cm de cada lado), totalizando uma ponte de 1,20 metros. A ponte deverá ter a largura de 1 palito de picolé (aproximadamente 11 cm), ao longo de todo seu comprimento. A construção da ponte deverá ser precedida da análise estrutural de algumas opções possíveis de tipos de pontes, do projeto detalhado da ponte e a estimativa da carga de colapso. 
Tudo isso objetivando aplicar os conhecimentos básicos de Mecânica vetorial para resolver os problemas de Engenharia, projetar sistemas estruturais simples, colocar em prática o que é dado em sala e estimular a criatividade de cada um dos membro do grupo.
3 MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 Materiais
Para a execução do projeto, foi utilizado os seguintes materiais:
Palito de picolé;
Cola para madeira (Tek Bond);
Pregadores;
A seguir na tabela 1 é mostrado as características da ponte:
Tabela 1 - Características da ponte
	Características
	Valor
	Comprimento
	1260mm
	Altura
	91,24mm
	Largura
	115mm
	N° de Palitos
	448
Os dados a seguir foram extraídos do slide de instrução de regras do projeto:
Resistência à tração do palito é de 882,9 N 
Resistência à compressão de um palito de 11.0mm de comprimento é de 4,9 kgf. ou 33,6 N 
Resistência à compressão de uma composição formada por dois palitos de 110mm de comprimento colados (dimensão final da composição 110 mm X 4 mm X 8,4 mm) 268,6 N
3.2 Métodos
Após encontras o valor das reações de apoio da estrutura, foi utilizado o método de equilíbrio de nós no cálculo das forças de cada barra. Este método permite determinar os esforços em todas as barras que constituem o SAP através do equilíbrio sucessivo de cada um dos seus nós carregado pelas forças exteriores, reações ou forças interiores (esforços) das barras que nele convergem. O equilíbrio de cada nó é assegurado apenas por 2 equações de equilíbrio (equilíbrio de forças concorrente e coplanares):
 (1)
 (2)
O método desenvolve-se, então, de acordo com os seguintes passos: 
Cálculo das reações de apoio do SAP; 
Subdivisão do SAP nas suas várias barras e nos seus vários nós. Como cada barra é uma biela, apenas estará sujeita a um esforço constante segundo o seu eixo cujo sentido deve ser inicialmente arbitrado; 
Definição do equilíbrio de cada nó, estando cada nó sujeito a uma força de cada barra que nele concorre, às reações de apoio que nele igualmente concorrem e às forças exteriores diretamente aplicadas no nó. Por exemplo, considere-se o seguinte SAP sujeito ao carregamento e às reações de apoio representados.
Por exemplo, considere-se o seguinte SAP sujeito ao carregamento e às reações de apoio representados.
A subdivisão da estrutura nas suas várias barras e nos seus vários nós corresponde à figura a seguir representada onde se identificam, igualmente, os esforços das diversas barras cujos sentidos, de tração ou de compressão, são arbitrários. A determinação dos esforços N1, N2 e N3 passa, então, pela definição de 2 equações de equilíbrio em cada nó (∑ ∑ F F x y = = 0, 0). Após a determinação das reações de apoio, verifica-se que nesta estrutura apenas subsistem 3 incógnitas ( N1 , N2 e N3 ) para o cálculo das quais apenas 3 equações de equilíbrio são necessárias, sendo que o equilíbrio dos nós A, B e C permite definir um total de 6 equações de equilíbrio, verifica-se que neste caso não seria necessário realizar o equilíbrio de todos os nós para resolver a estrutura. 
3.3 Análise da Treliça Utilizada
Para a estrutura da ponte foi utilizado à treliça tipo Warren, que é composta por triângulos em toda sua estrutura.
Através de princípios geométricos (lei dos senos) é possível verificar que o triangulo é a única forma poliédrica que não pode alterar sua forma sem igualmente alterar o comprimento dos seus lados. Portanto, um SAP rígido formado por um triangulo não sofrerá qualquer deslocamento por ação do seu peso ou por ação de outras forças exteriores, ao contrário do que acontece com outras formas geométricas.
