2 - Limites Definição Infinitos - Para Alunos

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Prof. Nilson Costa 
nilson.mtm@hotmail.com 
São Luis 2011 
1 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Nilson Costa 
nilson.mtm@hotmail.com 
São Luis 2012 
 
2 
 
 Limites Infinitos 
 
 
 
 
 
 
 
Para ajudar a explicar o mistério do infinito, Hilbert 
criou um exemplo de infinito conhecido como Hotel 
de Hilbert. Este hotel hipotético tem o desejável 
atributo de possuir um numero infinito de quartos. 
 
3 
 
Um dia um novo hospede chega e fica desapontado 
ao ser informado de que, apesar do tamanho infinito 
do hotel, todos os quartos estão ocupados. 
Existe um Hotel que é infinito – com um infinito 
número de quartos. 
O Hotel está cheio – todos os quartos ocupados. 
Chega um novo hóspede. Será que ele tem lugar no 
hotel? 
Se pensarmos de forma regular, então se o hotel está 
cheio, o novo hóspede não tem lugar. 
 Limites Infinitos 
 
4 
 
No entanto, como o Hotel tem um número infinito de 
quartos, o gerente do hotel pede a todos os hóspedes 
para se mudarem para o quarto adjacente um 
número acima: o hóspede no quarto 1 muda-se para 
o 2, o que estava no 2 muda-se para o 3, e assim 
sucessivamente. 
Assim, o novo hóspede cabe no quarto 1. 
Todos os que estavam no Hotel continuam 
hospedados. E o novo hóspede também fica agora 
com um quarto. 
Ou seja, apesar do Hotel estar cheio, ao mesmo 
tempo cabe sempre mais um. 
 Limites Infinitos 
 
5 
 
Matematicamente, isto quer dizer que infinito mais 
um é igual a infinito! 
Na noite seguinte Hilbert precisa lidar com um 
problema ainda maior. O hotel continua cheio 
quando um veículo infinitamente grande chega com 
um numero infinito de novos hospedes. 
Hilbert não se deixa abalar e esfrega as mãos de 
contentamento pensando na quantidade infinita de 
diárias. 
Ele pede a todos os seus hospedes anteriores que 
para que se mudem para os quartos cujos números 
sejam o dobro do numero do quarto anterior. 
 Limites Infinitos 
 
6 
 
Assim, o hospede do quarto 1 se muda para o quarto 
2, o hospede do quarto 2 se muda para o quarto 4, e 
assim por diante. 
Todos aqueles que se encontravam no hotel 
continuam alojados e, no entanto, um numero 
infinito de quartos, os de números impares, ficaram 
vagos para receber os recém-chegados. Isto mostra 
que o dobro do infinito continua sendo infinito. 
Os matemáticos tiveram que desenvolver todo um 
sistema de nomenclatura para lidar com as escalas 
variáveis do infinito, e lidar com esse conceito é um 
dos assuntos mais quentes hoje em dia. 
 Limites Infinitos 
 
7 
 
Fonte: SINGH, Simon. O Último teorema de 
Fermat: a história do enigma que confundiu as 
maiores mentes do mundo por 358 anos; Tradução de 
Jorge Luiz Calife. 7ª ed. Rio de Janeiro:Record,2000. 
 Limites Infinitos 
 
8 
 
Limites Infinitos 
O que acontece com os valores de 
quando x se aproxima de 1? 
Observe que a função f(x) não está definida para x= 1. 
Ou seja, o domínio de f é {x ϵ R / x ≠ 1}. Para 
determinarmos o limite desejado, vamos recorrer a 
intuição. 
Procedamos como segue: 
 Tomemos valores cada vez mais próximos de 1, 
respectivamente, à esquerda e à direita. 
 Temos: 
 
9 
 
Limites Infinitos 
O que acontece com os valores de 
quando x se aproxima de 1? 
Observe que a função f(x) não está definida para x= 1. 
Ou seja, o domínio de f é {x ϵ R / x ≠ 1}. Para 
determinarmos o limite desejado, vamos recorrer a 
intuição. 
Procedamos como segue: 
 Tomemos valores cada vez mais próximos de 1, 
respectivamente, à esquerda e à direita. 
 Temos: 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Limites Infinitos 
 
11 
 
Notemos, nas duas tabelas, que à medida que os 
valores de x tendem a 1, os valores de f (x) são cada 
vez maiores. Em outras palavras, podemos tornar 
f (x) tão grande quanto desejarmos, tomando valores 
para x bastante próximos de 1. Simbolicamente: 
 
 
em que o símbolo “+∞” (lê-se “mais infinito”) não 
representa qualquer número real, mas indica o que 
ocorre com a função quando x se aproxima de 1. 
Formalmente, temos: 
 Limites Infinitos 
 
