(3) Sistemas de Equações Lineares

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CAPÍTULO 3
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES.
3.1 INTRODUÇÃO.
Um dos principais tópicos da Álgebra Linear é o estudo de sistemas de equações lineares e suas soluções. Na prática, surgem muitos problemas que podem ser reduzidos a um sistema de equações lineares. Muitos deles, com um grande número de equações, que requerem um método sistemático para resolvê-los.
DEFINIÇÕES BÁSICAS:
(1) Equação linear e soluções: uma equação linear nas incógnitas x1, x2, ..., xn é uma equação que pode ser colocada na forma padrão:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b							(3-1)
onde a1, a2,..., an, e b são constantes. As constantes ak são chamadas de coeficientes e b é o termo constante ou termo independente. Se b = 0 a equação é dita homogênea.
	
Uma solução da equação linear é uma lista de valores para as variáveis ou, de modo equivalente, um vetor u no Rn. Por exemplo:
x1 = k1, x2 = k2, ..., xn = kn ou x = (k1, k2, ..., kn).
» NOTA: Essa equação assume implicitamente que há uma ordem nas incógnitas. «
Exemplo 1: Dada a equação linear x + 2y – 3z = 0, então: x = 5, y = 2 e z = 3, ou equivalentemente, 
x = (5, 2, 3) é uma solução dessa equação. Por outro lado, o vetor x = (1, 2, 3) não é uma solução dessa equação.
Exemplo 2: As equações mostradas a seguir não são lineares:
x + 3y2 = 4, 3x + 2y – xy = 5, sen(x) + y = 0.
Exercício: Encontre uma equação linear em x e y cujo conjunto-solução é dado pelas equações abaixo, onde t é um parâmetro:
	x = 5 + 2t, y = t
(2) Sistema de equações lineares: uma coleção finita de equações lineares é denominada de um sistema de equações lineares ou, simplesmente, um sistema linear. Por exemplo, o conjunto de equações:
4x1 – x2 + 3x3 = –1
3x1 + x2 + 9x3 = –4.
é um sistema linear de duas equações a três incógnitas. 
Em geral, um sistema linear, £, de m equações a n incógnitas é representado da forma seguinte:
L1: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
L2: a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
	.....................................................
Lm: am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Teorema: Qualquer sistema linear, £, tem (a) uma solução, (b) nenhuma solução, (c) infinitas soluções.
Estas situações são mostradas na figura 2-1.
(3) Matriz dos coeficientes e matriz associada: matriz dos coeficientes é a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear, ou seja:
					(3-2)
Matriz associada ou matriz aumentada é a matriz formada pelos coeficientes, acrescida de mais uma coluna determinada pelos termos constantes bj, ou seja:
				(3-3)
Fig. 3-1.
(4) Equações lineares degeneradas: uma equação linear é dita degenerada se todos os seus coeficientes são nulos, ou seja, se ela é da forma:
0x1 + 0x2 +... + 0xn = b								(3-4)
Teorema: Seja £ um sistema linear que possui uma equação degenerada Lk, com termo constante b:
(i) Se b ≠ 0 então o sistema não possui solução.
(ii) Se b = 0 então Lk pode ser retirada do sistema.
(5) Incógnita líder: seja Lk uma equação linear não degenerada. A incógnita líder de Lk é a primeira incógnita de Lk com coeficiente não nulo.
Exemplo 3: 0x1 + 0x2 + 5x3 – 3x4 – 0x5 + 7x6 = 10 ou simplesmente: 5x3 – 3x4 + 7x6 = 10.
Então a incógnita líder é x3.
Exemplo 4: 0x + 2y – 4z = 8 ou simplesmente: 2y – 4z = 8.
Então a incógnita líder é y.
(6) Sistemas equivalentes: dois sistemas lineares possuem a mesma solução se, e somente se, cada equação de cada um dos sistemas for uma combinação linear das equações do outro sistema. Então esses dois sistemas são ditos equivalentes.
Exemplo 5: seja o sistema linear £1 dado por:
L1: x1 + x2 + 4x3 + 3x4 = 5
	L2: 2x1 + 3x2 + x3 – 2x4 = 1
	L3: x1 + 2x2 – 5x3 + 4x4 = 3
Vamos multiplicar as equações L1, L2 e L3 por 3, –2 e 4, respectivamente, e, em seguida, somar as três novas equações obtidas. Obteremos então a equação L:
	L: 3x1 + 5x2 – 10x3 + 29x4 = 25
Desse modo, L é uma combinação linear de L1, L2 e L3. Logo a equação L pode substituir qualquer uma das equações do sistema £1, para se obter outro sistema £2 equivalente a £1. Por exemplo, se substituirmos a equação L1 por L no sistema £1 teremos o sistema equivalente £2 dado por:
	L1: 3x1 + 5x2 – 10x3 + 29x4 = 25
	L2: 2x1 + 3x2 + x3 – 2x4 = 1
	L3: x1 + 2x2 – 5x3 + 4x4 = 3
Exercício: Verifique que o vetor x = (–8, 6, 1, 1) é solução dos sistemas £1 e £2.
OPERAÇÕES ELEMENTARES:
As seguintes operações elementares serão de grande utilidade para se obter sistemas lineares equivalentes:
	[E1] Trocar de posição duas das equações do sistema. Indicamos isso por:
		Li ↔ Lj
	[E2] Substituir uma equação por um múltiplo não nulo de si mesma. Indicamos por:
		kLi → Li (Lê-se: kLi substitui Li)
	[E3] Substituir uma equação por um múltiplo de outra equação somada a si mesma. Indicamos por:
		kLi + Lj → Lj (Lê-se: kLi + Lj substitui Lj )
Teorema: Se um sistema linear £2 é obtido de um sistema linear £1 por uma seqüência finita de operações elementares, então £1 e £2 têm a mesma solução, ou seja, os dois sistemas são equivalentes.
3.2 SISTEMAS LINEARES COM DUAS OU TRÊS INCÓGNITAS.
	Interseções de retas ou de planos dão origem a sistemas lineares a duas ou a três incógnitas, respectivamente.
Exemplo 6: seja o sistema linear:
 	