Observando-se as barras que formam um SAP rígido, verifica-se que por terem as suas extremidades articuladas e apenas serem carregadas nos seus nós, obedecem à definição de biela. Biela pode ser definida como “barra destinada a transmitir movimento entre duas peças articuladas em suas extremidades, segundo eixos paralelos.” Como tal, as barras de um SAP apenas terão esforços segundo o seu eixo e com dois sentidos possíveis. Caso os esforços sejam orientados para o exterior da barra, diz-se que esta está em tração e caso sejam orientados para o interior da barra, diz-se que esta está em compressão.
Em termos de convenção de sinais, é usual admitir que uma barra tracionada está sujeita a um esforço positivo, enquanto que uma barra comprimida, a um esforço negativo. Esta convenção não deve, no entanto, interferir com a convenção de sinais arbitrada para a definição das equações de equilíbrio que permitem resolver a estrutura.
Quando uma força é exercida pontualmente sobre um nó de um elemento triangular, ela se distribui pelas barras que formam os lados do triangulo até atingir um equilíbrio em cada nó entre as forças de cada barra que convergem nesse nó. Devido ao fato das diversas barras serem bielas, o seu equilíbrio corresponde a terem esforços apenas segundo o seu eixo, não sendo necessário qualquer elemento adicional para garantir a sua estabilidade (o que explica porque a maioria dos telhados de edifícios é triangular). A figura 2 representa o tipo de estrutura utilizado no projeto.
Figura 2
Fonte: Dos autores do projeto, 2018.
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Observando a estrutura montada, pode-se analisar o tipo de treliçaobtida pelo número de barras, nós (tabela 2) e a limitação que os apoios apresentam:
Tabela 2 - Contagem dos componentes
	Nós
	19
	Barras
	35
	Reações de apoio
	3
Aplicando a equação (3):
 (3)
Em que n é o número de nós, b o de barras e v o de reações de apoios, temos:
 
Dessa forma, tem-se uma estrutura isostática.
Para efeito de cálculo considerou-se que a carga de 100 kg, equivalente a 1KN, se divide de forma uniforme entre as duas estruturas treliçadas que compõe a ponte, logo o cálculo da carga deve ser dividido por dois, metade em cada face: 100 Kg = 1000N > 1000N/2 = 500N. Além disso, admitiu-se que a estrutura será apoiada em vínculos móveis para o cálculo das reações de apoio e dos esforços normais em cada barra. Com tal força de 0,5 Kn aplicada em cada face da ponte, é possível calcular as reações de apoio da ponte, nominada de Rax, Ray e Rby.
 (1)
 (2)
 
 (4)
Nesse sentido, para realização desses cálculos, utilizou-se da forma manual (manuscrita) e também utilizou-se o software Ftool. Este programa obedece a convenção padrão de sinais, isto é, solicitações de tração são positivas e de compressão negativas. Todavia, o programa necessita que o usuário forneça alguns dados de entrada, como o material, o tipo de seção e a carga concentrada, localizada no centro da treliça. A figura 3, abaixo evidencia as barras enumeradas e a figura 4 evidencia o diagrama de esforços obtidos para um lado da ponte.
Figura 3 
Fonte: Dos autores do projeto, 2018.
Figura 4
Fonte: Dos autores do projeto, 2018.
Como em todo projeto, há um coeficiente de segurança. Por isso a ponte foi calculada para suportar uma carga de 100kgf, mas a expectativa é que a ruptura ocorra em 90kgf. Abaixo (tabela 3) será mostrado a tabela contendo o valor de palitos usado em cada barra.
