9 OTIMIZAÇÃO MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO PARA ALUNOS

Prévia do material em texto

1 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Nilson Costa 
nilson.mtm@hotmail.com 
São Luis 2011 
 
2 
 
 OTIMIZAÇÃO 
A sociedade, de um modo geral, está sempre 
preocupada em maximizar lucros e minimizar 
despesas. 
Logo, nesse contexto, você se depara com os 
problemas de otimização que são chamados assim 
pelo fato de que as soluções encontradas com esta 
técnica são as melhores possíveis para cada caso, ou 
seja, resolver estes problemas com as técnicas de 
máximos e mínimos significa encontrar a solução 
ótima para eles. 
 
3 
 
 OTIMIZAÇÃO 
Para resolvê-los, é necessário converter as afirmações 
em linguagem matemática, mediante a introdução de 
fórmulas, funções ou equações. 
Os tipos de aplicação são ilimitados, tornando-se, 
assim, difícil enunciar regras específicas para a 
determinação de soluções. 
É possível, entretanto, desenvolver uma estratégia 
geral para abordar tais problemas. 
De modo geral, vale as seguintes orientações: 
 
4 
 
 OTIMIZAÇÃO 
1. Leia o problema cuidadosamente, várias vezes, 
meditando sobre os fatos e as quantidades não 
conhecidas que devem ser determinadas. 
2. Se possível, esboce um diagrama, rotulando-o 
convenientemente, introduzindo variáveis para 
representar estas quantidades. Expressões, tais como 
“o que”, “determine”, “quanto” ou “quando”, devem 
alertá-lo para as quantidades incógnitas. 
3. Faça uma lista dos fatos conhecidos juntamente com 
quaisquer relações que envolvam as variáveis. Uma 
relação, em geral, pode ser descrita por uma equação 
de algum tipo. 
 
5 
 
 OTIMIZAÇÃO 
4. Após analisar a lista em 3, determine a variável que 
deve ser extremada e exprima esta variável em função 
de uma das outras variáveis. 
5. Determine os valores críticos da função obtida em 4 
e teste-os quanto a máximos e mínimos. 
6. Verifique se ocorrem máximos ou mínimos nos 
pontos extremos do intervalo de domínio da função 
obtida em 4. 
7. Não se desencoraje se não conseguir resolver 
determinado problema. A proficiência na resolução de 
problemas aplicados exige considerável esforço e 
prática. Continue tentando! . 
 
6 
 
 OTIMIZAÇÃO 
Exemplo: Problemas De Otimização 
1-Um galpão deve ser construído tendo uma área 
retangular de 12100 m2. A prefeitura exige que exista 
um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás e 12 m 
em cada lado. Encontre as dimensões do lote que 
tenha a área mínima na qual possa ser construído este 
galpão. 
 
Solução: 
 
 
 
7 
 
 OTIMIZAÇÃO 
 
8 
 
 OTIMIZAÇÃO 
 
9 
 
 OTIMIZAÇÃO 
HEHEHE! 
Eu sabia que 
esse Case não 
era nenhum 
bicho papão 
 
10 
 
 OTIMIZAÇÃO 
2. Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser 
construída de forma que seu volume seja 2500 m3. O 
material da base vai custar R$ 1200,00 por m2 e o 
material dos lados R$980,00 por m2. Encontre as 
dimensões da caixa de modo que o custo do material 
seja mínimo. 
Solução: 
 
11 
 
 OTIMIZAÇÃO 
 
12 
 
 OTIMIZAÇÃO 
 
13 
 
 OTIMIZAÇÃO 
3. O custo e a receita total com a produção e 
comercialização de um produto são dados por: 
 
 
 
(a) Encontrar a quantidade q que maximiza o lucro 
com a venda desse produto. 
 
14 
 
 OTIMIZAÇÃO 
(b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro? 
 
15 
 
 OTIMIZAÇÃO 
 
16 
 
 OTIMIZAÇÃO 
(c) Qual o nível de produção correspondente ao 
prejuízo máximo? 
 
17 
 
 OTIMIZAÇÃO 
4.Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no 
círculo de raio 12 cm? 
solução: 
 
18 
 
 OTIMIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 OTIMIZAÇÃO 
 
20 
 
 OTIMIZAÇÃO 
5. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 
kg. Até agora ele gastou R$380.000,00 para criar os 
bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para 
manter um boi. Os bois aumentam de peso a uma 
razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de 
R$ 18,00 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. 
Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para 
maximizar seu lucro? 
 
21 
 
 OTIMIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 OTIMIZAÇÃO 
6. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e 
cujo produto seja o maior possível. 
 
23 
 
 OTIMIZAÇÃO 
7. Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo 
de inclinação 𝛼 . Seja l o alcance do canhão, dado por 
 
 
onde v e g são constantes. Para que ângulo o alcance é 
máximo? 
 
24 
 
 OTIMIZAÇÃO 
8.Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais 
de um determinado artigo. Se o custo de produção é 
dado por , C = 2x3 + 6x2 + 18x + 60 o valor obtido na 
venda é dado por R = 60x − 12x2 determinar o numero 
ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro por 
L = R − C. 
 
25 
 
 OTIMIZAÇÃO 
9. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, 
retangulares, exige que o comprimento de cada caixa 
seja 2 m e o volume 3 m³. Para gastar a menor 
quantidade de material possível na fabricação de 
caixas, quais devem ser suas dimensões. 
 
 
26 
 
 OTIMIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 OTIMIZAÇÃO 
10. Uma folha de papel contém 375 cm² de matéria 
impressa, com margem superior de 3,5 cm, margem 
inferior de 2 cm, margem lateral direita de 2 cm e 
margem lateral esquerda de 2,5 cm. Determinar quais 
devem ser as dimensões da folha para que haja o 
máximo de economia de papel. 
 
28 
 
 OTIMIZAÇÃO 
 
29 
 
AGORA É A SUA 
VEZ BONS 
ESTUDOS 
 
30 
 
 
[1] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; NILTON JOSÉ, 
Machado. Fundamentos de Matemática Elementar – Vol. 8. 
8a edição. São Paulo: Atual Editora Ltda, 2.004. 
 
[2] ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte – Vol. 1. 
6a edição. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000. 
 
[3] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise – Projeto Euclides 
– Vol. 1. 10a edição. Rio de Janeiro: IMPA, 2.002. 
 
[4] FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A. 5a edição. São 
Paulo: Makron Books Ltda., 1.992. 
Referências Bibliográficas