EDO - lista 1 - Prof Érica

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1a Lista de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Profa E´rica Resende Malaspina
1. Para que valores de r a func¸a˜o
y(t) =
r
t2 − 3
e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
y′ + ty2 = 0
Resp.: r = 0 ou r = 2
2. Determine os valores de r para que a func¸a˜o
y(t) =
r
t2 + 1
seja soluc¸a˜o de
y′ − 6ty2 = 0
Resp.: r = 0 ou r = −1/3
3. Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
{
y′ + (1− 2x)y = xe−x
y(0) = 2
Resp.: y(x) =
−1
2
e−x +
5
2
ex
2−x
(b)
{
y′ − y cos t = tet2+sin t
y(0) = 2
Resp.: y(t) =
1
2
et
2+sin t +
3
2
esin t
(c)

y′ − 1
x
y = −x3
y(−1) = −7
3
Resp.: y(x) =
−x4
3
+ 2x
4. Resolva as equac¸o˜es:
(a) y′ − 4
x
y = − 2
x3
Resp.: y(x) =
1
3x2
+ Cx4
(b) y′ − 4
x
y = x5ex
Resp.: y(x) = x5ex − x4ex + Cx4
(c) y′ + 3t2y = e−t
3+t
Resp.: y(t) = et−t
3
+ Ce−t
3
5. (a) Resolva o problema de valor inicial{
y′ + 5x4y = x4
y(0) = y0
Resp.: y(x) =
1
5
+
(
y0 − 1
5
)
e−x
5
(b) Para quais valores de y0 a soluc¸a˜o e´ crescente e para quais valores de y0 a soluc¸a˜o e´
decrescente? Resp.: Decresce para y0 >
1
5
e cresce para y0 <
1
5
(c) Qual o limite de y(x) quando x tende a +∞? O limite depende de y0? Resp.: Na˜o
depende de y0
6. (a) Resolva o problema de valor inicial{
(x2 − 9)y′ + xy = 0
y(5) = y0
Resp.: y(x) =
4y0√
x2 − 9
(b) Qual o intervalo de validade da soluc¸a˜o? Resp.: Para y0 6= 0, (3,+∞) e para y0 = 0, R
(c) Qual o limite de y(x) quando x → +∞? O limite depende de y0? Resp.: Na˜o depende
de y0
7. Considere a equac¸a˜o
dy
dt
+ p(t)y = 0
(a) Mostre que se y1(t) e y2(t) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o, enta˜o y(t) = y1(t) + y2(t) tambe´m e´
soluc¸a˜o.
(b) Mostre que se y1(t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o, enta˜o y(t) = cy1(t) tambe´m e´ soluc¸a˜o, para
qualquer constante c.
8. Considere as equac¸o˜es
dy
dt
+ p(t)y = 0 (1)
dy
dt
+ p(t)y = q(t) (2)
Mostre que se y1(t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o (1) e y2(t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o (2), enta˜o y(t) =
cy1(t) + y2(t) e´ soluc¸a˜o de (2), para qualquer constante c.
2
9. Resolva as equac¸o˜es:
(a) y2 − 1− (2y + xy)y′ = 0. Resp.: y2(x) = C(2 + x)2 + 1
(b) (ax2 + b)
1
2y′ − xy3 = 0 para a, b ∈ R, a 6= 0. Resp.: y2(x) = −a
2
(ax2 + b)−1/2 − C
(c) ay2 + b− x2yy′ = 0 para a, b ∈ R, a 6= 0. Resp.: ln |ay2 + b| = −2ax−1 + C
10. (a) Encontrar a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
dy
dx
=
2x + 1
3y2 − 3
y(0) = 0
Resp.: y3(x)− 3y(x)− x2 − x = 0
(b) Determinar o intervalo de validade da soluc¸a˜o. Resp.: (−2, 1)
(c) determinar os pontos em que a soluc¸a˜o tem um ma´ximo local. x = −1/2
11. Resolva as equac¸o˜es:
(a) 2xy − senx + (x2 + ey) dy
dx
= 0 Resp.: x2y + cosx + ey = C
(b) 2(xy2 − 1
x3
) + (2x2y − 1
y2
) dy
dx
= 0 Resp.: x2y2 + 1
x2
+ 1
y
= C
(c) x + y + x lnx dy
dx
= 0. Sugesta˜o: multiplique a equac¸a˜o por 1
x
. Resp.: x + y lnx = C
12. (a) Encontrar a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e a soluc¸a˜o do problema de valor inicial y′ =
2x− y
x− 2y
y(1) = 3
Resp.: x2 − xy + y2 = 7
(b) Determinar o intervalo de validade da soluc¸a˜o. Resp.:
]
−
√
28
3
,
√
28
3
[
13. Considere a seguinte equac¸a˜o diferencial:
2y2 +
2y
x
+ (2xy + 2 +
y
x
)y′ = 0 (3)
(a) Mostre que a equac¸a˜o diferencial (3) na˜o e´ exata e que v(x) = x e´ um fator integrante
da mesma.