Tabela 3 - Forças normais, tamanho e n° de palitos
	Barra
	Esforço (Kn)
	Tamanho(mm)
	Número de palitos
	1
	Compressão: 0,3151
	115
	3
	2
	Tração: 0,1918
	140
	1
	3
	Compressão: 0,3836
	140
	3
	4
	Tração: 0,3151
	115
	1
	5
	Tração: 0,5754
	140
	1
	6
	Compressão: 0,3151
	115
	3
	7
	Compressão:0,7672
	140
	3
	8
	Tração:0,3151
	115
	1
	9
	Compressão: 0,3151
	115
	3
	10
	Tração: 0,9590
	140
	2
	11
	Tração: 0,3151
	115
	1
	12
	Compressão: 1,1508
	140
	4
	13
	Compressão: 0,3151
	115
	3
	14
	Tração: 1,3426
	140
	2
	15
	Tração: 0,3151
	115
	1
	16
	Compressão: 1,5344
	140
	4
	17
	Compressão: 0,3151
	115
	3
	18
	Tração: 1,5344
	140
	2
	19
	Tração: 0,3151
	115
	1
	20
	Compressão: 1,5344
	140
	4
	21
	Tração: 0,3151
	115
	1
	22
	Tração: 1,3426
	140
	2
	23
	Compressão: 0,3151
	115
	3
	24
	Compressão: 1,1508
	140
	4
	25
	Tração: 0,3151
	115
	1
	26
	Tração: 0,9590
	140
	2
	27
	Compressão: 0,3151
	115
	3
	28
	Compressão: 0,7672
	140
	3
	29
	Tração: 0,3151
	115
	1
	30
	Tração: 0,5754
	140
	1
	31
	Compressão: 0,3151
	115
	3
	32
	Compressão: 0,3836
	140
	3
	33
	Tração: 0,3151
	115
	1
	34
	Tração: 0,1918
	140
	1
	35
Total
	Compressão: 0,3151
	115
	3
78
Notamos que ao adicionar um palito a resistência a compressão aumenta para 268,6 N, a junção de 3 palitos da 906,57N e na junção de 4 passa para 2148,67N. Assim o número máximo de palitos será de 4, nos ponto em que a compressão está acima de 906,50 N. E em pontos onde a tração é maior que 882,9 N, foi utilizado 2 palitos. 
Esses cálculos foram feitos a partir de uma face da ponte, visto que o outro lado é idêntico e pode-se usar os mesmos valores. Foi notado que para um lado da ponte, foi utilizado o total de 78 palitos, como são dois lados iguais, multiplica o valor por dois, que é igual a 156 palitos, para a parte inferior foram utilizados 150 palitos e para parte superior 141 palito. Somando, no total utilizamos 448 palitos. E perdemos em torno de 100 palitos, pois foi realizado uma seleção de palitos e separados os bons dos quebrados ou tortos.
5 CONCLUSÃO
Através deste trabalho, foi possível verificar como funciona o processo de construção de uma ponte, bem como os conceitos de Mecânica Vetorial, podendo analisar de que forma os esforços atuam de fato em uma estrutura real.
Com os cálculos e análises realizadas, espera-se que a ponte aguente a carga estipulada no projeto, no entanto, é importante ressaltar que os cálculos são baseados em aproximações, uma vez que os palitos não são uniformes e não é levada em consideração a cola utilizada para juntá-los. Assim pode ocorrer resultados inesperados devido ao fator da colagem, mas, pensando nisso a estrutura foi reforçada.
A construção de um modelo de ponte utilizando palitos de picolé, apesar de um processo aparentemente simples, agrega uma imensa gama de conhecimento, haja vista necessitar de um estudo detalhado das propriedades do material (no caso, madeira), bem como analisar as vantagens e desvantagem da geometria a ser empregada. 
REFERÊNCIAS
HIBBELER, R.C. Resistência dos materiais. 5.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 200;
SCHMIDT, Richard J., BORESI, Arthur P. “Formulações Alternativas do equilíbrio de Forças Coplanares” In: Estática. Ed. Thomson Pioneira, São Paulo, 2003, p. 160 – 163;
RLT ENGENHARIA. Disponível em http://rltengenharia.blogspot.com/2015/11/trelicas-classificacao.html. Acesso em 02/11/2018 às 13h 29min
FACULDADE de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp. Disponível em < http://www.fec.unicamp.br >. Acesso em 05/11/2018 às 09h 32 mim;
Universidade Federal de Uberlândia, Engenharia Civil. Disponível em http://www.civil.uminho.pt/revista/artigos/n38/Artigo%201%20(Pag.5-16).pdf. Acesso em 06/11/2018 às 22h 11min;