estatistica

Prévia do material em texto

V
a
ri
á
v
ei
s
A
le
a
tó
ri
a
s
•
A
o
de
sc
re
ve
r
um
es
pa
ço
am
os
tr
al
de
um
ex
p
e-
ri
m
en
to
,
nã
o
ne
ce
ss
ar
ia
m
en
te
o
re
su
lt
ad
o
é
um
nú
m
er
o.
•
C
on
tu
do
em
m
ui
ta
s
si
tu
aç
õe
s
ex
p
er
im
en
ta
is
,e
s-
ta
m
os
in
te
re
ss
ad
os
na
m
en
su
ra
çã
o
em
fo
rm
a
de
nú
m
er
o.
•
U
m
a
m
an
ei
ra
de
so
lu
ci
on
ar
es
se
pr
ob
le
m
a
é
at
ri
-
bu
ir
um
nú
m
er
o
re
al
x
a
to
do
el
em
en
to
de
S
.
Is
to
é,
x
=
X
(s
)
em
qu
e
X
é
um
a
fu
nç
ão
do
es
pa
ço
am
os
tr
al
em
S
.
V
a
ri
á
v
ei
s
A
le
a
tó
ri
a
s
D
efi
n
iç
ã
o
:
Se
ja
m
E
um
ex
p
er
im
en
to
e
S
o
es
pa
ço
as
so
ci
ad
o
ao
ex
p
er
im
en
to
.
U
m
a
fu
nç
ão
X
,
qu
e
as
-
so
ci
e
a
ca
da
el
em
en
to
s
∈
S
um
nú
m
er
o
re
al
X
(s
)
é
de
no
m
in
ad
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
(v
.a
).
V
a
ri
á
v
ei
s
A
le
a
tó
ri
a
s
O
b
se
rv
a
çã
o
:
C
om
o
X
é
um
a
fu
nç
ão
,d
ev
em
os
le
m
-
br
ar
qu
e:
1
C
ad
a
el
em
en
to
s
de
S
co
rr
es
p
on
de
rá
a
ex
at
a-
m
en
te
um
va
lo
r;
2
D
if
er
en
te
s
va
lo
re
s
s
∈
S
,
p
od
em
le
va
r
a
um
m
es
m
o
va
lo
r
de
X
;
3
N
en
hu
m
el
em
en
to
s
∈
S
p
od
er
á
fic
ar
se
m
va
lo
r
de
X
.
E
x
em
p
lo
E
x
em
p
lo
E
x
p
er
im
en
to
(E
):
E
m
um
a
lin
ha
de
pr
od
uç
ão
se
-
le
ci
on
ar
tr
ês
p
eç
as
e
ob
se
rv
ar
se
é
p
er
fe
it
a
ou
de
fe
i-
tu
os
a. S
=
{(
P
P
P
),
(D
D
D
),
(P
P
D
),
(D
P
P
),
(P
D
P
),
(P
D
D
),
(D
P
D
),
(D
D
P
)}
.
X
:
nú
m
er
o
de
p
eç
as
de
fe
it
uo
sa
s
na
s
tr
ês
re
ti
ra
da
s
R
x
=
{0
,1
,2
,3
}
E
x
em
p
lo
X
=
0
→
co
rr
es
p
on
de
ao
ev
en
to
(P
P
P
)
P
(X
=
0)
=
P
(P
P
P
)
=
1/
8.
X
=
1
→
co
rr
es
p
on
de
a
(P
P
D
),
(D
P
P
)
e
(P
D
P
)
P
(X
=
1)
=
P
[(
P
P
D
)
∪
(D
P
P
)
∪
(P
D
P
)]
=
3/
8.
X
=
2
→
co
rr
es
p
on
de
a
(P
D
D
),
(D
P
D
)
e
(D
D
P
)
P
(X
=
2)
=
P
[(
P
D
D
)
∪
(D
P
D
)
∪
(D
D
P
)]
=
3/
8.
X
=
3
→
co
rr
es
p
on
de
a
(D
D
D
)
P
(X
=
3)
=
P
(D
D
D
)
=
1/
8.
V
a
ri
á
v
el
A
le
a
tó
ri
a
U
m
a
va
ri
áv
el
a
le
a
tó
ri
a
p
o
d
e
se
r
d
e
d
o
is
ti
p
o
s.
1
D
is
cr
et
a
.
2
C
o
n
tí
n
u
a
.
