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Vetores no R 3 : O conjunto R3 = R x R x R = {(x, y, z) / x, y, z Є R} é interpretado geometricamente como sendo o espaço cartesiano tridimensional Oxyz. Qualquer vetor → AB considerado neste espaço tem sempre um representante → OP (segmento orientado) cuja origem é a origem do sistema. Portanto, cada vetor do espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y, z) individualiza o vetor → v= → OP (figura abaixo) e escreve-se →v = (x, y, z) identificando-se as coordenadas de P com as componentes de → v . A origem do sistema O(0, 0, 0) representa o vetor nulo →0 . O vetor oposto de → v = (x, y, z) é o vetor – →v = (–x, –y, –z). Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3, –2, 4), procedemos assim: 1º) marca-se o ponto A’(3, –2, 0) no plano xy; 2º) desloca-se A’ paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fossem –4 seriam 4 unidades para baixo) para obter o ponto A. Igualdade – Operações – Vetor Definido por Dois Pontos – Ponto Médio – Paralelismo – Módulo de um Vetor: De forma análoga à que tivemos no plano, teremos no espaço: 1) Dois vetores →u = (x1, y1, z1) e →v = (x2, y2, z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2. 2) Dados os vetores →u = (x1, y1, z1), →v = (x2, y2, z2) e a Є R, defini-se: a) → →+u v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) b) a →u = (ax1, ay1, a z1) 3) Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então → AB = B – A = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) Obs: Se → v = B – A, então: B = A + → v . A figura ao lado indica que para encontrar as coordenadas do ponto extremo B, somam-se ordenadamente as coordenadas do ponto inicial A com as componentes do vetor → v . 4) Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são os pontos extremos de um segmento, o ponto médio M de AB é , , 1 2 1 2 1 2 x +x y +y z +zM 2 2 2 . 5) Se os vetores →u = (x1, y1, z1) e →v = (x2, y2, z2) são paralelos, então: → u = α → v ou (1 1 1 2 2 2 x y z= = =α) x y z 6) O módulo do vetor →v = (x, y, z) é dado por: | |→ 2 2 2v = x +y +z 7) Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então o vetor → AB = B – A = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) e, seu módulo, é dado por: ( ) ( ) ( ) ( )| |→ − − −2 2 22 2 2 1 1 1 AB =d A,B = x x + y y + z z Exemplos: Produtos de Vetores Produto Escalar: O produto escalar dos vetores → u = ( u1, u2, ..., un) e →v= (v1, v2, ..., vn) do Rn, denotado → u . → v (lê-se u escalar v), é definido como: → u . → v= ( u1, u2, ..., un) . (v1, v2, ..., vn) = u1v1 + u2v2 + ... + unvn. A denominação produto escalar deve-se ao fato de tratar de um produto entre dois vetores que resulta em um escalar (nesse caso, um número real). Ex: 1) O produto escalar de →u = (1, –3, 5) e →v = (7, 2, 1) é: → u . → v= (1, –3, 5) . (7, 2, 1) = 7 – 6 + 5 = 6 Propriedades do Produto Escalar: Dados quaisquer vetores → u , → v e →w Є Rn e qualquer α Є R, o produto escalar possui as seguintes propriedades: 1) Positividade: →v . →v ≥ 0. Além disso, →v . →v = 0 se, e somente se, → v = 0. 2) Comutatividade: →u . →v = →v . →u 3) Distributividade: →u .( →v + →w ) = →u . →v + →u . →w Obs: Como conseqüência imediata da propriedade (1), temos o importante resultado: → v . → v = 2 2 21 2 n → ∴v +v +...