L1: x – y = 1
	L2: 2x + y = 6
Realizando a operação elementar [E3], ou seja, –2L1 + L2 → L2, obtemos o sistema equivalente:
		
x – y = 1
	 3y = 4.
Logo: y = 4/3, x – 4/3 = 1, x = 7/3. Este é um sistema com apenas uma solução. Geometricamente a solução (7/3, 4/3) é o ponto de interseção entre as retas representadas pelas equações do sistema. Neste caso as retas possuem inclinações distintas.
Exemplo 7: seja o sistema linear:
L1: x + y = 4
	L2: 3x + 3y = 6.
Realizando a operação –3L1 + L2 → L2 obtemos:
 x + y = 4
	0x + 0y = –6
Neste caso, o sistema é impossível (nenhuma solução). Geometricamente significa que as retas são paralelas e distintas, ou seja, as retas possuem a mesma inclinação, porém cortam o eixo y em pontos distintos.
Exemplo 8: Seja o sistema linear:
L1: 4x – 2y = 1
	L2: 16x – 8y = 4.
Realizando a operação –4L1 + L2 → L2 obtemos:
4x – 2y = 1
0x + 0y = 0 (Pode ser eliminada do sistema)
Neste caso, o sistema é possível, porém, com infinitas soluções. Geometricamente, as retas são coincidentes, ou seja, possuem a mesma inclinação e cortam o eixo y no mesmo ponto. Portanto, para determinar a solução geral, faça y = t na equação L1 e então tire o valor de x. Assim temos:
	x = 1/4 + t/2 e y = t 
	 
Logo, como t(r, então para cada t teremos um par distinto (x, y) como solução.
Exemplo 9: Sejam os sistemas:
L1: x – y + 2z = 5			L1: x – y + 2z = 7
	a)	L2: 2x – 2y + 4z = 10		b)	L2: 2x – 2y + 4z = 11
		L3: 3x – 3y + 6z = 15			L3: 3x – 3y + 6z = 18
No sistema (a), verificamos que L2 e L3 são múltiplos de L1. Geometricamente significa que os três planos coincidem. Portanto, o sistema tem infinitas soluções que podem ser expressas na forma de equações paramétricas dos planos. Assim, para y = t1 e z = t2 na equação L1, temos:
	x = 5 + t1 – 2t2, y = t1 e z = t2
No sistema (b), os planos são paralelos, mas não coincidentes, então o sistema não tem solução. 
 
