6- DERIVADA ARCO TRIG IVER SUSSECIVAS implicittas

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Nilson Costa 
nilson.mtm@hotmail.com 
São Luis 2011 
 
2 
 
 Derivação Implícita 
Uma expressão da forma F(x, y) = 0 representa em 
geral uma curva no plano xy. 
Exemplo 1. Dada a expressão F(x, y) = x2 + y2 − 1, a 
equação x2 + y2 − 1 = 0, representa um círculo de 
centro na origem e raio unitário. 
 
3 
 
 Derivação Implícita 
Percebemos através do gráfico anterior, que em geral, 
existem partes da curva que são gráficos de uma 
função. 
 
Logo, podemos obter outras funções implícitas da 
equação x2+y2-1=0. Se tomarmos um números real c 
qualquer entre -1 e 1, podemos definir a função 
 
2
2
1 ,
( )
1 ,
x para x c
h x
x para x c
  
 
  
 
4 
 
 Derivação Implícita 
Pelo gráfico podemos observar que esta função não é 
contínua no ponto c e, portanto, não é derivável. 
 
 
 
 
 
Atribuindo diferentes valores a c, podemos obter 
tantas funções quantas queríamos. Assim, a equação 
x2+y2-1=0 defini implicitamente uma infinidade de 
funções. 
 
5 
 
 Derivação Implícita 
O que fizemos agora pouco sugere que, sob certas 
condições, podemos obter localmente, a partir de uma 
curva dada, uma expressão que define explicitamente 
uma função. 
 
Mas, nem todas as funções estão definidas de forma 
explicita, por como no exemplo a seguir. 
Exemplo 2. x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2 não podemos 
escrever y em termos de x. 
 
 
6 
 
 Derivação Implícita 
Além disso, podem existir uma ou mais funções 
y = f(x), para as quais essa última equação é 
satisfeita, isto é, tais que a equação 
x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2 com y = f(x) 
x6 − 2x = 3[f (x)]6 + [f (x)]5 − [f (x)]2 seja válida, 
para todos os valores de x no domínio de f . 
 
Definição 1. Dizemos que uma função y = f(x) é dada 
implicitamente por tal equação se, para todo x no 
domínio de f, o ponto (x, f(x)) for solução da equação. 
 
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 Derivação Implícita 
Logo, surge, naturalmente, uma questão: 
Como derivar uma função dada implicitamente? 
No caso da equação x2 + y2 − 1 = 0, é fácil, já que 
fomos capazes de explicitar y como função de x . 
O mesmo não ocorre para 
x6 − 2x = 3[f (x)]6 + [f (x)]5 − [f (x)]2. 
 
Vejamos então como proceder. 
O lado esquerdo dessa equação é uma função de x, 
enquanto o lado direito é uma função de y. 
 
 
8 
 
 Derivação Implícita 
Pondo f (x) = x6 −2x 
e 
g(y) = 3y6 +y5 −y2, onde y = f (x), podemos escrever 
x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2 como f (x) = g(f (x)). 
 
Essa equação está definida para todos os valores de x 
no domínio de f para os quais g(f (x)) existe. 
Dx (x
6 − 2x) = Dx (3y
6 + y5 − y2). 
 
A derivada do primeiro membro é facilmente 
encontrada: Dx (x
6 − 2x) = 6x5 −2 
 
 
 
9 
 
 Derivação Implícita 
Para o segundo membro, utilizaremos a regra da 
cadeia: 
Dx (3y
6 + y5 − y2) = 
 
Portanto, Dx (x
6 − 2x) = Dx (3y
6 + y5 − y2) equivale a 
 
 
 ou 
 
 
 
10 
 
 Derivação Implícita 
Exemplo 3. Determine dy/dx para a equação 
3x4y2 − 7xy3 = 4 − 8y. 
Solução: Derivando implicitamente a equação 
3x4y2 − 7xy3 = 4 − 8y ficamos com: 
 