V
a
ri
á
v
el
A
le
a
tó
ri
a
D
is
cr
et
a
D
efi
n
iç
ã
o
:
D
en
om
in
a-
se
X
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
di
sc
re
ta
se
o
nú
m
er
o
de
va
lo
re
s
p
os
sí
ve
is
de
X
fo
r
um
co
nj
un
to
de
p
on
to
s
fin
it
o
ou
in
fin
it
o
en
um
er
áv
el
.
E
x
em
p
lo
s:
•
N
úm
er
o
de
aç
õe
s
ve
nd
id
as
de
um
a
em
pr
es
a.
•
N
úm
er
o
de
er
ro
s
de
tr
as
m
is
sã
o
em
um
pr
oc
es
so
.
•
N
úm
er
o
de
ap
ar
el
ho
s
de
fe
it
uo
so
s
em
um
a
pr
od
uç
ão
.
F
u
n
çã
o
d
e
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
D
efi
n
iç
ã
o
:
Se
ja
X
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
di
sc
re
ta
.
A
ca
da
p
os
sí
ve
l
re
su
lt
ad
o
x
i
as
so
ci
ar
em
os
um
nú
-
m
er
o
p i
=
P
(X
=
x
i)
,
de
no
m
in
ad
o
pr
ob
ab
ili
da
de
da
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
X
as
su
m
ir
o
va
lo
r
x
i,
sa
ti
sf
a-
ze
nd
o
as
se
gu
in
te
s
co
nd
iç
õe
s:
i)
0
≤
p(
x
i)
≤
1
∀
i
ii)
∑
p(
x
i)
=
1.
A
fu
nç
ão
P
é
de
no
m
in
ad
a
fu
nç
ão
de
pr
ob
ab
ili
da
de
.
E
x
em
p
lo
C
on
si
de
re
o
ex
p
er
im
en
to
do
la
nç
am
en
to
de
du
as
m
oe
da
s.
Se
ja
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
o
nú
m
er
o
de
ca
ra
s
ob
ti
da
s.
C
on
st
ru
a
a
fu
nç
ão
de
pr
ob
ab
ili
da
de
X
S
o
lu
çã
o
:
X
as
su
m
e
os
se
gu
in
te
s
va
lo
re
s
X
=
{
0,
1,
2}
.
T
em
os
qu
e,
P
(X
=
0)
=
P
(K
,K
)
=
1 4
;
P
(X
=
1)
=
P
(C
,K
)
+
P
(K
,C
)
=
1 2
;
P
(X
=
2)
=
P
(C
,C
)
=
1 4
E
x
em
p
lo
D
en
ot
am
os
a
fu
nç
ão
de
pr
ob
ab
ili
da
de
de
X
p
or
x
i
0
1
2
P
(X
=
x
i)
1/
4
1/
2
1/
4
F
u
n
çã
o
d
e
D
is
tr
ib
u
iç
ã
o
D
efi
n
iç
ã
o
:
D
ad
a
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
di
sc
re
ta
X
,
de
fin
im
os
F
(x
)
a
fu
nç
ão
de
di
st
ri
bu
iç
ão
ac
um
u-
la
da
ou
,
si
m
pl
es
m
en
te
,
fu
nç
ão
de
di
st
ri
bu
iç
ão
(f
.d
)
de
X
,
da
da
p
or
:
F
(x
)
=
P
(X
≤
x
)
⇒
F
(x
)
=
∑ x i≤x
P
(X
=
x
i)
E
x
em
p
lo
C
on
si
de
ra
nd
o
o
ex
em
pl
o
an
te
ri
or
,
a
fu
nç
ão
de
pr
o-
ba
bi
lid
ad
e
de
X
é
de
no
ta
da
p
or
:
x
i
0
1
2
P
(X
=
x
i)
1/
4
1/
2
1/
4
P
or
co
ns
eg
ui
nt
e,
a
fu
nç
ão
de
di
st
ri
bu
iç
ão
ac
um
ul
ad
a
de
X
é
da
da
p
or
: x
i
0
1
2
F
(x
i)
=
P
(X
≤
x
i)
1/
4
3/
4
1
E
x
em
p
lo
(v
.a
d
is
cr
et
a
)
U
m
pa
r
de
da
do
s
é
la
nç
ad
o.
Se
ja
X
a
va
ri
áv
el
al
ea
-
tó
ri
a
qu
e
as
so
ci
a
a
ca
da
p
on
to
(d
1
,d
2
)
de
S
a
so
m
a
de
ss
es
nú
m
er
os
,
is
to
é,
X
(d
1
,d
2
)
=
d
1
+
d
2
.
