Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
CÁLCULO III Prof. Luly Rodrigues Profª. Edna Alves Oliveira - 2015 - UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 2 FFUUNNCCÕÕEESS DDEE VVÁÁRRIIAASS VVAARRIIÁÁVVEEIISS IINNDDEEPPEENNDDEENNTTEESS 1. DEFINIÇÕES: Considere o exemplo: "uma caixa d'água na forma retangular, com capacidade para 256 litros, sem tampa, deve ser construída com chapa de ferro galvanizado de espessura desprezível. Calcular as dimensões da caixa de maneira que seja mínima a quantidade de chapa metálica necessária para construí-Ia". Figura 3 -Caixa d'água retangular A quantidade de chapa metálica necessária para construir a caixa d'água será determinada pela área total: Atotal = 2xz + xy + 2yz - a cada terno de valores atribuídos a x, y, e z (domínio) corresponde um valor da área total (imagem). Dizemos que a área total (Atotal) é uma função com três variáveis independentes. Mas, sabe-se que xyz = 256 litros (equação), então, neste exemplo podemos diminuir o número de variáveis independentes para duas, pois, z = 256 / xy. Portanto, total 512 512 A xy y x . Pelo exemplo, pode-se definir função e equação: Função: "é uma correspondência que associa a cada elemento de seu domínio (D) a exatamente um elemento do seu contradomínio (I)". z y x UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 3 Equação algébrica: "é uma igualdade com incógnitas - representadas por variáveis (x, y, z) que pertencem ao conjunto dos reais". “Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa, a cada par ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D, um único valor real denotado por f(x,y). O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem, o conjunto de valores possíveis de f, ou seja, f x y x y D( , ) ( , ) .” (STEWART, 2007) Utilizando notações, pode-se definir uma função de várias variáveis da seguinte forma: D : Rn I : R Portanto, uma função de duas variáveis reais: D : R2 I : R D:(x,y) I:z f (x,y) Representação gráfica: UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 4 2. ESTUDO DO DOMINIO Domínio de uma função de duas variáveis (f(x,y)) : “é o mais amplo subconjunto de R2 em cujos pontos a função assume valores reais bem definidos”. Exemplos: a) Considere a função: x y f x,y x y . Este quociente só não é definido quando x - y = O, isto é, quando y = x. O domínio é, pois, o conjunto: 2D (x,y) R /y x . Geometricamente, D é o conjunto dos pontos do plano xy que não pertencem à reta y = x. b) Examinemos a função: 2 2 x y 7 f x,y 1 x y O numerador é um polinômio do 10 grau nas variáveis x e y, e, como tal, é definido em R2. Para que o denominador seja real e não nulo, deve-se ter: 1 -x2 -y2 > 0, ou x2 + y2 < 1. Segue-se que o domínio da função f (x, y) é Sabe-se da Geometria Analítica que D é 2 2 2D (x,y) /x y 1 o disco aberto de centro na origem e raio 1. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 5 EXERCÍCIOS SOBRE DOMÍNIO DAS FUNÇÕES DE DUAS OU TRÊS VARIÁVEIS 1. Estude o domínio das funções (represente algébrica e geometricamente). a) z f(x,y) xy Resposta: representação algébrica 2D x,y R / x 0 e y 0 x 0 e y 0 , representação geométrica do domínio: o primeiro e o terceiro quadrantes incluindo os eixos. b) z f(x,y) ln(y 3x) Resposta: 2D x,y R / y 3x c) z= y yxyxf 12 34),( 3 Resposta: 2 3D x,y R / x y 0 4 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 6 d) 2 2 y z f(x,y) x y Resposta: 2D x,y R e) 2 2 2xy z f(x,y) ln 36 x 9y Resposta: 2 2 2 x yD x,y R / 1 36 4 f) 2 2 2 4xy z w f(x,y,z) x y z Resposta: 3D x,y,z R / x,y,z 0,0,0 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 7 g) uv z f(u,v) u 2v Resposta: todos os pontos do plano uv, exceto os pontos da reta u = 2v. h) z= 2 23 ( , ) 9 x y f x y x y Resposta: 2 2 2D x,y R / x y 9 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 8 3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES (IMAGEM) As propriedades da função refletem-se no seu gráfico, por isso, este é um elemento de valor no estudo da função. Ao observar o gráfico de uma função, percebe-se imediatamente várias propriedades desta. O gráfico de uma função de duas variáveis trata-se de um subconjunto do espaço tridimensional R3. Esse gráfico denomina-se superfície representativa da função. A figura 4 ilustra o gráfico de funções duas variáveis. Cada ponto P = (x, y) do domínio D da função corresponde um único valor real z, na forma de notação tem-se: z = F (x, y). Figura 4 – Gráfico de funções de duas variáveis Exemplos: a) Represente graficamente z f (x,y) 6 2x 3y . Solução: esta função pode ser escrita na forma 2x 3y z 6 o que corresponde a equação de um plano. Sabe-se que, para representar geometricamente um plano, são necessários, no mínimo, três pontos, por exemplo: se x 0 e y 0 z 6 se x 0 e z 0 y 2 se y 0 e z 0 x 3 z y x UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 9 b) Represente graficamente z f (x,y) 5 . Solução: a superfície é um plano paralelo ao plano cartesiano XY, que intercepta o eixo Z em 5. c) Represente graficamente 2 2z f (x,y) 100 x y e trace as curvas de nível f(x, y)=0, f(x, y)=51 e f(x, y) = 75 no domínio de f no plano. Solução: o domínio de f é o plano xy, e a imagem de f é o conjunto de números reais menores ou iguais a 100. O gráfico é o parabolóide z = 100 –x2 – y2, uma parte se encontra ilustrada na figura 5. A curva de nível f(x, y) = 0 é o conjunto de pontos no plano xy nos quais: 2 2 2 2f (x,y) 100 x y 0 ou x y 100 que representa uma circunferência de raio 10 centrada na "origem. Similarmente as curvas de nível f (x,y) 51 e f(x,y) 75 (figura 5) são as circunferências: 2 2 2 2f (x,y) 100 x y 51 ou x y 49 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 10 2 2 2 2f (x,y) 100 x y 75 ou x y 25 A curva de nível f(x, y)= 100 consiste apenas a origem (ainda é uma curva de nível). Figura 5 - Gráfico e curvas de nível selecionadas da função f (x,y) = 100 – x2 – y2 Observe que a projeção (ortogonal) da superfície S sobre o plano xy é precisamente o domínio D da função. d) Represente graficamente 2 2z f (x,y) 1 x y . Solução: a superfície gerada é uma semi-esfera de centro na origem e raio 1. e) Represente graficamente 2 2z f (x,y) x y . Solução: asuperfície gerada é um parabolóide de revolução. 