AULA_Limite_e_Continuidade

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Aula _ Limite e Continuidade
Idéia intuitiva e definição de 
limites.
A Definição de Limite
Para chegarmos a definição precisa de
limite consideremos inicialmente a função
Intuitivamente, se está próximo de 3,
mas , então está próximo de 5,
ou seja,
2 1, se 3
( )
6 , se 3
x x
f x
x
 
 

x
3x 
( )f x
3
lim ( ) 5.
x
f x


A Definição de Limite
Quão próximo de 3 deverá estar
para que esteja próximo de 5?
 Ou, a que distância deverá estar de
3, para que a distância entre e 5 seja
cada vez menor?
x
( )f x
x
( )f x
A Definição de Limite
Ou ainda, dada uma distância (qualquer)
de a 5, podemos encontrar a que
distância deve estar de 3?
A distância de a 3 é representada
matematicamente por , da mesma
forma que a distância de a 5 é
representada por
x
( )f x
3x 
( ) 5 .f x 
( )f x
x
A Definição de Limite
Seja uma função definida sobre algum
intervalo aberto que contém o número
exceto possivelmente no próprio .
Então dizemos que o limite de quando
tende para é , e escrevemos
se, para todo , existir , tal que
se então
L
 lim
x a
f x L


0  0 
  .f x L  0 x a   
f
( )f x
,a
a
x a
A Definição de Limite
A Definição de Limite
2 1, se 3
( )
6 , se 3
x x
f x
x
 
 

3
lim ( ) 5
x
f x


??Questionamento??
Será que, à medida que se aproxima de
um número real , então fica
cada vez mais próxima de algum número 
real ?
x
p  x p  f x
L
f
y
x
L 
p
x
 f x
Se a resposta for afirmativa, dizemos que
limite de ,quando tende para , é 
igual a . 
 f x x p
L
??Questionamento??
Se é uma função e é um ponto de 
acumulação do domínio da aplicação, 
entende-se a notação 
Limite de Função
f p
 lim
x p
f x L


 f x Lx p
 f x x p
L  f x L
px
como o limite de quando tende é
, isto é, se aproxima do número
quando tende a , isto é, 
Limite de Funções
f
y
x
L 
p
x
 f x
 lim
x p
f x L


Limite de Funções
f
y
x
L

p
x
 f x
 f p
 lim
x p
f x L


f
y
x
L

p
x
 f x
 f p
Olimitenãoexiste
 f x
f p
Limite de Funções
Limites Laterais
Seja uma função definida sobre algum
intervalo aberto à esquerda de . Então
dizemos que o limite de quando
tende a pela esquerda é , e
escrevemos
se, para todo , existir , tal que
se então
L
 lim
x a
f x L


0  0 
  .f x L  a x a  
f
( )f x
a
x a
Limites Laterais
Seja uma função definida sobre algum
intervalo aberto à direita de . Então
dizemos que o limite de quando
tende a pela direita é , e
escrevemos
se, para todo , existir , tal que
se então
L
 lim
x a
f x L


0  0 
  .f x L  a x a   
f
( )f x
a
x a
Teorema
existe e será igual a se 
e somente se e 
existirem e forem iguais a .
 lim
x a
f x

L
L
 lim
x a
f x

 lim
x a
f x

Investigação 
Qual o possível resultado para o seguinte
limite , sendo a função 
constante e um ponto qualquer do
domínio. 
 lim
x p
f x

 f x K
p
Solução
Em primeiro lugar, vamos visualizar a
a representação geométrica do gráfico da 
função constante , supondo que o
valor de seja positivo.K
Representação Geométrica
f
y
xp
x
K
Conclusão
Observe que para todo valor de próximo
de , teremos . 
p
x
x
p  f x K
Sendo assim podemos concluir que 
 lim lim
x p x p
f x K K
 
 
Formalizando
Se é uma função constante
definida por , então
para todo . 
 lim
x p
f x K


 f x K
:f 
p
Investigação 
Qual o possível resultado para o seguinte
limite , sendo a função 
identidade e um ponto qualquer do seu
domínio. 
 lim
x p
f x

 f x x
p
Solução
Em primeiro lugar, vamos a visualizar a
representação geométrica do gráfico
da função identidade.
Idéia da Representação 
Geométrica 
f
y
x
 f p p 
p
x
 f x
   x p f x f p
 
x
 f x
   x p f x f p
 
Formalizando
Se é a função identidade
, então
para todo . 
   lim
x p
f x f p p

 
 f x x
:f 
p
Atividade
Considere tal que .
Determine . 
:f    2 6f x x 
 
1
lim
x
f x

No processo investigativo vamos construir
uma tabela com valores menores e maiores
que . 1p 
Tabela
x   2 6f x x 
1
0,9
0,99
0,999
0,9999
1,0001
1,001
1,01
1,1
7,8
7,98
7,998
7,9998
8,0002
8,002
8,02
8,2
1
1
8
   
1 1
lim lim 2 6 8
x x
f x x
 
  
f
y
x

x
 f x
6
2
10
1
8 
Representação Geométrica 
   
1 1
lim lim 2 6 8
x x
f x x
 
  
Formalizando
Se definida por é a 
função polinomial do 1º grau, então
para todo sendo e . 
   lim
x p
f x f p ap b

  
 f x ax b :f 
p a
 b
f
y
x

x
 f x
b 
0x
 0f x
p
ap b 
Representação Geométrica 
 lim
x p
ax b ap b

  
Limite da Função Polinomial 
Se definida por 
é a função polinomial de grau n, então
para todo sendo para todo 
    0
1
lim
n
k
k
x p
k
f x f p a a x


  
  20 1 2
n
nf x a a x a x a x    
:f 
p
ia 
0,1,...,i n e 0.na 
Exemplos
 
0
1) lim 4 3 4.0 3 3
x
x

    
 2 2
1
2) lim 3 1 1 3 5
x
x x

     
     3 23 2
1
3) lim 3 1 1 3 1 1 3 3
x
x x

           
 4 2 4 2
0
4) lim 3 0 0 3 3
x
x x

     
y
0
Limite no Infinito
 
1
,f x x
x
  
x
0x 
0x 
x
 f x
x
1
0
x

 f x
y
0
Limite no Infinito 
 
1
,f x x
x
  
x
0x 
0x 
x
x
1
0
x

y
0
Limite Infinito
 
1
,f x x
x
  
x
0x 
0x 
x
 f x
0x 
1
x

y
0
Limite Infinito
 
1
,f x x
x
  
x
0x 
0x 
x
 f x
0x 
1
x

Limite Infinito
  ,f x x x 
y
0
x
a
a
x
 f x
x
 f x 

Limite Infinito
  ,f x x x 
y
0
x
a
a
x
 f x
x
 f x 

Formalizando
Se definida por , então: 
 ) lim 0
x
i f x


 
1
f x
x
:f  
 ) lim 0
x
ii f x


 
0
) lim
x
iii f x

 
 
0
) lim
x
iv f x

 
Formalizando
) lim ,n
x
i x n 

   
) lim , 2 ,comn
x
ii x n p p 

    
) lim , 2 1,comn
x
iii x n p p 

     
1
) lim 0,
nxiv n
x


  
1
) lim 0,
nx
v n
x

 
  
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
 21) lim 1
x
x
 
  22) lim 3
x
x x
 
 
 33) lim 2
x
x x
 
 
4
4) lim
2x x 
 
 
 
2
3
3
5) lim
2 2x
x x
x x 
  
 
  
4
2
3
6) lim
2x
x x
x x 
  
 
  
4
4 2
3
7) lim
2x
x x
x x 
  
 
  
4 2
4 2
3
8) lim
2x
x x
x x 
  
 
  
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
3
2
1) lim
3x x
 
 
  3
2
2) lim
3x x
 
 
 
3
2
3)lim
3x x
 
 
 
2
4
4
4) lim
16x
x
x
 
 
 
24
4
6)lim
16x
x
x
 
 
 
2
4
4
5) lim
16x
x
x
 
 
 
Limites Infinitos
Seja uma função definida sobre algum
intervalo aberto que contém o número
exceto possivelmente no próprio .
Então dizemos que o limite de quando
tende para é , e escrevemos
se, para todo , existir , tal que
se então

 lim
x a
f x

 
0M  0 
( ) .f x M 0 x a   
f
( )f x
,a
a
x a
Exemplos
Determine:
0
1
) lim
x
a
x
0
1
) lim
x
b
x
Função Contínua no Ponto 
Diremos que a aplicação é
contínua no ponto , se 
:f  
p
   i f p
     lim
x p
iii f x f p


   lim
x p
ii f x


f
y
x
L 
p
x
 f x
   lim écontínua em
x p
f x L f p f p

  
Função Contínua no Ponto 
f
y
x
L

p
x
 f x
 f p
   lim nãoécontínua em
x p
f x L f p f p

  
Função Descontínua no Ponto 
f
y
x
L
p
x
 f x
 
 
lim
nãoécontínua em
Nãoexiste
x p
f x L
f p
f p

 


Função Descontínua no Ponto 
f
y
x
L

p
x
 f x
 f p
 Nãoexiste lim nãoécontínua em
x p
f x f p


 f x
p
Função Descontínua no Ponto 
Função Contínua 
A aplicação é contínua, se a
mesma for contínua em todos os pontos
do seu domínio. 
:f  
Exemplos de Funções Contínuas
   