D
et
er
-
m
in
e
a
fu
nç
ão
de
pr
ob
ab
ili
da
de
de
X
.
S
o
lu
çã
o
:
O
es
pa
ço
am
os
tr
al
S
é
fo
rm
ad
o
p
or
36
pa
re
s,
S
=
{
(1
,1
),
(1
,2
),
..
.,
(5
,6
),
(6
,6
)}
.
E
nt
ão
,
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
X
=
d
1
+
d
2
as
su
m
e
os
se
gu
in
te
s
va
lo
re
s X
=
{2
,3
,4
,.
..
,1
2}
.
E
x
em
p
lo
(v
.a
d
is
cr
et
a
)
A
fu
nç
ão
de
prob
ab
ili
da
de
de
X
é
ob
ti
da
da
fo
rm
a:
P
(X
=
2
)
=
P
(d
1
=
1,
d
2
=
1)
=
1 6
·
1 6
=
1 36
P
(X
=
3)
=
P
(d
1
=
1,
d
2
=
2)
+
P
(d
1
=
2,
d
2
=
1)
=
1 36
+
1 36
=
2 36
. . .
P
(X
=
1
2)
=
P
(d
1
=
6,
d
2
=
6)
=
1 36
L
og
o,
a
fu
nç
ão
de
pr
ob
ab
ili
da
de
de
X
se
rá
re
pr
e-
se
nt
ad
a
p
or
x
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P
(X
=
x
i)
1 36
2 3
6
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 3
6
2 3
6
1 3
6
C
o
n
si
d
er
a
çõ
es
•
A
di
st
ri
bu
iç
ão
de
pr
ob
ab
ili
da
de
s
p
er
m
it
e
a
de
-
fin
iç
ão
de
um
m
od
el
o
m
at
em
át
ic
o
ap
ro
pr
ia
do
a
ca
da
si
tu
aç
ão
.
•
O
s
m
od
el
os
pa
ra
v.
a’
s
di
sc
re
ta
s
qu
e
es
tu
da
re
m
os
se
rã
o
os
M
od
el
os
B
in
om
ia
l
e
P
oi
ss
on
.
•
N
o
ca
so
de
v.
a’
s
co
nt
ín
ua
s
a
fu
nç
ão
de
pr
ob
ab
i-
lid
ad
e
dá
lu
ga
r
à
fu
nç
ão
de
ns
id
ad
e
de
pr
ob
ab
ili
-
da
de
qu
e
de
p
en
de
de
co
nc
ei
to
s
m
at
em
át
ic
os
um
p
ou
co
m
ai
s
co
m
pl
ex
os
(i
nt
eg
ra
is
).
V
a
ri
á
v
el
A
le
a
tó
ri
a
C
o
n
tí
n
u
a
Q
ua
nd
o
um
a
v.
a
é
co
nt
ín
ua
,
el
a
p
od
e
as
su
m
ir
qu
al
-
qu
er
va
lo
r
em
um
da
do
in
te
rv
al
o.
E
x
em
p
lo
s:
•
re
si
st
ên
ci
a
de
um
m
at
er
ia
l;
•
co
nc
en
tr
aç
ão
de
C
O
2
na
ág
ua
•
te
m
p
o
de
vi
da
de
um
co
m
p
on
en
te
el
et
rô
ni
co
;
•
te
m
p
o
de
re
sp
os
ta
de
um
si
st
em
a
co
m
pu
ta
ci
o-
na
l;
F
u
n
çã
o
d
en
si
d
a
d
e
d
e
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
Se
ja
X
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
co
nt
ín
ua
.
A
fu
nç
ão
de
de
ns
id
ad
e
de
pr
ob
ab
ili
da
de
(f
.d
.p
.)
f
(x
)
é
um
a
fu
nç
ão
qu
e
sa
ti
sf
az
as
se
gu
in
te
s
co
nd
iç
õe
s:
1
f
(x
)
≥
0,
∀
x
∈
R
x
2
∫ +
∞
−
∞
f
(x
)d
x
=
1
3
Se
ja
m
a
e
b
qu
ai
sq
ue
r
no
in
te
rv
al
o,
−
∞
<
a
<
b
<
+
∞
te
m
os
qu
e
P
(a
≤
X
≤
b)
=
∫ b a
f
(x
)d
x
O
b
se
rv
a
çõ
es
•
P
(a
≤
X
≤
b)
re
pr
es
en
ta
a
ár
ea
so
b
a
cu
rv
a
da
fu
nç
ão
de
ns
id
ad
e
de
pr
ob
ab
ili
da
de
f
(x
).