100 z f(x,y)=75 1 0 1 0 f(x, y) - 0 A superfície z = (f, x) = 100 –x2 – y2 é o gráfico de f y f(x,y) = 51 (uma curva de nível típica no domínio da função) x UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 11 f) Represente graficamente z f (x,y) 6 2x 3y . Solução: esta função pode ser escrita na forma 2x 3y z 6 o que corresponde a equação de um plano. Sabe-se que, para representar geometricamente um plano, são necessários, no mínimo, três pontos, por exemplo: se x 0 e y 0 z 6 se x 0 e z 0 y 2 se y 0 e z 0 x 3 3.1 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS Vimos que, em duas dimensões, o gráfico de qualquer equação do segundo grau x e y, 2 2Ax By Cx Dy Exy F 0 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 12 é uma seção cônica (salvo em casos degenerados). Em três dimensões, o gráfico de uma equação de segundo grau em x, y, z, 2 2 2Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0 é uma superfície quádrica (salvo em casos degenerados). Por simplicidade, limitaremos o estudo ao caso em que os coeficientes D, E, F, H, e I são todos zero. As equações mais gerais podem reduzir-se a este caso mediante translações e rotações adequadas de eixos. Há três tipos de superfícies quádricas: elipsóides, hiperbolóides e parabolóides. Os nomes se devem ao fato de que os traços em planos paralelos aos planos coordenados são em geral elipses, hipérboles e parábolas, respectivamente. A seguir, apresentam- se algumas superfícies quádricas com os traços em cada plano cartesiano. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 13 ELIPSÓIDE Traço Equação do Traço Descrição do Traço Esboço do Traço Traço-xy 2 2 2 2 x y 1 a b Elipse Traço-yz 2 2 2 2 y z 1 b c Elipse Traço-xz 2 2 2 2 x z 1 a c Elipse 2 2 2 2 2 2 x y z 1 a b c x y (0, b, 0) (a, 0,0) z z y (0, b, 0) x (0, 0, c) z y (0, b, 0) x (0, 0, c) (a, 0, 0) z y (0, b, 0) x (0, 0, c) (a, 0, 0) traço-yz traço-xy traço-xz UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 14 HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA Traço Equação do Traço Descrição do Traço Esboço do Traço Traço-xy 2 2 2 2 x y 1 a b Elipse Traço-yz 2 2 2 2 y z 1 b c Hipérbole Traço-xz 2 2 2 2 x z 1 a c Hipérbole 2 2 2 2 2 2 x y z 1 a b c z y (0, b, 0) x (a, 0, 0) z y (0, b, 0) x z y x (a, 0, 0) z y x traço em z = -k -k z = -k z = k UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 15 HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS Traço Equação do Traço Descrição do Traço Esboço do Traço Traço-xy 2 2 2 2 x y 1 a b Hipérbole Traço-xz 2 2 2 2 x z 1 a c Hipérbole 2 2 2 2 2 2 x y z 1 a b c traço em z = -k Traço em Z=K z = k y z x z y (0, b, 0) x z y x (0, 0, c) UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 16 - TABELA 1 – OS SEIS TIPOS NÃO DEGENERADOS DAS SUPERFÍCIES QUÁDRICAS SUPERFÍCIE EQUAÇÕES SUPERFÍCIE EQUAÇÕES ELIPSÓIDES 2 2 2 2 2 2 x y z 1 a b c Os traços nos planos coordenados são elipses, como também são elipses os traços em planos paralelos aos planos coordenados, que interceptam a superfície em mais de um ponto. CONE ELÍPTICO 2 2 2 2 2 x y z a b Os traços do plano xy é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos ao plano xy são elipses. Os traços yz e xz são pares de retas que se interceptam na origem. Os traços em planos paralelos a estes são hipérboles. HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA 2 2 2 2 2 2 x y z 1 a b c O traço no plano xy é uma elipse, como são os traços nos planos paralelos ao plano xy. Os traços nos planos yz e xz são hipérboles, bem como os traços nos planos paralelos a eles que não passam pelos interceptos x e y. Nestes interceptos, os traços são pares de retas concorrentes. PARABOLÓIDE ELÍPTICO 2 2 2 2 x y z a b O traço no plano xy é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos e acima dele são elipses. Os traços nos planos xz e yz, bem como em planos paralelos a eles são parábolas. HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS 2 2 2 2 2 2 z x y 1 c a b Não há traço no plano xy. Em planos paralelos ao plano xy que interceptam a superfície em mais do que um ponto os traços são elipses. Nos planos yz, xz e nos planos paralelos a eles, os traços são hipérboles. PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO 2 2 2 2 y x z b a O traço no plano xy é um par de retas que cruzam na origem. Os traços em planos paralelos ao plano xy são hipérboles. As hipérboles acima do plano xy abrem-se na direção y e as abaixo na direção x. Os traços nos planos yz e xz são parábolas, assim como os traços nos planos paralelos a estes. Y X z UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 17 EXERCÍCIOS SOBRE IMAGEM DAS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 1. Represente a função dada desenhando algumas curvas de nível, no mesmo plano coordenado, e tente visualizar a superfície a partir do mapa de contorno resultante. a) 2 2z f(x,y) x y : Resposta: curvas de nível – circunferências concêntricas centradas na origem / superfície – parabolóide circular b) 2 2z f(x,y) y x Resposta: curvas de nível – hipérboles que interceptam os eixos x (se K < 0) e o eixo y (se K > 0) e retas que passam pela origem (se K = 0) / superfície: parabolóide hiperbólico (sela) 2. Esboce a superfície definida pelas funções ou equações. a) 2 2z f(x,y) 36 9x 4y e) 2 2z f(x,y) 9x 4y 36 b) 2 2z f(x,y) 72 4x 9y f) 2 2z f(x,y) 9x 4y 36 c) 2 2z f(x,y) 9 x y g) 2 2z f(x,y) 25 x y d) z f(x,y) 4 4x 2y h) 2 2x 4y z 16 Respostas: (a)(b) UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 18 (c) (d) 3. Ache a equação da curva ou da superfície de nível de f que contém o ponto P. a) f(x,y) yarctg x;P(1;4) : Resposta: y arctg x = b) 2 xyf (x,y) (2x y ) e ; P(0; 2) Resposta: (2x + y2) exy = 4 c) 2 2 2f (x,y,z) x 4y z ; P(2; 1; 3) / FAÇA UM ESBOÇO DA SUPERFÍCIE DE NÍVEL Resposta: 2 2 2x 4y z 1 / hiperbolóide de duas folhas d) 2 2f (x,y) 2x y ; P(0, 2) / FAÇA UM ESBOÇO DA CURVA DE NÍVEL QUE CONTÉM P Resposta: 2 2x y 1 2 4 / elipse e) 2 2f (x,y,z) x 4y z; P(2; 1; 12) / FAÇA UM ESBOÇO DA SUPERFÍCIE DE NÍVEL Resposta: 2 2z x 4y 4 / parabolóide elíptico 4. Uma chapa plana de metal está situada em um plano xy, de modo que a temperatura T (em ºC no ponto (x,y) é inversamente proporcional à distância do ponto até a origem. a) Descreva as isotérmicas; Resposta: círculos com centro na origem b) Se a temperatura no ponto P (4, 3) é de 40ºC, ache a equação da isotérmica para uma temperatura de 20ºC. Resposta: x2 + y2 = 100 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 19 5. De acordo com a lei da gravitação universal de Newton, se uma partícula de massa m0 está na origem de um sistema coordenado xyz, então o módulo F da força exercida sobre uma partícula de massa m situada no ponto (x, y, z) é dada por: 0 2 2 2 Gm m F x y z em que G é a constante de gravitação universal. a) Quantas variáveis independentes estão presentes? b) Se m0 e m são constantes, descreva as superfícies de nível da função x, y, z resultante. Qual o significado físico dessas superfícies de nível. Respostas: a) cinco b) esferas com centro na origem. 6. Se o potencial elétrico no ponto P(x, y, z) é dado por V = 6 / (x2 + y2 + 9z2)1/2, ache a equação da superfície equipotencial (superfície de nível) quando V = 120 volts e faça um esboço desta superfície. Resposta: a superfície equipotencial é um elipsóide. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 20 4. DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Se z f (x,y), então a derivada parcial de f em relação à x (também chamada de derivada de z em relação à x) é a derivada em relação à y da função que resulta quando y é mantido fixo e x é permitido variar. Essa derivada parcial é denotada por x f f (x,y) x e pode ser expressa como limite: x x 0 f f (x x,y) f (x,y) f (x,y) lim x x Analogamente, a derivada parcial de f em relação à y (também chamada de derivada parcial de z em relação à y) é a derivada em relação à y da função que resulta quando x é mantido fixo e y é permitido variar. Esta derivada parcial é denotada por y y 0 f f (x,y y) f(x,y) f (x,y) lim y y Exemplos: a) Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função 3 2z f (x,y) x y sen 2x : Solução 2 3 2 x f f (x,y) 3x sen 2x 2 x y cos 2x y é cons tante x y f f (x,y) 2y sen 2x x é cons tante y b) Exemplo de uma função de três variáveis independentes Se os resistores elétricos R1, R2, R3 ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir da equação: 1 2 3 1 1 1 1 R R R R (Figura 6). Encontre o valor 2 R R quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 ohms. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 21 Figura 6 – Resistores em paralelo Solução: para encontrarmos 2 R R tratamos R1 e R3 como constantes e derivamos ambos os lados da equação em relação a R2. 32122 R 1 R 1 R 1 RR 1 R 0 R 1 0 R R R 1 2 222 2 2 2 2 2 2 R R R R R R Quando R1=30, R2=45 e R3=90, 15 1 90 1 45 1 30 1 R 1 , assim R = 15 e 9 1 3 1 45 15 R R 22 2 + - R1 R2 R3 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 22 4.1 Interpretação geométrica das derivadas parciais A derivada parcial 0000 ,),( yx x f yxf x é a inclinação da tangente `a curva C1 [z = f(x, y0)] no ponto P (x0, y0) - (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva C1 em P forma com o eixo X) – ver figura 7. Figura 7 – Interseção do plano y = y0 com a superfície z = f(x, y) vista de um ponto acima do primeiro quadrante do plano xy – Fonte/ THOMAS, 2003. A derivada parcial y f )y,x(f y é a inclinação da tangente `a curva C2 [z = f(x0, y)] no ponto P – (tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva C2 em P forma com o eixo Y) – ver figura 8. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 23 Figura 8 – Interseção do plano x = x0 com a superfície z = f(x, y) vista de um ponto acima do primeiro quadrante do plano xy– Fonte/ THOMAS, 2003. As tangentes às duas curvas C1 e C2 em P são, em geral, duas retas concorrentes em P (figura 9), as quais determinam um plano que se diz plano tangente à superfície definida pela função z = f(x, y). Figura 9 – As figuras 7 e 8 combinadas – as retas tangentes no ponto P (x0, y0) determinam um plano tangente à superfície z = f(x, y). UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 24 EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1. Em cada caso achar as derivadas parciais y yxf e x yxf ),(),( das funções dadas: a) f(x, y) = ( x³ + y³ ) ( x – y ) d) f(x, y) = ln ( x² + 3y² ) b) f(x, y) = sen ( x + y ) + cos ( x – y ) e) )y3x( y )y,x(f c) f(x, y) = ( x² + xy + y² )³ f) xye)ylnx()y,x(f g) 2xye)y,x(f Respostas: a) fx=4x³ + y³ - 3x²y , fy = 3xy² - x³ - 4y³ b) fx = cos (x + y) – sen (x – y) , fy = cos ( x + y ) + sen ( x – y ) c) fx=3( x² + xy +y² )² ( 2x + y ) , fy = 3( x² + xy +y² )² ( x + 2y ) d) 232 2 yx x xf , 232 6 yx y yf e) 23y)(x y xf , 23y)(x x yf f) ylny)xy(1exf xy ; y 1 xlnyxeyf 2xy 2. Calcular as derivadas parciais primeiras da função f(x,y) = ln ( x tg (y) ) no ponto 4 ;3: P . Respostas: 2)( 3 1 )( P y f eP x f 3. O volume de uma certa quantidade de gás é determinada pela temperatura (T) e pela pressão (P) através da fórmula 0,08 T V P . Calcule e interprete V V e P T quando P = 20 N/m² e T = 300 K. Respostas:3 3 2 (20;300) 0,06 (20;300) 0,04 / V m V m e P N m T K UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 25 4. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem - )y;x( x f e )y;x( y f - da função 3 2 22 yx)y,x(f e descreva em quais pontos as derivadas parciais de primeira ordem deixam de existir (faça o gráfico). 5. Imagine uma chapa metálica – fina e retangular – desigualmente aquecida sobre o plano XY, com o canto inferior esquerdo na origem x e y, conforme Figura 1: Figura 1 - Chapa metálica sobre o plano XY (X e Y são distâncias em centímetros). A temperatura (em graus Celsius) no ponto (x, y) é 22 5 ),( yx x yxT . No ponto P (3, 4), pede-se: (a) a taxa de variação instantânea da temperatura em relação à distância quando uma partícula, sobre a placa, move-se para a direita e paralelamente ao eixo X, a partir do ponto P; (b) a taxa de variação instantânea da temperatura em relação à distância quando uma partícula, sobre a placa, move-se para cima e paralelamente ao eixo Y, a partir do ponto P; (c) interprete os resultados encontrados nas letras (a) e (b). 6. Calcular a inclinação da tangente à curva segundo a qual o plano y = 1 corta o parabolóide de revolução z = x² + y², no ponto P:( 2; 1; 5 ). UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 26 Resposta: 1 4tan . 7. Calcular a inclinação da tangente à curva C1, que corresponde à interseção da superfície 2 3z f x y 4x y xy( , ) com o plano y = 2, no ponto P (3, 2, 48). Resposta: 1 40 88 57tan , . 5. DIFERENCIAL TOTAL A diferencial de uma função f em um ponto é uma combinação linear das diferenciais das projeções x e y tendo como coeficientes as derivadas parciais da função no dito ponto. Se f = f (x, y), tem-se: f f df dx df x y Se f é uma função de n variáveis, a diferencial é dada pela expressão: 1 2 3 n 1 2 3 n f f f f df dx dx dx ... dx x x x x Usando um somatório, pode-se escrever, de modo mais condensado: n k k l k f df dx x UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 27 EXERCÍCIOS SOBRE DIFERENCIAL TOTAL 1. Determinar a diferencial total da função: y z arc tg x a) em um ponto genérico ( x, y ), x O; Resposta: 2 2 1 dz ydx xdy x y b) no ponto P:( 1,-2). Resposta: 1 dz 2dx dy 5 2. Uma lata de metal fechada, na forma de um cilindro circular reto, deve possuir altura interna igual a 6 cm, raio interno de 2 cm e espessura de 0,1 cm. Se o custo do metal a ser usado é de 10 centavos por cm3, encontre por diferenciação o custo aproximado do metal a ser usado na fabricação da lata. Resposta: custo por lata = R$ 1,00 3. Deseja-se dimensionar um vaso, na forma de um cilindro circular reto, de aço inoxidável, cujas dimensões internas são: altura igual a 40 cm, diâmetro de 20 cm. Sabendo que a espessura da chapa é de 1 mm, qual é o volume do material empregado? (USE O