12 
 
Definição. Seja I um intervalo real, com a ∈ I , e f 
uma função real definida em I-{a}. Então, dizemos que 
lim f (x) = +∞ 
 x→a 
quando x se aproxima de a e f(x) cresce 
ilimitadamente, ou seja, quando, para qualquer 
número M > 0, existe um número δ > 0 tal que, se 
0 < |x − a| < δ, então f (x) > M, Ou ainda, 
 Limites Infinitos 
 
13 
 
Tomemos, agora, a função g como sendo 
g(x) = −1/(x − 1)2 definida para todo x real e x 
diferente de 1. Tomemos valores cada vez mais 
próximos de 1, respectivamente, à esquerda e à 
direita. Temos: 
 Limites Infinitos 
 
14 
 
Limites Infinitos 
Assim, para a função g, quando x se aproxima de 1, os 
valores de g(x) decrescem ilimitadamente. 
Simbolicamente, 
 
em que o símbolo “−∞” lê-se “menos infinito” e não 
representa nenhum número real, mas indica o que 
ocorre com a função quando x se aproxima de 1. 
Formalmente, 
 
15 
 
Limites Infinitos 
Definição. Seja I um intervalo real, com a ∈ I , e f 
uma função real definida em I -{a}. Então, dizemos 
que limf (x) = −∞ 
 x→a 
quando x se aproxima de a e f(x) decresce 
ilimitadamente, ou seja, quando, para qualquer 
número M < 0, existe um número δ > 0 tal que, se 
0 < |x − a| < δ, então f (x) < M. Ou ainda, 
 
16 
 
Teorema. [Teorema da Conservação do Sinal] Se 
 lim f (x) = b≠ 0, 
 x→a 
então existe uma vizinhança Va de a, tal que ∀ x ∈ Va, 
x ≠ a, tem-se f (x) com o mesmo sinal de b. 
 
Teorema. Sejam f (x) e g(x) funções reais. Se 
Se lim f (x) = k, k ∈ R∗, e lim g(x) = 0, então 
 x→a x→a 
 Limites Infinitos 
 
17 
 
 
 
Exemplo: Calcular o limite 
Solução: 
Limites Infinitos 
 
18 
 
( Exemplo para facilitar) 
 
19 
 
Limites Infinitos 
Teorema. Se n é um número inteiro positivo qualquer, 
então: 
 
i) 
 
ii) 
lim
𝑥→0+
1
𝑥𝑛
= +∞ 
lim
𝑛→0−
1
𝑥𝑛
 
+∞, se 𝑛 é par 
−∞, se 𝑛 é impar 
 
20 
 
 
Exemplo: Calcular o limite 
 
Solução: 
Limites Infinitos 
 
21 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos Limites Infinitos 
 
22 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular os limites e 
Solução: 
Propriedades dos Limites Infinitos 
 
23 
 
 
Exemplo: Calcular o limite e 
 
Propriedades dos Limites Infinitos 
 
24 
 
Exemplo: Calcular os limites 
Propriedades dos Limites Infinitos 
 
25 
 
Exemplos: Calcule os seguintes limites: 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
EXECÍCIOS PROPOSTOS 
 
26 
 
 Propriedades dos Limites Infinitos 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 Propriedades dos Limites Infinitos 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 Propriedades dos Limites Infinitos 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 Propriedades dos Limites Infinitos 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 Limites no Infinito 
Situação Problema 
A partir deuma coleta de dados, verificou-se que, 
daqui a um certo número de anos, digamos t anos, a 
quantidade de construções prediais de um certo país 
será de milhões. 
A medida que os anos forem passando e 
desconsiderando as construções finalizadas o número 
de construções se aproximará de que número? 
Solução: Basta calcularmos o limite 
quando t → ∞. 
Vejamos a seguir Limites no Infinito para resolver 
 
 
31 
 
Limites no Infinito 
Ampliaremos o que foi exposto com o conceito de 
limites infinitos que nos dá informações sobre a 
função quando os valores de x crescem ou decrescem 
indefinidamente. 
 
Considere a função f definida por 
f(x) =(x + 1)/(x − 1) para todo x real diferente de 1. 
Atribuindo a x os valores 2, 6, 20, 50, 101, 1.001, 
10.001, e assim por diante, de tal forma que x cresça 
ilimitadamente, conforme mostra a tabela a seguir. 
 