+v | v | = v.v . Ângulos entre Vetores: Consideremos os vetores → ue → v , ambos do R2 ou R3, com origem comum e que o ângulo por eles determinado seja θ conforme a figura abaixo. cosθ = . . → → → → u v |u| | v | ∴ θ = arccos . . → → → → u v |u| | v | Definições Importantes: 1) Ortogonalidade: Dizemos que dois vetores →ue →v do Rn são ortogonais se: → u . → v = 0 Produto Vetorial: O produto vetorial é definido apenas para vetores do R3 e resulta em um vetor do próprio R3. O produto vetorial dos vetores → u = ( x1, y1, z1) e →v= (x2, y2, z2) do R3, denotado → ux → v (lê-se u vetorial v), é definido como: → → 1 1 1 2 2 2 x x y z x y z i j k u v = Ex: 1) O produto vetorial dos vetores →u = (1, 2, 1) e →v = (–2, 3, 1) é dado por: → → − x 1 2 1 2 3 1 i j k u v = = –i –3j +7k = (–1, –3, 7). Propriedades do Produto Vetorial: 1) O sentido do vetor →ux →vpode ser obtido pela chamada regra da mão direita. Veja a figura: 2) →ux →v = – ( →v x →u ). Esta propriedade (muitas vezes denominada anticomutativa) nos diz que se trocarmos a ordem dos vetores no produto vetorial o vetor resultante terá o sentido invertido.Veja a figura ao lado. Produto Misto: A combinação dos produtos escalar e vetorial define um novo produto de vetores, denominado produto misto. Este produto envolve três vetores. Definição: O produto misto dos vetores → u , → v e →w do R3 é definido como: → u . ( →v x →w ) Na definição de produto misto observamos que: • Esse produto envolve um produto vetorial e um produto escalar; necessariamente, o produto vetorial deve ser efetuado primeiro; • Pela comutatividade do produto escalar temos: → u . ( →v x →w ) = ( →v x →w ) . →u ; • Pela anticomutatividade do produto vetorial temos: → u . ( →v x →w ) = – →u . ( →w x →v ) Dados → u = ( x1, y1, z1), →v= (x2, y2, z2) e →w = (x3, y3, z3), o desenvolvimento do produto misto resulta: Propriedades do Produto Misto: As propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes. 1) →u . ( →v x →w ) = →v . ( →w x →u ) = →w . ( →u x →v ) 2) →u . ( →w x →v ) = →w . ( →v x →u ) = →v . ( →u x →w ) 3) →u . ( →v x →w ) = – →u . ( →w x →v ) →→ → 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x y z .( x ) x y z x y z u v w = Exercícios Propostos: 1) Dados os pontos A(2, –2, 3); B(1, 1, 5) e o vetor →v = (1, 3, –4), calcular: a) A + 3 →v b) (A – B) – →v c) B + 2(B – A) d) 2 →v – 3(B – A) 2) Dados os pontos A(3, –4, –2) e B(–2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB tal que → → = 2AN AB5 . 3) Dados os pontos A(1, –2, 3); B(2, 1, –4) e C(–1, –3, 1) determinar o ponto D tal que → AB + → CD = → 0 . 4) Sabendo que 3 →u – 4 →v = 2 →w , determinar a, b, c, sendo → u = (2, –1, c), →v = (a, b–2, 3) e →w = (4, –1, 0) 5) Dados os vetores →u = (2, 3, –1); →v = (1, –1, 1) e →w = (–3, 4, 0) determinar: a) o vetor →x tal que 3 →u – →v + →x = 4 →x + 2 →w ; b) os números a1, a2 e a3 tais que a1 →u + a2 →v + a3 →w = (–2, 13, –5) 6) Determinar o valor de y para que seja eqüilátero o triângulo de vértices: A (4, y, 4),B(10, y, –2) e C(2, 0, –4). 7) Obter o ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A (3, –1, 4) e B(1, –2, –3). 8) Obter o ponto P do eixo das cotas (OZ) cuja distância ao ponto A(–1, 2, –2) seja igual a 3. 9) Dado o vetor w = (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetores → u = (3, 2, –1) e →v = (a, 6, b) + 2 →w sejam paralelos.10) A reta que passa pelos pontos A(–2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela a reta determinada por C(3, –1, –1) e D(0, m, n). Determinar o ponto D. 11) Verificar se são colineares os pontos: a. A(–1, –5, 0), B(2, 1, 3) e C(–2, –7, –1). b. A(2, 1, –1), B(3, –1, 0) e C(1, 0, 4). c. A(–1, 4, –3), B(2, 1, 3) e C(4, –1, 7). 12) Dados os vetores →u = (2, –3, –1) e →v = (1, –1, 4) calcular: a) 2 →u .(– →v ) b) ( →u + 3 →v ).( →v – 2 →u ) c) ( →u + v).( →u – →v ) d) ( →u + →v ).( →v – →u ) 13) Dados os vetores →u = (2, a, –1); →v = (3, 1, –2) e →w = (2a –1, –2, 4), determinar a tal que: →u . →v = ( →u + →v ).( →v + →w ) 14) Dados os pontos A = (4, 0, –1); B = (2, –2, 1) e C = (1, 3, 2) e os vetores → u = (2, 1, 1) e →v = (–1, –2, 3) obter o vetor →x tal que: a) 3 →x + 2 →v = →x + ( →AB . →u ) →v b) ( →BC . →v ) →x = ( →u . →v ) →v – 3 →x 15) Sendo →u = (3, – 1 – 2); →v = (2, 4, – 1) e →w = (–1, 0, 1) determinar: a) | →u x →u | b) 2 →v x 3 →v c) ( →u x →w ) + ( →w x →u ) d) ( →u– →v ) x →w
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