5-propriedades_de_limites

Prévia do material em texto

ASSÍNTOTAS VERTICAIS
DEFINIÇÃO: A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: 
�
�
O reconhecimento da existência das assíntotas verticais e de suas equações normalmente é muito útil no esboço dos gráficos das funções.
Vejamos alguns exemplos.
Encontre e 
Já sabemos que, sendo uma função de domínio , há uma assíntota vertical de equação x=3. Dessa maneira, já sabemos que o limite de f quando x tende a 3 pela direita ou pela esquerda será infinito, restando apenas determinar se é ou se é . Para determinar isso, vamos estudar o sinal da função em questão. 
Tomando x<3 (aproximação pela esquerda) e bem próximo de 3, temos que e , logo, o sinal da razão será negativo e então . Por outro lado, se x>3 e bem próximo dele (aproximação pela direita). Temos e , o que indica que a razão em questão vai ter sinal positivo, acarretando em . Veja como podemos usar essas informações para esboçar o gráfico da função. 
		
[-6,6] X [-6,6]			[-10, 10] X [-10, 10]			[-20,20] X [-20, 20]
	 		
[-50,50] X [-50,50]			[-100,100] X [-100,100]			[-1000,1000] X [-1000,1000]
Note que as assíntotas verticais (e também as horizontais, conforme veremos mais tarde) mostram como a função se comporta no infinito, ou seja, quando y tende a ficar muito grande. Olhando então a função numa janela gráfica muito grande, vemos que a curva se confunde com a própria assíntota.
Encontre as assíntotas horizontais de .
Estudando o domínio de f(x), vemos que a tangente não está definida para . Isto indica que para cada há uma assíntota vertical, conforme podemos ver no gráfico abaixo.
	
					
	
					
A função tem, então, infinitas assíntotas verticais de equação onde .
Exercícios: (Stewart V. 1, 6ª edição, pp. 86 a 88)
�
CÁLCULOS USANDO PROPRIEDADES DOS LIMITES
Propriedades dos Limites: Seja c uma constante e suponha que existam os limites e .
Então:
, ou seja, “o limite da soma é a soma dos limites”.
, ou seja, “o limite da diferença é a diferença dos limites”.
, ou seja, “o limite de uma constante multiplicando uma função é o produto da constante pelo limite da função”.
, ou seja, “o limite do produto é o produto dos limites”.
 se , ou seja, “o limite do quociente de duas funções onde o divisor é diferente de zero é igual ao quociente dos limites dessas funções desde que o limite da segunda seja diferente de zero”.
Exemplos:
Use as propriedades do Limite e os gráficos de f e g dados para calcular os limites pedidos, caso existam: 
Aplicando as propriedades 1 e 3 listadas acima, podemos escrever . Pelo gráfico, temos que e , logo, .
Aplicando a propriedade 4 vista acima, podemos escrever . Pelo gráfico, temos e não existe. Daí, concluímos que .
Pela propriedade 5 vista acima, podemos escrever . Porém, temos que , logo, .
Outras propriedades do cálculo de limites:
6) PROPRIEDADE DA POTÊNCIA: Podemos usar a propriedade do limite do produto sucessivamente para determinar o limite de uma potência:
 ,
Onde n é um inteiro positivo.
7) PROPRIEDADE DO LIMITE DA CONSTANTE:
 
8) PROPRIEDADE DO LIMITE DA FUNÇÃO IDENTIDADE:
 
Usando f(x)=x na propriedade 6 acima, temos 
Para as raízes, temos a forma ou, de modo mais geral, . Se n for par, vamos tomar .
Exemplo: Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem:
Resolução:
Usando as propriedades, temos que 
 . Sendo , temos que .
 
PROPRIEDADE DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA: Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f, então .
Isso significa que toda função polinomial ou racional tem o limite quando x tende a a, considerando que a esteja no seu domínio, igual ao valor da função no ponto de abscissa a.
Exemplo: Encontrar .
Considerando , podemos facilmente verificar que . Como queremos determinar o limite dessa função, vamos usar o artifício de manipulação algébrica com vistas à simplificação. Para tanto, vamos fatorar o numerador para simplificar com o denominador: 
Então .
Usamos nesta resolução a ideia de que as funções e são iguais para todo . De fato, se f(x)=g(x) quando x≠a, então limx→a f(x)=limx→ag(x), supondo que existam os limites.
Exemplo: Encontrar onde .
Como o valor do limite de uma função não leva em conta o valor da função do ponto em questão, vamos aqui determinar o limite pedido fazendo .
Exemplo: Calcule .
Se usarmos a função , novamente recairemos no problema de f não estar definida em x = 0. Vamos então usar o artifício de simplificar algebricamente a expressão de f para tentar extrair dela a indeterminação para x=0.
Temos então que 
Podemos então calcular 
Exemplo: Encontrar .
Vamos manipular algebricamente a expressão do limite, uma vez que cairemos em uma indeterminação. Uma boa estratégia aqui é racionalizar o numerador.
Temos então que 
TEOREMA: se e somente se .
Todas as propriedades que estudamos até aqui valem também para os limites laterais.
Exemplo: Mostre que .
De fato, considerando , temos que e que . Logo, como os limites laterais existem e são iguais, então .
Exemplo: Demonstre que não existe.
Realmente, sendo , temos que . A partir daí, temos q e e que . Logo, não existe o limite.
TEOREMA: Se quando x está próximo de a exceto possivelmente em a, e os limites de f e g existem quando x tende a a, então . De fato, sendo f menor que g na vizinhança de a e como o limite é determinado pelo comportamento da função nessa vizinhança, é natural que essa desigualdade continue valendo par aos limites de f e g.
TEOREMA DO CONFRONTO (TEOREMA DO SANDUÍCHE): Se quando x está próximo de a, exceto possivelmente em a, e , então . Isso significa que, considerando três funções f, g e h tais que g encontra-se compreendida entre f e h na vizinhança de a e ainda se os limites de f e h (que limitam g) são iguais quando x tende a a, então o limite de g quando x tende a a também é igual ao limites de f e h.
Exemplo: Mostre que .
Inicialmente note que não podemos usar a propriedade que fala do limite do produto porque não existe o limite de quando x tende a zero (o limite pela esquerda é negativo e o limite pela direita é positivo, o que basta para comprovar a diferença dos limites laterais e a inexistência do limite global). Vamos então usar o Teorema do Confronto, manipulando algebricamente a função dada de modo a limitá-la entre outras duas de mesmo limite em zero:
 		Multiplicando por em ambos os lados, temos)
 		Note que podemos fazer este produto sem mudar a desigualdade por ser garantidamente 
Como , temos .
Exercícios: Stewart V. 1, 6ª ed., pp. 95 – 97.
� QUOTE � ���
� QUOTE � ���
� QUOTE � ���