4
1) lim 3 4 3 1 4
x
x f

    
   2 2
1
2) lim 3 1 3 4 1
x
x f

    
   3 2 3 2
1
3) lim 3 1 1 3 1 1 3 3 1
x
x x f

         
   4 2 4 2
0
4) lim 3 0 0 3 3 0
x
x x f

      
Exemplos de Funções Contínuas
5) limsen sen
x p
x p


6) limcos cos
x p
x p


7) lim ,com e 0 1x p
x p
a a a a

   
8) limln ln ,com e 0 1
x p
x p p p

   
Outros Exemplos de Limites 
1) lim tg tg , e
2x p
x p p k k
 

    
2) limcotg cot g , e
x p
x p p k k 

    
4) limsec sec , e
2x p
x p p k k
 

    
3) limcossec cossec , e
x p
x p p k k 

    
Exemplo
Determine os pontos de descontinuidade da 
função cujo gráfico é mostrado a seguir, 
justificando.
Seja uma aplicação definida por
, cujo o esboço do gráfico é 
dado a seguir:
Limite Fundamental da 
Trigonometria 
:f  
 
senx
f x
x

 2 323
1
y
x
Limite Fundamental da 
Trigonometria 
 2 323
1
y
x
0x  0 x 
 f x

0
sen
lim 1
x
x
x
 
Exemplo
Calcule 
0
sen3
lim
x
x
x
0
sen3
lim
x
x
x 0
sen3
lim3
3x
x
x
 
u
0
sen
lim3
u
u
u
 
1
3
0 0x u  
Exemplo
Calcule 
sen
lim
x
x
x  
sen
lim
x
x
x  
u
x u x u     
0x u  
0
sen( )
lim
u
u
u




sen( ) sen cos sen cosu u u    
1 0
0
sen
lim
u
u
u

 1 
senu 
Limite fundamental
(1 1/ )xxx
1
10
100
1.000
10.000


2
2,5937
2,7048
2,7181
2,7182

e
1
lim 1
x
x
e
x
 
  
 
Exemplo
Mostre que 
De modo análogo obtemos 
1
0
lim(1 )h
h
h e

 
1 1
x h
h x
  
1
lim 1
x
x x
 
  
 
0h x  
1
0
lim (1 )h
h
h


1
lim 1
x
x x
 
  
 
e
1
0
lim (1 )h
h
h e

 
1
0
lim(1 )h
h
h e

  
Exemplo
Mostre que 
0
1
lim 1
h
h
e
h


1 ln( 1)hu e h u    1
ln( 1)
he u
h u



1
1
ln( 1)u
u


1
1
ln( 1)uu


0 0h u  
10 0
1 1
lim lim
ln( 1)
h
h h
u
e
h
u
 



1
ln e

1
Propriedades Operatórias de 
Limite
Suponhamos que existem os limites
e . Se , então: lim
x p
f x

 lim
x p
g x

,  
       1) lim lim lim
x p x p x p
f x g x f x g x
  
    
   2) lim lim
x p x p
f x f x 
 
   
Propriedades Operatórias de 
Limite
Suponhamos que existem os limites
e . Se , então: lim
x p
f x

 lim
x p
g x

,  
       3) lim lim lim
x p x p x p
f x g x f x g x
  
    
 
 
 
 
 
lim
4) lim , desde que lim 0
lim
x p
x p x p
x p
f xf x
g x
g x g x

 

 
  
 
Teorema: Limite de Função 
Composta
Sejam e duas
funções tais que . Se e
é contínua em , então 
:f A :g B  
 Im f B  lim
x p
f x L


g L
       lim lim
x p x p
g f x g f x g L
 
 
Se existe, então: 
Corolário: Limite de Função 
Composta
   ) lim lim , sendon n
x p x p
ii f x f x n 
 
 
     ) lim lim , sendo
n
n
x p x p
i f x f x n 
 
 
 lim
x p
f x

 Se é par,supomos lim 0.
x p
n f x


Se existe, então: 
Corolário: Limite de Função 
Composta
      ) limln ln lim ,sendolim 0
x p x p x p
iv f x f x f x
  
 
   lim
) lim x p
f x
f x
x p
iii a a 


 lim
x p
f x

Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
 
6
2
) lim 3 4
x
i x


Solução:
    
6
6
2 2
lim 3 4 lim 3 4
x x
x x
 
  
 
6
3.2 4 
62
64
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
 
6
2
1
) lim 3 4 2
x
ii x x

 
Solução:
    
66
2 2
1 1
lim 3 4 2 lim 3 4 2
x x
x x x x
 
    
 
6
23.1 4.1 2  
61 1 
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
) lim sen 2
x
iii x x



 
Solução:
 lim sen 2 lim sen 2
x x
x x x x       
2sen    

0
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
2 4
2
2
) lim3
x
x
x
iv



Solução:
2
2
2
44 lim
2 ?2
2
lim3 3 3
x
xx
xx
x

   
 

 
Calculando . 2
2
4
lim
2x
x
x
 
 
 
Atividade
Calculando temos: 2
2
4
lim
2x
x
x
 
 
 
    
2
2 2 2
2 24
lim lim lim 2 4
2 2x x x
x xx
x
x x  
    
      
    
Logo 
2
2
244 lim
2 42
2
lim3 3 3 81
x
xx
xx
x

   
 

  