algebra-5

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CAPÍTULO 5
DETERMINANTES
5.1. INTRODUÇÃO
	Historicamente, os determinantes apareceram primeiro no contexto de resolução de sistemas de equações lineares para um conjunto de variáveis em termos de outro conjunto de variáveis.
	O uso de determinante, que é um número associado a uma matriz quadrada, difundiu-se bastante a partir do século XIX e mostrou-se extremamente útil para caracterizar muitas situações, como a de saber se uma matriz é invertível, se um sistema admite ou não solução, o que veremos nas próximas seções.
5.2 CONCEITOS PRELIMINARES
	Consideremos o sistema ax = b com a ( 0. A solução deste sistema é x = b/a. Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes, ou seja, A = [a].
	No sistema 2(2, com x1 e x2 como incógnitas temos 
	a11x1 + a12x2 = b1
	a21x1 + a22x2 = b2.
quando resolvido, encontramos
	x1 = (b1a22 – b2a12)/(a11a22 – a12a21) e x2 = (b2a11 – b1a21)/(a11a22 – a12a21).
Observe que os denominadores são iguais e estão associados à matriz A dos coeficientes do sistema. O mesmo pode ser observado para um sistema 3(3 onde os denominadores de x1, x2 e x3 são iguais e também associados à matriz dos coeficientes do sistema. Então, chamando esses denominadores de det[A], temos:
det[A] = a, para o 1o caso.
det[A] = a11a22 – a12a21, para o segundo caso
det[A] = a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31.	(5-1)
	Esse número que sempre aparecerá no denominador das incógnitas de qualquer sistema quadrado é chamado de determinante da matriz associada aos coeficientes de tal sistema.
DETERMINANTE:
	Para uma matriz quadrada de ordem n, o conceito de determinante envolve muitos símbolos, o que dificulta sua leitura então, algumas definições se fazem necessárias.
Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2, ... , n, onde o total de permutações é n!, dizemos que existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Por exemplo, considerando as permutações de 1, 2, 3, vejamos quantas inversões temos para cada permutação.
	PERMUTAÇÃO
	NÚMERO DE INVERSÕES
	(1 2 3)
	0
	(1 3 2)
	1
	(2 1 3)
	1
	(2 3 1)
	2
	(3 1 2)
	2
	(3 2 1)
	3
	
Tomando como exemplo a equação (5-1), observe que aparecem todos os produtos a1j1a2j2a3j3, denominados de produtos elementares, onde (j1 j2 j3) são as permutações dos índices 1, 2 e 3 das colunas. Além disso, vemos que o sinal de cada produto é negativo se houver um número ímpar de inversões nas permutações dos índices das colunas. 
Definição: O determinante de uma matriz quadrada A, denotado por det(A), é definido como a soma de todos os produtos elementares, considerando os sinais de cada produto (dado pelo número de inversões). Assim, escrevemos:
	det(A) = ((–1)Ja1j1a2j2 ... anjn.						(5-2)
onde J é o número inversões. 
 DIFICULDADES NO CÁLCULO:
	O cálculo de determinantes usando a equação (5-2) apresenta dificuldades computacionais devido à grande quantidade de produtos elementares, quando n cresce. Isso ocorre porque o número de produtos num determinante n(n é
	n! = n.(n – 1).(n – 2)...1.
que é um número que cresce rapidamente quando n cresce. Por exemplo, um determinante 10(10 tem 3.628.800 produtos elementares. Um determinante 30(30 tem tantos produtos elementares que um computador pessoal típico de hoje levaria mais de 1010 anos para calcular. Felizmente existem outros métodos para calcular determinantes, que exigem muito menos tempo de computação, principalmente quando associados a algumas propriedades.
PROPRIEDADES:
	i) Se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos, det(A) = 0.
	ii) det(A) = det(AT).
	iii) Se A é uma matriz triangular então det(A) é o produto das entradas na diagonal principal. Isso vale também para matrizes em bloco.
	iv) Se multiplicarmos uma linha ou uma coluna da matriz A por uma constante então det(A) fica multiplicado por essa constante.
	v) Uma vez trocada a posição de duas linhas ou duas colunas, o determinante troca de sinal.
	vi) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais ou proporcionais é nulo.
	vii) Se B é a matriz que resulta quando um múltiplo de uma linha de A é somado à outra linha ou quando um múltiplo de uma coluna de A é somado a outra coluna, então det(B) = det(A).
	viii) det(AB) = det(A).det(B).
	ix) det(A-1) = 1/det(A).
	
5.3 MENORES E CO-FATORES
	Agora desenvolveremos um procedimento para calcular determinantes que consiste em expressá-los em determinantes de ordem menor.
Definição: Se A é uma matriz quadrada, então o menor da entrada aij é denotado por Mij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando eliminamos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. O número Cij = (-1)i+jMij é denominado o co-fator da entrada aij.
 Exemplo 1: Seja 
. Então, o menor da entrada a11 é 
e o co-fator correspondente é
	C11 = (-1)1+1M11 = 16
O menor da entrada a32 é 
e o co-fator correspondente é
	C32 = (-1)3+2M32 = -26.
EXPANSÃO EM CO-FATORES:
	Também chamada de expansão de Laplace, segue o seguinte teorema:
Teorema: O determinante da matriz quadrada A é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (coluna) por seus respectivos cofatores.
	Para exemplificar tomaremos uma matriz A de 3a ordem. Então, o determinante de A pode ser expandido da seguinte forma:
	det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13. (ao longo da 1a linha).
	det(A) = a11C11 + a21C21 + a31C31. (ao longo da 1a coluna).
	det(A) = a21C21 + a22C22 + a23C23. (ao longo da 2a linha)
	det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C32. (ao longo da 2a coluna).
	det(A) = a31C31 + a32C32 + a33C33. (ao longo da 3a linha)
	det(A) = a13C13 + a23C23 + a33C33. (ao longo da 3a coluna).
Exemplo 2: Vamos calcular o determinante de a matriz a seguir, eliminando sempre a 1a coluna para cálculo dos co-fatores.
	
	
	= (1)(93) + (4)(42) + (7)(-3) = 240.
Esse procedimento pode ser generalizado para uma matriz An(n, fazendo
	det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj.					(5-3)
onde a expansão é feita ao longo da j-ésima coluna, ou
	det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ... + ainCin.
onde a expansão é feita ao longo da i-ésima linha.
Exercício: Use a expansão de Laplace para encontrar o determinante da matriz
 	
Resposta: -216.
SIMPLIFICANDO EXPANSÕES EM CO-FATORES:
	Podemos introduzir zeros em uma matriz sem alterar o seu determinante somando múltiplos apropriados de uma linha (ou coluna) a outra.
Exemplo 3: Use uma expansão em co-fatores para encontrar o determinante da matriz
	
Chamando as linhas de R1, R2, R3 e R4, podemos realizar as seguintes operações elementares sobre elas sem alterar o determinante:
	–3R2 + R1 ( R1, 2R2 + R3 ( R3 e –3R2 + R4 ( R4.
Então, o determinante é dado por
	
DETERMINANTE POR ELIMINAÇÃO DE GAUSS:
	Vamos ver aqui que um determinante pode ser calculado reduzindo a matriz A, a forma escalonada por linhas.
Exemplo 4: Seja calcular o determinante da matriz 
	
		
		
		
		
TESTE PARA A INVERTIBILIDADE DE UMA MATRIZ:
	O teste para invertibilidade utiliza o teorema a seguir:
Teorema: Uma matriz quadrada A é invertível se e só se det(A) ≠ 0.
DETERMINANTE POR DECOMPOSIÇÃO LU:
	No caso em que a matriz A tem uma decomposição LU, o determinante dessa matriz pode ser calculado como:
	det(A) = det(L).det(U).
Na prática, os programas de computador para calcularem determinantes usam a decomposição LU que é só uma maneira eficaz de efetuar a eliminação de Gauss, onde o número de operações realizadas é de aproximadamente (2/3)n3. Esse é um avanço enorme sobre a definição de determinante, que envolve o calculo de n! produtos elementares. Por exemplo, um típico computador pessoal de hoje consegue calcularum determinante 30(30 em menos de um milésimo de segundos usando a decomposição LU, ao contrário dos cerca de 1010 anos que seriam necessários para calcular 30! produtos elementares.
	Os métodos da decomposição LU e a eliminação de Gauss-Jordan diferem na contabilidade, mas envolvem o mesmo número de operações aritméticas de ponto flutuante na resolução de um único sistema linear. Contudo, a decomposição LU tem outras vantagens, que tornam o método preferido:
A decomposição LU que é utilizada para resolver Ax = b pode ser utilizada para calcular A‑1
Para sistemas lineares grandes, nos quais a memória do computador é muito solicitada, podemos dispensar o armazenamento dos pivôs e zeros que aparecem na diagonal principal de U e abaixo dela, já que essas entradas são conhecidas a partir do formato U.
Exercício: A decomposição LU de uma matriz A resultaram nas matrizes:
	
Encontre a matriz A e o seu determinante.
Resposta: det(A) = 14.
5.4 REGRA DE CRAMER; FÓRMULA PARA A-1; APLICAÇÕES.
	Nesta seção, utilizaremos os determinantes para deduzir fórmulas para a inversa de uma matriz e para a resolução de sistemas lineares consistentes.
ADJUNTA DE UMA MATRIZ:
	Se A é uma matriz quadrada n(n e Cij é o cofator de aij, então a matriz 
	
é denominada a matriz de co-fatores de A. A transposta dessa matriz é denominada a matriz adjunta de A e denotada por adj(A). Ou seja
	adj(A) = CT
Exemplo 5: Os co-fatores da matriz 
 são:
	C11 = 12	C12 = 6	C13 = –16
	C21 = 4	C22 = 2	C23 = 16
	C31 = 12	C32 = –10	C33 = 16.
Então a matriz de co-fatores e a matriz adjunta são respectivamente:
	
UMA FÓRMULA PARA A INVERSA:
	
	Se A é uma matriz invertível, então
	A-1 = [1/det(A)]adj(A).							(5-4)
Exemplo 6: A inversa da matriz do exemplo 5 é:
	
Observação: A equação (5-4) fornece uma maneira razoável de inverter matrizes 3(3 à mão, mas para matrizes de ordem superior, o algoritmo de redução por linhas visto no capítulo anterior é geralmente melhor.
Exercício: Utilizando a definição de adjunta de uma matriz, encontre a matriz inversa da matriz A dada por:
	
REGRA DE CRAMER:
	O teorema a seguir nos fornece a regra de Cramer para a solução de sistemas lineares de n equações a n incógnitas.
Teorema: Se Ax = b é um sistema linear de n equações a n incógnitas, então o sistema tem uma solução única se, e somente se, det(A) ≠ 0, caso em que a solução é:
	x1 = det(A1)/det(A), x2 = det(A2)/det(A), ..., xn = det(An)/det(A).
onde Aj é a matriz que resulta quando a j-ésima coluna de A é substituída por b.
	