Em sistemas a três incógnitas podem ocorrer as seguintes situações resumidas na figura 3-2.
Fig. 3-2. Interpretação geométrica de sistemas a três incógnitas.
3.3 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES – REDUÇÃO POR LINHA
	O principal método de resolução de sistemas lineares é a chamada eliminação de Gauss. Primeiramente vamos considerar dois tipos simples de sistemas: sistema na forma triangular e, mais geral, sistema na forma reduzida.
FORMA TRIANGULAR:
Exemplo 10: Considere o seguinte sistema linear:L1: 2x1 + 3x2 + 5x3 – 2x4 = 9
	L2: 5x2 – x3 + 3x4 = 1
	L3:	 7x3 – x4 = 3
	L4:		 2x4 = 8.
Tal sistema é dito estar na forma triangular ou escalonada. Esse sistema é quadrado (número de equações igual ao número de incógnitas) e cada incógnita líder está à direita da incógnita líder da equação anterior. Esse tipo de sistema sempre possui solução única que pode ser determinada pela substituição retroativa, ou seja:
De L4 encontramos x4 = 4, que substituída em L3 fornece x3 = 1. Substituindo x3 e x4 em L2 encontramos x2 = –2 e, finalmente, substituindo x2, x3 e x4 em L1 encontramos x1 = 9. Então a solução única do sistema é:
x = (9, –2, 1, 4).
FORMA REDUZIDA:
Exemplo 11: O sistema a seguir está na forma reduzida:
	L1: 2x1 + 6x2 – x3 + 4x4 – 2x5 = 7
	L2:	 x3 + 2x4 + 2x5 = 5
	L3:		 3x4 – 9x5 = 6
	No sistema na forma reduzida, as incógnitas líderes são expressas em termos da demais incógnitas que passam a ser chamadas de incógnitas livres. No caso do exemplo 11 as incógnitas líderes o x1, x3 e x4, as demais, x2 e x5, são as e incógnitas livres. A solução de tais sistemas é baseada no seguinte teorema:
Teorema: Seja r o número de equações e n o número de incógnitas de um sistema na forma reduzida.
Então:
	(i) Se r = n (exemplo 10), o sistema possui solução única determinada pela substituição retroativa.
	(ii) Se r < n (exemplo 11), podemos atribuir valores arbitrários às n – r variáveis livres e determinar, de modo único, os valores das incógnitas líderes, obtendo uma das infinitas soluções do sistema.
Exemplo 12: No sistema do exemplo 11 podemos encontrar as incógnitas líderes x1, x3 e x4 em função das incógnitas livres x2 e x5, utilizando a substituição retroativa. Desta maneira encontramos:
	x4 = 2 + 3x5, x3 = 1 – 8x5 e x1 = – 3x2 – 9x5
Assim, a solução geral é dada por:
	x = (– 3x2 – 9x5, x2, 1 – 8x5, 2 + 3x5, x5)
Ou fazendo x2 = a e x5 = b, temos a solução na forma paramétrica, ou seja:
	 x = (– 3a – 9b, a, 1 – 8b, 2 + 3b, b).
ELIMINAÇÃO DE GAUSS:
O método principal de resolução de um sistema linear genérico é chamado de eliminação de Gauss. Ele se divide em duas partes:
	(A) Eliminação direta: é uma redução passo a passo do sistema levando a uma equação degenerada sem solução, ou a um sistema mais simples na forma triangular ou reduzida. Usa-se para isso as operações elementares.
	(B) Substituição retroativa: utilizando o sistema já na forma reduzida, obtido na parte (A), aplica-se a substituição retroativa.
	A parte (B) já foi vista em exemplos anteriores. Então, vamos descrever o algoritmo da parte (A).
Algoritmo da parte (A):
- Processo de eliminação:
	(a) Se necessário, troque as equações de posição para que tenhamos a11 ≠ 0. Isto é, para que a primeira incógnita x1 apareça com coeficiente não nulo na primeira equação.
	(b) Use a11 como pivô para eliminar x1 de todas as equações, exceto a primeira. Ou seja, para i > 1 faça:
		(1) 
		(2) kL1 + Li → Li.
	(c) Examine cada nova equação L obtida.
		(1) Se L tem a forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b, com b ≠ 0, então PARE. O sistema não tem solução.
		(2) No item (1), se b = 0 ou se L é múltiplo de alguma outra equação do sistema, então retire L do sistema.
- Processo recursivo:
Repita o processo de eliminação para cada novo subsistema menor obtido.
- Resultado:
Finalmente o sistema chegou à forma triangular ou reduzida, ou a um sistema sem solução.
» NOTA:- O número k em (b) é chamado de multiplicador. Como pode ser observado, ele é dado por:
.
	- Em (b) poderíamos também fazer:
	–ai1L1 + a11Li → Li
	Isso evita o uso de frações se todos os coeficientes são inteiros «.
Exemplo 13: Usando a eliminação de Gauss vamos resolver o sistema linear a três incógnitas:
	L1: x – 3y – 2z = 6
	L2: 2x – 4y – 3z = 8
	L3: –3x + 6y + 8z = –5
Realizando as operações: –2L1 + L2 → L2 e 3L1 + L3 → L3 para eliminar x, obtemos um novo sistema equivalente:
	L1: x – 3y – 2z = 6
	L2: 2y + z = –4
	L3: –3y + 2z = 13
Nesse novo sistema realizamos agora as operações: (3/2)L2 + L3 → L3 ou 3L2 + 2L3 → L3 para eliminar y, e obter:
	L1: x – 3y – 2z = 6
	L2: 2y + z = –4
	L3:	 7z = 14 
O sistema assim obtido está agora na forma triangular. Portanto, a parte A está completa.
Parte B: os valores das incógnitas são obtidos na ordem inversa, por substituição retroativa. Assim encontramos:
	z = 2, y = –3, x = 1 ou x = (1, –3, 2).
Exemplo 14: Seja o sistema:
	L1: x1 + 3x2 – 2x3 + 5x4 = 4
	L2: 2x1 + 8x2 – x3 + 9x4 = 9
	L3: 3x1 + 5x2 – 12x3 + 17x4 = 7
Para eliminar x1, substituir L2 por –2L1 + L2 e L3 por –3L1 + L3. Então temos:
	L1: x1 + 3x2 – 2x3 + 5x4 = 4
	L2:	 2x2 + 3x3 – x4 = 1
	L3: –4x2 – 6x3 + 2x4 = –5.
 
Para eliminar x2, substituímos L3 por 2L2 + L3. Isto nos dá a seguinte equação degenerada:
	0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = –3.
Então não execute a parte B, pois o sistema não tem solução.
Exercício: Resolva o seguinte sistema linear por eliminação de Gauss:
	 x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0
	2x1 + 6x2 – 5x3 – 2x4 + 4x5 – 3x6 = –1
	 5x3 + 10x4 + 15x6 = 5
	2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
Resposta: x1 = -3x2 – 4x4 – 2x5, x3 = -2x4, x6 = 1/3.
3.4 RESOLUÇÕES DE SISTEMAS LINEARES USANDO MATRIZES.
	Uma maneira de resolver um sistema linear é trabalhando com sua matriz associada M, em vez de trabalhar com o sistema. Primeiro vamos ver alguns conceitos:
MATRIZ ESCALONADA POR LINHA:
Uma matriz A é chamada de escalonada por linha se as duas condições seguintes são válidas:
	
(1) Todas as linhas nulas, se existirem, estão na parte de baixo da matriz.
	(2) Cada termo líder (pivô) de uma linha está à direita do termo líder da linha anterior.
Exemplo 15: A seguinte matriz está na forma escalonada por linha, com os pivôs em destaque:
FORMA ESCALONADA REDUZIDA POR LINHA
Uma matriz A está na forma escalonada reduzida por linha se, além de ser uma matriz escalonada por linha, ela satisfizer as seguintes condições:
	(1) Cada pivô (termo líder) é igual a 1.
	(2) Cada pivô é o único elemento não nulo de sua coluna.
Exemplo 16: Das matrizes mostradas a seguir, apenas a matriz A está na forma escalonada reduzida por linha.
 
