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Apostila_Funçoes_Integrais

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CÁLCULO III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luly Rodrigues 
 
Profª. Edna Alves Oliveira 
 
 
- 2015 - 
UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA 
 
Cálculo III 
2 
FFUUNNCCÕÕEESS DDEE VVÁÁRRIIAASS VVAARRIIÁÁVVEEIISS IINNDDEEPPEENNDDEENNTTEESS 
 
1. DEFINIÇÕES: 
Considere o exemplo: "uma caixa d'água na forma retangular, com capacidade para 
256 litros, sem tampa, deve ser construída com chapa de ferro galvanizado de 
espessura desprezível. Calcular as dimensões da caixa de maneira que seja mínima a 
quantidade de chapa metálica necessária para construí-Ia". 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 -Caixa d'água retangular 
 
A quantidade de chapa metálica necessária para construir a caixa d'água será 
determinada pela área total: Atotal = 2xz + xy + 2yz - a cada terno de valores 
atribuídos a x, y, e z (domínio) corresponde um valor da área total (imagem). Dizemos 
que a área total (Atotal) é uma função com três variáveis independentes. 
Mas, sabe-se que xyz = 256 litros (equação), então, neste exemplo podemos diminuir 
o número de variáveis independentes para duas, pois, z = 256 / xy. 
Portanto, 
total
512 512
A xy
y x
  
. 
 
Pelo exemplo, pode-se definir função e equação: 
 
 Função: "é uma correspondência que associa a cada elemento de seu domínio (D) 
a exatamente um elemento do seu contradomínio (I)". 
z 
y 
x 
UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA 
 
Cálculo III 
3 
 Equação algébrica: "é uma igualdade com incógnitas - representadas por variáveis 
(x, y, z) que pertencem ao conjunto dos reais". 
 
“Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa, a cada par ordenado 
de números reais (x, y) de um conjunto D, um único valor real denotado por f(x,y). 
O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem, o conjunto de valores possíveis de f, ou 
seja, 
 f x y x y D( , ) ( , )
.” (STEWART, 2007) 
 
Utilizando notações, pode-se definir uma função de várias variáveis da seguinte 
forma: 
D : Rn 

 I : R 
Portanto, uma função de duas variáveis reais: 
 
D : R2 

 I : R 
 D:(x,y) I:z f (x,y)
 
 
Representação gráfica: 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA 
 
Cálculo III 
4 
2. ESTUDO DO DOMINIO 
 
Domínio de uma função de duas variáveis 
(f(x,y))
: “é o mais amplo subconjunto 
de R2 em cujos pontos a função assume valores reais bem definidos”. 
 
Exemplos: 
a) Considere a função: 
 
x y
f x,y
x y
 
  
 
. Este quociente só não é definido 
quando x - y = O, isto é, quando y = x. O domínio é, pois, o conjunto: 
 2D (x,y) R /y x  
. 
Geometricamente, D é o conjunto dos pontos do plano xy que não pertencem à 
reta y = x. 
 
 
b) Examinemos a função: 
 
2 2
x y 7
f x,y
1 x y
  
 
   
 
O numerador é um polinômio do 10 grau nas variáveis x e y, e, como tal, é definido 
em R2. 
Para que o denominador seja real e não nulo, deve-se ter: 
1 -x2 -y2 > 0, ou x2 + y2 < 1. 
Segue-se que o domínio da função f (x, y) é Sabe-se da Geometria Analítica que D 
é 
 2 2 2D (x,y) /x y 1   
o disco aberto de centro na origem e raio 1. 
UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA 
 
Cálculo III 
5 
EXERCÍCIOS SOBRE DOMÍNIO DAS FUNÇÕES DE DUAS OU TRÊS VARIÁVEIS 
 
1. Estude o domínio das funções (represente algébrica e geometricamente). 
a) 
 z f(x,y) xy
 
 Resposta: representação algébrica 
        2D x,y R / x 0 e y 0 x 0 e y 0
, 
representação geométrica do domínio: o primeiro e o terceiro quadrantes incluindo os eixos. 
 
b) 
  z f(x,y) ln(y 3x)
 
Resposta: 
    2D x,y R / y 3x
 
 
c) z=
y
yxyxf
12
34),( 3 
 
Resposta: 
 
 
      
 
2 3D x,y R / x y 0
4
 
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Cálculo III 
6 
 
d) 
 
2 2
y
z f(x,y)
x y
 
Resposta: 
    2D x,y R
 
 
e) 
 
 
 2 2
2xy
z f(x,y)
ln 36 x 9y
 
Resposta: 
 
 
    
 
2 2
2 x yD x,y R / 1
36 4
 
 
f) 

 
 2 2 2
4xy z
w f(x,y,z)
x y z
 
Resposta: 
        3D x,y,z R / x,y,z 0,0,0
 
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Cálculo III 
7 
 
 
g) 
 

uv
z f(u,v)
u 2v
 
Resposta: todos os pontos do plano uv, exceto os pontos da reta u = 2v. 
 
 
h) z=
2 23
( , )
9
x y
f x y
x y


 
 
Resposta: 
     2 2 2D x,y R / x y 9
 
 
 
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Cálculo III 
8 
3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES (IMAGEM) 
As propriedades da função refletem-se no seu gráfico, por isso, este é um elemento de 
valor no estudo da função. Ao observar o gráfico de uma função, percebe-se 
imediatamente várias propriedades desta. 
O gráfico de uma função de duas variáveis trata-se de um subconjunto do espaço 
tridimensional R3. Esse gráfico denomina-se superfície representativa da função. A 
figura 4 ilustra o gráfico de funções duas variáveis. Cada ponto P = (x, y) do domínio 
D da função corresponde um único valor real z, na forma de notação tem-se: z = F (x, 
y). 
 
 
 
Figura 4 – Gráfico de funções de duas variáveis 
 
 
Exemplos: 
a) Represente graficamente 
   z f (x,y) 6 2x 3y
. 
 
Solução: esta função pode ser escrita na forma 
  2x 3y z 6
 o que corresponde 
a equação de um plano. Sabe-se que, para representar geometricamente um 
plano, são necessários, no mínimo, três pontos, por exemplo: 
   
   
   
se x 0 e y 0 z 6
se x 0 e z 0 y 2
se y 0 e z 0 x 3
 
z 
y 
x 
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Cálculo III 
9 
 
b) Represente graficamente 
 z f (x,y) 5
. 
 
Solução: a superfície é um plano paralelo ao plano cartesiano XY, que intercepta 
o eixo Z em 5. 
 
 
c) Represente graficamente 
   2 2z f (x,y) 100 x y
 e trace as curvas de nível f(x, 
y)=0, f(x, y)=51 e f(x, y) = 75 no domínio de f no plano. 
 
Solução: o domínio de f é o plano xy, e a imagem de f é o conjunto de números 
reais menores ou iguais a 100. O gráfico é o parabolóide z = 100 –x2 – y2, uma 
parte se encontra ilustrada na figura 5. 
A curva de nível f(x, y) = 0 é o conjunto de pontos no plano xy nos quais: 
2 2 2 2f (x,y) 100 x y 0 ou x y 100     
 
que representa uma circunferência de raio 10 centrada na "origem. Similarmente as 
curvas de nível 
f (x,y) 51 e f(x,y) 75 
(figura 5) são as circunferências: 
2 2 2 2f (x,y) 100 x y 51 ou x y 49     
 
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Cálculo III 
10 
2 2 2 2f (x,y) 100 x y 75 ou x y 25     
 
A curva de nível f(x, y)= 100 consiste apenas a origem (ainda é uma curva de 
nível). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Gráfico e curvas de nível selecionadas da função f (x,y) = 100 – x2 – y2 
 
Observe que a projeção (ortogonal) da superfície S sobre o plano xy é 
precisamente o domínio D da função. 
d) Represente graficamente 
   2 2z f (x,y) 1 x y
. 
 
Solução: a superfície gerada é uma semi-esfera de centro na origem e raio 1. 
 
 
e) Represente graficamente 
  2 2z f (x,y) x y
. 
 
Solução: asuperfície gerada é um parabolóide de revolução. 
 
100 
z 
f(x,y)=75
 
1
0 
1
0 f(x, y) 
- 0 
A superfície z = (f, x) = 100 –x2 – y2 é o 
gráfico de f 
y 
f(x,y) = 51 (uma curva de nível 
típica no domínio da função) 
x 
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Cálculo III 
11 
 
 
f) Represente graficamente 
   z f (x,y) 6 2x 3y
. 
 