O
b
se
rv
a
çõ
es
•
P
ar
a
qu
al
qu
er
va
lo
r
es
p
ec
ífi
co
de
X
,d
ig
am
os
x
0
,
P
(X
=
x
0
)
=
0,
p
oi
s
P
(X
=
x
0
)
=
∫ x
0
x
0
f
(x
)d
x
=
0
•
C
om
o
a
pr
ob
ab
ili
da
de
de
X
as
su
m
ir
va
lo
re
s
em
p
on
to
s
is
ol
ad
os
é
nu
la
,
te
m
os
qu
e
P
(a
≤
X
≤
b)
=
P
(a
≤
X
<
b)
=
P
(a
<
X
≤
b)
=
P
(a
<
X
<
b)
F
u
n
çã
o
d
e
D
is
tr
ib
u
iç
ã
o
•
A
de
fin
iç
ão
de
fu
nç
ão
de
di
st
ri
bu
iç
ão
pa
ra
o
ca
so
co
nt
ín
uo
é
da
da
p
or
F
(x
)
=
P
(X
≤
x
)
=
∫ x −∞
f
(x
)d
x
E
x
em
p
lo
(v
.a
co
n
tí
n
u
a
)
•
Su
p
on
ha
qu
e
X
é
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
co
nt
í-
nu
a
co
m
a
se
gu
in
te
fd
p:
f
(x
)
=
{ 2
x
,
0
<
x
<
1
0
ca
so
co
nt
ár
io
a)
M
os
tr
e
qu
e
f
(x
)
é
um
a
fd
p;
b)
C
al
cu
le
P
(X
≤
1/
2)
;
c)
C
al
cu
le
P
(X
≤
1/
2
∣ ∣ 1/
3
≤
X
≤
2/
3)
;
d)
Se
f
(x
)
fo
r
um
a
fd
p,
ca
lc
ul
e
su
a
fu
nç
ão
de
di
s-
tr
ib
ui
çã
o
ac
um
ul
ad
a.
S
o
lu
çã
o
:
a)
P
ar
a
qu
e
f
(x
)
se
ja
um
a
fd
p
ba
st
a
ve
ri
fic
ar
qu
e
∫ 1 0
2x
d
x
=
x
2
∣ ∣ ∣1 0=
1.
b)
P
(X
≤
1/
2)
=
∫ 1
/2
0
2x
d
x
=
x
2
∣ ∣ ∣1/2 0
=
1/
4.
c)
P
(X
≤
1/
2
∣ ∣ 1/
3
≤
X
≤
2/
3)
=
P
(1
/3
≤
X
≤
1/
2)
P
(1
/3
≤
X
≤
2/
3)
=
∫ 1
/2
1
/3
2x
d
x
∫ 2
/3
1
/3
2x
d
x
=
5/
36
1/
3
=
5 12
.
S
o
lu
çã
o
:
d)
F
(x
)
=
      
0
x
≤
0
∫ x 0
2x
d
x
=
x
2
,
0
<
x
<
1
1
x
≥
1
C
o
n
si
d
er
a
çõ
es
•
E
xi
st
em
di
ve
rs
os
m
od
el
os
pa
ra
v.
a’
s
co
nt
ín
ua
s.
•
L
id
ar
em
os
co
m
o
m
od
el
o
de
no
m
in
ad
o
N
or
m
al
,o
qu
al
é
ap
ro
pr
ia
do
a
di
ve
rs
as
si
tu
aç
õe
s
na
s
m
ai
s
di
fe
re
nt
es
ár
ea
s.
V
a
lo
r
E
sp
er
a
d
o
d
e
u
m
a
V
a
ri
á
v
el
A
le
a
tó
ri
a
•
N
os
m
od
el
os
pr
ob
ab
ilí
st
ic
os
,
pa
râ
m
et
ro
s
p
od
em
se
r
em
pr
eg
ad
os
pa
ra
ca
ra
ct
er
iz
ar
su
a
di
st
ri
bu
i-
çã
o
de
pr
ob
ab
ili
da
de
.
D
ad
a
um
a
di
st
ri
bu
iç
ão
de
pr
ob
ab
ili
da
de
é
p
os
sí
ve
la
ss
oc
ia
r
ce
rt
os
pa
râ
m
e-
tr
os
,
os
qu
ai
s
fo
rn
ec
em
in
fo
rm
aç
ão
va
lio
sa
so
br
e
ta
l
di
st
ri
bu
iç
ão
.