CONCEITO DE DIFERENCIAL TOTAL) 4. Determine a quantidade de estanho numa lata cilíndrica fechada com 7,5 cm de diâmetro e 15 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,03 cm. (Utilize o conceito de diferencial total). Resposta: v 4 219, cm3 5. Utilize o conceito de diferencial total para determinar o máximo erro no cálculo da área da superfície e no cálculo de volume de uma caixa aberta retangular com altura = 25 cm, largura = 30 cm e comprimento = 70 cm , com erro máximo de 0,3 cm em cada dimensão. Respostas: v 1380 cm3 e A 120 cm2 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 28 6. A potência consumida numa resistência elétrica é dada por R V P 2 watts. Se V = 12 volts e R = 6 ohms, determine o valor da variação da potência se V é aumentada de 0,015 volts e R é aumentada de 0,002 ohms. Interprete o sinal do resultado: a potência é reduzida ou aumentada? (Utilize o conceito de diferencial total). Resposta: P 0 052, watts 7. Seja um retângulo com lados 3x cm e 4y cm. Utilize o conceito de diferencial total para definir a variação aproximada da diagonal deste retângulo, sabendo que o lado x foi aumentado 005,0 cm e o lado y diminuído 0,004 cm. Resposta: 0002,0dD cm 8. A resistência de um circuito elétrico é dada por E R I ( ohms). Sabendo que E = 18 V (volts) e I = 6 A (ampères), porém, foi feita a leitura de E = 17,985 V e I = 6,125 A, determinar a variação da resistência. (Utilize o conceito de diferencial total). Resposta: R 0 063, (ohms) / CORRIGIR -0,065 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 29 EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 1. Calcular as derivadas parciais de segunda ordem das funções e verificar que xy yxf f a) xf (x,y) e sen(y) ln(xy) b) 2 2x y f(x,y) ,x 0 e y 0 y x c) x y yf(x,y) e ln ,x 0 e y 0 x Respostas: a) x x x xx yy xy yx2 1 1 f e seny , f e seny , f f e cosy 2 y b) x x x xx yy xy yx2 1 1 f e seny , f e seny , f f e cosy 2 y c) x x y y xx yy2 2 3 2 1 1 x x 1 f e , f e 2 yy x y y x y xy yx 2 1 x f f e 1 yy 2. Determine o conjunto domínio e calcule as derivadas parciais de 2a ordem de cada uma das funções: a) x xyyyxf 24 712),( 2 b) 325 158),( yxxyyxf c) y yxyxf 12 34),( 3 d) 2 2 3 ),( x x t t txf e) 125),( 25 srsrsrf f) yyxyxf 5)cos()sen(3),( 2 Respostas: a) 2 3 127 xy x f 2 5 2 2 18 )( x x f xy y f 724 24 )( 2 2 y f 7 22 xy f yx f 0/),( 2 )( xIRyxD f UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 30 b) 35 4 2)15( 5 1 xyx x f 35 9 2 2 2)15( 25 4 )( yx x f 2238 yx y f yx y f 2 2 2 6 )( 2 22 6xy xy f yx f 2 )( ),( IRyxD f c) 2 1 )34(2 x x f 2 3 2 2 )34(4 )( x x f 23 2 12 3 1 yy y f 33 5 2 2 24 9 2 )( yy y f 0 22 xy f yx f 0, 4 3 /),( 2)( yxIRyxD f d) xtx x f 22 22 )( 3 2 2 tx x f 136 xt t f 4 2 2 18 )( t t f2 22 x xt f tx f 2fD x t IR x 0 e t 0( ) ( , ) / e) 2425 sr r f 3 2 2 100 )( r r f 2 1 )12(2 srs s f 2 3 2 2 )12(2 )( sr s f s rs f sr f 2 22 2 1 /),( 2)( sIRsrD f f) )cos(3 x x f )sen(3 )( 2 2 x x f 5)s e n (2 2 yy y f )sen(2)cos(4 )( 222 2 2 yyy y f 0 22 xy f yx f 2)( ),( IRyxD f 3. Determine o domínio (algébrico e geométrico) e a derivada parcial 4 xzyx f f x y z x da função 2 f ( x,y,z ) 3xz x y z 4 , no ponto P (1, -1, 1). UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 31 6. PLANO TANGENTE E RETA NORMAL 6.1 Plano tangente Seja z = f (x, y) uma função diferenciável no ponto P:(xo; yo). Quando passamos do ponto P a um ponto próximo (x, y) o acréscimo z f da função é (eq. [1]) : f f z f (P) x (P) y x y [1] ou 0 0 0 f f z z (P)(x x ) (P)(y y ) x y [2] A equação [2] representa um plano do espaço, o qual passa pelo ponto P:(xo; Yo), pertencente ao gráfico da função z = f(x, y). Trata-se do plano tangente ao gráfico de f no ponto P. Observando os resultados, concluímos que o valor f (x, y) da função em um ponto (x, y) próximo de (x0; y0) é aproximadamente igual à cota z do plano tangente ao gráfico de f no ponto P:(x0; Y0; f(x0; y0)). Desse modo quando escrevemos (eq.[3]): x0 x0 Z = f (x, y) z0 0 0 f tg (x ,y ) y y z P: (x0, y0, z0) x x 0 0 f tg (x y ) x UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 32 0 0 f f f (x,y) (P)(x x ) (P)(y y ) x y [3] estamos substituindo a superfície de equação z f(x, y), na vizinhança do ponto P:(x0, y0, f(x0;y0)), pelo plano tangente neste ponto. 6.2 Reta normal “A normal à superfície no ponto P é a reta que passa por P e é perpendicular ao plano tangente neste ponto”. Portanto, da equação [2] do plano tangente: 0 0 f f (P)(x x ) (P)(y y ) (z c) 0 x y deduzimos que a direção da normal é dada pelo vetor f f v (P); (P); 1 x y . Portanto, podemos escrever a equação cartesiana da normal à superfície em P na forma (eq. [4]): 0 0 0x x y y z z f f 1 (P) (P) x y [4] UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 33 EXERCÍCIOS SOBRE PLANO TANGENTE E RETA NORMAL 1. Achar a equação do plano tangente e a equação da normal ao parabolóide elíptico: 2 2z f (x,y) 2x 5y no ponto P:( -2; 1: 13 ) Resposta:plano tangente: 8x-10y+z+13=0 reta normal: 2 1 13 8 10 1 x y z . 2. Considere a superfície definida pela função z = f(x,y) = e3x sen(3y) e o ponto P : 0, 6 . Determine: a) a inclinação do plano tangente em relação aos eixos cartesianos no ponto P e a equação cartesiana do plano; b) a equação da reta normal à superfície em P. Respostas: a) Inclinação do plano 1 x y f (P) 3 tan 3 e f (P) 0 plano paralelo ao eixo Y / Equação do plano tangente: 3x – z + 1 = 0; b) reta x 3t normal: y 6 z t 1 Equação paramétrica da reta UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 34 7. DERIVADA DIRECIONAL / GRADIENTE A derivada da função f = f(x, y), no ponto P, na direção de um vetor S é dada pelo produto escalar do gradiente f (P) e o vetor unitário 0S , isto é: 0 S f D f(P) f(P) S S Sendo: 0 S S S - vetor unitário; i j k x y z - operador diferencial vetorial; f f f f i j k x y z - gradiente de uma função f = f(x, y, z). EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADA DIRECIONAL / GRADIENTE 1. Calcular a derivada da função 4 2 2 3z x 3x y 2y 5xy 3x 5 , no ponto P:(-1,2), na direção de cada um dos vetores dados a seguir: a) 3 1 u i j 2 2 Resposta: 1 17 13 3 2 b) u 6i 3j Resposta: 9 5 c) AB, sendo A :(1; 3) e B:(3; 5) Resposta: 2 2 d) w z(P) Resposta: 458 2. Dada a superfície de nível: e2z (sen x - cos y) = 1 e o ponto P:(0, , 0). Determine: a) o gradiente da função f (x,y, z) em P; Resposta: f (P) gradf (P) i 2K b) explique o significado geométrico do resultado obtido na letra a. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 35 3. Determinar a equação do plano tangente à esfera x2 + y2 + z2 = 14, no P:(3, 1, -2). Resposta: 3x + y - 2z - 14 = O . UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 36 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1. Esboce o domínio de f. Use as linhas cheias para a parte que inclui a fronteira no domínio e linhas tracejadas para as que não incluem. a) xyln y)f(x, ; b) 3 1 y)f(x, 2 22 y yx ; c) 222x-25 z)y,f(x, zy . Respostas: a) primeiro e terceiro quadrante, exceto os pontos pertencentes aos eixos cartesianos; b) os pontos pertencentes à circunferência centrada na origem de raio 1 e os externos à essa circunferência; c) esfera centrada na origem de raio 5 e os pontos externos à essa esfera. 2. Esboce a superfície definida pela função:. a) 22x-1 y)f(x, y ; b) 1y)f(x, 22 yx ; c) 3y-2x-6 y)f(x,z ; d) 164x-y y)f(x, 22 Respostas: a) b) UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 37 c) d) 3. Esboce as curvas de nível de f para os valores dados de k . a) 22y y)f(x, x k = -4 , 0 , 9 b) yx 2y)f(x, k = -2 , 0 , 3 c) 22 32-x y)f(x, y k = 1 , 4 , 9 Respostas: a) b) c) 4. Esboce a superfície de nível de f(x,y,z) = k . a) 222 44x z)y,f(x, zy , k = 16; b) f(x,y,z) 4x 2y z , k = 1. 5. Determine o gradiente de f em P e então useo gradiente para calcular a derivada de f na direção do vetor u . Sendo: UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 38 kjiuPzyzyx 13 12 13 4 13 3 ;4,2,1;)32xln(),,(f 222 Respostas: 741 314 )(; 57 24 57 8 57 2 )(f grad PfDkjiP u 6. Determine a derivada direcional de zx y zyxf ,, em P(2, 1, -1) na direção de P a Q(-1, 2, 0). Resposta: 11 3 7. Determine um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e determine a taxa de crescimento de f naquela direção. 1,1,1;1),,(f 323 Pzzyzxzyx Respostas: 23)(; 2 1 2 1 Pfgradjiu 8. A temperatura (em graus Celsius) em um ponto (x, y, z) de um sólido de metal é 221 ,, zx xyz zyxT (a) Determine a taxa de variação da temperatura em relação à distância em P(1, 1, 1) na direção da origem. (b) Determine a direção na qual a temperatura eleva-se mais rapidamente a partir do ponto P. (Expresse a sua resposta como um vetor unitário). (c) Determine a taxa na qual a temperatura eleva-se movendo de P na direção obtida na letra (b). 9. A temperatura (em graus Celsius) em uma região no espaço é dada por: T(x, y, z) = 2x2 – xyz. Uma partícula se move nesta região e sua posição no instante t é dada por x = 2t2, y = 3t, z = -t2, onde o tempo é medido em segundos e a distância em metros. (a) Qual é a taxa de variação máxima da temperatura “sentida” pela partícula em graus Celsius por metro quando a partícula está no ponto P:(8, 6, -4). UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 39 (b) Qual é a taxa de variação da “sentida” pela partícula em graus Celsius por segundo em P? Respostas: (a) 80,4 ºC/m ; (b) 352 ºC/s EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 10. Um prédio industrial de formato retangular com dimensões x, y, e z está esquematizado na Fig.1 (a). Na Fig. 1 (b) fornecemos a quantidade de calor perdida por dia através de cada uma das laterais do prédio, do teto, e do piso, medidas em unidade apropriada de calor, por metro quadrado. Seja f(x,y,z) a perda de calor total em um dia. Figura 1 – Esquema do formato retangular de um prédio retangular e quantidade de calor perdida por dia (a) Encontre uma fórmula para f(x,y,z). (b) Encontre a perda total de calor diária tendo o prédio o comprimento de 100 m, largura de 70 m e altura de 50 m. (c) Calcule x f , y f e z f . (d) Calcule )1,3,2( f z . (e) Interprete o resultado obtido na letra (d) UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 40 11. FUNÇÃO PRODUÇÃO Os custos de um processo de manufatura podem em geral ser classificados em dois tipos: custo de mão-de-obra e custo de capital. O significado do custo de mão-de- obra é evidente. Por custo de capital entendemos a soma de diversos custos, como o de prédios, ferramentas, maquinário e itens similares utilizados no processo de produção. Usualmente um empresário tem algum controle sobre parte dos custos de mão-de-obra e capital utilizados em seu processo de produção. Ele pode automatizar completamente a produção, de forma a reduzir a mão-de-obra para o mínimo possível, ou pode utilizar mão-de-obra ao máximo e reduzir os custos de capital. Suponha que x unidade de mão-de-obra e y de capital sejam utilizadas. Seja f(x,y) o número de unidades acabadas do produto manufaturado. Economistas descobriram que f(x,y) é freqüentemente uma função da forma: Ay 1AxC y)f(x, , em que A e C são constantes, 0 < A < 1. Um função desse tipo é chamada de Função Produção de Cobb-Douglas. (SCHNEIDER, David I.; LAY, David C.; GOLDSTEIN, Larry J. Matemática Aplicada – Porto Alegre: Bookman, 2000). (Produção em uma empresa) Suponha que durante um certo período de tempo o número de unidades de bens produzidos, quando utilizando x unidade de mão-de- obra e y unidades de capital, é 4/13/4x60 y)f(x, y . (a) Quantas unidades do bem serão produzidas, utilizando 81 unidades de mão- de-obra e 16 unidades de capital? (b) Mostre que a produção será dobrada sempre que as quantidades de mão-de- obra e capital forem dobradas. (Economistas dizem que a função produção tem “retorno constante por escala”). (c) Determine a curva de nível na qual 600 unidades são produzidas. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 41 Resposta: Figura 2 – Representação geométrica da curva de nível definida na letra (c). (d) Encontre x f e y f . Observação: as quantidades x f e y f são comumente chamadas de produtividade marginal de mão-de-obra e de produtividade marginal de capital. (e) Encontre x f e y f , em x = 81 e y = 16. (f) Interprete os valores obtidos na parte (e). 12. A produtividade de um país é dada por 3/12/3x300 y)f(x, y , em que x é a unidade de mão-de-obra e y unidades de capital. (a) Calcule as produtividades marginais de mão-de-obra e capital quando x = 125 e y = 64. (b) Seja h um número pequeno. Utilize o resultado do item (a) para determinar o efeito aproximado na produção, provocado pela mudança na quantidade de mão-de-obra de 125 para 125+h unidades, enquanto o capital permanece fixo em 64 unidades. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 42 (c) Utilize o resultado da letra (b) para determinar o efeito aproximado de decrescer a mão-de-obra de 125 para 124 unidades, enquanto o capital permanece fixo em 64 unidades. (d) Qual seria, aproximadamente, o efeito na produtividade provocado pelo aumento de capital de 64 para 66 unidades, enquanto a mão-de-obra permanece fixa em 125 unidades? REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, Howard. Cálculo um novo horizonte. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 6 ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. (Tradução de: Calculus). V.2. ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2v. LElTHOLD, Luiz. O cálculo com geometria analítica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Tradução de: The calculus with analytic geometry). V.2. SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. Trad. Seiji Hariki. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. 807p. (Tradução de: The calculus with analytic geometry). V.2. SWOKOWSKI, Earl. W. Cálculo com geometria analítica. Trad. Alfredo Alves de Faria. 2 ed. São Paulo: Makron Books. (Tradução de: Calculus). Y.2. Notas de aula do Prof. Edson Durão Judice – Funções de Várias Variáveis. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 43 IINNTTEEGGRRAALL DDUUPPLLAA Disponível em: www.pucrs.br/famat/beatriz/calculoII /INTEGRAL_DUPLA.doc 1. DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. Considere uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado (FIG. 1) R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }. Figura 1 – Região retangular R.Vamos, inicialmente, supor f(x, y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y) – conforme ilustra a figura 1. Figura 2 – Gráfico de uma superfície S definida em um retângulo fechado R. y b a x d c R UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 44 Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja, S = {(x,y,z) IR3| (x,y) R, 0 < z < f(x,y)}. Nosso objetivo é determinar o volume de S. O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j } cada um dos quais com área A = xy – ver figura 3. Figura 3 – Divisão da região retangular R em sub retângulos. Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base (Figura 4): Vij = f(xij , yij)A. R UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 45 Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S: V m 1j ijij n 1i A)y,x(f Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados. Figura 4 – Volume de um prisma (Vij) interno ao sólido limitado inferiormente pela região R e superiormente pela superfície S. A aproximação V m 1j ijij n 1i A)y,x(f melhora quando aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que: V = m 1j ijij n 1i n,m A)y,x(flim . Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 46 Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição: A integral dupla de f sobre o retângulo R é R dA)y,x(f m 1j ijij n 1i n,m A)y,x(flim se esse limite existir. Pode-se provar que o limite existe sempre que f for uma função contínua. Além disso, se f(x,y) > 0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x.y) é: R dA)y,x(fV . A soma m 1j ijij n 1i A)y,x(f é chamada soma dupla de Riemann e é usada como aproximação do valor da integral dupla. 2. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS: 1) DDD dA)y,x(gdA)y,x(fdA)]y,x(g)y,x(f[ 2) DD dA)y,x(fcdA)y,x(cf , onde c é uma constante 3) 21 DDD dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f , se D = D1 D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas fronteiras. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 47 3. EXEMPLO O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado Rij. Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela soma de Riemann com m = n = 2, temos: 2 1j ijij 2 1i A)y,x(fV = f(1,1)A + f(1,2) A + f(2,1) A + f(2,2) A = 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34 Esse é um volume aproximado das caixas, como mostra a figura 5: UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 48 Figura 5 – Sólido limitado superiormente pelo parabolóide elíptico e inferiormente pelo retângulo R. Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de quadrados. A figura 6 mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados. Figura 6 – Melhor precisão matemática: maiores subdivisões retangulares. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 49 INTEGRAIS ITERADAS Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo: d c b a b a d cR dydx)y,x(fdxdy)y,x(fdA)y,x(f Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R. Exemplo 2: Calcule o valor da integral R 2 ydAx , onde R = [0,3] x [1,2] Solução: R 2 ydAx = 3 0 2 1 2 dxydyx = 3 0 2 1 2 2 dx 2 y x = 3 0 22 dx 2 1 x 2 4 x = y 3 2 x 1 0 R UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 50 3 0 2 dxx 2 3 = 3 0 3 3 x 2 3 = 5,13 2 27 2 x 3 0 3 ou R 2 ydAx = 2 1 3 0 2 dyydxx = 2 1 3 0 3 dyy 3 x = 2 1 dy0y 3 27 = 2 1 dyy9 = 2 1 2 2 y9 = 5,13 2 27 2 9 2 36 O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x2y (Veja figura ao lado) Exemplo 3: Calcule R dA)xysen(y , onde R = [1,2] x [0,]. Solução: 00sen0sen 2 1 sensen 2 1 yseny2sen 2 1 dy)ycosy2cos( dyxycosdydx)xysen(ydA)xysen(y 00 0 2 1 0 2 1R Obs.: 1) Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a resolução das mesmas irá requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando o trabalho mais demorado. Portanto, é importante observar o tipo de função que iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integração. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 51 2) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do sólido que está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido queestá abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais. Exemplo 4: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. Solução: Observemos, primeiro, que S é o sólido que está abaixo da superfície z = 16 – x2 – 2y2 e acima do retângulo R = [0,2] x [0,2], como mostra a figura. Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla: UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 52 48 3 8.42.88 3 y 4y 3 88 dyy4 3 88 dyy4 3 8 32 dyxy2 3 x x16 dydxy2x16 dAy2x16V 2 0 3 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 3 2 0 2 0 22 R 22 INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES NÃO RETANGULARES (IRREGULARES) Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R por f ( x,y ), se x,y estáemD F( x,y ) 0, se( x,y )estáemDmasnãoestáemR D RRR RRR x x y y 0 0 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 53 Se a integral dupla de F sobre D existe, então definimos a integral dupla de f sobre R por R D f ( x,y )dA F( x,y )dA Cálculo da integral dupla em regiões planas não retangulares (irregulares) 1) Regiões planas inscritas em faixas verticais: Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja: D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) } onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: b a )x(g )x(gD dxdy)y,x(fdA)y,x(f 2 1 sempre que f for contínua em D. DDD x y 0 DDD x y 0 DDD x y 0 b b b a a a y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x) y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x) UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 54 2) Regiões planas inscritas em faixas horizontais: Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja: D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: d c )x(h )x(hD dydx)y,x(fdA)y,x(f 2 1 sempre que f for