11 
 
Exemplo 4. Encontre a reta tangente da equação da 
curva x3+y3=6xy chamada fólio de descartes no ponto 
(3,3). 
 Derivação Implícita 
 
12 
 
2)Solução: 
 
 Derivação Implícita 
 
13 
 
 
 
 Derivação Implícita 
 
14 
 
Isso não é bem uma aplicação. Vamos utilizar a 
derivação implícita para calcular a derivação de 
funções trigonométricas inversas, supondo que essas 
funções sejam diferenciáveis. 
De fato, qualquer que seja a função f diferenciável e 
um a um, pode ser provado que a sua inversa, f -1, é 
também diferenciável exceto onde suas tangentes são 
verticais. 
 Isso é plausível, pois o gráfico de uma função 
diferenciável não possui bicos ou dobras e se o 
refletimos em torno de y=x, o gráfico de sua função 
inversa não terá bicos ou dobras. 
 Aplicação de Derivação Implícita 
 
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 Derivada das F. Trig. Inversas 
A Função Arco Seno 
Definição. Definimos a função arco seno y = 
arcsen(x) à função que associa cada número real do 
intervalo [−1, 1] ao ângulo y, −π/2 ≤ y ≤ π/2. 
Simbolicamente 
 
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A Função Arco Cosseno 
Definição. Definimos a função arco cosseno y = 
arccos(x) à função que associa cada número real do 
intervalo [−1, 1] ao ângulo y, 0 ≤ y ≤ π. 
Simbolicamente, 
 Derivada das F. Trig. Inversas 
 
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Lembre-se de que a função inversa da função seno foi 
dada por: 
y= sen-1x significa sen y= x e 
 
Diferenciando sen y=x implicitamente em relação a x 
obtemos 
 
Como cos y ≥ 0, uma vez que 
 Aplicação de Derivação Implícita 
2 2
y
 
  
1
cos
dy
dx y

, log
2 2
y o
 
  
cos y 
21 sen y  21 x
1
cos
dy
dx y

2
1
1 x


 
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Esse mesmo método pode ser utilizado para obter a 
fórmula da derivada de qualquer função inversa. 
Ficando como atividade para você aluno o cálculo 
das outras derivadas das funções trigonométricas 
inversas. 
y= arc cos x 
y=arc tg x 
y= arc cotg x 
y= arc sec x 
y= arc cosec x 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
 
19 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
Famílias Ortogonais 
Duas curvas são chamadas ortogonais se em cada 
ponto de interseção suas tangentes são 
perpendiculares. 
No próximo exemplo vamos usar a diferenciação 
implícita para mostrar que duas famílias de curvas 
são trajetórias ortogonais uma da outra; isto é, cada 
curva em uma família é ortogonal a todas as curvas 
da outra família. 
As famílias ortogonais surgem em várias áreas da 
física . 
 
20 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
Por exemplo, as linhas de forças em campo 
eletrostático são ortogonais às linhas de potencial 
constante. 
 
Em termodinâmica, as isotérmicas (curvas de mesma 
temperatura) são ortogonais às linhas de fluxo de 
calor. 
 
As linhas aerodinâmicas(curvas de direção do fluxo de 
ar) são trajetórias ortogonais às curvas velocidade-
equipotenciais. 
 
 
 
21 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
 
22 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
Gráfico da equação 
[1]xy = c com c ≠ 0 
e 
[2] x2 – y2 = k com k ≠ 0 
 
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 Aplicação de Derivação Implícita 
 
24 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
 
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Taxas Relacionadas 
Um problema envolvendo taxas de variação de 
variáveis relacionadas é chamado de um problema de 
taxas relacionadas. 
Nesses problemas as variáveis têm uma relação 
específica para os valores de t, onde t é a medida do 
tempo. 
Os valores das variáveis e as taxas de variação das 
variáveis em relação a t são frequentemente dados 
num determinado instante.Aplicação de Derivação Implícita 
 
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Exemplo: Um tanque tem a forma de um cone 
invertido com 16m de altura e uma base com 4m de 
raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 
m3/mim. Com que velocidade o nível da água estará se 
elevando quando sua profundidade for de 5m? 
Solução: 
 
 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
 
27 
 
Solução cont. 
 Seja t o tempo em minutos decorridos desde que a 
água começou a fluir dentro do tanque; 
h a altura em metros do nível de água em t mim; 
r a medida em metros do raio da superfície da água 
em t mim; 
e V a medida, em metros cúbicos do volume de água 
no tanque em t mim. 
 