Observe que essa regra nos fornece a solução apenas para sistemas quadrados com det(A) ≠ 0.
Exemplo 7: Resolva, usando a regra de Cramer, o seguinte sistema:
	 x1 + x2 + x3 = 5
	 x1 – 2x2 – 3x3 = –1
	2x1 + x2 – x3 = 3.
Solução: 
Assim, a única solução do sistema é:
x1 = det(A1)/det(A) = 4, x2 = det(A2)/det(A) = –2, x3 = det(A3)/det(A) = 3
Isto é, a solução é o vetor u = (4,-2,3).
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DOS DETERMINANTES:
	a) Se A é uma matriz 2(2, então o valor absoluto do determinante de A representa a área do paralelogramo determinado pelos vetores-coluna de A, com seus pontos iniciais coincidentes. Ou seja, se c1 é o vetor formado pela 1ª coluna e c2 é o vetor formado pela 2ª coluna, então podemos escrever:
	|det(A)| = ||c1×c2|| = Área do paralelogramo formado por c1 e c2.
	b) Se A é uma matriz 3(3, então o valor absoluto do determinante de A é o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores-coluna de A, com seus pontos iniciais coincidentes. Ou seja, se c1, c2 e c3 são os vetores colunas de A, então podemos escrever:
	|det(A)| = |(c1, c2, c3)|.
Note que, nos dois casos poderíamos utilizar os vetores-linha da matriz A. Por quê?
Exemplo 8: Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores u = (1,2) e v = (4,3).
Solução: Montamos a matriz A = [u v] e calculamos a área pelo módulo do determinante de A, ou seja:
	Área = |det(A)| = (1)(3) – (2)(4) = |3 – 8| = 5.
Exercício:
1) Encontre a área do paralelogramo de vértices P1(–1, 2), P2(1, 7), P3(7, 8) e P4(5, 3).
Resposta: 28.
2) Encontre o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u = (1, 1, –1), 
v = (2, 0 ,2) e w = (3, 2, 1).
Resposta: 4.
5.5 INTRODUÇÃO AOS AUTOVALORES E AUTOVETORES
Serão discutidas nesta seção equações lineares da forma Ax = (x, onde ( é um escalar. Essas equações aparecem numa variedade de aplicações importantes.
PONTOS FIXOS DE UMA MATRIZ:
	São as soluções da equação:
	Ax = x.									(5-5)
Observe que o vetor x = 0 é um ponto fixo de qualquer matriz A, pois A0 = 0. É o chamado ponto fixo trivial.
O problema principal consiste em determinar se existem outros pontos fixos além do trivial. Para isso vamos reescrever a equação (5-5) como:
	x – Ax = 0 ou (I – A)x = 0.							(5-6)
que é um sistema linear homogêneo cujas soluções são os pontos fixos de A. 
Teorema: Se A é uma matriz n(n então as seguintes afirmações são equivalentes:
A têm pontos fixos não-triviais.
I – A é singular (não tem inversa).
det(I – A) = 0.
Exemplo 9: Encontre os pontos fixos da matriz: 
Solução: utilizando a equação (5-6) temos:
	
	
Escrevendo em forma de sistema:
	 0x1 + 0x2 = 0.
	–2x1 + 0x2 = 0.
Donde tiramos os pontos fixos de A como sendo:
	
Exercício: Encontre os pontos fixos das seguintes matrizes:
a) 
b) 
 
Resposta: a) Só o trivial; b) x = 2t, y = t.
AUTOVALORES E AUTOVETORES:
	Se A é uma matriz n(n, para quais valores do escalar (, se houver, existem vetores não-nulos em Rn tais que Ax = (x?
Definição: Se A é uma matriz n(n, então um escalar ( é denominado autovalor (ou valor próprio) de A se existe um vetor não-nulo x tal que Ax = (x. Se ( é um autovalor de A, então cada vetor não-nulo x é denominado um autovetor de A associado a (.
	 A maneira mais direta de encontrar autovalores de uma matriz A é reescrever a equação Ax = (x na forma
	((I – A)x = 0.									(5-7)
e então encontrar os valores de (, se houver, para os quais esse sistema tem soluções não-triviais. Isso acontece, como já vimos se:
	det((I – A) = 0.								(5-8)
A equação (5-8) é denominada de equação característica de A. Também, se ( é um autovalor de A, então (5-7) tem um espaço-solução não-nulo, denominado de auto-espaço de A, associado a (.
Exemplo 10: Encontre os autovalores e autovetores associados da matriz 
 e esboce os auto-espaços de A num sistema de coordenadas xy.
Solução: Usando (5-8) escrevemos
	(I – A = (
Então, para det((I – A) = 0, temos
	
 ou (2 – 3( – 10 = 0.
Logo, ( = –2 e ( = 5.
Para encontrar os auto-espaços ligados a esses autovalores, resolvemos o sistema:
	
