3-TRIGONOMETRIA

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TRIGONOMETRIA
Ângulos
Ângulos podem ser medidos em graus ou radianos. A equivalência entre as duas unidades se dá por .
O Ciclo Trigonométrico
Ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário, orientada, estudada no sistema de coordenadas cartesianas de maneira que seu centro coincida com a origem do plano cartesiano. O ponto (1,0) é a origem do ciclo e o sentido de rotação é o anti-horário.
Os pontos P sobre a circunferência determinam arcos de origem A(1,0) e extremidade P e cuja medida será positiva caso considere-se o arco no sentido anti-horário ou negativa caso considerado no sentido horário. Dessa maneira, o ponto B(0,1) determina arco de ou ; o ponto C(-1,0) determina arco de ou ; o ponto D(0,-1) determina arco de e o ponto A(1,0) determina arco de (quando não consideramos nenhuma rotação) ou de quando consideramos uma rotação inteira. Estes valores foram dados supondo-se rotação anti-horária; se a rotação fosse horária teríamos, respectivamente, os valores de , , e .
Seno e Cosseno
Considere o ponto P de coordenadas (x,y) um ponto qualquer da circunferência e o arco (AP) de medida . Definimos o seno como o valor da coordenada y e o cosseno como o valor da coordenada x. De fato, considerando o triângulo OPX, temos OP = 1 hipotenusa do triângulo e os catetos OX adjacente a e PX = OY oposto a . Assim sendo, pelo estudo da trigonometria no triângulo retângulo, sabemos que e . 
Fazendo P variar na circunferência, temos:
	 (rad)
	Sinal do Seno
	Sinal do Cosseno
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Outras Relações Trigonométricas
Bem, o eixo Ox é então denominado no ciclo trigonométrico como eixo dos cossenos e o eixo Oy como eixo dos senos. As outras relações trigonométricas (tangente, cotangente, secante e cossecante) também aparecem representadas no ciclo, conforme podemos ver abaixo. 
Temos então, em relação ao arco (AP) de medida :
Daí vêm as relações:
 	 	
 					
Funções Trigonométricas 
São funções cuja variável é um arco do ciclo trigonométrico submetido às razões seno, cosseno, tangente, cotangente, secante ou cossecante.
Função Seno
 		Domínio: 		Imagem: [-1,1]		Período: 
Alguns valores:
	x
	0
	
	
	
	
	
	
	
	sen(x)
	0
	
	
	
	1
	0
	-1
	0
Função Cosseno
 		Domínio: 		Imagem: [-1,1]		Período: 
Alguns valores:
	x
	0
	
	
	
	
	
	
	
	cos(x)
	1
	
	
	
	0
	-1
	0
	1
Função Tangente
 		Domínio: 		Imagem:		Período: 
Alguns valores:
	x
	0
	
	
	
	
	
	
	
	tg(x)
	0
	
	
	
	0
	0
	0
	0
Observe que não existe valor para a tangente de , onde . Isso acontece porque o eixo das tangentes é paralelo ao eixo dos senos no ciclo trigonométrico. Como o valor da tangente é determinado pelo comprimento do segmento de reta determinado pelo arco no eixo das tangentes. Se o arco tem extremidade sobre o eixo dos senos, então ele não interceptará o eixo das tangentes, não estando por esta razão a tangente definida nestes valores. O gráfico da função tangente manifesta este comportamento por meio das assíntotas verticais presentes em com . Elas significam que o gráfico da função tangente não tem ponto de abscissa com . 
Função Cotangente
 		Domínio: 	Imagem:	Período: 
Da mesma maneira que para a função tangente, a função cotangente também não está definida para valores , por ser o eixo das cotangentes paralelo ao eixo dos cossenos, ou seja, horizontal. Assim sendo, não existe o ponto de interseção entre os arcos de medida com o eixo das cotangentes e, consequentemente, não existe a cotangente destes arcos. Observamos então que as assíntotas verticais da função cotangente aparecem em .
Função Secante
 		Domínio: 	Imagem:	Período: 
A função secante é o inverso da função cosseno, ou seja, . Desta maneira, estão excluídos de seu domínio todos os valores para os quais se tem , o que ocorre em com . A imagem dessa função também não compreende os valores do intervalo uma vez que como o cosseno tem valores exatamente no intervalo , o resultado da divisão de 1 por valores maiores ou iguais a -1 e menores ou iguais a 1 serão sempre resultados menores ou iguais a -1 ou maiores ou iguais a 1.
Função Cossecante
 	Domínio: 	Imagem:	Período: 
De modo análogo ao anterior, a função cossecante, por ser o inverso da função seno, não está definida para valores de x da forma pois para eles o seno vale zero. Também como consequência desta relação recíproca com o seno, a função cossecante tem como conjunto todos os números reais que não se encontram entre -1 e 1.
Redução ao Primeiro Quadrante
Eventualmente precisamos reduzir arcos ao primeiro quadrante para podermos determinar equivalências e valores para as funções trigonométricas. As relações necessárias para isso seguem abaixo. 
Então,
 				
 	cossec	cossec
 				
 				
 				tg
co 	co		cotg
Adição e subtração de arcos
Arco Duplo
Outras relações úteis:
�
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
As funções trigonométricas só admitem função inversa se restringirmos seus domínios. Isso acontece porque as funções trigonométricas não são injetoras. Precisamos então retirar de seus domínios os valores que fazem com que isso aconteça para que elas possam tornar-se injetoras e portanto inversíveis. 
Função Arco Seno
f(x) = arcsen(x)		Domínio: 	Imagem: 
Função Arco Cosseno
f(x) = arccos(x)		Domínio:	Imagem: 
Função Arco Tangente
f(x) = arctg(x)		Domínio:	Imagem: 
Função Arco Cotangente
f(x) = arccotg(x)		Domínio:	Imagem: 
�
Função Arco Secante
f(x) = arcsec(x)		Domínio: 		Imagem: 
Função Arco Cossecante
f(x) = arccossec(x)	Domínio: 		Imagem: