Tecnicas de integração

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TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
1. Antiderivadas 
 
Nesta unidade, vamos estudar a antiderivação, que é a operação inversa da derivação. Continuando 
a considerar f ’ como a derivada de f, vamos passar a olhar f como a antiderivada de f ’. 
 
Na derivação, por exemplo, investigamos a seguinte questão: qual é a função derivada da função 
f (x) = x3? Achamos como resposta a esta pergunta f ’(x) = 3x2. Já na antiderivação, perguntamos: 
qual é a função f(x) cuja derivada é f ’(x) = 3x2? Encontramos como resposta a função f (x) = x3. 
De modo esquemático, partindo de f chegamos, por derivação, a f ’ e, partindo de f ’ chegamos, por 
antiderivação, a f . 
 
 
 
 
 
 
Para indicar a antiderivação, usamos o operador ∫ dx... . Com ele escrevemos: 
 
Cxxfy
dxxdy
dxxdy
x
dx
dy
+==
=
=
=
∫∫
3
2
2
2
)(
3
3
3
. 
 
 
Em síntese: ∫ += Cxdxx 323 porque 23 3)( xCxdx
d
=+ . Nesta notação, o operador ∫ dxx23 
substitui a pergunta “qual é a função f(x) cuja derivada, em relação à x, é f ’(x) = 3x2?”. 
O símbolo ∫ é o sinal de antiderivação ou de integração; dx é o elemento de integração e indica a 
variável independente ou o argumento; C é a constante de integração ou de antiderivação. A função 
y = f(x) = x3 + C é a antiderivada mais geral ou a integral indefinida. Aqui, o adjetivo indefinida 
tem o mesmo significado de indeterminada e é usado para indicar que a integral indefinida é uma 
família de função, ou seja, que uma função tem uma infinidade de antiderivadas, assim como um 
sistema de equações indeterminado apresenta uma infinidade de soluções. 
 
Com base no que foi exposto anteriormente, responda: qual é a função f(t) que tem 7t6 como 
derivada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) = x3 f ’(x) = 3x2 
derivação 
antiderivação (ou integração) 
2 
2. Integrais imediatas 
 
As integrais indefinidas calculadas a partir das fórmulas de diferenciação são chamadas, por alguns 
autores, de integrais imediatas. Em nosso estudo, as mais comuns são: 
 
1. ∫ += Cxsendxxcos 
2. ∫ +−= Cxdxxsen cos 
3. ∫ += Cxtgdxx2sec 
4. ∫ += Cedxe xx 
 
5. ∫ += Cxdx
x
||ln1 
6. ∫ +=
+
Cxarctgdx
x21
1
 
7. ∫ −≠+
+
=
+
1,
1
1
nseC
n
xdxx
n
n
 
 
As regras de derivação da soma de funções e da multiplicação de uma função por um escalar 
funcionam, no sentido contrário, para a antiderivação. 
 
1. A antiderivada da soma (ou da diferença) de duas funções é igual à soma (ou à diferença) de 
suas antiderivadas: 
 
∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 
 
2. A antiderivada de uma constante c, vezes uma função é igual à constante c, vezes a 
antiderivada da função: 
 
∫ ∫= dxxfcdxxfc )()( 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Encontre a antiderivada mais geral das seguintes funções: 
a) 4 35 634)( xxxsenxf +−= . 
b) 2
3 25)(
x
xxxg −+= . 
 
2. Para cada um dos itens, determine uma função f com as propriedades indicadas: 
a) 12 )1(20)(' −++= xexf x e f(0) = –2. 
b) 4612)(" 2 −+= xxxf , f(0) = 4 e f(1) = 1. 
c) 
t
tf 3)(" = , f(4) = 20 e f ’(4) = 7. 
 
3. Uma partícula move-se de acordo com os dados indicados. Encontre a função posição da 
partícula em cada caso: 
a) v(t) = sen t – cos t e s(0) = 0. 
b) a(t) = 10 sen t + 3 cos t , s(0) = 0 e s(2pi) = 12. 
 
4. Encontre uma função y = f(x) tal que f ’(x) = x3 e a reta x + y = 0 é tangente ao gráfico dessa 
função. 
 
3 
5. Derive a função )(cosln)( 4xxf = e use o resultado para calcular ∫ dxxtgx 43 . 
 
6. Uma partícula move-se em linha reta e tem aceleração dada por a(t) = t – 2. Sua velocidade 
inicial é v(0) = 3m/s e seu deslocamento inicial é s(0) = 4m. Determine a função velocidade 
desta partícula e sua função posição. 
 
7. O gráfico da função y = f(x) passa pelo ponto (1,6) e a inclinação de sua reta tangente no ponto 
(x,y) é m = 2x + 1. Qual é o valor de f(2)? 
 
8. A circulação atual da revista Isto É é de 3000 exemplares por semana. O editor chefe da revista 
projeta uma taxa de crescimento de 3254 t+ exemplares por semana, daqui a t semanas, pelos 
próximos 3 anos. Com base em sua projeção, qual será a circulação da revista daqui a 125 
semanas? 
 
9. Suponha que, dos carros novos vendidos num certo país, a percentagem vendida pela Fiat 
Automóveis está variando à razão de –0,01875t2 + 0,15t – 1,2 por cento no ano t (t = 0 
corresponde ao início de 1998). A fatia de mercado da montadora no início de 1998 era de 
48,4%. Qual era a fatia de mercado da Fiat Automóveis no início do ano 2010? 
 
 
 
3. Integração pela Regra da Substituição de Variável 
 
 
A idéia por trás da Regra da Substituição de Variável é substituir uma integral relativamente 
complicada por uma mais simples. Isso é possível mudando-se da variável original x para uma nova 
variável u, que é uma função de x. 
 
O desafio principal no uso desse método de integração é descobrir uma substituição apropriada. 
Não existe uma regra para se determinar o termo a ser substituído. É usual errar na substituição; se 
sua primeira tentativa não funcionar, tente outra substituição. Em geral, escolhemos o termo que 
parece ser o mais complicado para trocar por u. Ao derivarmos u em relação à x é importante que o 
diferencial obtido seja um fator do integrando. 
 
Usar a Regra da Substituição de Variável é seguir o caminho inverso da derivação da função 
composta ou da regra da cadeia. Observe, por exemplo, que dxxxxsen
dx
d )15(.)5(cos)5( 233 = . 
Assim, considerando g(x) = 5x3 e f(g(x)) = sen(g(x)), temos: 
 
Cxsendxxx
xgfxgxgf
+=∫ 4342132143421
))((
3
)('
2
))(('
3 )5()15(.)5(cos 
 
 
Exemplos: Calcule, a seguir, as integrais indefinidas. 
 
1. ∫ + dxxx 212 
2. dxxx∫ 32 cos3 
3. ∫ − dtet t
21
 
4. ∫ + dxxx 354 
5. dxxx∫ −+ 3 23)5( 
6. dxx∫ +1 
 
4 
7. Determine a primitiva F(x) da função 3
2
1
)(
x
x
xf
+
= , tal que F(1) = 2. 
 
8. No ano 2000, o chefe do Departamento de Pesquisa e Desenvolvimento de uma empresa que 
trabalha com painéis de energia solar, afirmou que o custo de produção desses painéis cairia à 
taxa de 2)23(
54
+
−
t
 reais por watt de pico pelos próximos t anos, com t = 0 correspondendo ao 
início do ano 2000. (Um watt de pico é a potência produzida ao meio-dia, num dia de sol). No 
ano 2000, os painéis que são usados como geradores fotoelétricos, custavam R$15,00 por watt 
de pico. 
a) Encontre uma expressão que forneça o custo de produção de painéis de energia solar por 
watt de pico, no início do ano t. 
b) Qual foi este custo no início de 2011? 
 