•
U
m
do
s
pa
râ
m
et
ro
s
m
ai
s
im
p
or
ta
nt
es
é
o
va
lo
r
es
p
er
ad
o
(e
sp
er
an
ça
ou
m
éd
ia
)
de
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
X
,
de
no
ta
do
p
or
E
(X
)
ou
µ
.
V
a
lo
r
E
sp
er
a
d
o
d
e
u
m
a
v
.a
D
is
cr
et
a
•
Se
ja
X
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
d
is
cr
et
a
co
m
p
os
sí
ve
is
va
lo
re
s
x
1
,x
2
,.
..
,x
n
,.
..
.
Se
ja
p(
x
i)
=
P
(X
=
x
i)
,
i
=
1,
2,
..
.,
n
,.
..
.
E
nt
ão
,
o
va
lo
r
es
p
er
ad
o
ou
m
éd
ia
da
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
X
é
de
fin
id
o
p
or
:
µ
=
E
(X
)
=
∞ ∑ i=1
x
ip
(x
i)
se
a
sé
ri
e
co
nv
er
gi
r.
V
a
lo
r
E
sp
er
a
d
o
d
e
u
m
a
v
.a
C
o
n
tí
n
u
a
•
Se
ja
X
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
co
n
tí
n
u
a
co
m
fd
p
f
(x
).
O
va
lo
r
es
p
er
ad
o
de
X
se
rá
de
fin
id
o
p
or
µ
=
E
(X
)
=
∫ +
∞
−
∞
x
f
(x
)d
x
.
E
x
em
p
lo
(v
.a
d
is
cr
et
a
)
C
on
si
de
re
o
ex
em
pl
o
dola
nç
am
en
to
de
du
as
m
oe
-
da
s,
on
de
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
X
=
nú
m
er
o
de
ca
ra
s
ob
ti
da
s
no
la
nç
am
en
to
de
2
m
oe
da
s.
R
el
em
br
an
do
qu
e
a
fu
nç
ão
de
pr
ob
ab
ili
da
de
é:
x
i
0
1
2
p(
x
i)
1/
4
1/
2
1/
4
ob
te
m
os
a
E
(X
)
p
or
E
(X
)
=
3 ∑ i=1
x
i
p(
x
i
)
=
( 0
×
1 4
) +
( 1
×
1 2
) +
( 2
×
1 4
) =
1
O
b
s:
is
to
re
pr
es
en
ta
qu
e,
ao
la
nç
ar
m
os
2
m
oe
da
s
es
p
er
am
os
qu
e,
em
m
éd
ia
,
em
um
do
s
la
nç
am
en
to
s
ap
ar
eç
a
um
a
C
a
ra
.
E
x
em
p
lo
(v
.a
co
n
tí
n
u
a
)
C
on
si
de
re
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
co
nt
ín
ua
do
ex
em
pl
o
an
te
ri
or
,
co
m
a
se
gu
in
te
fd
p:
f
(x
)
=
{ 2
x
,
0
<
x
<
1
0,
ca
so
co
nt
ár
io
ob
te
m
os
a
E
(X
)
p
or
E
(X
)
=
∫ 1 0
x
(2
x
)d
x
=
∫ 1 0
2x
2
d
x
=
2x
3
3
∣ ∣ ∣1 0=
2 3
P
ro
p
ri
ed
a
d
es
d
a
E
sp
er
a
n
ça
Se
ja
X
um
a
v.
a
e
c
um
a
co
ns
ta
nt
e,
en
tã
o:
•
O
va
lo
r
es
p
er
ad
o
(m
éd
ia
)
de
um
a
co
ns
ta
nt
e
é
a
pr
óp
ri
a
co
ns
ta
nt
e:
E
(c
)
=
c.
•
M
ul
ti
pl
ic
an
do
-s
e
c
p
or
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
X
,
su
a
m
éd
ia
fic
a
m
ul
ti
pl
ic
ad
a
p
or
es
ta
co
ns
ta
nt
e:
E
(c
X
)
=
cE
(X
).
•
So
m
an
do
ou
su
bt
ra
in
do
c
de
um
a
va
ri
áv
el
al
e-
at
ór
ia
X
,
su
a
m
éd
ia
fic
a
so
m
ad
a
ou
su
bt
ra
íd
a
de
st
a
co
ns
ta
nt
e:
E
(X
±
c)
=
E
(X
)
±
c.