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3). Resp.: x2y2 + 2xy + y
2
2
= C
(c) Encontre a soluc¸a˜o de (3) que satisfaz y(1) = 1. Resp.: x2y2 + 2xy + y
2
2
= 7/2
3
14. Considere a seguinte equac¸a˜o diferencial:
ex
3
+ sin y +
x
3
(cos y)y′ = 0. (4)
(a) Mostre que a equac¸a˜o diferencial (4) na˜o e´ exata e que v(x) = x2 e´ um fator integrante
da mesma.
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (4). Resp.: 1
3
ex
3
+ x
3
3
sin y = C
(c) Encontre a soluc¸a˜o de (4) que passa pelo ponto (0, 0). Resp.: 1
3
ex
3
+ x
3
3
sin y = 1/3
15. Suponha que um tanque contenha uma mistura de a´gua e sal com um volume inicial de 100
litros e 10 gramas de sal e que uma soluc¸a˜o salina seja bombeada para dentro do tanque a uma
taxa de 1 litro por minuto possuindo uma concentrac¸a˜o de 1 grama de sal por litro. Suponha
que a soluc¸a˜o bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, em que t e´ contado a partir
do in´ıcio do processo.
(b) De qual valor se aproxima a concentrac¸a˜o quando o tanque esta´ se aproximando de ficar
vazio?
16. A taxa com que uma gota esfe´rica se evapora (dV
dt
) e´ proporcional a sua a´rea. Determine o
raio da gota em func¸a˜o do tempo, supondo que no isntante t = 0 o seu raio e´ R0 e que em
uma hora o seu raio seja a metade.
17. A populac¸a˜o de bacte´rias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero de
bacte´rias no instante t. Apo´s 3 horas, observou-se a existeˆncia de 400 bacte´rias. Apo´s 9 horas,
2500 bacte´rias. Qual era o nu´mero inicial de bacte´rias?
18. Suponha que um automo´vel sofre depreciac¸a˜o continuamente numa taxa que e´ proporcional
ao seu valor num instante t. Este automo´vel novo custa 35.000, 00 reais. Apo´s um ano de uso
o seu valor e´ 30.000, 00 reais. Qual sera´ o valor do automo´vel apo´s 2 anos de uso?
19. A taxa de decaimento de uma substaˆncia radioativa e´ proprocional a` quantidade A(t) da
substaˆncia remanescente no instante t. Determine a equac¸a˜o diferencial para a quantidade
A(t) e a soluc¸a˜o geral.
20. Resolva os problemas de valor inicial dados a seguir:
(a)
{
2x2
dy
dx
= 3xy + y2
y(1) = −2
(b)
{
(x +
√
xy)
dy
dx
+ x− y = x−1/2y3/2
y(1) = 1
21. Mostre que qualquer equac¸a˜o diferencial separa´vel de primeira ordem na forma h(y)dy −
g(x)dx = 0 e´ tambe´m exata.
4
22. Para as equac¸o˜es a seguir determine os pontos cr´ıtico e classifique-os como assintoticamente
esta´vel ou insta´vel
(a)
dy
dt
= 1− y2
(b)
dy
dt
= y2 − y
(c)
dy
dt
= y2(4− y2)
(d)
dy
dt
= y
(
1− y
3
8
)
5