 
9. A taxa de variação do preço unitário p (em reais) de uma determinada marca de botas femininas 
é dada por 2)5(
240
q
q
−
 onde q é o número de pares que o fornecedor tornará disponível no 
mercado diariamente, em centenas de pares. 
a) Encontre a equação de oferta para essas botas se a quantidade que o fornecedor está disposto 
a oferecer é de 2 centenas de pares, diariamente, quando o preço unitário é de R$90,00 o 
par. 
b) Se o fornecedor desejar aumentar em 50% sua oferta diária, a que preço deverá vender cada 
par de botas? 
 
 
 
4. Integração por Partes 
 
 
O método de Integração por Partes se fundamenta na regra de derivação de um produto e, em geral, 
é usado para resolver integrais que apresentem, no integrando, um produto de funções. A regra da 
diferenciação de um produto estabelece que u
dx
dv
v
dx
du
vu
dx
d
..).( += , que podemos reescrever 
como dvuduvvud +=).( . Lembre-se de que u e v são funções na variável x. 
 
Organizando a última equação, temos duvvuddvu −= ).( . Integrando os dois membros dessa 
igualdade, obtemos ∫ ∫ ∫∫∫ −=⇒−= duvuvdvuduvvuddvu ).( . 
 
Deduzimos, assim,uma regra de integração que poderemos aplicar quando o integrando puder ser 
dividido em duas partes: uma função u e uma diferencial dv. 
 
 
 
 
 
∫∫ −= duvuvdvu , sendo u e v funções da mesma variável. 
5 
 
 
CRITÉRIOS PARA A ESCOLHA DA FUNÇÃO u 
 
Com o objetivo de facilitar o cálculo de integrais do tipo ∫∫ −= duvuvdvu apresentamos critérios 
para a escolha da função u, na seguinte ordem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: Calcule, a seguir, as integrais indefinidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. A taxa estimada de produção de petróleo de certo poço, t anos após a produção ter começado, é 
dada por tet 1,0.100 − milhares de barris por ano. Nessas condições, estime a quantidade de 
petróleo extraída anualmente deste poço, nos primeiros 10 anos. 
 
10. Desde a inauguração da Gold Express no início do ano 2009, o número de passageiros (em 
milhões) voando por esta companhia aérea vem crescendo à taxa de tet 4,0.2,01,0 −+ passageiros 
por ano (t = 0 corresponde ao início do ano 2009). Assumindo que esta tendência continue até o 
início do ano 2014, estime quantos passageiros terão voado pela Gold Express neste período. 
 
 
 
5. A Integral Definida 
 
 
Desde a época do eminente matemático Arquimedes (287 – 212 A.C.) até o início do século XIX, 
todas as iniciativas relacionadas com os fundamentos do Cálculo atribuíam à integral o mero 
significado de uma área plana. A partir de 1820, com o matemático francês Cauchy, surgiram os 
primeiros ensaios visando à ampliação desse importante conceito. Nos anos subseqüentes, graças 
aos desafiantes problemas de condução de calor e propagação ondulatória, intensificou-se o 
desenvolvimento da Análise Matemática, culminando com um brilhante trabalho de Bernhard 
Riemann que, em 1854, aprofundou o estudo da integral, conferindo-lhe uma conceituação mais 
precisa. 
Logaritmo 
Inversa trigonométrica 
Potência de x 
Trigonométrica 
Exponencial 
5. ∫ + dxx )12ln( 
 
6. ∫ − dxxx 5. 
 
7. ∫ dxxe x cos. 
 
8. ∫ dxxx )4cos(.2
 
1. ∫ dxex x. 
 
2. ∫ dxxx ln.3 
 
3. ∫ dxxx cos. 
 
4. ∫ dttarctg )4( 
6 
Não obstante, a incontestável argumentação didática inserida na imagem geométrica de uma área 
plana constitui até hoje a base das lições iniciais de quase todos os livros e tratados de Cálculo 
Integral. 
 