Solução: esta função pode ser escrita na forma 
  2x 3y z 6
 o que corresponde 
a equação de um plano. Sabe-se que, para representar geometricamente um 
plano, são necessários, no mínimo, três pontos, por exemplo: 
 
   
   
   
se x 0 e y 0 z 6
se x 0 e z 0 y 2
se y 0 e z 0 x 3
 
 
 
 
 
3.1 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
 
Vimos que, em duas dimensões, o gráfico de qualquer equação do segundo grau x e y, 
     2 2Ax By Cx Dy Exy F 0
 
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Cálculo III 
12 
é uma seção cônica (salvo em casos degenerados). Em três dimensões, o gráfico de 
uma equação de segundo grau em x, y, z, 
         2 2 2Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0
 
é uma superfície quádrica (salvo em casos degenerados). Por simplicidade, 
limitaremos o estudo ao caso em que os coeficientes D, E, F, H, e I são todos zero. As 
equações mais gerais podem reduzir-se a este caso mediante translações e rotações 
adequadas de eixos. 
 
Há três tipos de superfícies quádricas: elipsóides, hiperbolóides e parabolóides. Os 
nomes se devem ao fato de que os traços em planos paralelos aos planos coordenados 
são em geral elipses, hipérboles e parábolas, respectivamente. A seguir, apresentam-
se algumas superfícies quádricas com os traços em cada plano cartesiano. 
 
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Cálculo III 
13 
ELIPSÓIDE 
 
Traço 
 
Equação do 
Traço 
Descrição 
do Traço 
 
Esboço do Traço 
 
 
Traço-xy 
 
 
2 2
2 2
x y
1
a b
 
 
 
 
 
Elipse 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traço-yz 
 
 
2 2
2 2
y z
1
b c
 
 
 
 
 
Elipse 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traço-xz 
 
 
2 2
2 2
x z
1
a c
 
 
 
 
 
 
Elipse 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
 
x 
y 
(0, b, 0) 
(a, 
0,0) 
z 
z 
y (0, b, 
0) 
x 
(0, 0, 
c) 
z 
y (0, b, 
0) 
x 
(0, 0, 
c) 
(a, 0, 
0) 
z 
y 
(0, b, 0) 
x 
(0, 0, c) 
(a, 0, 0) 
traço-yz 
traço-xy 
traço-xz 
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Cálculo III 
14 
HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA 
 
Traço 
 
Equação do 
Traço 
Descrição 
do Traço 
 
Esboço do Traço 
 
 
Traço-xy 
 
 
2 2
2 2
x y
1
a b
 
 
 
 
 
Elipse 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traço-yz 
 
 
 
2 2
2 2
y z
1
b c
 
 
 
 
Hipérbole 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traço-xz 
 
 
 
2 2
2 2
x z
1
a c
 
 
 
 
 
Hipérbole 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
 
 
 
z 
y 
(0, b, 0) 
x 
(a, 0, 0) 
z 
y 
(0, b, 0) 
x 
z 
y 
x 
(a, 0, 0) 
z 
y 
x 
traço em 
z = -k 
-k 
z = -k 
z = k 
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Cálculo III 
15 
HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS 
 
 
Traço 
 
Equação do 
Traço 
Descrição 
do Traço 
 
Esboço do Traço 
 
 
Traço-xy 
 
 
2 2
2 2
x y
1
a b
 
 
 
 
 
Hipérbole 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traço-xz 
 
 
 
2 2
2 2
x z
1
a c
 
 
 
 
 
Hipérbole 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
 
traço em 
z = -k 
Traço em 
Z=K 
z = k 
y 
z 
x 
z 
y 
(0, b, 
0) 
x 
z 
y 
x 
(0, 0, 
c) 
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Cálculo III 
16 
- TABELA 1 – 
OS SEIS TIPOS NÃO DEGENERADOS DAS SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
 
SUPERFÍCIE 
 
EQUAÇÕES 
 
SUPERFÍCIE 
 
EQUAÇÕES 
 
ELIPSÓIDES 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
  
 
Os traços nos planos 
coordenados são 
elipses, como 
também são elipses 
os traços em planos 
paralelos aos planos 
coordenados, que 
interceptam a 
superfície em mais 
de um ponto. 
 
CONE ELÍPTICO 
 
 
2 2
2
2 2
x y
z
a b
 
Os traços do plano xy 
é um ponto (a 
origem) e os traços 
em planos paralelos 
ao plano xy são 
elipses. Os traços yz e 
xz são pares de retas 
que se interceptam na 
origem. Os traços em 
planos paralelos a 
estes são hipérboles. 
 
HIPERBOLÓIDE DE 
UMA FOLHA 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
  
 
O traço no plano xy 
é uma elipse, como 
são os traços nos 
planos paralelos ao 
plano xy. Os traços 
nos planos yz e xz 
são hipérboles, bem 
como os traços nos 
planos paralelos a 
eles que não passam 
pelos interceptos x e 
y. Nestes 
interceptos, os 
traços são pares de 
retas concorrentes. 
 
PARABOLÓIDE ELÍPTICO 
 
 
 
2 2
2 2
x y
z
a b
 
 
 
O traço no plano xy é 
um ponto (a origem) e 
os traços em planos 
paralelos e acima dele 
são elipses. Os traços 
nos planos xz e yz, 
bem como em planos 
paralelos a eles são 
parábolas. 
 
HIPERBOLÓIDE DE 
DUAS FOLHAS 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
z x y
1
c a b
  
 
Não há traço no 
plano xy. Em planos 
paralelos ao plano 
xy que interceptam 
a superfície em mais 
do que um ponto os 
traços são elipses. 
Nos planos yz, xz e 
nos planos paralelos 
a eles, os traços são 
hipérboles. 
 
PARABOLÓIDE 
HIPERBÓLICO 
 
 
 
 
 
 
2 2
2 2
y x
z
b a
 
 
O traço no plano xy é 
um par de retas que 
cruzam na origem. Os 
traços em planos 
paralelos ao plano xy 
são hipérboles. As 
hipérboles acima do 
plano xy abrem-se na 
direção y e as abaixo 
na direção x. Os 
traços nos planos yz e 
xz são parábolas, 
assim como os traços 
nos planos paralelos a 
estes. 
 
Y 
X 
z 
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Cálculo III 
17 
EXERCÍCIOS SOBRE IMAGEM DAS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
1. Represente a função dada desenhando algumas curvas de nível, no mesmo plano 
coordenado, e tente visualizar a superfície a partir do mapa de contorno resultante. 
a) 
  2 2z f(x,y) x y
: Resposta: curvas de nível – circunferências concêntricas 
centradas na origem / superfície – parabolóide circular 
b) 
  2 2z f(x,y) y x
 Resposta: curvas de nível – hipérboles que interceptam os 
eixos x (se K < 0) e o eixo y (se K > 0) e retas que passam pela origem (se K = 0) / 
superfície: parabolóide hiperbólico (sela) 
 
2. Esboce a superfície definida pelas funções ou equações. 
a) 
2 2z f(x,y) 36 9x 4y   
 e) 
2 2z f(x,y) 9x 4y 36    
 
b) 
2 2z f(x,y) 72 4x 9y   
 f) 
2 2z f(x,y) 9x 4y 36   
 
c) 
2 2z f(x,y) 9 x y   
 g) 
2 2z f(x,y) 25 x y    
 
d) 
   z f(x,y) 4 4x 2y
 h) 
  2 2x 4y z 16
 
Respostas: 
(a)(b) 
 
 
 
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Cálculo III 
18 
 (c) (d) 
 
3. Ache a equação da curva ou da superfície de nível de f que contém o ponto P. 
a) 
f(x,y) yarctg x;P(1;4)
: Resposta: y arctg x = 

 
b) 
2 xyf (x,y) (2x y ) e ; P(0; 2) 
 Resposta: (2x + y2) exy = 4 
c) 
   2 2 2f (x,y,z) x 4y z ; P(2; 1; 3)
 / FAÇA UM ESBOÇO DA SUPERFÍCIE DE NÍVEL
 Resposta: 
2 2 2x 4y z 1   
 / hiperbolóide de duas folhas 
d) 
2 2f (x,y) 2x y ; P(0, 2) 
 / FAÇA UM ESBOÇO DA CURVA DE NÍVEL QUE CONTÉM P
 Resposta: 2 2x y
1
2 4
 
 / elipse 
e) 
2 2f (x,y,z) x 4y z; P(2; 1; 12)    
 / FAÇA UM ESBOÇO DA SUPERFÍCIE DE NÍVEL
 Resposta: 
  2 2z x 4y 4
 / parabolóide elíptico 
4. Uma chapa plana de metal está situada em um plano xy, de modo que a 
temperatura T (em ºC no ponto (x,y) é inversamente proporcional à distância do 
ponto até a origem. 
a) Descreva as isotérmicas; Resposta: círculos com centro na origem 
b) Se a temperatura no ponto P (4, 3) é de 40ºC, ache a equação da isotérmica para 
uma temperatura de 20ºC. Resposta: x2 + y2 = 100 
 
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Cálculo III 
19 
5. De acordo com a lei da gravitação universal de Newton, se uma partícula de massa 
m0 está na origem de um sistema coordenado xyz, então o módulo F da força 
exercida sobre uma partícula de massa m situada no ponto (x, y, z) é dada por: 
0
2 2 2
Gm m
F
x y z

 
 
em que G é a constante de gravitação universal. 
a) Quantas variáveis independentes estão presentes? 
 
b) Se m0 e m são constantes, descreva as superfícies de nível da função x, y, z 
resultante. Qual o significado físico dessas superfícies de nível. 
 Respostas: a) cinco 
 b) esferas com centro na origem. 
 
