Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Prof. Nilson Costa nilson.mtm@hotmail.com São Luis 2011 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I Prof. Nilson Costa nilson.mtm@hotmail.com São Luis 2012 2 Limites Infinitos Para ajudar a explicar o mistério do infinito, Hilbert criou um exemplo de infinito conhecido como Hotel de Hilbert. Este hotel hipotético tem o desejável atributo de possuir um numero infinito de quartos. 3 Um dia um novo hospede chega e fica desapontado ao ser informado de que, apesar do tamanho infinito do hotel, todos os quartos estão ocupados. Existe um Hotel que é infinito – com um infinito número de quartos. O Hotel está cheio – todos os quartos ocupados. Chega um novo hóspede. Será que ele tem lugar no hotel? Se pensarmos de forma regular, então se o hotel está cheio, o novo hóspede não tem lugar. Limites Infinitos 4 No entanto, como o Hotel tem um número infinito de quartos, o gerente do hotel pede a todos os hóspedes para se mudarem para o quarto adjacente um número acima: o hóspede no quarto 1 muda-se para o 2, o que estava no 2 muda-se para o 3, e assim sucessivamente. Assim, o novo hóspede cabe no quarto 1. Todos os que estavam no Hotel continuam hospedados. E o novo hóspede também fica agora com um quarto. Ou seja, apesar do Hotel estar cheio, ao mesmo tempo cabe sempre mais um. Limites Infinitos 5 Matematicamente, isto quer dizer que infinito mais um é igual a infinito! Na noite seguinte Hilbert precisa lidar com um problema ainda maior. O hotel continua cheio quando um veículo infinitamente grande chega com um numero infinito de novos hospedes. Hilbert não se deixa abalar e esfrega as mãos de contentamento pensando na quantidade infinita de diárias. Ele pede a todos os seus hospedes anteriores que para que se mudem para os quartos cujos números sejam o dobro do numero do quarto anterior. Limites Infinitos 6 Assim, o hospede do quarto 1 se muda para o quarto 2, o hospede do quarto 2 se muda para o quarto 4, e assim por diante. Todos aqueles que se encontravam no hotel continuam alojados e, no entanto, um numero infinito de quartos, os de números impares, ficaram vagos para receber os recém-chegados. Isto mostra que o dobro do infinito continua sendo infinito. Os matemáticos tiveram que desenvolver todo um sistema de nomenclatura para lidar com as escalas variáveis do infinito, e lidar com esse conceito é um dos assuntos mais quentes hoje em dia. Limites Infinitos 7 Fonte: SINGH, Simon. O Último teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo por 358 anos; Tradução de Jorge Luiz Calife. 7ª ed. Rio de Janeiro:Record,2000. Limites Infinitos 8 Limites Infinitos O que acontece com os valores de quando x se aproxima de 1? Observe que a função f(x) não está definida para x= 1. Ou seja, o domínio de f é {x ϵ R / x ≠ 1}. Para determinarmos o limite desejado, vamos recorrer a intuição. Procedamos como segue: Tomemos valores cada vez mais próximos de 1, respectivamente, à esquerda e à direita. Temos: 9 Limites Infinitos O que acontece com os valores de quando x se aproxima de 1? Observe que a função f(x) não está definida para x= 1. Ou seja, o domínio de f é {x ϵ R / x ≠ 1}. Para determinarmos o limite desejado, vamos recorrer a intuição. Procedamos como segue: Tomemos valores cada vez mais próximos de 1, respectivamente, à esquerda e à direita. Temos: 10 Limites Infinitos 11 Notemos, nas duas tabelas, que à medida que os valores de x tendem a 1, os valores de f (x) são cada vez maiores. Em outras palavras, podemos tornar f (x) tão grande quanto desejarmos, tomando valores para x bastante próximos de 1. Simbolicamente: em que o símbolo “+∞” (lê-se “mais infinito”) não representa qualquer número real, mas indica o que ocorre com a função quando x se aproxima de 1. Formalmente, temos: Limites Infinitos 12 