32 
 
 
Exemplo: Calcular o limite 
Solução: Tomando valores cada vez maiores para x, 
temos: 
 
À medida que x cresce 
ilimitadamente, os valores 
de (x + 1)/(x − 1) se 
aproximam cada vez 
mais de 1. Desta forma, 
 podemos escrever 
Limites no Infinito 
 
33 
 
 
 Formalmente, temos, 
 
Definição. Seja f uma função definida em R. Temos: 
 
 
Analogamente, 
 
Limites no Infinito 
 
34 
 
Definição. Seja f uma função definida em R. Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção: procure exemplos para cada um dos ítens da 
definição acima. 
Limites no Infinito 
 
35 
 
Limites no Infinito 
Agora, apresentamos alguns resultados que nos 
ajudarão a concluir algo sobre o comportamento dos 
valores de uma função quando os valores de x crescem 
(ou decrescem) ilimitadamente, sem, necessariamente 
termos que construir uma tabela. 
Teorema: 
 
 
Exemplo: 
 
36 
 
Limites no Infinito 
 
 
Teorema: 
 
Exemplo: 
 
37 
 
Propriedades dos Limites no Infinito 
Teorema: 
 
 
 
Teorema: 
 
 
 
38 
 
 Propriedades dos Limites no Infinito 
Exibiremos, agora, uma tabela contendo as 
propriedades dos limites no infinito. Note que 
trocando “x → +∞” por “x → −∞” as propriedades 
continuam verdadeiras. 
 
39 
 
 Propriedades dos Limites no Infinito 
 
40 
 
 Propriedades dos Limites no Infinito 
Como vimos na tabela anterior, muitas vezes 
aparecem os símbolos: 
 
Estes são chamados símbolos de indeterminação. 
Quando aparece um destes símbolos no cálculo de um 
limite, nada se pode dizer sobre este limite, isto é, ele 
poderá existir ou não, dependendo da expressão da 
qual está se calculando o limite. 
Mostraremos, a seguir, através de exemplos, como 
resolver os limites de funções contendo 
indeterminações apresentadas nas propriedades P.10, 
P.11, P.12 e P.13. 
 
41 
 
Limites no Infinito 
Calcule os limites: 
 
42 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Calcule os limites: 
 
43 
 
EXERCÍCIOS 
Calcule os limites: 
 
44 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Calcule os limites: 
 
45 
 
Observação: Se p(x) e q(x) são funções irracionais, o 
procedimento para o cálculo do limite é análogo ao 
das funções polinomiais e racionais. 
Exemplo: Calcular: 
 Propriedades dos Limites no Infinito 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Propriedades dos Limites no Infinito 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 Propriedades dos Limites no Infinito 
 
48 
 
 Propriedades dos Limites no Infinito 
 
49 
 
 Propriedades dos Limites no Infinito 
 
50 
 
 Propriedades dos Limites no Infinito 
Exemplo: Calcular: 
 
51 
 
 Propriedades dos Limites no Infinito 
 
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 Aplicação 
Situação Problema 
A partir de uma coleta de dados, verificou-se que, 
daqui a um certo número de anos, digamos t anos, a 
quantidade de construções prediais de um certo país 
será de milhões. 
A medida que os anos forem passando e 
desconsiderando as construções finalizadas o número 
de construções se aproximará de que número? 
Solução: Basta calcularmos o limite 
quando x → ∞. 
Vejamos 
 
53 
 
Daí, o número de construções será 10 milhões, ou 
seja, a medida que o tempo for suficientemente grande 
o número de contruções se aproximará deste valor. 
Como vemos graficamente: 
 Aplicação 
 
54 
 
Lembra da nossa aplicação inicial 
Em uma indústria de São Luis acontece a seguinte situação. 
A Salmora contendo 30 g de sal por litros de água é 
bombeada para dentro do tanque (contendo 5000 litros de 
água pura) a uma taxa 25 litros/mim. O que acontece com a 
concentração quando t aumenta infinitamente (t→∞)? 
Após alguns minutos, 25 litros de solução salina com 30 g 
de sal por litro foi bombeada para o tanque, 
de modo ele contém (5000+ 25.T) litros de água é 25T.30 = 
750t gramas de sal. 
Portanto, a concentração de sal EM FUNÇÃO DO tempo 
será 
 Aplicação 
 
55 
 
 
Assim, as abordagens de concentração de sal que a 
do salmoura é bombeado para o tanque passa a ser 
de 30g/l. 
 Aplicação 
 
56 
 
Exercícios 
Determine: 
 
57 
 
 Limites 
AGORA É A SUA 
VEZ BONS 
ESTUDOS 
 
58 
 
[1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5.ed. São 
Paulo: LTC, 2001. 
 
[2] THOMAS, George B. Cálculo. v.1. 10.ed. São Paulo: 
Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 
8588639068. 
 
[3] STEWART, James. Cálculo. v.1. São Paulo: Thomson 
Learning, 2005. ISBN: 8522104794. 
 
[4] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 
v.1. São Paulo: Harbra, 1994. 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
59 
 
[5] FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A. 5a edição. São 
Paulo: Makron Books Ltda., 1.992. 
 
[6] HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. 
Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 9.ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 9788521616023. 
 
[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Cálculo com 
aplicações. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 
9788521614333. 
 
[8] ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte – Vol. 1. 
6a edição. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000. 
 
. 
 
 
Referências Bibliográficas