 
• Teorema Fundamental do Cálculo 
 
A seguir, estudaremos a base fundamental do Cálculo Diferencial e Integral constituída, 
tradicionalmente, pelo chamado Teorema Fundamental do Cálculo. Tal teorema propõe uma ligação 
direta entre as operações de integração e derivação estabelecendo a definitiva simplificação de um 
problema que, tratado por outra forma apresentaria uma penosa e cansativa resolução. Dadas as 
sutilezas teóricas que o envolvem, omitiremos sua demonstração, ainda porque, para realizá-la, seria 
necessária a apresentação de outros teoremas de sustentação, além de elementos teóricos mais 
avançados do que aqueles apresentados neste curso. Todavia, em lugar de uma demonstração 
formal, nada nos impede de ensaiar uma interpretação geométrica inteiramente afim com as 
questões tratadas em nossos estudos anteriores. 
Os ingleses conferem a paternidade desse teorema a Isaac Newton e os alemães garantem que a sua 
formulação se deve a Leibniz. Nós, na posição de amantes da política de boa vizinhança e 
coexistência pacífica, optamos por denominá-lo Teorema de Newton-Leibniz. 
 
 
Teorema: Se f é uma função contínua no intervalo [a,b] e F é a sua primitiva, ou antiderivada de f, 
então, ∫ −=
b
a
aFbFdxxf ).()()( 
Geralmente, o segundo membro dessa igualdade escreve-se baxF )( . 
 
 
Exemplos: Calcular as integrais seguintes. 
 
a) ∫
2
0
2 dxx b) ∫
1
0
dxex c) ∫
2
0
cos
pi
θθ d 
 
d) ∫
−
−
2
1
2 )5( dxx e) ∫
+
2
0 13t
dt
 f) ∫
+
1
0
21 x
dx
 
 
g) ∫ +
4
0
12 dxx h) ∫
x
dttsen
0
 i) ∫
+
3
2 243
dx
x
x
 
 
j) dx
e
e
x
x
∫
+
1
0
21
 l) ∫ −
3
1
2 )4( dxxx m) dxex x∫
1
3
2
.2 
7 
 
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 
 
1ª) Se os limites de integração são iguais, a integral é nula: 0)( =∫
a
a
dxxf ; 
2ª) Se invertermos a ordem dos limites de integração, a integral troca o sinal: 
 ∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ; 
3ª) A integral definida pode ser decomposta na soma algébrica de duas ou mais integrais parcelas: 
 ∫ ∫∫ +=
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( . 
 
 
 
• A soma de Riemann como área de figuras planas 
 
 
Finalmente, chegamos à fase culminante deste curso introdutório de Cálculo Integral, fazendo 
desfilar algumas aplicações geométricas e técnicas que, esperamos, irão consolidar de vez a 
compreensão das lições anteriores. Evidentemente, as aplicações aqui tratadas não esgotam o leque 
de utilidades da integral definida, mas tão-somente prestam-se a ilustrações claras e objetivas dos 
conceitos e procedimentos até agora estudados. Servirão de precioso apoio para o entendimento do 
assunto, principalmente junto aos alunos mais efeitos às matérias que serão utilizadas em tais 
ilustrações. 
 
Definição: Seja y = f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. 
A integral definida de f, de a até b, representada por ∫
b
a
dxxf )( , é o limite da soma de Riemann 
quando o número n de subintervalos de [a,b] cresce infinitamente, isto é, 0→∆ ix : 
∑∫
=
→∆
∆=
n
i
ii
ix
b
a
xxfdxxf
10
)(lim)( , se tal limite existir. 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
8 
 
1. Calcular a medida da área da região definida entre a curva y = 2x + 1 e o eixo das abscissas, no 
intervalo [0,3]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcular a medida da área hachurada na figura, no intervalo [0,4]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
−2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
−2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
−2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
yy = x^2-2x-3
9 
 
3. Calcular a medida da área entre as curvas f(x) = 2 – x2 e g(x) = –x, conforme figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Calcular a medida da área da região hachurada no intervalo [0,4], limitada pelas curvas f(x) = 0, 
g(x) = x e h(x) = x – 2, conforme figura. 
 
 
 
 
−3 −2 −1 1 2 3
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y