 
6. Se o potencial elétrico no ponto P(x, y, z) é dado por V = 6 / (x2 + y2 + 9z2)1/2, 
ache a equação da superfície equipotencial (superfície de nível) quando V = 120 
volts e faça um esboço desta superfície. Resposta: a superfície equipotencial é um 
elipsóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo III 
20 
4. DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 
 Se 
z f (x,y),
 então a derivada parcial de f em relação à x (também chamada 
de derivada de z em relação à x) é a derivada em relação à y da função que 
resulta quando y é mantido fixo e x é permitido variar. Essa derivada parcial é 
denotada por 
x
f
f (x,y)
x



 e pode ser expressa como limite: 
 
   
 
 
x x 0
f f (x x,y) f (x,y)
f (x,y) lim
x x
 
 
Analogamente, a derivada parcial de f em relação à y (também chamada de 
derivada parcial de z em relação à y) é a derivada em relação à y da função que 
resulta quando x é mantido fixo e y é permitido variar. Esta derivada parcial é 
denotada por 
 
   
 
 
y y 0
f f (x,y y) f(x,y)
f (x,y) lim
y y
 
Exemplos: 
a) Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função 
      3 2z f (x,y) x y sen 2x
: 
Solução 
     

        
2 3 2
x
f
f (x,y) 3x sen 2x 2 x y cos 2x y é cons tante
x
 
 

     
y
f
f (x,y) 2y sen 2x x é cons tante
y
 
b) Exemplo de uma função de três variáveis independentes 
Se os resistores elétricos R1, R2, R3 ohms são conectados em paralelo para formar um 
resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir da equação: 
 
1 2 3
1 1 1 1
R R R R
  
 
 
(Figura 6). Encontre o valor 
2
R
R


 quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 ohms. 
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Cálculo III 
21 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Resistores em paralelo 
Solução: para encontrarmos 
2
R
R


 tratamos R1 e R3 como constantes e derivamos 
ambos os lados da equação em relação a R2. 



















32122 R
1
R
1
R
1
RR
1
R
 
0
R
1
0
R
R
R
1
2
222




 
2
2
2
2
2
2 R
R
R
R
R
R








 
Quando R1=30, R2=45 e R3=90, 
15
1
90
1
45
1
30
1
R
1

, 
assim R = 15 e 
9
1
3
1
45
15
R
R
22
2














 
 
 
 
 
 
 
 
+ - 
R1 
R2 
R3 
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Cálculo III 
22 
4.1 Interpretação geométrica das derivadas parciais 
A derivada parcial 
 0000 ,),( yx
x
f
yxf x



 é a inclinação da tangente `a curva C1 [z = 
f(x, y0)] no ponto P (x0, y0) - (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à 
curva C1 em P forma com o eixo X) – ver figura 7. 
 
Figura 7 – Interseção do plano y = y0 com a superfície z = f(x, y) vista de um 
ponto acima do primeiro quadrante do plano xy – Fonte/ THOMAS, 2003. 
 
A derivada parcial 
y
f
)y,x(f y



é a inclinação da tangente `a curva C2 [z = f(x0, y)] no 
ponto P – (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva C2 em P forma 
com o eixo Y) – ver figura 8. 
 
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Cálculo III 
23 
 
Figura 8 – Interseção do plano x = x0 com a superfície z = f(x, y) vista de um 
ponto acima do primeiro quadrante do plano xy– Fonte/ THOMAS, 2003. 
 
As tangentes às duas curvas C1 e C2 em P são, em geral, duas retas concorrentes 
em P (figura 9), as quais determinam um plano que se diz plano tangente à 
superfície definida pela função z = f(x, y). 
 
 
Figura 9 – As figuras 7 e 8 combinadas – as retas tangentes no ponto P (x0, y0) 
determinam um plano tangente à superfície z = f(x, y). 
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Cálculo III 
24 
 
EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 
 
1. Em cada caso achar as derivadas parciais 
y
yxf
e
x
yxf



 ),(),(
 das funções dadas: 
a) f(x, y) = ( x³ + y³ ) ( x – y ) d) f(x, y) = ln ( x² + 3y² ) 
b) f(x, y) = sen ( x + y ) + cos ( x – y ) e) 
)y3x(
y
)y,x(f


 
c) f(x, y) = ( x² + xy + y² )³ f) 
xye)ylnx()y,x(f 
 
g) 2xye)y,x(f  
Respostas: 
a) fx=4x³ + y³ - 3x²y , fy = 3xy² - x³ - 4y³ 
b) fx = cos (x + y) – sen (x – y) , fy = cos ( x + y ) + sen ( x – y ) 
c) fx=3( x² + xy +y² )² ( 2x + y ) , fy = 3( x² + xy +y² )² ( x + 2y ) 
d) 
232
2
yx
x
xf


 , 
232
6
yx
y
yf


 
e) 
23y)(x
y
xf 

 , 
23y)(x
x
yf 

 
f) 
ylny)xy(1exf
xy 
 ; 







y
1
xlnyxeyf
2xy
 
 
2. Calcular as derivadas parciais primeiras da função f(x,y) = ln ( x tg (y) ) no ponto 






4
;3:

P
. 
Respostas: 
2)(
3
1
)( 





P
y
f
eP
x
f
 
 
3. O volume de uma certa quantidade de gás é determinada pela temperatura (T) e 
pela pressão (P) através da fórmula 
0,08
T
V
P

. Calcule e interprete V V
e
P T
 
 
 
quando P = 20 N/m² e T = 300 K. 
Respostas:3 3
2
(20;300) 0,06 (20;300) 0,04
/
V m V m
e
P N m T K
 
  
 
 
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Cálculo III 
25 
4. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem - 
)y;x(
x
f


 e 
)y;x(
y
f


 - da função 
  3
2
22 yx)y,x(f 
 e descreva em quais pontos as derivadas parciais de primeira 
ordem deixam de existir (faça o gráfico). 
 
5. Imagine uma chapa metálica – fina e retangular – desigualmente aquecida sobre o 
plano XY, com o canto inferior esquerdo na origem x e y, conforme Figura 1: 
 
Figura 1 - Chapa metálica sobre o plano XY (X e Y são distâncias em centímetros). 
 
A temperatura (em graus Celsius) no ponto (x, y) é 
22
5
),(
yx
x
yxT


. No ponto P (3, 
4), pede-se: 
(a) a taxa de variação instantânea da temperatura em relação à distância 
quando uma partícula, sobre a placa, move-se para a direita e paralelamente ao 
eixo X, a partir do ponto P; 
(b) a taxa de variação instantânea da temperatura em relação à distância 
quando uma partícula, sobre a placa, move-se para cima e paralelamente ao 
eixo Y, a partir do ponto P; 
(c) interprete os resultados encontrados nas letras (a) e (b). 
 
6. Calcular a inclinação da tangente à curva segundo a qual o plano y = 1 corta o 
parabolóide de revolução z = x² + y², no ponto P:( 2; 1; 5 ). 
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Cálculo III 
26 
Resposta: 1 4tan  . 
 
7. Calcular a inclinação da tangente à curva C1, que corresponde à interseção da 
superfície 
2 3z f x y 4x y xy( , )  
 com o plano y = 2, no ponto P (3, 2, 48). 
Resposta: 
 1 40 88 57tan ,   
 . 
 
5. DIFERENCIAL TOTAL 
 
A diferencial de uma função f em um ponto é uma combinação linear das diferenciais 
das projeções x e y tendo como coeficientes as derivadas parciais da função no dito 
ponto. 
 
Se f = f (x, y), tem-se: 
 
f f
df dx df
x y
 
 
 
 
 
Se f é uma função de n variáveis, a diferencial é dada pela expressão: 
 
1 2 3 n
1 2 3 n
f f f f
df dx dx dx ... dx
x x x x
   
   
   
 
 
Usando um somatório, pode-se escrever, de modo mais condensado: 
 
n
k
k l k
f
df dx
x




 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo III 
27 
EXERCÍCIOS SOBRE DIFERENCIAL TOTAL 
 
1. Determinar a diferencial total da função: 
 
  
 
y
z arc tg
x
 
a) em um ponto genérico ( x, y ), x 

 O; Resposta: 
   
2 2
1
dz ydx xdy
x y
 
b) no ponto P:( 1,-2). Resposta: 
  
1
dz 2dx dy
5
 
 
2. Uma lata de metal fechada, na forma de um cilindro circular reto, deve possuir 
altura interna igual a 6 cm, raio interno de 2 cm e espessura de 0,1 cm. Se o 
custo do metal a ser usado é de 10 centavos por cm3, encontre por diferenciação 
o custo aproximado do metal a ser usado na fabricação da lata. 
 Resposta: custo por lata = R$ 1,00 
 
3. Deseja-se dimensionar um vaso, na forma de um cilindro circular reto, de aço 
inoxidável, cujas dimensões internas são: altura igual a 40 cm, diâmetro de 20 
cm. Sabendo que a espessura da chapa é de 1 mm, qual é o volume do material 
empregado? (USE O CONCEITO DE DIFERENCIAL TOTAL) 
 
4. Determine a quantidade de estanho numa lata cilíndrica fechada com 7,5 cm de 
diâmetro e 15 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,03 cm. 
(Utilize o conceito de diferencial total). Resposta: 
v 4 219,  
 cm3 
 
5. Utilize o conceito de diferencial total para determinar o máximo erro no cálculo da 
área da superfície e no cálculo de volume de uma caixa aberta retangular com 
altura = 25 cm, largura = 30 cm e comprimento = 70 cm , com erro máximo de 
0,3 cm em cada dimensão. Respostas: 
v 1380 
 cm3 e 
A 120 
 cm2 
 
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Cálculo III 
28 
6. A potência consumida numa resistência elétrica é dada por 
R
V
P
2

watts. 
 Se V = 12 volts e R = 6 ohms, determine o valor da variação da potência se V é 
aumentada de 0,015 volts e R é aumentada de 0,002 ohms. Interprete o sinal do 
resultado: a potência é reduzida ou aumentada? (Utilize o conceito de diferencial 
total). Resposta: 
P 0 052, 
 watts 
 
 
7. Seja um retângulo com lados 
3x
cm e 
4y
cm. Utilize o conceito de diferencial 
total para definir a variação aproximada da diagonal deste retângulo, sabendo que 
o lado x foi aumentado 
005,0
 cm e o lado y diminuído 0,004 cm. Resposta: 
 0002,0dD
cm 
8. A resistência de um circuito elétrico é dada por E
R
I
( 
 ohms). Sabendo que 
E = 18 V (volts) e I = 6 A (ampères), porém, foi feita a leitura de E = 17,985 V e 
I = 6,125 A, determinar a variação da resistência. (Utilize o conceito de diferencial 
total). Resposta: 
R 0 063,  
 (ohms) / CORRIGIR -0,065 
 
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Cálculo III 
29 
 
EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 
 
1. Calcular as derivadas parciais de segunda ordem das funções e verificar que 
xy yxf f
 
a) 
xf (x,y) e sen(y) ln(xy) 
 
b) 2 2x y
f(x,y) ,x 0 e y 0
y x
   
 
c) x
y yf(x,y) e ln ,x 0 e y 0
x

   
 
 
Respostas: 
a) 
x x x
xx yy xy yx2
1 1
f e seny , f e seny , f f e cosy
2 y
      
 
b) 
x x x
xx yy xy yx2
1 1
f e seny , f e seny , f f e cosy
2 y
      
 
c) 
   
     
 
x x
y y
xx yy2 2 3 2
1 1 x x 1
f e , f e 2
yy x y y
 
  
   
 
x
y
xy yx 2
1 x
f f e 1
yy
 
 
2. Determine o conjunto domínio e calcule as derivadas parciais de 2a ordem de 
cada uma das funções: 
a) 
x
xyyyxf
24
712),( 2 
 b) 
325 158),( yxxyyxf 
 
c) 
y
yxyxf
12
34),( 3 
 d) 
2
2
3
),( x
x
t
t
txf 
 
e) 
125),( 25  srsrsrf
 f) 
yyxyxf 5)cos()sen(3),( 2 
 
 
Respostas: 
 
a) 
2
3
127




xy
x
f
 
2
5
2
2
18
)(




x
x
f
 
xy
y
f
724 


 
24
)( 2
2



y
f
 
 
7
22






xy
f
yx
f
 
 0/),( 2
)(
 xIRyxD
f
 
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Cálculo III 
30 
b) 
35
4
2)15(
5
1
xyx
x
f


 
 
35
9
2
2
2)15(
25
4
)(
yx
x
f




 
 
2238 yx
y
f



 
yx
y
f 2
2
2
6
)(



 
2
22
6xy
xy
f
yx
f






 
 2
)(
),( IRyxD
f

 
 
c)
2
1
)34(2




x
x
f
 
2
3
2
2
)34(4
)(




x
x
f
 
23
2
12
3
1  


yy
y
f
 
33
5
2
2
24
9
2
)(







yy
y
f
 
0
22






xy
f
yx
f
 






 0,
4
3
/),( 2)( yxIRyxD f
 
d) 
xtx
x
f
22 

 
 
22
)(
3
2
2


 tx
x
f
 
136  


xt
t
f
 
4
2
2
18
)(



t
t
f2
22






x
xt
f
tx
f
 
 2fD x t IR x 0 e t 0( ) ( , ) /   
 
 
e) 
2425 sr
r
f



 
3
2
2
100
)(
r
r
f



 
2
1
)12(2




srs
s
f
 
2
3
2
2
)12(2
)(




sr
s
f
 
 
s
rs
f
sr
f
2
22






 







2
1
/),( 2)( sIRsrD f
 
 
f)
)cos(3 x
x
f



 
)sen(3
)( 2
2
x
x
f



 
5)s e n (2 2 


yy
y
f
 
)sen(2)cos(4
)(
222
2
2
yyy
y
f



 
0
22






xy
f
yx
f
 
 2)( ),( IRyxD f 
 
 
 
3. Determine o domínio (algébrico e geométrico) e a derivada parcial 
4
xzyx
f
f
x y z x


   
 da função 
 
2
f ( x,y,z ) 3xz
x y z 4
 
  
, no ponto P (1, -1, 
1). 
 
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Cálculo III 
31 
6. PLANO TANGENTE E RETA NORMAL 
6.1 Plano tangente 
Seja z = f (x, y) uma função diferenciável no ponto P:(xo; yo). Quando passamos do ponto P 
a um ponto próximo (x, y) o acréscimo 
z f  
 da função é (eq. [1]) : 
 
f f
z f (P) x (P) y
x y
 
      
 
 [1] 
 
ou 
 
 
0 0 0
f f
z z (P)(x x ) (P)(y y )
x y
 
    
 
 [2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação [2] representa um plano do espaço, o qual passa pelo ponto P:(xo; Yo), 
pertencente ao gráfico da função z = f(x, y). Trata-se do plano tangente ao gráfico 
de f no ponto P. Observando os resultados, concluímos que o valor f (x, y) da função 
em um ponto (x, y) próximo de (x0; y0) é aproximadamente igual à cota z do plano 
tangente ao gráfico de f no ponto P:(x0; Y0; f(x0; y0)). Desse modo quando 
escrevemos (eq.[3]): 
x0 
x0 
Z = f (x, 
y) 
z0 
 
0 0
f
tg (x ,y )
y

 

 
 y 
z 
 P: (x0, y0, z0) 

 
x 
x 
0 0
f
tg (x y )
x

  

 
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Cálculo III 
32 
0 0
f f
f (x,y) (P)(x x ) (P)(y y )
x y
 
   
 
 [3] 
 
estamos substituindo a superfície de equação z f(x, y), na vizinhança do ponto P:(x0, 
y0, f(x0;y0)), pelo plano tangente neste ponto. 
 
 
6.2 Reta normal 
 
“A normal à superfície no ponto P é a reta que passa por P e é perpendicular ao plano 
tangente neste ponto”. 
 
Portanto, da equação [2] do plano tangente: 
0 0
f f
(P)(x x ) (P)(y y ) (z c) 0
x y
 
     

 
deduzimos que a direção da normal é dada pelo vetor 
  
  
  
f f
v (P); (P); 1
x y
. 
Portanto, podemos escrever a equação cartesiana da normal à superfície em P na 
forma (eq. [4]): 
 
 
 
0 0 0x x y y z z
f f 1
(P) (P)
x y
  
 
  
 
 [4] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo III 
33 
EXERCÍCIOS SOBRE PLANO TANGENTE E RETA NORMAL 
 
1. Achar a equação do plano tangente e a equação da normal ao parabolóide elíptico: 
 
  2 2z f (x,y) 2x 5y
 no ponto P:( -2; 1: 13 ) 
 Resposta:plano tangente: 8x-10y+z+13=0 reta normal: 
2 1 13
8 10 1
x y z  
 
 
. 
 
2. Considere a superfície definida pela função z = f(x,y) = e3x sen(3y) e o ponto 
 
 
 
P : 0,
6
. Determine: 
a) a inclinação do plano tangente em relação aos eixos cartesianos no ponto P e a 
equação cartesiana do plano; 
 
b) a equação da reta normal à superfície em P. 
 