P
ro
p
ri
ed
a
d
es
d
a
E
sp
er
a
n
ça
•
Se
ja
m
X
e
Y
du
as
va
ri
áv
ei
s
al
ea
tó
ri
as
,
o
va
lo
r
es
p
er
ad
o
da
so
m
a/
su
bt
ra
çã
o
de
va
ri
áv
ei
s
al
ea
tó
-
ri
as
eq
ui
va
le
a
so
m
a/
su
bt
ra
çã
o
do
s
va
lo
re
s
es
p
e-
ra
do
s
de
X
e
Y
:
E
(X
±
Y
)
=
E
(X
)
±
E
(Y
).
•
Se
ja
m
X
e
Y
du
as
va
ri
áv
ei
s
al
ea
tó
ri
as
in
de
p
en
-
de
nt
es
,
te
m
os
qu
e
:
E
(X
Y
)
=
E
(X
)E
(Y
).
E
sp
er
a
n
ça
d
a
fu
n
çã
o
d
e
u
m
a
v
.a
.
•
T
od
a
fu
nç
ão
de
um
a
v.
a
X
,
ta
m
b
ém
é
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a.
L
og
o,
p
od
em
os
fa
la
r
na
es
p
er
an
ça
de
X
2
,
2X
+
1,
en
tr
e
ou
tr
as
.
A
ss
im
,
Se
X
é
di
sc
re
ta
⇒
E
(X
2
)
=
∞ ∑ i=1
x
2 i
p(
x
i)
.
Se
X
é
co
nt
ín
ua
⇒
E
(X
2
)
=
∫ +
∞
−
∞
x
2
f
(x
)d
x
.
V
a
ri
â
n
ci
a
d
e
u
m
a
v
.a
U
m
ou
tr
o
pa
râ
m
et
ro
im
p
or
ta
nt
e
qu
e
ca
ra
ct
er
iz
a
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
é
a
va
ri
ân
ci
a.
A
va
ri
ân
ci
a
fo
rn
ec
e
a
di
sp
er
sã
o
do
s
va
lo
re
s
da
va
-
ri
áv
el
em
re
la
çã
o
ao
va
lo
r
es
p
er
ad
o.
D
efi
n
iç
ã
o
:
Se
ja
X
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
(d
is
cr
et
a
ou
co
nt
ín
ua
)c
om
es
p
er
an
ça
da
da
p
or
E
(X
).
A
va
ri
-
ân
ci
a
de
X
é
de
fin
id
a
p
or
V
ar
(X
)
=
E
(X
−
µ
)2
=
E
(X
2
)
−
[E
(X
)]
2
O
b
se
rv
a
çõ
es
•
N
o
ta
çã
o
:
V
ar
(X
)
=
σ
2
•
A
va
ri
ân
ci
a
é
se
m
pr
e
p
os
it
iv
a,
V
ar
(X
)
≥
0.
•
V
ar
(X
)
é
ex
pr
es
sa
em
un
id
ad
es
qu
ad
ra
da
s
(o
qu
e
to
rn
a
di
fí
ci
l
a
su
a
in
te
rp
re
ta
çã
o)
.
D
es
v
io
P
a
d
rã
o
D
es
v
io
P
a
d
rã
o
:
É
de
fin
id
o
co
m
o
a
ra
iz
qu
ad
ra
da
p
os
it
iv
a
da
va
ri
ân
ci
a,
is
to
é,
σ
=
D
P
(X
)
=
√ V
ar
(X
)
O
b
s:
O
de
sv
io
pa
dr
ão
m
ed
e
a
di
sp
er
sã
o
ab
so
lu
ta
de
X
,
se
nd
o
ex
pr
es
sa
na
m
es
m
a
un
id
ad
e
da
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
X
.
P
ro
p
ri
ed
a
d
es
d
a
V
a
ri
â
n
ci
a
Se
ja
m
X
um
a
v.
a.
e
c
é
co
ns
ta
nt
e,
en
tã
o
•
A
va
ri
ân
ci
a
de
um
a
co
ns
ta
nt
e
é
ze
ro
:
V
ar
(c
)
=
0;
•
So
m
an
do
-s
e
ou
su
bt
ra
in
do
-s
e
um
a
co
ns
ta
nt
e
à
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a,
su
a
va
ri
ân
ci
a
nã
o
se
al
te
ra
:
V
ar
(c
±
X
)
=
V
ar
(X
).