 
OPERAÇÕES ELEMENTARES:
Seja A uma matriz cujas linhas são denotadas por R1, R2,..., Rm. Podemos efetuar as seguintes operações elementares:
	[E1]: Ri ↔ Rj (Trocar posição de duas linhas quaisquer)
	[E2]: kRi → Ri (Substituir uma linha por um múltiplo dela mesma)
	[E3]: kRi + Rj → Rj (Um múltiplo de uma linha somado com outra linha, substitui essa outra)
EQUIVALÊNCIA POR LINHA E POSTO DE UMA MATRIZ:
Uma matriz A é equivalente por linha a uma matriz B, se B pode ser obtida de A por uma seqüência de operações elementares. Se B for uma matriz escalonada por linha, dizemos que B é a forma escalonada por linha de. A equivalência é denotada por A ~B.
Exemplo 17: As matrizes a seguir são equivalentes:
	
 
	Dos resultados básicos da equivalência por linha tiramos dois teoremas importantes:
Teorema: Se A e B são duas matrizes escalonadas por linha, então A e B possuem o mesmo número de linhas não nulas e as posições dos pivôs são as mesmas.
Teorema: Toda matriz A é equivalente por linha a uma única matriz na forma escalonada reduzida por linha.
	
	A equivalência por linha tem as seguintes propriedades:
	(I) A ~ A, (II) Se A ~ B então B ~A, (III) Se A ~ B e B ~ C então A ~C.
O posto de uma matriz A, denotado por rank(A) ou Pos(A) é igual ao número de pivôs da matrizA na forma escalonada por linha. Assim, no exemplo 15 temos: rank(A) = 4 e no exemplo 16 temos: rank(A) = 3.
3.5 ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN.
	O processo de redução de uma matriz até se chegar à forma escalonada reduzida por linha é conhecido como eliminação de Gauss-Jordan.
	Esta seção apresenta dois algoritmos: um, para transformar qualquer matriz A em sua forma escalonada por linha (eliminação de Gauss) e outro para transformar em sua forma escalonada reduzida por linha (eliminação de Gauss-Jordan).
Algoritmo A1 (Eliminação direta): dada qualquer matriz A, este algoritmo insere zeros abaixo de cada pivô, trabalhando de cima para baixo, e dá como resultado a forma escalonada por linha de A.
- PASSO 1: Descubra a primeira coluna com um elemento não nulo. Seja j1 esta coluna.
	(a) Se necessário, troque a posição de duas linhas para que o elemento não nulo da coluna j1 esteja na primeira linha, isto é, para que a1j ≠ 0.
	(b) Use a1j como pivô para obter zeros abaixo de 
. Especificamente, para i > 1, faça:
		(1) 
; (2) kR1 + Ri → Ri.
- PASSO 2: Repita o passo 1 com a “submatriz” formada por todas as linhas da matriz original, exceto a primeira linha.
- PASSO 3: Continue o processo acima até que a submatriz possua apenas linhas nulas. Observe que, no final do processo, os pivôs serão: 
, 
,..., 
, onde r é o número de linhas não nulas da matriz escalonada por linha.
Algoritmo A2 (Eliminação retroativa): dada uma matriz A = [aij] na forma escalonada por linha, com elementos pivôs 
, 
,..., 
, o resultado desse algoritmo será a forma escalonada reduzida por linha da matriz A.
PASSO 1: (a) Multiplique a última linha não nula Rr por 1/arjr (para que o último pivô seja 1)
	 (b) Use 
= 1 para obter zeros acima do pivô, realizando a operação: –
Rr + Ri → Ri.
PASSO 2: Para r – 1 repita o passo 1 para as linhas Rr-1, Rr-2,..., R2.
Exemplo 18: Dada a seguinte matriz A, aplique sobre ela os algoritmos A1 e A2 para chegar à sua forma escalonada reduzida por linha.
Solução: Aplicando o algoritmo A1 encontramos as seguintes matrizes equivalentes:
Aplicando agora o algoritmo A2 sobre a forma encontrada acima, encontramos as seguintes matrizes equivalentes:
�� EMBED Equation.3 
A última matriz desta seqüência é a forma escalonada reduzida por linha da matriz A.
Exemplo 19: Resolva os seguintes sistemas lineares:
	 x1 + x2 – 2x3 + 4x4 = 5	 x1 + x2 – 2x3 + 3x4 = 4	 x + 2y + z = 3
	2x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 3	2x1 + 3x2 + 3x3 – x4 = 3	2x + 5y – z = –4
	3x1 + 3x2 – 4x3 – 2x4 = 1	5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5	3x – 2y – z = 5.
		 (a)				 (b)			 (c)
Solução (a): Aplicamos o algoritmo de Gauss-Jordan na matriz M. Assim temos as seguintes matrizes equivalentes:
	
A última linha, por ser nula, pode ser excluída, então ficamos com o sistema:
x1 + x2 – 10x4 = –9	ou	x1 = –9 – x2 + 10x4
 x3 – 7x4 = –7		x3 = –7 + 7x4
Então, esse sistema possui infinitas soluções. Observe que: rank(A) = rank(M).
Solução (b): Seguindo o mesmo procedimento do item (a), encontramos a seguinte seqüência de matrizes:
Observe que, na última matriz, a última linha corresponde a uma equação degenerada. Então não precisamos continuar já que o sistema não possui solução. Observe que: rank(A) ≠ rank(M).
Solução (c): Seguindo o mesmo procedimento dos itens anteriores, encontramos a seguinte seqüência de matrizes:
	
Neste caso o sistema possui uma única solução, que corresponde à última coluna destacada na última matriz, ou seja:
	x = 2, y = –1, z = 3 ou u = (2, –1, 3).
Observe que: rank(A) = rank(M) = 3 (no de incógnitas).
Exercício: Resolva o sistema a seguir reduzindo a sua matriz aumentada à forma escalonada reduzida por linha.
	 x + 4y + 3z = 1
	2x + 5y + 4z = 4
	 x – 3y – 2z = 5
[Resp: (3, -2, 2)].
TEOREMA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE
Teorema: Considere um sistema linear a n incógnitas com matriz associada M e matriz dos coeficientes, A, então:
	(a) O sistema é possível se e só se rank(A) = rank(M)
	(b) A solução é única se e só se rank(A) = rank(M) = n.
2.6 FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR.
	O sistema genérico de m equações a n incógnitas é equivalente à seguinte equação matricial:
						(3-5)
Ou, abreviadamente: AX = B ou ainda Ax = b.
Onde A = [aij] é a matriz dos coeficientes, X = [xj] é matriz coluna das incógnitas e B = [bi] é matriz coluna das constantes.
Exemplo 20: Representar na forma de matrizes o seguinte sistema:
	 x1 + 2x2 – 4x3 + 7x4 = 4
	3x1 – 5x2 + 6x3 – 8x4 = 8
	4x1 – 3x2 – 2x3 + 6x4 = 11.
Solução: 
Observe que x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2 e x4 = 1 ou x = (3, 1, 2, 1) é uma solução do sistema. Assim, o vetor coluna, xT, também é solução da equação matricial.
	A forma matricial também pode ser reescrita como a equação vetorial a seguir:
					(3-6)
Ou também:
	b = x1c1 + x2c2 + ... + xncn
onde b é o vetor coluna das constantes e c1, c2, ... cn são os vetores coluna da matriz A.
Desta forma, a equação vetorial (3-6) tem uma solução se e só se o vetor coluna das constantes for uma combinação linear dos vetores coluna da matriz dos coeficientes.
Exemplo 21: Expressar o vetor v = (1, –2, 5) como uma combinação linear dos vetores u1 = (1, 1, 1), 
u2 = (1, 2, 3) e u3 = ( 2, –1, 1).
Solução: Primeiro escrevemos v = xu1 + yu2 + zu3, com x, y e z sendo as incógnitas. Então, a equação vetorial correspondente será:
Ou, em forma de sistema temos:
	x + y + 2z = 1
	x + 2y – z = –2
	x + 3y + z = 5.
Cuja solução é:
	x = –6, y = 3 e z = 2
Portanto, o vetor v pode ser expresso como:
	v = –6u1 + 3u2 + 2u3.
Exercício: Escreva o vetor v = (4, 9, 19) como combinação linear dos vetores u1 = (1, –2, 3), 
u2 = (3, –7, 10) e u3 = (2, 1, 9). Em seguida determine o sistema linear equivalente bem como sua forma reduzida.
[Resp: v = 4u1 – 2u2 + 3u3].
COMBINAÇÕES LINEARES DE VETORES ORTOGONAIS:
Suponha que os vetores u1, u2, ..., un de Rn são vetores não nulos ortogonais dois a dois. Isto significa que:
	(i) ui•uj = 0, para i ≠ j e (ii) ui•uj ≠ 0 para cada i = j.
Então, neste caso, existe uma maneira mais simples de expressarmos uma combinação linear de vetores que será visto no seguinte exemplo:
Exemplo 22: Expressar o vetor v = (4, 14, –9) como uma combinação linear dos vetores u1 = (1, 1, 1), 
u2 = (1, –3, 2) e u3 = (5, –1, –4) que são ortogonais dois a dois.
Solução: primeiro verificamos que os vetores u1, u2 e u3 são ortogonais dois a dois, ou seja: u1•u2 = 0, u1•u3 = 0 e u2•u3 = 0. Em seguida, escrevemos v em função de u1, u2 e u3, isto é:
	v = x1u1 + x2u2 + x3u3
Devido à ortogonalidade, podemos usar o seguinte artifício: multiplicamos ambos os lados dessa equação, escalarmente, por u1, u2 e u3 para encontrar:
	v•u1 = x1u1•u1		v•u2 = x2u2•u2		v•u3 = x3u3•u3.
Donde se pode tirar x1, x2 e x3, ou seja, para o exemplo 22 temos:
	(4, 14, –9)•(1, 1, 1) = x1(1, 1, 1)•(1, 1, 1) ou 9 = 3x1 ou x1 = 3.
	(4, 14, –9)•(1, –3, 2) = x2(1, –3, 2)•(1, –3, 2) ou –56 = 14x2 ou x2 = –4.
	(4, 14, –9)•(5, –1, 4) = x3(5, –1, 4)•(5, –1, 4) ou 42 = 42x3 ou x3 = 1.
Portanto, v = 3u1 – 4u2 + u3.
Em resumo, a combinação linear de vetores ortogonais pode ser generalizada da seguinte forma:
	
						(3-7)
Onde os coeficientes 
 da equação (3-7) são chamados de coeficientes de Fourier.
3.7 SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS.
	Um sistema linear é homogêneo se todos os termos constantes são nulos. Então, sua forma matricial fica:
	Ax = 0
Esse tipo de sistema sempre tem uma solução nula chamada de solução trivial. Ele sempre pode ser escrito na forma reduzida e a questão se reduz a determinar as soluções não nulas.
Teorema: Seja r o númerode equações e n o número de incógnitas de um sistema homogêneo na forma reduzida. Então:
(i) Se r = n, o sistema possui apenas a solução nula.
	(ii) Se r < n, o sistema possui pelo menos uma solução não nula.
Exemplo 23: Determine se cada um dos seguintes sistemas homogêneos possui uma solução não nula:
	 x + y – z = 0		 x + y – z = 0	 x1 + 2x2 – 3x3 + 4x4 = 0
	 2x – 3y + z = 0		 2x + 4y – z = 0	 2x1 – 3x2 + 5x3 – 7x4 = 0
	 x – 4y + 2z = 0		 3x + 2y + 2z = 0	5x1 + 6x2 – 9x3 + 8x4 = 0.
	 (a)		 		(b)			 (c)
Solução (a): Encontramos a forma reduzida:
	x + y – z = 0 |		x + y – z = 0 | Forma
 –5y + 3z = 0 | 	 –5y + 3z = 0 | reduzida
 –5y + 3z = 0 |
Então este sistema possui uma solução não nula já que sua forma reduzida tem mais incógnitas do que equações. Por exemplo: se z = 5 então, y = 3 e x = 2. Assim, o vetor u = (2, 3, 5) é uma solução do sistema.
Solução (b): Encontramos a forma reduzida:
	x + y – z = 0 |		x + y – z = 0 | Forma 
	 2y + z = 0 | 	 2y + z = 0 | reduzida
	 –y + 5z = 0 |		 11z = 0 | 
Então o sistema possui apenas a solução trivial (solução nula) já que o número de incógnitas é igual ao número de equações.
Solução (c): O sistema original já possui mais incógnitas do que equações então, obrigatoriamente ele tem uma solução não nula. Não é preciso encontrar a forma reduzida.
3.8 APLICAÇÕES.
ANÁLISE DE REDES:
Em termos gerais, uma rede é um conjunto de ramos através dos quais “flui” alguma coisa. Na maioria das redes, os ramos se encontram em pontos denominados de nós ou vértices. Existem basicamente dois tipos de redes: aberta - na qual o fluxo pode entrar ou sair da rede, e fechada - na qual o fluxo circula continuamente pela rede sem entrar ou sair. Os principais tipos de redes têm três propriedades básicas:
Fluxo unidirecional: o fluxo em qualquer ramo é sempre num único sentido.
Conservação do fluxo num nó: a taxa de fluxo para dentro de um nó é igual à taxa de fluxo para fora desse mesmo nó.
Conservação do fluxo na rede: a taxa de fluxo para dentro da rede é igual à taxa de fluxo para fora dessa mesma rede.
A figura 3-3 ilustra uma rede aberta onde os números representam a quantidade ou taxa de alguma coisa que está fluindo. Observe, nesta rede, a presença destas três propriedades. 
Fig. 3-3.
Exemplo 24: A figura 3-4 mostra a topologia de um circuito elétrico onde cada ramo representa um elemento do circuito com o respectivo sentido da corrente, indicado pela seta, e cada vértice é um nó (conexão de dois ou mais elementos). 
Fig. 3-4.
Solução: Vamos aplicar a lei de Kirchhoff para as correntes em cada um dos quatro nós, convencionando que as correntes que saem são positivas e as que chegam são negativas:
	Nó 1: i1 + i2 – i6 = 0
	Nó 2: –i2 – i3 + i4 = 0
	Nó 3: –i1 + i3 + i5 = 0
	Nó 4: –i4 – i5 + i6 = 0.
Este sistema pode ser escrito na forma matricial como segue
	
Ou simplesmente		Ai = 0.
O vetor i é o vetor das correntes de ramo. A matriz A recebe o nome de matriz de incidência, pois descreve os sentidos de incidência dos ramos nos nós (1 quando está saindo, –1 quando está chegando e 0 quando está ausente).
Para aplicarmos a lei de Kirchhoff para as tensões, precisamos primeiramente escolher um nó como referência (denominado de nó terra) onde sua tensão é tida como nula. Escolhendo o nó 4 como sendo o terra (e4 = 0) e denotando as outras tensões de nó como e1, e2 e e3, então podemos escrever
	Ramo 1: v1 = e1 – e3
	Ramo 2: v2 = e1 – e2
	Ramo 3: v3 = –e2 + e3
	Ramo 4: v4 = e2
	Ramo 5: v5 = e3
	Ramo 6: v6 = –e1.
Onde v1, v2, v3, v4, v5 e v6 são as tensões de ramo.
Este sistema pode ser escrito na forma matricial como segue
	
 
Ou simplesmente		v = Ae
O vetor v é o vetor das tensões de ramo (diferença de potencial entre dois nós quaisquer). O vetor e é o vetor das tensões de nó (diferença de potencial entre um nó qualquer e o terra). Neste caso, e4 não aparece por ser o nó de referência (e4 = 0)
Exemplo 25: A figura 3-5(a) mostra uma proposta de fluxo de tráfego de certa cidade, em torno de uma praça. O plano prevê a instalação de um semáforo computadorizado na saída da rua 1. Todas as ruas são de mão única. 
Quantos veículos por hora o semáforo deveria deixar passar para garantir que o número médio de veículos por hora que entram na rede seja igual ao número médio de veículos que saem da rede.
O que é que pode ser dito sobre o número médio de veículos por hora que circulam na praça.
Solução (a): Se x é o número de veículos por hora que o semáforo deve deixar passar, então podemos escrever:
	x + 700 + 400 = 500 + 400 + 600 + 200.
Logo, x = 600 veículos por hora.
Solução (b): Para evitar congestionamento, o fluxo em cada cruzamento, para dentro e para fora, devem se igualar. 
			(a)						(b)
Fig. 3-5.
Então temos:
	Cruzamento A: 400 + 600 = x1 + x2.		x1 + x2 = 1000
	Cruzamento B: x2 + x3 = 400 + x		 x2 + x3 = 1000
	Cruzamento C: 500 + 200 = x3 + x4			 x3 + x4 = 700
	Cruzamento D: x1 + x4 = 700			x1 + 	 x4 = 700
Desta forma, com x = 600, o sistema assim formado tem uma infinidade de soluções. Tomando, por exemplo, x4 = t como parâmetro, encontramos:
 	x1 = 700 – t, x2 = 300 + t, x3 = 700 – t e x4 = t.
Neste caso, entretanto, o parâmetro t não é totalmente arbitrário, pois se t > 700, x1 e x2 serão negativos, o que não é permitido já que isto implica na inversão dos sentidos nestes ramos. Portanto, teremos as seguintes limitações para os fluxos:
	0 < x1 < 700, 300 < x2 < 1000, 0 < x3 < 700 e 0 < x4 < 700.
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL:
Um problema importante em várias aplicações é encontrar um polinômio cujo gráfico passa por um conjunto de pontos conhecidos no plano. Esse polinômio é chamado de polinômio interpolador, genericamente escrito como:
	P(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1.						(3-8)
Teorema: Dados quaisquer n pontos distintos no plano xy, existe um único polinômio de grau n – 1 cujo gráfico passa por estes pontos.
	Para encontrar o polinômio interpolador, cujo gráfico passa pelos pontos (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) e cuja equação geral é y = ao + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1, armamos o seguinte sistema:
	ao + a1x1 + a2x12 + ... + an-1x1n-1 = y1
	ao + a1x2 + a2x22 + ... + an-1x2n-1 = y2
	 ......................................................
	ao + a1xn + a2xn2 + ... + an-1xnn-1 = yn.
Desse sistema tiramos facilmente a matriz aumentada nas incógnitas ao, a1, a2, ..., an-1.
» NOTA: Estamos supondo que os valores de x e y são conhecidos de modo que o sistema é linear nas incógnitas ao, a1, a2 ..., an-1. «
Exemplo 26: O exemplo mais simples é encontrar um polinômio linear do tipo P(x) = b + ax, cujo gráfico passa por dois pontos distintos (x1, y1) e (x2, y2) do plano xy (Figura 3-6).
Fig. 3-6.
Portanto os coeficientes incógnitos a e b podem ser obtidos resolvendo o sistema linear:
	b + ax1 = y1
	b + ax2 = y2.
Resultando em:
	
Note que a é a inclinação da reta e b é o valor em que a reta corta o eixo vertical.
Exemplo 27: Encontre um polinômio cúbico cujo gráfico passa pelos pontos (1, 3), (2, -2), (3, -5), (4, 0).
Solução: O polinômio é da forma:
	P(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 ou y = ao + a1x + a2x2 + a3x3.
Onde, dos pontos fornecidos tiramos: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, y1 = 3, y2 = –2, y3 = –5, y4 = 0.
Quando esses valores são substituídos no polinômio cúbico encontramos um sistema linear nas incógnitas ao, a1, a2 e a3, cuja matriz aumentada resulta em:
E a matriz na forma escalonada reduzida por linha é:
Então segue que ao = 4, a1 = 3, a2 = –5 e a3 = 1. Assim o polinômio interpolador é:
	P(x)= 4 + 3x – 5x2 + x3.
Exercício: Aproximar a função f(x) = sen(πx2/2) por um polinômio interpolador de grau 4, no intervalo [0, 1]. Sugestão: Escolha os seguintes valores para x: x1 = 0; x2 = 0,25; x3 = 0,5; x4 = 0,75 e x5 = 1.
[Resp. p(x) = 0,098796x + 0,762356x2 + 2,14429x3 – 2,00544x4].
�
PROBLEMÁTICA.
1) Resolva os sistemas seguintes aplicando as operações elementares e dê uma interpretação geométrica para cada uma das soluções:
a)	2x – 5y = 11	b)	 2x – 3y = 8	c)	 2x – 3y = 8
	3x + 4y = 5		–6x + 9y = 6		–4x + 6y = –16.
2) (a) Para que valores de a o sistema a seguir possui solução única? (b) Determine os pares (a,b) para os quais o sistema possui mais de uma solução.
	 x + ay = 4
	ax + 9y = b.
3) Determine as variáveis lideres e as variáveis livres dos sistemas a seguir:
	2x1 + 3x2 – 6x3 – 5x4 + 2x5 = 7		2x – 6y + 7z = 1	 	 x + 2y – 3z = 2
 x3 + 3x4 – 7x5 = 6	 	 4y + 3z = 8		2x + 3y + z = 4
			 x4 – 2x5 =1		 	 2z = 4		3x + 4y + 5z = 8.
		 (a)				 (b)			(c)
4) Resolva o sistema reduzido do problema 3(a).
5) Resolva o sistema triangular do problema 3(b)
6) Para cada um dos sistemas a seguir resolva-os utilizando o processo de eliminação de Gauss.
	 x + 2y – 4z = –4		 x + 2y – 3z = –1	 	 x + 2y – 3z = 1
 (a)	2x + 5y – 9z = –10	 (b)	–3x + y – 2z = –7 	(c)	2x + 5y – 8z = 4
	3x – 2y + 3z = 11		 5x + 3y – 4z = 2		3x + 8y – 13z = 7.
	