Respostas: 
a) Inclinação do plano 
     1
x y
f (P) 3 tan 3 e f (P) 0
plano paralelo ao 
eixo Y / Equação do plano tangente: 3x – z + 1 = 0; 
b) reta 
x 3t
normal: y
6
z t 1





   
 

 Equação paramétrica da reta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo III 
34 
7. DERIVADA DIRECIONAL / GRADIENTE 
A derivada da função f = f(x, y), no ponto P, na direção de um vetor 
S
 é dada pelo 
produto escalar do gradiente 
 f (P)
 e o vetor unitário 
0S ,
 isto é: 

  

0
S
f
D f(P) f(P) S
S
 
 
Sendo: 
0
S
S
S

 - vetor unitário; 
 
i j k
x y z
  
   
  
 - operador diferencial vetorial; 
 
f f f
f i j k
x y z
  
   
  
 - gradiente de uma função f = f(x, y, z). 
 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADA DIRECIONAL / GRADIENTE 
 
1. Calcular a derivada da função 
4 2 2 3z x 3x y 2y 5xy 3x 5     
, no ponto 
 P:(-1,2), na direção de cada um dos vetores dados a seguir: 
a) 
 
3 1
u i j
2 2
 Resposta: 
 1 17 13 3
2

 
b) 
 u 6i 3j
 Resposta: 
9
5
 
c) 
AB, sendo A :(1; 3) e B:(3; 5) 
 Resposta: 
2 2
 
d) 
w z(P) 
 Resposta: 
458
 
2. Dada a superfície de nível: e2z (sen x - cos y) = 1 e o ponto P:(0, 

, 0). 
Determine: 
a) o gradiente da função f (x,y, z) em P; Resposta: 
f (P) gradf (P) i 2K   
 
b) explique o significado geométrico do resultado obtido na letra a. 
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Cálculo III 
35 
3. Determinar a equação do plano tangente à esfera x2 + y2 + z2 = 14, no P:(3, 1, -2). 
 
Resposta: 3x + y - 2z - 14 = O . 
 
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Cálculo III 
36 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
1. Esboce o domínio de f. Use as linhas cheias para a parte que inclui a fronteira no 
domínio e linhas tracejadas para as que não incluem. 
a) 
xyln y)f(x, 
; 
b) 
3
1
y)f(x,
2
22



y
yx ; 
c) 
222x-25 z)y,f(x, zy 
. 
Respostas: a) primeiro e terceiro quadrante, exceto os pontos pertencentes aos 
eixos cartesianos; b) os pontos pertencentes à circunferência centrada na origem 
de raio 1 e os externos à essa circunferência; c) esfera centrada na origem de raio 
5 e os pontos externos à essa esfera. 
2. Esboce a superfície definida pela função:. 
a) 
22x-1 y)f(x, y
; 
b) 
1y)f(x, 22  yx
; 
c) 
3y-2x-6 y)f(x,z 
; 
d) 
164x-y y)f(x, 22 
 
Respostas: 
a) b) 
 
 
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Cálculo III 
37 
 
c) d) 
 
 
3. Esboce as curvas de nível de f para os valores dados de k . 
a) 
22y y)f(x, x
 k = -4 , 0 , 9 
b) 
yx  2y)f(x,
 k = -2 , 0 , 3 
c) 
   22 32-x y)f(x,  y
 k = 1 , 4 , 9 
Respostas: 
a) b) c) 
 
 
4. Esboce a superfície de nível de f(x,y,z) = k . 
a) 
222 44x z)y,f(x, zy 
, k = 16; 
b) 
f(x,y,z) 4x 2y z  
, k = 1. 
 
 
5. Determine o gradiente de f em P e então useo gradiente para calcular a derivada 
de f na direção do vetor 
u
 . Sendo: 
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Cálculo III 
38 
  kjiuPzyzyx

13
12
13
4
13
3
;4,2,1;)32xln(),,(f 222 
 
Respostas: 
741
314
)(;
57
24
57
8
57
2
)(f grad  PfDkjiP u
 
6. Determine a derivada direcional de 
 
zx
y
zyxf

,,
 em P(2, 1, -1) na direção de P a 
Q(-1, 2, 0). 
Resposta: 
11
3
 
7. Determine um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e 
determine a taxa de crescimento de f naquela direção. 
 1,1,1;1),,(f 323  Pzzyzxzyx
 
Respostas: 
23)(;
2
1
2
1
 Pfgradjiu

 
8. A temperatura (em graus Celsius) em um ponto (x, y, z) de um sólido de metal é 
 
221
,,
zx
xyz
zyxT


 
(a) Determine a taxa de variação da temperatura em relação à distância em P(1, 
1, 1) na direção da origem. 
(b) Determine a direção na qual a temperatura eleva-se mais rapidamente a 
partir do ponto P. (Expresse a sua resposta como um vetor unitário). 
(c) Determine a taxa na qual a temperatura eleva-se movendo de P na direção 
obtida na letra (b). 
9. A temperatura (em graus Celsius) em uma região no espaço é dada por: 
T(x, y, z) = 2x2 – xyz. 
Uma partícula se move nesta região e sua posição no instante t é dada por x = 2t2, 
y = 3t, z = -t2, onde o tempo é medido em segundos e a distância em metros. 
(a) Qual é a taxa de variação máxima da temperatura “sentida” pela partícula em 
graus Celsius por metro quando a partícula está no ponto P:(8, 6, -4). 
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Cálculo III 
39 
(b) Qual é a taxa de variação da “sentida” pela partícula em graus Celsius por 
segundo em P? 
Respostas: (a) 80,4 ºC/m ; (b) 352 ºC/s 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
10. Um prédio industrial de formato retangular com dimensões x, y, e z está 
esquematizado na Fig.1 (a). Na Fig. 1 (b) fornecemos a quantidade de calor 
perdida por dia através de cada uma das laterais do prédio, do teto, e do piso, 
medidas em unidade apropriada de calor, por metro quadrado. Seja f(x,y,z) a 
perda de calor total em um dia. 
 
Figura 1 – Esquema do formato retangular de um prédio retangular e quantidade de calor 
perdida por dia 
(a) Encontre uma fórmula para f(x,y,z). 
(b) Encontre a perda total de calor diária tendo o prédio o comprimento de 100 m, 
largura de 70 m e altura de 50 m. 
(c) Calcule 
x
f


 , 
y
f


 e 
z
f
. 
(d) Calcule 
)1,3,2(
f
z

. 
(e) Interprete o resultado obtido na letra (d) 
 
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Cálculo III 
40 
 
11. FUNÇÃO PRODUÇÃO 
Os custos de um processo de manufatura podem em geral ser classificados em dois 
tipos: custo de mão-de-obra e custo de capital. O significado do custo de mão-de-
obra é evidente. Por custo de capital entendemos a soma de diversos custos, como 
o de prédios, ferramentas, maquinário e itens similares utilizados no processo de 
produção. Usualmente um empresário tem algum controle sobre parte dos custos 
de mão-de-obra e capital utilizados em seu processo de produção. Ele pode 
automatizar completamente a produção, de forma a reduzir a mão-de-obra para o 
mínimo possível, ou pode utilizar mão-de-obra ao máximo e reduzir os custos de 
capital. Suponha que x unidade de mão-de-obra e y de capital sejam utilizadas. 
Seja f(x,y) o número de unidades acabadas do produto manufaturado. Economistas 
descobriram que f(x,y) é freqüentemente uma função da forma: 
 
Ay  1AxC y)f(x,
, 
 
em que A e C são constantes, 0 < A < 1. Um função desse tipo é chamada de 
Função Produção de Cobb-Douglas. (SCHNEIDER, David I.; LAY, David C.; 
GOLDSTEIN, Larry J. Matemática Aplicada – Porto Alegre: Bookman, 2000). 
(Produção em uma empresa) Suponha que durante um certo período de tempo o 
número de unidades de bens produzidos, quando utilizando x unidade de mão-de-
obra e y unidades de capital, é 
4/13/4x60 y)f(x, y
. 
 
(a) Quantas unidades do bem serão produzidas, utilizando 81 unidades de mão-
de-obra e 16 unidades de capital? 
 
(b) Mostre que a produção será dobrada sempre que as quantidades de mão-de-
obra e capital forem dobradas. (Economistas dizem que a função produção 
tem “retorno constante por escala”). 
 
(c) Determine a curva de nível na qual 600 unidades são produzidas. 
 
 
 
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Cálculo III 
41 
 
Resposta: 
 
 
Figura 2 – Representação geométrica da curva de nível definida na letra (c). 
 
(d) Encontre 
x
f


 e 
y
f


. 
Observação: as quantidades 
x
f


 e 
y
f


 são comumente chamadas de 
produtividade marginal de mão-de-obra e de produtividade marginal de 
capital. 
 
(e) Encontre 
x
f


 e 
y
f


 , em x = 81 e y = 16. 
 
(f) Interprete os valores obtidos na parte (e). 
 