•
M
ul
ti
pl
ic
an
do
-s
e
c
p
or
um
a
v.
a
X
,s
ua
va
ri
ân
ci
a
fic
a
m
ul
ti
pl
ic
ad
a
p
el
o
qu
ad
ra
do
da
co
ns
ta
nt
e:
V
ar
(c
X
)
=
c2
V
ar
(X
).
P
ro
p
ri
ed
a
d
es
d
a
V
a
ri
â
n
ci
a
•
Se
ja
m
X
e
Y
du
as
va
ri
áv
ei
s
al
ea
tó
ri
as
in
d
ep
e
n
-
d
en
te
s,
a
va
ri
ân
ci
a
da
so
m
a/
su
bt
ra
çã
o
de
va
ri
á-
ve
is
al
ea
tó
ri
as
eq
ui
va
le
a
so
m
a
da
s
va
ri
ân
ci
as
de
X
e
Y
: V
ar
(X
±
Y
)
=
V
ar
(X
)
+
V
ar
(Y
).
E
x
em
p
lo
(v
.a
d
is
cr
et
a
)
C
on
si
de
ra
nd
o
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
di
sc
re
ta
X
co
m
fu
nç
ão
de
pr
ob
ab
ili
da
de
da
da
p
or
:
x
i
0
1
2
p(
x
i)
1/
4
1/
2
1/
4
C
al
cu
le
a
V
ar
(X
).
S
o
lu
ç
ã
o
:
V
ar
(X
)
=
E
(X
2
)
−
[E
(X
)]
2
E
(X
)
=
∑ 3 i
=
1
x
i
p(
x
i
)
=
( 0×
1 4
) +
( 1×
1 2
) +
( 2×
1 4
) =
1
E
(X
2
)
=
∑ 3 i
=
1
x
2 i
p(
x
i
)
=
( 02
×
1 4
) +
( 12
×
1 2
) +
( 22
×
1 4
) =
3 2
V
ar
(X
)
=
3 2
−
12
=
1 2
E
x
em
p
lo
(v
.a
co
n
tí
n
u
a
)
Se
ja
X
um
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
co
nt
ín
ua
co
m
a
se
gu
in
te
fu
nç
ão
de
de
ns
id
ad
e:
f
(x
)
=
{ 2
x
,
0
<
x
<
1
0,
ca
so
co
nt
ár
io
C
al
cu
la
r
V
ar
(X
).
S
o
lu
ç
ã
o
:
V
ar
(X
)
=
E
(X
2
)
−
[E
(X
)]
2
E
(X
)
=
∫ 1 0
x
(2
x
)d
x
=
∫ 1 0
2x
2
d
x
=
2
x
3
3
∣ ∣ ∣1 0=
2 3
E
(X
2
)
=
∫ 1 0
x
2
(2
x
)d
x
=
∫ 1 0
2x
3
d
x
=
x
4 2∣ ∣ ∣1 0=
1 2
V
ar
(X
)
=
1 2
−
( 2 3)
2
=
1 1
8
E
x
em
p
lo
(v
.a
d
is
cr
et
a
)
U
m
a
li
v
ra
ri
a
m
an
té
m
os
re
gi
st
ro
s
d
as
ve
n
d
as
d
iá
ri
as
d
os
li
-
v
ro
s.
C
om
os
d
ad
os
co
n
st
ru
iu
a
se
gu
in
te
d
is
tr
ib
u
iç
ão
d
e
p
ro
b
ab
il
id
ad
e
d
a
va
ri
áv
el
al
ea
tó
ri
a
X
=
n
ú
m
er
o
d
e
li
v
ro
s
ve
n
d
id
os
p
or
se
m
an
a:
x
i
0
1
2
3
4
5
p(
x
i
)
0,
05
0,
15
0,
42
0,
2
0,
08
0,
1
a)
C
al
cu
le
a
p
ro
b
ab
il
id
ad
e
d
e
ve
n
d
er
m
ai
s
q
u
e
2
li
v
ro
s
p
or
se
m
an
a.
b
)
C
al
cu
le
a
p
ro
b
ab
il
id
ad
e
d
e
ve
n
d
er
n
o
m
áx
im
o
u
m
li
v
ro
.
c)
C
al
cu
le
o
n
ú
m
er
o
es
p
er
ad
o
d
e
li
v
ro
s
ve
n
d
id
os
p
or
se
m
an
a.
d
)
C
al
cu
le
a
va
ri
ân
ci
a
d
os
li
v
ro
s
ve
n
d
id
os
p
or
se
m
an
a.
e)
S
ej
a
Y
=
3X
2
+
X
−
2
o
lu
cr
o
d
a
li
v
ra
ri
a
em
fu
n
çã
o
d
os
li
v
ro
s
ve
n
d
id
os
.