Definição. Seja I um intervalo real, com a ∈ I , e f uma função real definida em I-{a}. Então, dizemos que lim f (x) = +∞ x→a quando x se aproxima de a e f(x) cresce ilimitadamente, ou seja, quando, para qualquer número M > 0, existe um número δ > 0 tal que, se 0 < |x − a| < δ, então f (x) > M, Ou ainda, Limites Infinitos 13 Tomemos, agora, a função g como sendo g(x) = −1/(x − 1)2 definida para todo x real e x diferente de 1. Tomemos valores cada vez mais próximos de 1, respectivamente, à esquerda e à direita. Temos: Limites Infinitos 14 Limites Infinitos Assim, para a função g, quando x se aproxima de 1, os valores de g(x) decrescem ilimitadamente. Simbolicamente, em que o símbolo “−∞” lê-se “menos infinito” e não representa nenhum número real, mas indica o que ocorre com a função quando x se aproxima de 1. Formalmente, 15 Limites Infinitos Definição. Seja I um intervalo real, com a ∈ I , e f uma função real definida em I -{a}. Então, dizemos que limf (x) = −∞ x→a quando x se aproxima de a e f(x) decresce ilimitadamente, ou seja, quando, para qualquer número M < 0, existe um número δ > 0 tal que, se 0 < |x − a| < δ, então f (x) < M. Ou ainda, 16 Teorema. [Teorema da Conservação do Sinal] Se lim f (x) = b≠ 0, x→a então existe uma vizinhança Va de a, tal que ∀ x ∈ Va, x ≠ a, tem-se f (x) com o mesmo sinal de b. Teorema. Sejam f (x) e g(x) funções reais. Se Se lim f (x) = k, k ∈ R∗, e lim g(x) = 0, então x→a x→a Limites Infinitos 17 Exemplo: Calcular o limite Solução: Limites Infinitos 18 ( Exemplo para facilitar) 19 Limites Infinitos Teorema. Se n é um número inteiro positivo qualquer, então: i) ii) lim 𝑥→0+ 1 𝑥𝑛 = +∞ lim 𝑛→0− 1 𝑥𝑛 +∞, se 𝑛 é par −∞, se 𝑛 é impar 20 Exemplo: Calcular o limite Solução: Limites Infinitos 21 Propriedades dos Limites Infinitos 22 Exemplo: Calcular os limites e Solução: Propriedades dos Limites Infinitos 23 Exemplo: Calcular o limite e Propriedades dos Limites Infinitos 24 Exemplo: Calcular os limites Propriedades dos Limites Infinitos 25 Exemplos: Calcule os seguintes limites: Solução: EXECÍCIOS PROPOSTOS 26 Propriedades dos Limites Infinitos 27 Propriedades dos Limites Infinitos 28 Propriedades dos Limites Infinitos 29 Propriedades dos Limites Infinitos 30 Limites no Infinito Situação Problema A partir deuma coleta de dados, verificou-se que, daqui a um certo número de anos, digamos t anos, a quantidade de construções prediais de um certo país será de milhões. A medida que os anos forem passando e desconsiderando as construções finalizadas o número de construções se aproximará de que número? Solução: Basta calcularmos o limite quando t → ∞. Vejamos a seguir Limites no Infinito para resolver 31 Limites no Infinito Ampliaremos o que foi exposto com o conceito de limites infinitos que nos dá informações sobre a função quando os valores de x crescem ou decrescem indefinidamente. Considere a função f definida por f(x) =(x + 1)/(x − 1) para todo x real diferente de 1. Atribuindo a x os valores 2, 6, 20, 50, 101, 1.001, 10.001, e assim por diante, de tal forma que x cresça ilimitadamente, conforme mostra a tabela a seguir. 32 Exemplo: Calcular o limite Solução: Tomando valores cada vez maiores para x, temos: À medida que x cresce ilimitadamente, os valores de (x + 1)/(x − 1) se aproximam cada vez mais de 1. Desta forma, podemos escrever Limites no Infinito 33 Formalmente, temos, Definição. Seja f uma função definida em R. Temos: Analogamente, Limites no Infinito 34 Definição. Seja f uma função definida em R. Temos: Atenção: procure exemplos para cada um dos ítens da definição acima. Limites no Infinito 35 Limites no Infinito Agora, apresentamos alguns resultados que nos ajudarão a concluir algo sobre o comportamento dos valores de uma função quando os valores de x crescem (ou decrescem) ilimitadamente, sem, necessariamente termos que construir uma tabela. Teorema: Exemplo: 36 Limites no Infinito Teorema: Exemplo: 37 Propriedades dos Limites no Infinito Teorema: Teorema: 38 Propriedades dos Limites no Infinito Exibiremos, agora, uma tabela contendo as propriedades dos limites no infinito. Note que trocando “x → +∞” por “x → −∞” as propriedades continuam verdadeiras. 