Para ( = –2, encontramos: x = –t e y = t, ou seja, os autovetores são 
Para ( = 5, encontramos: x = (3/4)t e y = t, ou seja, os autovetores são 
A figura 5-1 mostra o esboço dos auto-espaços para ( = –2 e ( = 5.
Fig. 5-1.
Observe que quando multiplicamos o autovetor x por A, para qualquer (, encontramos um vetor no mesmo auto-espaço.
Exercício:
1) Mostre que os vetores 
 são autovetores da matriz 
2) Esboçar os auto espaços associados aos autovalores da matriz 
Resposta: Para ( = 2 é a reta y = -2x; para ( = 3 é a reta x = 0 (eixo y).
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NO MATLAB:
	>>eig(A) ( calcula os autovalores da matriz A.
	>>[x,lambda]=eig(A) ( produz uma matriz diagonal de autovalores e uma matriz x cujas colunas são os autovetores correspondentes de modo que A*x = x*lambda.
�
AUTOVALORES DE MATRIZES TRIANGULARES:
	Se A é uma matriz triangular ou diagonal, então (I – A é uma matriz triangular ou diagonal com entradas diagonais ( – a11, ( – a22, ..., ( – ann. Assim,a equação característica de A é
	det((I – A) = (( - a11)( ( - a22) ... (( - ann) = 0.
que implica que os autovalores de A são
	(1 = a11,	(2 = a22, ..., (n = ann.
Exemplo 11: Encontre a equação característica da matriz A e seus autovalores distintos.
Solução: Como a matriz é triangular então a equação característica é 
	(( – ½)(( + 2/3)( ( – 6)2 = 0.
e, portanto, os autovalores distintos são: ( = ½, ( = –2/3 e ( = 6.
AUTOVALORES DE POTÊNCIAS DE UMA MATRIZ:
	Se ( é um autovalor de A e x um autovetor associado, então:
	A2x = A(Ax) = A((x) = ((Ax) = (((x) = (2x.
que mostra que (2 é um autovalor de A2 e x um autovetor associado. Em geral, temos o seguinte resultado:
Teorema: Se ( é um autovalor de uma matriz A com autovetor associado x e se k é um inteiro positivo qualquer, então (k é um autovalor de Ak com autovetor associado x.
MULTIPLICIDADE ALGÉBRICA:
	Se A é uma matriz n(n, então a forma expandida do determinante de ((I – A) é um polinômio de grau n, da forma:
	det((I – A) = (n + c1(n-1 + ... + cn.
O polinômio
	
p(() = (n + c1(n-1 + ... + cn.							(5-9)
é denominado polinômio característico de A.
Quando tentamos fatorar o polinômio característico p((), pode ocorrer três casos distintos:
Fatoração em fatores reais distintos.
Exemplo 12: (3 + (2 – 2( = (((2 + ( – 2) = ((( – 1)( ( + 2).
Fatoração em fatores reais, mas alguns repetidos.
Exemplo 13: (6 – 3(4 + 2(3 = (3((3 – 3( + 2) = (3(( – 1)2(( + 2).
Fatoração em que alguns fatores são números complexos (esses fatores são ditos irredutíveis).
Exemplo 14: (4 – 1 = ((2 – 1)( (2 + 1) = (( – 1)( ( + 1)( ( – i)( ( + i).
Onde (2 + 1 é o fator irredutível sobre os números reais.
Teorema: Se A é uma matriz n(n, então o polinômio característico de A pode ser expresso como
	det((I – A) = (( – (1)m1(( – (2)m2...( ( – (k)mk.
onde (1, (2, ..., (k, são os autovalores distintos de A com m1 + m2 + ... + mk = n.
�
NO MATLAB:
	>>p=poly(A) ( fornece os coeficientes do polinômio característico da matriz A na ordem decrescente de graus.
�
AUTOVALORES DE MATRIZES 2(2 E 3(3:
	Vamos agora deduzir a fórmula para os autovalores de matrizes 2(2 e discutir algumas propriedades geométricas de seus auto-espaços.
	O polinômio característico de uma matriz qualquer de ordem 2, 
é
	det((I – A) = (2 – (a + d) ( + (ad – bc)
que pode ser expresso como
	det((I – A) = (2 – tr(A)( + det(A).
Portanto, a equação característica de A é
	(2 – tr(A)( + det(A) = 0.							(5-10)
Então, os autovalores de A são as raízes da equação do 2o grau em (5-10).
Para matrizes 3(3 pode ser mostrado que a equação característica de A é:
	(3 – tr(A)(2 + (M11 + M22 + M33)( – det(A) = 0.				(5-11)
onde M11, M22 e M33 são os menores dos termos a11, a22 e a33, respectivamente.
Exemplo 15: Encontre os autovalores das seguintes matrizes
	a) 
	b) 
	c) 
Solução (a): tr(A) = 7 e det(A) = 12, de modo que (2 – 7( +12 = 0. E, portanto, os autovalores de A são: ( = 4 e ( = 3.
Solução (b): tr(B) = 2 e det(B) = 1, de modo que (2 – 2( + 1 = 0. E, portanto, o único autovalor de B é ( = 1, de multiplicidade algébrica 2.
Solução (c): tr(C) = 4 e det(C) = 13, de modo que (2 – 4( + 13 = 0. E, portanto, os autovalores de C são: 
( = 2 + 3i e ( = 2 – 3i.
Exercício: Usando a equação (5-11) encontre a equação característica da matriz
Resposta: (3 – 13(2 + 31( – 17 = 0.
AUTOVALORES DE MATRIZES 2(2 SIMÉTRICAS:
	Toda matriz n(n simétrica com entradas reais tem autovalores reais. 
	Por enquanto, vamos nos ater ao caso das matrizes de dimensão 2.
Teorema: Uma matriz simétrica 2(2 com entradas reais tem autovalores reais. Além disto, se A é da forma:
	