Q
u
al
o
lu
cr
o
es
p
er
ad
o
d
a
li
v
ra
ri
a?
E
x
em
p
lo
(v
.a
d
is
cr
et
a
)
S
o
lu
ç
ã
o
:
a)
P
(X
>
2)
=
P
(X
=
3)
+
P
(X
=
4)
+
P
(X
=
5)
=
0,
2
+
0,
08
+
0,
1
=
0,
38
b
)
P
(X
≤
1)
=
P
(X
=
0)
+
P
(X
=
1)
=
0,
05
+
0,
15
=
0,
2
c)
E
(X
)
=
(0
×
0,
05
)
+
(1
×
0,
15
)
+
(2
×
0,
42
)
+
(3
×
0,
2)
+
(4
×
0,
08
)
+
(5
×
0,
1)
=
2,
41
d
)
E
(X
2
)
=
(0
2
×
0,
05
)+
(1
2
×
0,
15
)+
(2
2
×
0,
42
)+
(3
2
×
0,
2)
+
(4
2
×
0,
08
)
+
(5
2
×
0,
1)
=
7,
41
V
ar
(X
)
=
E
(X
2
)
−
[E
(X
)]
2
=
1,
6
c)
E
(Y
)
=
E
(3
X
2
+
X
−
2)
=
E
(3
X
2
)
+
E
(X
)
+
E
(−
2)
=
3
∗
E
(X
2
)
+
E
(X
)
−
2
=
3
∗
7,
41
+
2,
41
−
2
=
22
,6
4
E
x
em
p
lo
(v
.a
co
n
tí
n
u
a
)
O
te
m
p
o
(e
m
an
os
)
ad
eq
u
ad
o
d
e
tr
o
ca
d
e
u
m
a
p
eç
a
d
e
ce
rt
a
m
ar
ca
d
e
co
m
p
u
ta
d
or
é
u
m
a
v
.a
.
co
m
a
se
gu
in
te
fu
n
çã
o
d
en
si
d
ad
e:
f
(x
)
=
{
x 8
,
0
≤
x
≤
4
0
ca
so
co
n
tá
ri
o
a)
Q
u
al
a
p
ro
b
ab
il
id
ad
e
d
e
u
m
co
m
p
u
ta
d
or
n
ec
es
si
ta
r
d
a
tr
o
ca
d
a
p
eç
a
an
te
s
d
e
u
m
an
o
d
e
u
so
?
b
)
C
ac
u
le
o
te
m
p
o
m
éd
io
d
e
tr
o
ca
d
e
u
m
a
p
eç
a
d
e
ce
rt
a
m
ar
ca
d
e
co
m
p
u
ta
d
or
.
c)
C
ac
u
le
a
va
ri
ân
ci
a
d
o
te
m
p
o
d
e
tr
o
ca
d
e
u
m
a
p
eç
a
d
e
ce
rt
a
m
ar
ca
d
e
co
m
p
u
ta
d
or
.
d
)
S
ej
a
Y
=
(X
−
2)
2
o
p
re
ju
íz
o
d
a
em
p
re
sa
em
fu
n
çã
o
d
o
te
m
p
o
d
e
tr
o
ca
.
Q
u
al
o
p
re
ju
íz
o
es
p
er
ad
o?
E
x
em
p
lo
(v
.a
co
n
tí
n
u
a
)
S
o
lu
çã
o
:
a)
P
(X
<
1)
=
∫ 1 0
x 8
d
x
=
x
2
16
∣ ∣ ∣1 0=
1 16
=
0,
06
25
b)
E
(X
)
=
∫ 4 0
x
x 8
d
x
=
∫ 4 0
x
2 8
d
x
=
x
3
24
∣ ∣ ∣4 0=
8 3
c)
E
(X
2
)
=
∫ 4 0
x
2
x 8
d
x
=
∫ 4 0
x
3 8
d
x
=
x
4
32
∣ ∣ ∣4 0=
8
V
ar
(X
)
=
E
(X
2
)
−
[E
(X
)]
2
=
8
−
( 8 3)
2
=
8 9
d)
E
(Y
)
=
E
[ (X
−
2)
2
] =
E
(X
2
−
4X
+
4)
=
E
(X
2
)
−
4
∗
E
(X
)
+
E
(4
)
=
1,
33