 
12. A produtividade de um país é dada por 
3/12/3x300 y)f(x, y
, em que x é a unidade 
de mão-de-obra e y unidades de capital. 
(a) Calcule as produtividades marginais de mão-de-obra e capital quando x = 
125 e y = 64. 
(b) Seja h um número pequeno. Utilize o resultado do item (a) para determinar 
o efeito aproximado na produção, provocado pela mudança na quantidade de 
mão-de-obra de 125 para 125+h unidades, enquanto o capital permanece 
fixo em 64 unidades. 
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Cálculo III 
42 
(c) Utilize o resultado da letra (b) para determinar o efeito aproximado de 
decrescer a mão-de-obra de 125 para 124 unidades, enquanto o capital 
permanece fixo em 64 unidades. 
(d) Qual seria, aproximadamente, o efeito na produtividade provocado pelo 
aumento de capital de 64 para 66 unidades, enquanto a mão-de-obra 
permanece fixa em 125 unidades? 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ANTON, Howard. Cálculo um novo horizonte. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 6 ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000. (Tradução de: Calculus). V.2. 
 
ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2v. 
 
LElTHOLD, Luiz. O cálculo com geometria analítica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3 
ed. São Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Tradução de: The calculus with analytic 
geometry). V.2. 
 
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. Trad. Seiji Hariki. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1987. 807p. (Tradução de: The calculus with analytic geometry). V.2. 
SWOKOWSKI, Earl. W. Cálculo com geometria analítica. Trad. Alfredo Alves de Faria. 
2 ed. São Paulo: Makron Books. (Tradução de: Calculus). Y.2. 
 
Notas de aula do Prof. Edson Durão Judice – Funções de Várias Variáveis. 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo III 
43 
IINNTTEEGGRRAALL DDUUPPLLAA 
 
Disponível em: www.pucrs.br/famat/beatriz/calculoII 
/INTEGRAL_DUPLA.doc 
 
1. DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de 
integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de 
um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. 
 
Considere uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado (FIG. 1) 
R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Região retangular R.Vamos, inicialmente, supor f(x, y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = 
f(x,y) – conforme ilustra a figura 1. 
 
 
Figura 2 – Gráfico de uma superfície S definida em um retângulo fechado R. 
 
y 
b a x 
d 
c 
R 
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Cálculo III 
44 
Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou 
seja, 
S = {(x,y,z) IR3| (x,y)  R, 0 < z < f(x,y)}. 
 
Nosso objetivo é determinar o volume de S. 
 
O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso 
dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento 
x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo 
comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados 
passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. 
 
Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j } cada um dos quais 
com área A = xy – ver figura 3. 
 
Figura 3 – Divisão da região retangular R em sub retângulos. 
 
Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte 
de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com 
base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área 
do retângulo da base (Figura 4): 
 
Vij = f(xij , yij)A. 
 
R 
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Cálculo III 
45 
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os 
volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de 
S: 
V  



m
1j
ijij
n
1i
A)y,x(f
 
 
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no 
ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, 
então, adicionamos os resultados. 
 
 
Figura 4 – Volume de um prisma (Vij) interno ao sólido limitado inferiormente pela região R e 
superiormente pela superfície S. 
 
A aproximação V  



m
1j
ijij
n
1i
A)y,x(f
 melhora quando aumentamos os valores de m e 
de n e, portanto, devemos esperar que: 
 
V = 




m
1j
ijij
n
1i
n,m
A)y,x(flim
. 
 
Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região 
que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f. 
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Cálculo III 
46 
 
Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição: 
 
 
A integral dupla de f sobre o retângulo R é 

R
dA)y,x(f 



m
1j
ijij
n
1i
n,m
A)y,x(flim
 
se esse limite existir. 
 
Pode-se provar que o limite existe sempre que f for uma função contínua. Além disso, 
se f(x,y) > 0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da 
superfície z = f(x.y) é: 
 

R
dA)y,x(fV
. 
 
A soma 



m
1j
ijij
n
1i
A)y,x(f
é chamada soma dupla de Riemann e é usada como 
aproximação do valor da integral dupla. 
 
 
2. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS: 
 
 
1)
 
DDD
dA)y,x(gdA)y,x(fdA)]y,x(g)y,x(f[
 
 
2)
 
DD
dA)y,x(fcdA)y,x(cf
, onde c é uma constante 
 
3)
 
21 DDD
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f
, 
 
 
 
 
se D = D1  D2, onde D1 e D2 não se 
sobrepõem exceto, possivelmente, 
nas fronteiras. 
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Cálculo III 
47 
 
 
3. EXEMPLO 
 
O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do 
parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em 
quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada 
quadrado Rij. 
 
 
 
 
Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 
1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela 
soma de Riemann com m = n = 2, temos: 
 



2
1j
ijij
2
1i
A)y,x(fV
= f(1,1)A + f(1,2) A + f(2,1) A + f(2,2) A 
 = 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34 
 
Esse é um volume aproximado das caixas, como mostra a figura 5: 
 
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Cálculo III 
48 
 
Figura 5 – Sólido limitado superiormente pelo parabolóide elíptico e inferiormente pelo 
retângulo R. 
 
 
Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de 
quadrados. A figura 6 mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido 
verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando 
usamos 16, 64 e 256 quadrados. 
 
 
 
 
Figura 6 – Melhor precisão matemática: maiores subdivisões retangulares. 
 
 
 
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Cálculo III 
49 
INTEGRAIS ITERADAS 
 
Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então 
calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado 
abaixo: 
 
 
 
  


















d
c
b
a
b
a
d
cR
dydx)y,x(fdxdy)y,x(fdA)y,x(f
 
 
 
 
Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for 
limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Calcule o valor da integral 

R
2 ydAx
, onde R = [0,3] x [1,2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução:

R
2 ydAx
=
 







3
0
2
1
2 dxydyx
=
 




3
0
2
1
2
2 dx
2
y
x
=
 






3
0
22 dx
2
1
x
2
4
x
= 
y 
3 
2 
x 
1 
0 
R 
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Cálculo III 
50 
 





3
0
2 dxx
2
3 =
3
0
3
3
x
2
3


 =
5,13
2
27
2
x
3
0
3


 
ou 

R
2 ydAx
=
 







2
1
3
0
2 dyydxx
=
 




2
1
3
0
3
dyy
3
x =
 






2
1
dy0y
3
27 = 
 
2
1
dyy9
= 2
1
2
2
y9


 =
5,13
2
27
2
9
2
36

 
O valor obtido é o volume do sólido 
acima de R e abaixo do gráfico da 
função f(x,y) = x2y (Veja figura ao 
lado) 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Calcule 

R
dA)xysen(y
, onde R = [1,2] x [0,]. 
Solução: 
 
00sen0sen
2
1
sensen
2
1
yseny2sen
2
1
dy)ycosy2cos(
dyxycosdydx)xysen(ydA)xysen(y
00
0
2
1
0
2
1R









 
 
 
Obs.: 1) Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a 
resolução das mesmas irá requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando 
o trabalho mais demorado. Portanto, é importante observar o tipo de função que 
iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integração. 
 
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Cálculo III 
51 
 
 
 2) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do 
sólido que está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido queestá 
abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide 
elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. 
 
Solução: Observemos, primeiro, que S é o 
sólido que está abaixo da superfície z = 16 – x2 – 
2y2 e acima do retângulo R = [0,2] x [0,2], como 
mostra a figura. Vamos calcular o volume deste sólido 
usando integral dupla: 
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Cálculo III 
52 
 
 
 
48
3
8.42.88
3
y
4y
3
88
dyy4
3
88
dyy4
3
8
32
dyxy2
3
x
x16
dydxy2x16
dAy2x16V
2
0
3
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
3
2
0
2
0
22
R
22



































 

 
 
 
 
INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES NÃO RETANGULARES (IRREGULARES) 
 
Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um 
intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, 
não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de forma mais geral, 
como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que 
significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma 
nova função F com domínio R por 
 f ( x,y ), se x,y estáemD
F( x,y )
0, se( x,y )estáemDmasnãoestáemR

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D 
RRR RRR 
x 
x 
y y 
0 
0 
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Cálculo III 
53 
 
Se a integral dupla de F sobre D existe, então definimos a integral dupla de f 
sobre R por 
R D
f ( x,y )dA F( x,y )dA 
 
 
 
Cálculo da integral dupla em regiões planas não retangulares (irregulares) 
 
1) Regiões planas inscritas em faixas verticais: 
 
Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o 
gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja: 
 
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) } 
 
onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: 
  
b
a
)x(g
)x(gD
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
2
1
 
sempre que f for contínua em D. 
 
DDD 
x 
y 
0 
DDD 
x 
y 
0 
DDD 
x 
y 
0 
b 
b 
b a a a 
y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x) 
y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x) 
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Cálculo III 
54 
2) Regiões planas inscritas em faixas horizontais: 
 
Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o 
gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja: 
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } 
onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: 
 
  
d
c
)x(h
)x(hD
dydx)y,x(fdA)y,x(f
2
1
 
sempre que f for contínua em D. 
 
 
Exemplo 5: Calcule 
 
D
dA)y2x(
 onde D é a região limitada pelas parábolas 
y = 2x2 e y = 1 + x2. 
 