então A tem um autovalor repetido, ( = a; caso contrário, tem dois autovalores distintos.
Teorema:
 
Se uma matriz simétrica 2(2 com entradas reais tem um autovalor repetido, então o auto-espaço associado a esse autovalor é R2.
Se uma matriz simétrica 2(2 com entradas reais tem dois autovalores distintos, então os auto-espaços associados a esses autovalores são retas perpendiculares pela origem de R2.
Exemplo 16: Esboce os auto-espaços da matriz simétrica 
Solução: Como tr(A) = 6 e det(A) = 5, então a equação característica de A é
	(2 – 6( + 5 = (( - 1)( ( - 5) = 0.
e, portanto, os autovalores são: ( = 1 e ( = 5. Para encontrar os autovetores associados, resolvemos o sistema:
	
, primeiro com ( =1 e depois com ( = 5.
Com ( = 1: Encontramos x = –t e y = t, que são equações paramétricas da reta 
y = –x.
Com ( = 5: Encontramos x = t e y = t, que são equações paramétricas da reta y = x.
Observe na figura 5-2 que as retas y = –x e y = x são perpendiculares. Vetorialmente podemos escrever estas retas como:
	x = 
	e	x = 
 Então, os vetores geradores v1 = 
 e v2 = 
 dos dois auto-espaços, são ortogonais.
Fig. 5-2.
EXPRESSÃO DO DETERMINANTE E TRAÇO EM TERMOS DE AUTOVALORES:
	Se A é uma matriz n(n com autovalores (1, (2, ..., (n (repetidos de acordo com a multiplicidade), então:
det(A) = (1m1(2m2... (nmn.
tr(A) = m1(1 + m2(2 + ... + mn(n.
onde m1, m2, ..., mn são as multiplicidade de cada raiz do polinômio.
Exemplo 17: Encontre o determinante e o traço de uma matriz 3(3 cujo polinômio característico é
	p(() = (3 – 3( + 2.
Solução: Esse polinômio pode ser fatorado como
	p(() = (( - 1)2(( + 2)
de modo que os autovalores repetido de acordo com sua multiplicidade são: (1 = 1, 
(2 = 1 e (3 = –2. Assim,
	det(A ) = (12(2 = (1)2(–2) = –2 e tr(A) = 2(1 + (2 = 2(1) + (–2) = 0.
Solução alternativa: Se p(() é o polinômio característico de uma matriz An(n, então tr(A) é o negativo do coeficiente de (n-1 e det(A) é o termo constante de p(() se n é par e o negativo do termo constante se n é ímpar.
Observações finais: Nas aplicações do mundo real, raramente os autovalores são obtidos resolvendo a equação característica, por duas razões:
Para construir a equação característica de A, é necessário expandir o determinante det((I – A). Embora aplicativos como Mathematica, Maple e Derive façam isso para matrizes de pequeno tamanho, os cálculos são proibitivos para matrizes do tamanho que ocorre em aplicações típicas.
Não existe uma fórmula algébrica ou um algoritmo finito que possa ser usado para obter as soluções exatas da equação característica de uma matriz qualquer quando n > 5.
Dados esses impedimentos, foram desenvolvidos vários algoritmos para produzir aproximações numéricas dos autovalores e autovetores. 
�
PROBLEMÁTICA
Dê o número de inversões das seguintes permutações:
a) 3 5 4 1 2		b) 2 1 4 3 5		c) 5 4 3 2 1