contínua em D. Exemplo 5: Calcule D dA)y2x( onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. Solução: A região D está inscrita na faixa vertical – 1 < x < 1, pois essas são as abscissas dos pontos de intersecção das duas parábolas e podemos escrever: D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2 } Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas: DDD x y 0 DDD x y 0 DDD x y 0 d d d c c c x = h1(y) x = h1(y) x = h1(y) x = h2(y) x = h2(y) x = h2(y) x y –1 1 y = 2x2 y = 1 + x2 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 55 15 32 x 2 x 3 x 2 4 x 5 x 3 dx1xx2xx3 dxx4x2xx21xx dxx4x2)x1()x1(x dxyxydxdy)y2x(dA)y2x( 1 1 2345 1 1 234 1 1 43423 1 1 43222 1 1 x1 x2 2 1 1 x1 x2D 2 2 2 Exemplo 6: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto: D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x } Assim, o volume é: 35 216 21 128 5 32 12 16.14 21 x 5 x 12 x14 dx 3 x x 3 x14 dx 3 x x 3 x8 x2dx 3 y yx dxdyyxdAyxV 2 0 7542 0 6 4 3 2 0 6 4 3 3 2 0 x2 x 3 2 2 0 x2 x 22 D 22 2 2 y = 2x y = x2 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 56 Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com: D = { (x,y) | 0 < y < 4, yx 2 y } Portanto, o volume pode ser calculado como: 35 216 256. 96 13 128. 7 2 32. 5 2 y 96 13 y 7 2 y 15 2 dyy 24 13 yy 3 1 dy 2 y 24 y y 3 y xy 3 x dydxyxdAyx(V 4 0 42 7 2 5 4 0 32 5 2 3 4 0 33 2 52 34 0 y 2 y 2 34 0 y 2 y 22 D 22 Exemplo 7: Calcule D xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. Solução: A interseção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: [y2 = 2x + 6] [y = x – 1] 2 6y x 2 e x = y + 1 1y 2 6y2 y 2 – 2y – 8 = 0 y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 ) Portanto os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4). Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrição de D considerada inscrita na faixa vertical -3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior é constituída y2 = 2x + 6 y = x – 1 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 57 por mais de uma curva. Assim, preferimos expressar D como: D = { (x,y) | -2 < y < 4, 2 6y 2 < x < y + 1 } Logo: 3664 3 64 64 3 32 256 3 512 1024 3 2048 8 1 y16 3 y 8y4 6 y 8 1 dy 4 y32y8y16y 2 1 dy) 8 y36y12y 2 yy2y ( dyy 2 x dyxydxxydA 4 2 2 3 4 6 4 2 235 4 2 3523 4 2 1y 2 6y 24 2 1y 2 6yD 2 2 Exemplo 8: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está. Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro: (1, ½, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 2) x + 2y + z = 2 x = 2y x y z x y 1 1 ½ x + 2y = 2 x = 2y D T UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 58 A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2. Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0. O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como: D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }. Portanto o volume de T é: 3 1 3 x xxdxxx21 dx 4 x 2 x x 4 x x1 2 x xx2 dx 4 x 2 x x 2 x 1 2 x 1x 2 x 12 dxyxyy2dxdyy2x2dAy2x2V 1 0 3 2 1 0 2 1 0 2222 1 0 222 1 0 2 x1 2 x 2 1 0 2 x1 2/xD UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 59 EXERCÍCIOS SOBRE INTEGRAL DUPLA EM COORDENADA CARTESIANA E POLAR 1. Faça um esboço da região R (região de integração) e calcule as integrais: a) 2 1 2 0 32 dxdyyx b) 1 0 2 2 y y dydxyx c) 4 0 2 3 0 216 x dxdyx d) 2 1 2 2 21 y y dydxx 2. Calcule a integral dupla R dAxy2 (considerando dA = dx dy e dA = dy dx), sendo R a região entre a parábola 2yx e a reta xy , 3. Calcule a integral dupla R dAx21 (considerando dA = dx dy e dA = dy dx). R é a região limitada entre a parábola 2yx e a reta 2 yx , 4. Calcule a integral R I x dS , sendo R a região, pertencente ao plano XY (no 1º quadrante), limitada pelas equações 2y x , y x e 2 2 4x y . 5. Utilize integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos 2 4x y z , x = 0, y = 0 e z = 0. 6. Calcule a integral R I y dS , sendo R a região, pertencente ao plano XY (no 1º quadrante), limitada pelas equações 2 y x , y x e 2 2 16x y . 7. Utilize integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos 2 2x y z , x = 0, y = 2x e z = 0. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 60 8. Use a integral dupla para calcular as áreas das regiões limitadas pelas curvas: a) 2yx e 2 xy b) 2xxy e 0 xy c) 2 xy e 2 xy d) 2yx e xy e) xy e 23 xxy EXERCÍCIOS SOBRE COORDENADA POLAR E INTEGRAL DUPLA EM COORDENADA POLAR 1. Determine as equações polares para as curvas dadas em equações cartesianas: (a) xy = 3 Resposta: r2 sen 2 = 6 (b) (x2 + y2)2 = x2 – y2 Resposta: r2 = cos 2 (c) x3 = y2 (2a – x) Resposta: r = 2a sen tg 2. Esboce o gráfico das seguintes equações polares: (a) r = a (b) = 6 3. Converta a função em coordenadas polares r = 2a sen para coordenadas cartesianas e faça um esboço da curva definida pela função. 4. Ache a área da menor das regiões delimitadas pelo eixo polar, pelos gráficos de r=1 e r=2 e pela parte da espiral r=1 de = 2 1 a =1. Resposta: 1 x r = 2 r = 1 r = 1 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 61 5. Utilize coordenadas polares para calcular R dSyx 2 3 22 onde R é a circunferência x2 + y2 = 4. Resposta: 5 64 6. Ache a área da região R exterior ao círculo r = a e interior ao círculo r = 2a sen. Resposta: 1,9a2 (u.a) 7. Ache o volume da região que fica no exterior do cilindro x2 + y2 = 9 e no interior da esfera x2 + y2 + z2 = 25. Resposta: 3 256 8. Calcule R yx dxyde 22 , usando coordenadas polares, onde R é a região semicircular limitada pelo eixo x e pela curva 2x1y . Resposta: 2 (e-1). 9. Calcular a integral convertendo para coordenadas polares 1 0 x1 0 22 2 dxyd)yx( . Resposta: 8 = 6 5 r = 2a sen r = a = 6 UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 62 QUESTÕES DE PROVA DOS SEMESTRES ANTERIORES 1. Considere a integral 1 6 3 0 3 ( , ) x x I f x y dydx , pede-se: (a) faça um esboço região R de integração; (b) considere a região definida na letra (a) e, inverta a ordem de integração, isto é, defina os limites das integrais considerando ( , ) R I f x y dxdy . 2. Resolva a integral ( ) G I x y dV , sendo G o sólido, no 2º octante, que fica no interior do parabolóide 2 236z x y e interno ao cilindro de equação 2 2 16x y - obs.: região limitada por circunferência. (Determine todos os pontos de interseção do sólido com os eixos cartesianos e as equações das curvas no plano xy). 3. Utilize uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado pelos planos 2 2x y z , 1 2 x y , 0y , 0z . (Faça um esboço do sólido) 4. Considere a integral 1 1 2 4 0 2 ( , ) x x I f x y dydx , pede-se: (a) faça um esboço região R de integração; (b) considere a região definida na letra (a) e, inverta a ordem de integração, isto é, defina os limites das integrais considerando ( , ) R I f x y dxdy . 