Solução: 
A região D está inscrita na faixa vertical –
1 < x < 1, pois essas são as abscissas dos pontos 
de intersecção das duas parábolas e podemos 
escrever: 
 
D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2 } 
 
Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas: 
DDD 
x 
y 
0 
DDD 
x 
y 
0 
DDD 
x 
y 
0 
d 
d 
d 
c c 
c 
x = h1(y) 
x = h1(y) 
x = h1(y) 
x = h2(y) 
x = h2(y) x = h2(y) 
x 
y 
–1 1 
y = 2x2 
y = 1 + x2 
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Cálculo III 
55 
 
 
   
 
 
15
32
x
2
x
3
x
2
4
x
5
x
3
dx1xx2xx3
dxx4x2xx21xx
dxx4x2)x1()x1(x
dxyxydxdy)y2x(dA)y2x(
1
1
2345
1
1
234
1
1
43423
1
1
43222
1
1
x1
x2
2
1
1
x1
x2D
2
2
2































 
 
 
 
Exemplo 6: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 
e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y 
= x2. 
 
Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto: 
 
D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x } 
 
Assim, o volume é: 
   
35
216
21
128
5
32
12
16.14
21
x
5
x
12
x14
dx
3
x
x
3
x14
dx
3
x
x
3
x8
x2dx
3
y
yx
dxdyyxdAyxV
2
0
7542
0
6
4
3
2
0
6
4
3
3
2
0
x2
x
3
2
2
0
x2
x
22
D
22
2
2








































 
 
 
 
 
 
 
 
y = 2x 
y = x2 
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Cálculo III 
56 
Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com: 
 
D = { (x,y) | 0 < y < 4, 
yx
2
y

} 
 
Portanto, o volume pode ser calculado como: 
   
35
216
256.
96
13
128.
7
2
32.
5
2
y
96
13
y
7
2
y
15
2
dyy
24
13
yy
3
1
dy
2
y
24
y
y
3
y
xy
3
x
dydxyxdAyx(V
4
0
42
7
2
5
4
0
32
5
2
3
4
0
33
2
52
34
0
y
2
y
2
34
0
y
2
y
22
D
22








































 
 
 
Exemplo 7: Calcule 

D
xydA
, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela 
parábola y2 = 2x + 6. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A interseção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: 
[y2 = 2x + 6]  [y = x – 1]  
2
6y
x
2 

 e x = y + 1  
1y
2
6y2

  y
2 – 2y – 8 = 
0 
  y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 ) 
Portanto os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4). 
Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa 
vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrição de D considerada inscrita na 
faixa vertical -3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior é constituída 
 
y2 = 2x + 6 
y = x – 1 
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Cálculo III 
57 
por mais de uma curva. 
Assim, preferimos expressar D como: 
D = { (x,y) | -2 < y < 4, 
2
6y 2  < x < y + 1 } 
Logo: 
3664
3
64
64
3
32
256
3
512
1024
3
2048
8
1
y16
3
y
8y4
6
y
8
1
dy
4
y32y8y16y
2
1
dy)
8
y36y12y
2
yy2y
(
dyy
2
x
dyxydxxydA
4
2
2
3
4
6
4
2
235
4
2
3523
4
2
1y
2
6y
24
2
1y
2
6yD
2
2


















































 
 
 
Exemplo 8: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x 
= 2y, x = 0 e z = 0. 
 
Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do 
sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está. 
 Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que 
contém as arestas do tetraedro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1, ½, 0) 
(0, 1, 0) 
(0, 0, 2) 
x + 2y + z = 
2 x = 2y 
x 
y 
z 
x 
y 
1 
1 
½ 
x + 2y = 2 
x = 2y 
D 
T 
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Cálculo III 
58 
 
 
A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos 
coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2. 
Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y 
= 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x 
= 2y, x + 2y = 2 e x = 0. 
O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D 
como: 
 
D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }. 
 
Portanto o volume de T é: 
     
 
3
1
3
x
xxdxxx21
dx
4
x
2
x
x
4
x
x1
2
x
xx2
dx
4
x
2
x
x
2
x
1
2
x
1x
2
x
12
dxyxyy2dxdyy2x2dAy2x2V
1
0
3
2
1
0
2
1
0
2222
1
0
222
1
0
2
x1
2
x
2
1
0
2
x1
2/xD















































 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo III 
59 
EXERCÍCIOS SOBRE INTEGRAL DUPLA EM COORDENADA CARTESIANA E 
POLAR 
 
1. Faça um esboço da região R (região de integração) e calcule as integrais: 
 
a) 
 
2
1
2
0
32 dxdyyx
 
b) 
 
1
0 2
2
y
y
dydxyx
 
c) 
  
4
0
2
3
0
216
x
dxdyx
 
d) 
  


2
1
2
2
21
y
y
dydxx
 
2. Calcule a integral dupla 

R
dAxy2
 (considerando dA = dx dy e dA = dy dx), 
sendo R a região entre a parábola 
2yx 
 e a reta 
xy 
, 
 
3. Calcule a integral dupla 
  
R
dAx21
 (considerando dA = dx dy e dA = dy dx). R 
é a região limitada entre a parábola 
2yx 
 e a reta 
2 yx
, 
 
4. Calcule a integral 
R
I x dS 
, sendo R a região, pertencente ao plano XY (no 1º 
quadrante), limitada pelas equações 
2y x
, 
y x
 e 
2 2 4x y 
. 
 
5. Utilize integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos 
2 4x y z  
, x = 0, y = 0 e z = 0. 
 
6. Calcule a integral 
R
I y dS 
, sendo R a região, pertencente ao plano XY (no 1º 
quadrante), limitada pelas equações 
2 y x
, 
y x
 e 
2 2 16x y 
. 
 
7. Utilize integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos 
2 2x y z  
, x = 0, y = 2x e z = 0. 
 
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Cálculo III 
60 
 
8. Use a integral dupla para calcular as áreas das regiões limitadas pelas curvas: 
 
a) 
2yx 
 e 
2 xy
 
b) 
2xxy 
 e 
0 xy
 
c) 
2 xy
 e 
2 xy
 
d) 
2yx 
 e 
xy 
 
e) 
xy 
 e 
23 xxy 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE COORDENADA POLAR E INTEGRAL DUPLA EM 
COORDENADA POLAR 
 
1. Determine as equações polares para as curvas dadas em equações cartesianas: 
(a) xy = 3 Resposta: r2 sen 2 = 6 
(b) (x2 + y2)2 = x2 – y2 Resposta: r2 = cos 2 
(c) x3 = y2 (2a – x) Resposta: r = 2a sen tg 
 
2. Esboce o gráfico das seguintes equações polares: 
(a) r = a 
(b)  =
6

 
 
3. Converta a função em coordenadas polares r = 2a sen para coordenadas 
cartesianas e faça um esboço da curva definida pela função. 
 
4. Ache a área da menor das regiões delimitadas pelo eixo polar, pelos gráficos de r=1 
e r=2 e pela parte da espiral r=1 de =
2
1
 a =1. Resposta: 1 
 
 
 
 
x 
r = 2 r = 1 
r = 1 
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Cálculo III 
61 
5. Utilize coordenadas polares para calcular 
  
R
dSyx 2
3
22
 onde R é a 
circunferência x2 + y2 = 4. 
Resposta: 
5
64
 
 
6. Ache a área da região R exterior ao círculo r = a e interior ao círculo r = 2a sen. 
Resposta: 1,9a2 (u.a) 
 
 
 
 
 
 
 
7. Ache o volume da região que fica no exterior do cilindro x2 + y2 = 9 e no interior da 
esfera x2 + y2 + z2 = 25. Resposta: 
3
256
 
 
8. Calcule 


R
yx dxyde
22
, usando coordenadas polares, onde R é a região semicircular 
limitada pelo eixo x e pela curva 
2x1y 
. Resposta: 
2

(e-1). 
 
9. Calcular a integral convertendo para coordenadas polares 
 


1
0
x1
0
22
2
dxyd)yx(
. 
Resposta: 
8

 
 =
6
5
 
r = 2a sen 
r = a 
 =
6

 
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62 
 
QUESTÕES DE PROVA DOS SEMESTRES ANTERIORES 
 
1. Considere a integral 1 6 3
0 3
( , )
x
x
I f x y dydx

  
, pede-se: 
(a) faça um esboço região R de integração; 
(b) considere a região definida na letra (a) e, inverta a ordem de integração, isto 
é, defina os limites das integrais considerando 
( , )
R
I f x y dxdy 
. 
2. Resolva a integral 
( )
G
I x y dV 
, sendo G o sólido, no 2º octante, que fica no 
interior do parabolóide 
2 236z x y  
 e interno ao cilindro de equação 
2 2 16x y 
- obs.: região limitada por circunferência. (Determine todos os pontos 
de interseção do sólido com os eixos cartesianos e as equações das curvas no plano 
xy). 
 