No determinante de uma matriz 5(5, que sinal (negativo ou positivo) precederia os termos:
a) a13a25a34a41a52		b) a15a24a33a42a51.
Calcule o determinante da matriz 
a) Pela definição
b) Em relação à Segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace.
Dada as matrizes 
 e 
, calcule:
a) det(A) + det(B)		b) det(A + B)
Sabendo que o determinante de uma matriz triangular An(n é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal (isso vale também para matrizes em bloco), calcule o determinante das seguintes matrizes:
(a) 
	(b) 
Calcule o determinante das seguintes matrizes, utilizando expansão em co-fatores.
(a) 
	(b) 
Somando múltiplos apropriados de uma linha (ou coluna) a outra linha (ou coluna) para introduzir zeros na matriz, encontre o determinante da matriz A do problema 6.
Encontre os autovalores da matriz 
Nas matrizes a seguir determine, se houver, os pontos fixos não-triviais:
(a) 
	(b) 
	(c) 
	(d) 
Dada as matrizes 
 x = 
, verifique que x é um autovetor de A e encontre o autovalor associado.Dadas as matrizes a seguir, encontre a equação característica, os autovalores e as respectivas multiplicidades algébricas.
(a) 
	(b) 
		(c) 
Sem fazer contas, encontre o polinômio característico e os autovalores das matrizes seguintes:
(a) 
	(b) 
	(c) 
Para as matrizes simétricas dadas a seguir esboce os auto-espaços no sistema de coordenadas xy e use inclinações para confirmar que são retas perpendiculares.
(a) 
		(b) 
Suponha que uma matriz A tenha polinômio característico p(() = (2 + 3( – 4. Encontre os autovalores das seguintes matrizes:
(a) A2	(b) A3		(c) AT.
Mostre que se λ é um autovalor da matriz A e x é um vetor associado, então:
λ = [(Ax)•x]/||x||2.
Prove que se A é uma matriz quadrada, então A e AT têm o mesmo polinômio característico. [Sugestão: considere a equação característica det(λI – A) = 0 e use propriedades do determinante].
Prove que se λ é um autovalor de uma matriz invertível A e x é um autovetor associado, então 1/λ é um autovalor de A-1 e x é um autovetor associado.
Prove que se λ é um autovalor de A e x é um autovetor associado, então sλ é um autovalor de sA para cada escalar s e x é um autovetor associado.
 Prove que se λ é um autovalor de A e x é um autovetor associado, então λ – s é um autovalor de (A – sI) para cada escalar s e x é um autovetor associado.
20) Suponha que a matriz A tenha um polinômio característico p(λ) = λ2 + 3λ – 4. Usando as afirmações dos problemas 16, 17, 18 e 19 encontre os autovalores das seguintes matrizes:
	(a) A-1		(b) A-3		(c) A – 4I	(d) 5A		(e) 4AT + 2I.
21 Utilizando a equação (5-11), determine a equação característica da matriz:
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_1268937855/ole-[42, 4D, 1E, 54, 01, 00, 00, 00]
_1268941836.unknown
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