FICHA DE REVISAO

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Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL 
Professor: Ronald Santana Turma: 
Aluno: Matricula: 
 
FICHA DE REVISÃO 
1. A fórmula 𝑁 =
5𝑝+28
4
 dá o valor aproximado do número de calçado (N) em função com comprimento (p), em 
centímetros, do pé de qualquer pessoa. De acordo com a fórmula, o comprimento do pé de quem calça 37 é, 
em centímetros, aproximadamente, 
a) 22,5 
b) 24 
c) 25,5 
d) 26 
e) 27,5 
 
2. Se 𝑓 é uma função do primeiro grau tal que 𝑓(10) = 29 e 𝑓(40) = 89, então 𝑓(30) é igual a 
a) 39 
b) 49 
c) 59 
d) 69 
e) 79 
 
3. DEMANDA – Um empresário estima que, quando x unidades de um certo produto são fabricados, o preço de 
mercado (em reais por unidade) é dado pela função de demanda 
𝑝 = 7 + 50𝑒−𝑥 200⁄ 
a) Que preço de mercado corresponde a uma produção de 𝑥 = 0 unidades? 
b) Qual é a receita obtida quando 200 unidades do produto são fabricadas? 
c) Qual é o almento (ou diminuição) da receita quando 100 unidades são produzidas em vez de 50? 
 
Lembre-se que receita é dada pela multiplicação do preço unitário do produto e o número de unidades 
vendidas. 
 
4. Use as regras do logaritmo para expandir a expressão log7(𝑥
2√1 − 𝑦2). 
 
5. Expresse a quantidade dada como um único logaritmo. 
a) ln 5 + 5 ln 3 
b) ln(𝑎 + 𝑏) + ln(𝑎 − 𝑏) − 2 ln 𝑐 
c) ln(1 + 𝑥2) +
1
2
ln 𝑥 − ln 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA 
2 
 
6. Se 𝑓(𝑥) = 5𝑥
2+2𝑥 , determine todos os valores de x para os quais 𝑓(𝑥) = 125. 
 
7. O gráfico a seguir representa uma função 𝑓 de [−6,9] em 𝑹. Determine: 
a) 𝑓(2) 
b) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) 
d) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
e) 𝑓(−2) 
f) 𝑓(7) 
 
 
8. Determine os limites: 
a) lim
𝑥→5
(3𝑥 − 7) 
b) lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2𝑥 − 1) 
c) lim
𝑥→0
3𝑥4+𝑥3−5𝑥2+2𝑥
𝑥2−𝑥
 
d) lim
𝑥→2
𝑥2−7𝑥+10
𝑥−2
 
e) lim
𝑡→1
𝑡2+𝑡−2
𝑡2−1
 
f) lim
𝑥→4
𝑥−4
√𝑥−2
 
g) lim
𝑥→−3/2
4𝑥2−9
2𝑥+3
 
h) lim
𝑥→7
𝑥2−49
𝑥−7
 
i) lim
𝑥→−2
𝑥3+8
𝑥+2
 
 
ALGUNS LIMITES LIMITES ESPECIAIS QUE PRECISAM SER CONHECIDOS 
 
9. Utilize lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒, lim
ℎ→0
(
𝑒ℎ−1
ℎ
) = 1 e lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
) = 1, para calcular os seguintes limites: 
a) lim
𝑥→+∞
(1 +
2
𝑥
)
𝑥
 
b) lim
𝑥→+∞
(1 +
1
2𝑥
)
𝑥
 
c) lim
𝑥→+∞
(
𝑥+2
𝑥+1
)
𝑥
 
d) lim
𝑥→0
(1 + 2𝑥)
1
𝑥 
e) lim
𝑥→+∞
(1 +
2
𝑥
)
𝑥+1
 
f) lim
𝑥→0
(
𝑒2𝑥−1
𝑥
) 
g) lim
𝑥→0
(
𝑒𝑥
2
−1
𝑥
) 
h) lim
𝑥→3
(
𝑒𝑥−𝑒3
𝑥−3
) 
i) lim
𝑥→0
𝑡𝑔 𝑥
𝑥
 
j) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝑥
 
k) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
4𝑥
 
l) lim
𝑥→0
𝑡𝑔 3𝑥
𝑠𝑒𝑛 4𝑥
 
m) lim
𝑥→
𝜋
2
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
2𝑥−𝜋
 
n) lim
𝑥→0
𝑥−𝑡𝑔 𝑥
𝑥+𝑡𝑔 𝑥
 
3 
 
10. Derive as funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 186,5 
b) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 1 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 + 6 
d) 𝑦 = 𝑥−2/5 
e) 𝐺(𝑥) = √𝑥 − 2𝑒𝑥 
f) 𝑦 =
𝑥2+4𝑥+3
√𝑥
 
g) 𝑢 = √𝑡
5 + 4 √𝑡5 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑒𝑥 
i) 𝑅(𝑡) = (𝑡 + 𝑒𝑡)(3 − √𝑡) 
j) 𝑦 =
𝑣3−2𝑣√𝑣
𝑣
 
k) 𝐹(𝑥) = 𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥 
l) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 10𝑡𝑔 𝑥 
m) 𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2
 
n) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 
o) 𝑔(𝑡) = 4 sec 𝑡 + 𝑡𝑔 𝑡 
p) 𝑦 =
1−sec 𝑥
𝑡𝑔 𝑥
 