5. Resolva a integral ( ) G I x y dV , sendo G o sólido, no 1º octante, que fica no UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 63 interior do parabolóide 2 216z x y e interno ao cilindro de equação 2 2 4x y - obs.: região limitada por circunferência. (Determine todos os pontos de interseção do sólido com os eixos cartesianos e as equações das curvas no plano xy). 6. Utilize uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado pelos planos 2 2x y z , 2x y , 0x , 0z . (Faça um esboço do sólido) 7. Considere a integral 1 1 2 0 2 ( , ) x xI f x y dydx , pede-se: (a) faça um esboço região R de integração; (b) considere a região definida na letra (a) e, invertaa ordem de integração, isto é, defina os limites das integrais considerando ( , ) R I f x y dxdy . 8. Dada a integral 2 1 2 0 ( , ) y y I f x y dxdy , pede-se: (a) faça um esboço região R de integração; (b) considere a região definida na letra (a) e inverta a ordem de integração, isto é, defina os limites das integrais considerando ( , ) R I f x y dydx . 9. Dada a integral 2 1 2 0 ( , ) x x I f x y dydx , pede-se: (a) faça um esboço região R de integração; (b) considere a região definida na letra (a) e inverta a ordem de integração, isto é, defina os limites das integrais considerando ( , ) R I f x y dxdy . UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 64 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, Howard. Cálculo um novo horizonte. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 6 ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. (Tradução de: Calculus). V.2. ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2v. LElTHOLD, Luiz. O cálculo com geometria analítica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Tradução de: The calculus with analytic geometry). V.2. Notas de aula do Prof. Edson Durão Judice – Funções de Várias Variáveis, 1975. SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. Trad. Seiji Hariki. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. 807p. (Tradução de: The calculus with analytic geometry). V.2. SWOKOWSKI, Earl. W. Cálculo com geometria analítica. Trad. Alfredo Alves de Faria. 2 ed. São Paulo: Makron Books. (Tradução de: Calculus). Y.2. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 65 INTEGRAL TRIPLA 1. INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CARTESIANAS (RETANGULARES) Seja f(x, y, z) uma função de três variáveis independentes definida em uma região fechada e limitada (sólido G) do espaço XYZ. Se subdividir G em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos planos cartesianos e considerar um ponto arbitrário P (xk, yk, zk) para cada paralelepípedo no interior de G, conforme ilustra a figura 1 (FIG. 1), tem-se: n k kkkk Vzyxf 1 ,, Onde kV é o volume do paralelepípedo no interior do sólido G. Figura 1 – Sólido G (região fechada e limitada do espaço XYZ). Para considerar os n paralelepípedos (cujo volume é kV ), todos os pontos internos ao sólido G e que as arestas dos paralelepípedos tendem a zero quando n → ∞, deve-se fazer: n k kkkkn Vzyxf 1 ,,lim . Este limite (se existir) é definido como integral tripla de f (x, y ,z) em relação ao sólido G e representa-se da seguinte forma: dVzyxfVzyxf G n k kkkkn ),,(,,lim 1 Cujas propriedades, de forma análoga à integral dupla, são: UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 66 a. ;,),,(),,( RcdVzyxfcdVzyxfc GG b. dVgdVfdVgf GGG , sendo que f e g são funções de (x, y, z); c. dVfdVfdVf GGG 21 , 21 GGG COMO CALCULAR UMA INTEGRAL TRIPLA A integral tripla pode ser calculada através de integrações sucessivas, reduzindo-a inicialmente a uma integral dupla. Neste caso, podem-se ter diversas situações, conforme ilustram as figuras FIG. 2, FIG. 3 e FIG. 4, designadas como Região tipo I, tipo II e tipo III, respectivamente. REGIÃO TIPO I Figura 2 – O sólido G é limitado inferiormente pela função h1(x, y) e superiormente pelo gráfico de h2(x, y), onde h1 e h2 são funções contínuas sobre a região R pertencente ao plano XY. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 67 REGIÃO TIPO II Figura 3 – O sólido G é limitado à esquerda pelo gráfico p1(x, z) e à direita pelo gráfico de p2(x, z), onde p1 e p2 são funções contínuas sobre a região R´ do plano XZ. REGIÃO TIPO III Figura 4 – O sólido G é limitado na parte de trás pelo gráfico q1(y, z) e na frente pelo gráfico de q2(y, z), onde p1 e p2 são funções contínuas sobre a região R´´ do plano YZ. UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 68 EXEMPLO: EXERCÍCIO RESOLVIDO 1. Determine os limites de integração para calcular a integral tripla de uma função F(x, y, z) sobre o tetraedro, no primeiro octante, limitado pelos planos z = 0, y = x + z e y = 1. SOLUÇÃO: REGIÃO TIPO I 1 0 0 0 ( , , ) ( , , ) y y x G F x y z dV F x y z dz dxdy ou UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 69 1 1 0 0 ( , , ) ( , , ) y x x G F x y z dV F x y z dzdydx Por exemplo, se F(x, y, z) = 1, encontrar-se-ia o volume do tetraedro: 1 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 1 2 0 1 2 3 0 ( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 6 1 ( . ) 6 y x x x y y x V dzdydx V y x dydx V y xy dx V x x dx V x x x V u v REGIÃO TIPO II UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 70 1 1 1 0 0 ( , , ) ( , , ) x x z G F x y z dV F x y z dydz dx ou 1 1 1 0 0 ( , , ) ( , , ) z x z G F x y z dV F x y z dydxdz Se considerar F(x, y, z) = 1, o resultado será o mesmo obtido na região anterior: 1 . 6 V u v . Tente e verifique!!! REGIÃO TIPO III 1 0 0 0 ( , , ) ( , , ) y y z G F x y z dV F x y z dxdz dy ou 1 1 0 0 ( , , ) ( , , ) y z z G F x y z dV F x y z dxdydz UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 71 EXERCÍCIOS 1. Utilize uma integral tripla em coordenadas cartesianas para calcular o volume do sólido G limitado pelos planos y = 0, z = 0, y + z = 4 e pelo cilindro parabólico 24 xz . (FAÇA UM ESBOÇO DO SÓLIDO) 2. Esboçar a região de integração e calcular as integrais: a) 1 1 1 0 0 0 y x y dzdxdy b) 2 1 2 0 0 x x y x xdzdxdy Respostas: a) b) 3. Resolva a integral tripla G I dV , onde G é o sólido, no 1º octante, delimitado pelo cilindro parabólico 24x y , pelos planos 5y z , 1 3 y x e x = 0. Em seguida, defina o significado do resultado encontrado. (FAÇA UM ESBOÇO DO SÓLIDO) Resposta: UNIVERSIDADE FUMEC – FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA Cálculo III 72 24V (u. v). 4. Calcule a integral G I dV , onde G é o sólido, no 1º octante, delimitado pelo cilindro 2 2 4 0x y y , pelo plano 10x y z e pelo plano z = 2. Em seguida, defina o significado do resultado encontrado. Resposta: 127 1 . . 8 12 V u v 5. Resolva a integral 2 2 G I x y dV onde G é o cilindro 2 2 1x y e 0 4z . Resposta: 2 2 2 G x y dV
Compartilhar