	 x1 – 3x2 + 2x3 – x4 + 2x5 = 2		 x1 + 2x2 – 3x3 + 4x4 = 2
 (d)	 3x1 – 9x2 + 7x3 – x4 + 3x5 = 7	 (e)	2x1 + 5x2 – 2x3 + x4 = 1
	 2x1 – 6x2 + 7x3 + 4x4 – 5x5 = 7		5x1 + 12x2 – 7x3 + 6x4 = 3.
		
7) Determine a forma escalonada por linha de cada uma das seguintes matrizes:
	
8) Reduza cada uma das matrizes a seguir à forma escalonada reduzida por linha.
	
	
9) Determine a matriz aumentada e a matriz dos coeficientes do seguinte sistema:
	 x + 2y – 3z = 4
	3y – 4z +7x = 5
	6z + 8x – 9y = 1.
10) Resolva cada um dos seguintes sistemas usando a matriz associada M.
(a) x + 2y – z = 3	(b) x – 2y + 4z = 2	 (c) x + y + 3z = 1
 x + 3y + z = 17 	 2x – 3y + 5z = 3 	 2x + 3y – z = 3
 3x + 8y + 4z = 17	 3x – 4y + 6z = 7	 5x + 7y + z = 7.
11) Resolva o sistema a seguir utilizando a matriz associada M.
	 x1 + 2x2 – 3x3 – 2x4 + 4x5 = 1
	2x1 + 5x2 – 8x3 – x4 + 6x5 = 4
	x1 + 4x2 – 7x3 + 5x4 + 2x5 = 8.
12) Calcule o posto das matrizes dos problemas 7 e 8.
13) Encontre os valores de k(R, tais que o sistema homogêneo a seguir tenha uma solução distinta da solução trivial.
	2x – 5y + 2z = 0
	 x + y + z = 0
	2x + kz = 0.
14) Represente o sistema a seguir na forma matricial e encontre a matriz incógnita que é solução do sistema.
	 x + 6y – 8z = 1
	2x + 6y – 4z = 0.
15) Dado o sistema a seguir: (a) Resolva-o, isto é, encontre sua matriz solução. (b) Resolva também o sistema homogêneo associado. (c) Verifique que a soma de uma solução particular encontrada em (a) com a solução do sistema homogêneo, continua sendo uma solução do sistema não homogêneo.
	
16) Encontre uma equação linear em x e y cujo conjunto solução é dado pelas equações:
	x = 5 + 2t, y = t.
17) Nas equações dos planos, dadas a seguir encontre equações vetoriais e paramétricas para a reta de interseção dos planos em R3.
	a) x + y – z = 3 e 2x + y + 3z = 4.
	b) x + 2y + 3z = 1 e 3x – 2y + z = 2.
18) Certa dieta requer 7 unidades de gordura, 9 unidades de proteína e 16 unidades de carboidratos para a refeição principal e uma pessoa dispõe de três alimentos com os quais pode montar sua dieta:
	Alimento 1: Cada medida contém 2 unidades de gordura, 2 unidades de proteína e 4 unidades de carboidratos.
	Alimento 2: Cada medida contém 3 unidades de gordura, 1 unidade de proteína e 2 unidades de carboidratos.
	Alimento 3: Cada medida contém 1 unidade de gordura, 3 unidades de proteína e 5 unidades de carboidratos.
Seja x, y e z o número de medidas que a pessoa consome dos alimentos 1, 2 e 3, respectivamente. Encontre (mas não resolva) um sistema linear em x, y e z cuja solução diz quantas medidas de cada alimento deve ser consumida pela pessoa para atender à dieta.
19) As matrizes escalonadas por linha dadas a seguir são matrizes associadas de determinado sistema linear. Para cada uma delas indique se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
20) Foram estudados tres tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (digamos 1 g) determinou-se que:
	i) O alimento I contém 1 unidade de vitamina A, 3 de vitamina B e 4 de vitamina C.
	ii) O alimento II contém 2 de A, 3 de B e 5 de C.
	iii) O alimento III contém 3 de A, 3 de C e nenhuma unidade de B.
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III que fornecem as quantidades de vitaminas desejadas. Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10 centavos, existe uma solução custando exatamente R$1,00.
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