 
 
 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
 
28 
 
Em qualquer instante, o volume de água no tanque 
pode ser expresso em termos do volume do cone. 
V=(1/3)πr2h [*] 
V, r e h são todas funções de t. Como a água está 
fluindo no tanque a uma taxa de 2m3/mim, 
 
 
Queremos encontrar a taxa que o nível da agua sobe 
ou seja dh/dt quando h=5. Para expressar r em termos 
de h, temos, dos triângulos semelhantes, 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
2.
dV
dt

4
16
r
h

1
4
r h 
 
29 
 
Substituindo esse valor de r em [*], obtemos 
 
 
Por derivação de ambos os lados dessa equação em 
relação a t, 
 
 
Substituindo dV/dt por 2 e resolvendo em dh/dt, 
obtemos 
 
 
 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
21
16
dV dh
h
dt dt

2
32dh
dt h

2
3 31 1 1 1 1( )
3 4 3 16 48
V h h h h      
 
 
30 
 
Logo, 
 
 
Assim sendo, o nível de água está subindo a uma taxa 
de (32/25π)m/mim quando a profundidade da água é 
de 5 m. 
 
 
 
 
 Aplicação de Derivação Implícita 
5
32
25h
dh
dt 



 
31 
 
 Derivadas Sucessivas 
Se a função f for derivável, então f ′ será chamada a 
derivada primeira de f ou derivada de primeira ordem 
de f . 
Se a derivada de f ′ existir, ela será chamada de 
derivada segunda de f , ou derivada de segunda de 
ordem de f e será denotada por f ′′, onde lemos “f duas 
linhas”. 
Da mesma forma, a derivada terceira de f , ou a 
derivada de terceira ordem de f , é definida como a 
derivada de f ′′ e denotaremos por f ′′′. 
 
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 Derivadas Sucessivas 
A derivada de ordem n, ou a enésima derivada da 
função f , onde n é um número natural maior do que 
1, é a derivada da (n − 1)ésima de f , a qual 
denotamos por f (n). 
Exemplo: Ache todas as derivadas da função 
f (x) = x4 + 5x3 − x2 + 7. 
Solução: f ′(x) = 4x3 + 15x2 − 2x, 
f ′′(x) = 12x2 + 30x - 2, 
f ′′′(x) = f (3)(x) = 24x+30, 
 f (4)(x) = 24, 
f (5)(x) = 0. Logo, f (n)(x) = 0, ∀ n ≥ 5. 
 
33 
 
 Derivadas Sucessivas 
Exemplo. Encontre a derivada de ordem n da função f 
(x) = k · e x , k ∈ R∗. 
Solução: Como (e x )′ = e x e k ∈ R, f (n)(x) = k · e x . 
 
 Os símbolos 
são outras notações para a derivada de ordem n. 
 
 
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 Exercícios Propostos 
1)Em cada item a seguir, ache dy/dx. 
 
 
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 Derivadas 
AGORA É A SUA 
VEZ BONS 
ESTUDOS 
 
36 
 
 
[1] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; NILTON JOSÉ, 
Machado. Fundamentos de Matemática Elementar – Vol. 8. 
8a edição. São Paulo: Atual Editora Ltda, 2.004. 
 
[2] ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte – Vol. 1. 
6a edição. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000. 
 
[3] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise – Projeto Euclides 
– Vol. 1. 10a edição. Rio de Janeiro: IMPA, 2.002. 
 
[4] FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A. 5a edição. São 
Paulo: Makron Books Ltda., 1.992. 
Referências Bibliográficas