39 Propriedades dos Limites no Infinito 40 Propriedades dos Limites no Infinito Como vimos na tabela anterior, muitas vezes aparecem os símbolos: Estes são chamados símbolos de indeterminação. Quando aparece um destes símbolos no cálculo de um limite, nada se pode dizer sobre este limite, isto é, ele poderá existir ou não, dependendo da expressão da qual está se calculando o limite. Mostraremos, a seguir, através de exemplos, como resolver os limites de funções contendo indeterminações apresentadas nas propriedades P.10, P.11, P.12 e P.13. 41 Limites no Infinito Calcule os limites: 42 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Calcule os limites: 43 EXERCÍCIOS Calcule os limites: 44 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Calcule os limites: 45 Observação: Se p(x) e q(x) são funções irracionais, o procedimento para o cálculo do limite é análogo ao das funções polinomiais e racionais. Exemplo: Calcular: Propriedades dos Limites no Infinito 46 Propriedades dos Limites no Infinito 47 Propriedades dos Limites no Infinito 48 Propriedades dos Limites no Infinito 49 Propriedades dos Limites no Infinito 50 Propriedades dos Limites no Infinito Exemplo: Calcular: 51 Propriedades dos Limites no Infinito 52 Aplicação Situação Problema A partir de uma coleta de dados, verificou-se que, daqui a um certo número de anos, digamos t anos, a quantidade de construções prediais de um certo país será de milhões. A medida que os anos forem passando e desconsiderando as construções finalizadas o número de construções se aproximará de que número? Solução: Basta calcularmos o limite quando x → ∞. Vejamos 53 Daí, o número de construções será 10 milhões, ou seja, a medida que o tempo for suficientemente grande o número de contruções se aproximará deste valor. Como vemos graficamente: Aplicação 54 Lembra da nossa aplicação inicial Em uma indústria de São Luis acontece a seguinte situação. A Salmora contendo 30 g de sal por litros de água é bombeada para dentro do tanque (contendo 5000 litros de água pura) a uma taxa 25 litros/mim. O que acontece com a concentração quando t aumenta infinitamente (t→∞)? Após alguns minutos, 25 litros de solução salina com 30 g de sal por litro foi bombeada para o tanque, de modo ele contém (5000+ 25.T) litros de água é 25T.30 = 750t gramas de sal. Portanto, a concentração de sal EM FUNÇÃO DO tempo será Aplicação 55 Assim, as abordagens de concentração de sal que a do salmoura é bombeado para o tanque passa a ser de 30g/l. Aplicação 56 Exercícios Determine: 57 Limites AGORA É A SUA VEZ BONS ESTUDOS 58 [1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5.ed. São Paulo: LTC, 2001. [2] THOMAS, George B. Cálculo. v.1. 10.ed. São Paulo: Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 8588639068. [3] STEWART, James. Cálculo. v.1. São Paulo: Thomson Learning, 2005. ISBN: 8522104794. [4] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. v.1. São Paulo: Harbra, 1994. Referências Bibliográficas 59 [5] FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A. 5a edição. São Paulo: Makron Books Ltda., 1.992. [6] HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 9788521616023. [7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Cálculo com aplicações. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 9788521614333. [8] ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte – Vol. 1. 6a edição. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000. . Referências Bibliográficas
Compartilhar