3. Utilize uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado pelos planos 
2 2x y z  
, 1
2
x y
, 
0y 
, 
0z 
. (Faça um esboço do sólido) 
4. Considere a integral 1 1 2
4
0 2
( , )
x
x
I f x y dydx

  
, pede-se: 
(a) faça um esboço região R de integração; 
(b) considere a região definida na letra (a) e, inverta a ordem de integração, isto 
é, defina os limites das integrais considerando 
( , )
R
I f x y dxdy 
. 
5. Resolva a integral 
( )
G
I x y dV 
, sendo G o sólido, no 1º octante, que fica no 
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Cálculo III 
63 
interior do parabolóide 
2 216z x y  
 e interno ao cilindro de equação 
2 2 4x y 
 - 
obs.: região limitada por circunferência. (Determine todos os pontos de interseção do 
sólido com os eixos cartesianos e as equações das curvas no plano xy). 
 
6. Utilize uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado pelos planos 
2 2x y z  
, 
2x y
, 
0x 
, 
0z 
. (Faça um esboço do sólido) 
7. Considere a integral 1 1
2
0
2
( , )
x
xI f x y dydx

  
, pede-se: 
(a) faça um esboço região R de integração; 
(b) considere a região definida na letra (a) e, invertaa ordem de integração, isto 
é, defina os limites das integrais considerando 
( , )
R
I f x y dxdy 
. 
8. Dada a integral 
2
1 2
0
( , )
y
y
I f x y dxdy

  
, pede-se: 
(a) faça um esboço região R de integração; 
(b) considere a região definida na letra (a) e inverta a ordem de integração, isto 
é, defina os limites das integrais considerando 
( , )
R
I f x y dydx 
. 
9. Dada a integral 
2
1 2
0
( , )
x
x
I f x y dydx

  
, pede-se: 
(a) faça um esboço região R de integração; 
(b) considere a região definida na letra (a) e inverta a ordem de integração, isto 
é, defina os limites das integrais considerando 
( , )
R
I f x y dxdy 
. 
 
 
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Cálculo III 
64 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ANTON, Howard. Cálculo um novo horizonte. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 6 ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000. (Tradução de: Calculus). V.2. 
 
ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2v. 
 
LElTHOLD, Luiz. O cálculo com geometria analítica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3 
ed. São Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Tradução de: The calculus with analytic 
geometry). V.2. 
 
Notas de aula do Prof. Edson Durão Judice – Funções de Várias Variáveis, 1975. 
 
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. Trad. Seiji Hariki. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1987. 807p. (Tradução de: The calculus with analytic geometry). V.2. 
SWOKOWSKI, Earl. W. Cálculo com geometria analítica. Trad. Alfredo Alves de Faria. 
2 ed. São Paulo: Makron Books. (Tradução de: Calculus). Y.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo III 
65 
INTEGRAL TRIPLA 
 
1. INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CARTESIANAS (RETANGULARES) 
 
Seja f(x, y, z) uma função de três variáveis independentes definida em uma região fechada e limitada 
(sólido G) do espaço XYZ. 
Se subdividir G em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos planos cartesianos e 
considerar um ponto arbitrário P (xk, yk, zk) para cada paralelepípedo no interior de G, conforme 
ilustra a figura 1 (FIG. 1), tem-se: 
 


n
k
kkkk Vzyxf
1
,,
 
Onde 
kV
 é o volume do paralelepípedo no interior do sólido G. 
 
Figura 1 – Sólido G (região fechada e limitada do espaço XYZ). 
 
Para considerar os n paralelepípedos (cujo volume é 
kV
), todos os pontos internos ao sólido G e 
que as arestas dos paralelepípedos tendem a zero quando n → ∞, deve-se fazer: 
 

 
n
k
kkkkn Vzyxf
1
,,lim
. 
Este limite (se existir) é definido como integral tripla de f (x, y ,z) em relação ao sólido G e 
representa-se da seguinte forma: 
  dVzyxfVzyxf
G
n
k
kkkkn  

 ),,(,,lim
1
 
Cujas propriedades, de forma análoga à integral dupla, são: 
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Cálculo III 
66 
a. 
;,),,(),,( RcdVzyxfcdVzyxfc
GG
 
 
b. 
  dVgdVfdVgf
GGG
 
, sendo que f e g são funções de (x, y, z); 
c. 
dVfdVfdVf
GGG
 
21
, 
21 GGG 
 
 
COMO CALCULAR UMA INTEGRAL TRIPLA 
A integral tripla pode ser calculada através de integrações sucessivas, reduzindo-a inicialmente a 
uma integral dupla. Neste caso, podem-se ter diversas situações, conforme ilustram as figuras FIG. 
2, FIG. 3 e FIG. 4, designadas como Região tipo I, tipo II e tipo III, respectivamente. 
 
REGIÃO TIPO I 
 
 
Figura 2 – O sólido G é limitado inferiormente pela função h1(x, y) e superiormente pelo gráfico de h2(x, y), onde h1 e h2 
são funções contínuas sobre a região R pertencente ao plano XY. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo III 
67 
REGIÃO TIPO II 
 
 
Figura 3 – O sólido G é limitado à esquerda pelo gráfico p1(x, z) e à direita pelo gráfico de p2(x, z), onde p1 e p2 são 
funções contínuas sobre a região R´ do plano XZ. 
 
REGIÃO TIPO III 
 
 
 
Figura 4 – O sólido G é limitado na parte de trás pelo gráfico q1(y, z) e na frente pelo gráfico de q2(y, z), onde p1 e p2 são 
funções contínuas sobre a região R´´ do plano YZ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo III 
68 
EXEMPLO: EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
1. Determine os limites de integração para calcular a integral tripla de uma função 
F(x, y, z) sobre o tetraedro, no primeiro octante, limitado pelos planos z = 0, y = x 
+ z e y = 1. 
 
SOLUÇÃO: 
 
REGIÃO TIPO I 
 
1
0 0 0
( , , ) ( , , )
y y x
G
F x y z dV F x y z dz dxdy

   
 
ou 
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Cálculo III 
69 
1 1
0 0
( , , ) ( , , )
y x
x
G
F x y z dV F x y z dzdydx

   
 
 
Por exemplo, se F(x, y, z) = 1, encontrar-se-ia o volume do tetraedro: 
 
1 1
0 0
1 1
0
1
1
2
0
1
2
0
1
2 3
0
( )
1
2
1 1
2 2
1 1 1
2 2 6
1
( . )
6
y x
x
x
y
y x
V dzdydx
V y x dydx
V y xy dx
V x x dx
V x x x
V u v




 
 
  
 
 
   
 
 
   
 

  
 


 
 
REGIÃO TIPO II 
 
 
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70 
1 1 1
0 0
( , , ) ( , , )
x
x z
G
F x y z dV F x y z dydz dx


   
 
ou 
1 1 1
0 0
( , , ) ( , , )
z
x z
G
F x y z dV F x y z dydxdz


   
 
 
Se considerar F(x, y, z) = 1, o resultado será o mesmo obtido na região anterior: 
 
1
.
6
V u v
. Tente e verifique!!! 
 
 
REGIÃO TIPO III 
 
 
1
0 0 0
( , , ) ( , , )
y y z
G
F x y z dV F x y z dxdz dy

   
 
ou 
1 1
0 0
( , , ) ( , , )
y z
z
G
F x y z dV F x y z dxdydz

   
 
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71 
EXERCÍCIOS 
 
1. Utilize uma integral tripla em coordenadas cartesianas para calcular o volume do 
sólido G limitado pelos planos y = 0, z = 0, y + z = 4 e pelo cilindro parabólico 
24 xz 
. (FAÇA UM ESBOÇO DO SÓLIDO) 
 
2. Esboçar a região de integração e calcular as integrais: 
a) 1 1 1
0 0 0
y x y
dzdxdy
  
  
 b) 
2
1 2
0 0
x x y
x
xdzdxdy
 
  
 
 
Respostas: 
a) b) 
 
 
3. Resolva a integral tripla 
G
I dV 
, onde G é o sólido, no 1º octante, delimitado 
pelo cilindro parabólico 
24x y 
, pelos planos 
5y z 
, 1
3
y x
 e x = 0. Em 
seguida, defina o significado do resultado encontrado. (FAÇA UM ESBOÇO DO 
SÓLIDO) 
Resposta: 
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72 
24V 
 (u. v). 
4. Calcule a integral 
G
I dV 
, onde G é o sólido, no 1º octante, delimitado pelo 
cilindro 
2 2 4 0x y y  
, pelo plano 
10x y z  
 e pelo plano z = 2. Em seguida, 
defina o significado do resultado encontrado. 
 
Resposta: 
 
127 1
. .
8 12
V u v   
 
 
5. Resolva a integral 
 2 2
G
I x y dV 
 onde G é o cilindro 
2 2 1x y 
 e 
0 4z 
. 
Resposta: 
 2 2 2
G
x y dV  

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