q) 𝑦 = 𝑡𝑔 (cos 𝑥) 
r) 𝑦 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 
s) 𝑦 = 𝑒−5𝑥 cos 3𝑥 
t) 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑔(𝑒𝑡) + 𝑒𝑡𝑔 𝑡 
u) 𝑦 =
𝑒2𝑢
𝑒𝑢+𝑒−𝑢
 
v) 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
 
w) 𝐹(𝑡) = √
𝑡
𝑡2+4
 
x) 𝑦 = 32𝑥
2−5𝑥+3 
 
11. Encontre uma equação da reta tangente às curvas a seguir nos pontos dados 
a) 𝑦 = 𝑥4 + 2𝑥2 − 𝑥, (1,2) 
b) 𝑦 = 𝑥4 + 2𝑒𝑥 , (0,2) 
c) 𝑦 =
8
√4+3𝑥
, (4,2) 
 
12. Encontre os pontos sobre a curva 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1 onde a reta tangente é horizontal. 
 
 
QUADRO GERAL DE PROCEDIMENTOS COM FUNÇÕES QUE TENDEM PARA ∞ 
 
Dado o número 𝐿 ∈ ℝ resultante de lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿. Podemos proceder com os símbolos +∞ e −∞ da 
seguinte forma: 
+∞ ∙ (−∞) = −∞ −∞ + (−∞) = −∞ 𝐿 ∙ (+∞) = +∞, 𝑠𝑒 𝐿 > 0 
𝐿 ∙ (+∞) = −∞, 𝑠𝑒 𝐿 < 0 𝐿 ∙ (−∞) = −∞, 𝑠𝑒 𝐿 > 0 𝐿 ∙ (−∞) = +∞, 𝑠𝑒 𝐿 < 0 
+∞ + (+∞) = +∞ 𝐿 + (+∞) = +∞ 𝐿 + (−∞) = −∞ 
+∞ ∙ (+∞) = +∞ −∞ ∙ (−∞) = +∞ 
𝑎
∞
= 0 
∞
𝑎
= ∞ 
∞
0
= 0 
 
 
INDEREMINAÇÕES MATEMÁTICAS 
0
0
 00 0 ∙ ∞ ∞0 
∞
∞
 ∞ − ∞ 1∞ 
 
 
 
 
4 
 
13. Utilizando a Regra de L’Hospital, encontre os seguintes limites, se existirem: 
a) lim
𝑥→−1
4𝑥3+𝑥2+3
𝑥5+1
 
b) lim
𝑥→1
𝑥100−𝑥2+𝑥−1
𝑥10−1
 
c) lim
𝑥→0+
𝑥𝑒
1
𝑥 
d) lim
𝑥→+∞
ln 𝑥
𝑒3𝑥
 
e) lim
𝑥→0+
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) ln 𝑥 
f) lim
𝑥→0
(3𝑥2 + 2𝑥)𝑥 
g) lim
𝑥→+∞
(𝑥2 + 1)
1
ln 𝑥 
h) lim
𝑥→+∞
𝑥3𝑒−4𝑥 
 
14. O moviemnto de uma partícula 𝑃 ao longo de uma trajetoria orientada 𝑠 é dada pela função 
𝑠(𝑡) = 4√1 + 𝑡2 − 𝑡2, com s em centímetros e t em minutos. Determine a aceleração a da partícula quando 
𝑡 = 1𝑚𝑖𝑛. 
 
15. Uma partícula move-se segundo a trajetória 𝑠(𝑡) = −2𝑡3 + 7𝑡2 − 3. Determine: 
a) A equação da velocidade. 
b) A equação da aceleração. 
c) A velocidade no instante 𝑡 = 3 𝑠𝑒𝑔. 
d) A aceleração no instante 𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔. 
 
16. Um projétil é lançado verticalmente do solo com velocidade inicial de 112 𝑚/𝑠. Após 𝑡 segundos, sua distância 
do solo é de 112 − 4,9𝑡2 metros. Determine a velocidade a aceleração instantânea em 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. 
 
17. Um terreno é cercado por 1500 m de cerca. Quais as dimensões desse terreno para que sua área seja a maior 
possível? E qual é a área máxima? 
 
18. Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas, à 
beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com área de 5.000 𝑚2 e deve ser cercado 
nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para obra? 
 
19. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões 𝑎 e 𝑏, com um lado comum 𝑎. Se cada 
pasto deve medir 400 𝑚2 de área, determinar as dimensões 𝑎 e 𝑏, de forma que o comprimento da cerca seja 
mínimo. 
 
20. Encontre a derivada implicita de cada função implicita a seguir: 
a) 𝑦2 + 𝑥2 = 0 
b) 𝑦 − 2𝑥2 = −3 
c) 𝑦4 + 3𝑦 − 4𝑥3 = 5𝑥 + 1 
d) 𝑦2 − 𝑦𝑥2 + cos 𝑥 = 2 
e) 𝑥2 +
1
2
𝑦 = 1 
f) 𝑥3 − 3𝑥2𝑦4 + 4𝑦3 = 6𝑥 + 1 
g) 𝑡𝑔𝑦 = 𝑥𝑦 
h) 𝑒𝑦 = 𝑥 + 𝑦 
i) √𝑥 + √𝑦 = 9 
 
21. Determine se existir, a equação de uma reta tangente e normal à curva 𝐶: 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3, no ponto (1,1).