Geometria Analítica (aula 04)_2011

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Estudo da Reta no R
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Condição de alinhamento de três pontos: 
Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta, ou seja, 
dados A(x1, y1) e B(x2, y2), eles estão sempre alinhados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas qual a condição para que três pontos distintos A, B e C estejam 
alinhados? 
Os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) estão alinhados, se e somente 
se: 
1 1
2 2
3 3
x y 1
x y 1 =0
x y 1
 
 
 
 
 
y 
. A(x1, y1) 
x 0 
. B(x2, y2) 
Ex: Determine o valor de x para que os pontos A(2, –3), B(x, 7) e 
C(x, 1) sejam: 
 
a) Colineares 
 
b) os vértices de um triângulo 
 
Solução: 
 
a) 
−
⇒
2 3 1
x 7 1 =0 x =2
x 1 1
 
 
b) Para que A, B e C sejam vértices de um triângulo, eles não 
devem estar alinhados. Logo: 
 
−
≠ ⇒ ≠
2 3 1
x 7 1 0 x 2
x 1 1
 
 
 
Equação Geral da Reta: 
 
Toda reta possui uma equação da forma ax + by + c = 0, chamada de 
equação geral da reta, em que a e b não são ambos nulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos particulares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: 
1) Os pontos A(1, 2), B(3, 1) e C(2, 4) são os vértices de um triângulo. 
Determine a equação da reta suporte do lado AB . 
= ⇒ − − − ⇒ −
x y 1
1 2 1 0 2x+3y+1 6 y x =0 x+2y 5=0.
3 1 1
 
 
pares 
ímpares 
Inclinação e coeficiente angular de uma reta: 
A figura a seguir mostra uma reta r não paralela ao eixo y. Seja α o 
ângulo que a reta forma com o eixo x, medido do eixo para r no 
sentido anti-horário. 
A medida do ângulo α é chamada 
inclinação da reta r. Denomina-se 
coeficiente angular ou declividade da 
reta r o número real m que expressa 
a tangente trigonométrica de sua 
inclinação α, ou seja: 
 
 m = tg α 
 
Podem ocorrer quatro casos: 
 
 
Cálculo do coeficiente angular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
α
−
−
2 1
2 1
y ym= tg = x x 
Equação da reta que passa por um ponto P(x1, y1) e de coeficiente 
angular m: 
Consideremos uma reta r que passa pelo ponto P(x1, y1) e tem 
coeficiente angular m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marcando o ponto Q(x, y) sobre a reta r, com Q ≠ P, vamos 
determinar a equação que representa a reta que passa por esses dois 
pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a fórmula do coeficiente angular: 
 
 
 
 
 
y 
. P(x1, y1) 
x 
0 
−
⇒ − −
−
1
1 1
1
y ym= y y = m.(x x )x x
y 
. P(x1, y1) 
x 
0 
. Q(x, y) 
Equação reduzida da reta: 
Particularmente, considere a reta r da figura que passa pelo ponto 
P(0, n) e tem coeficiente angular m. 
 
 
 
 
 
 
A equação dessa reta é: 
y – y1 = m (x – x1) 
y – n = m (x – 0) 
y – n = mx 
y = mx + n 
onde: 
m = coeficiente angular da reta r. 
n = coeficiente linear da reta r. 
 
Equação Segmentária da reta: 
Consideremos uma reta r que intercepta o eixo x no ponto A(p, 0) e o 
eixo y no ponto B(0, q) com p ≠ 0 e q ≠ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente angular dessa reta é: 
 
 
 
y 
. n 
x 0 
Equação reduzida da reta r 
y 
. B(0, q) 
x 0 
. A(p, 0) 
−
−
− −
q 0 q qm= = =0 p p p
 
Então, a equação da reta r é: 
 y – y1 = m (x – x1) 
 
− − −
− −
−
qy 0= (x p)p
qy = (x p)p
py = qx+pq
qx + py = pq
 
 
Dividindo ambos os membros por pq ≠ 0, temos: 
⇒ 1qx py pq x y+ = + =pq pq pq p q 
 
Essa forma é denominada equação segmentária da reta. 
Posições relativas de duas retas: 
1º caso: α1 = α2 
Supondo α1 = α2 ≠ 90º, temos: 
α1 = α2 ⇒ tg α1 = tg α2 ⇔ m1 = m2 
Nesse caso as retas l1 e l2 são paralelas (l1 // l2) ou coincidentes 
(l1 ≡ l2). Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos o que acontece se α1 = α2 = 90º. Nesse caso particular, 
m1 = tg α1 e m2 = tg α2 não estão definidos e as retas l1 e l2 são 
verticais. 
 
 
 
 
 
2º caso: α1 ≠ α2 
Supondo α1 ≠ 90º α2 ≠ 90º, temos: 
α1 ≠ α2 ⇒ tg α1 ≠ tg α2 ⇔ m1 ≠ m2 
Nesse caso as retas l1 e l2 são concorrentes (l1 X l2). Observe: 
 
Vejamos a condição particular em que as retas l1 e l2 são 
perpendiculares (l1 ┴ l2). 
 
1 1
22
1 1tg m
tg m
α
α
= − ⇔ = −
 
 
 
 
 
 
Ângulo entre duas retas: 
O ângulo formado entre duas retas l1 e l2, não perpendiculares entre si 
e de coeficientes angulares m1 e m2, respectivamente, pode ser 
calculado pela fórmula matemática: 
2 1
2 11 .
m m
tg
m m
θ −=
+ 
 
Caso particular: 
Uma das retas é vertical. 
1
1
tg
m
θ =
 
 
Distância entre um Ponto P(x, y) e uma reta r de equação 
ax + by + c = 0: 
A distância entre um Ponto P(x, y) e uma reta r de equação 
ax + by + c = 0 pode ser calculada pela fórmula: 
 
2 2
( , ) p pax by cd P r
a b
+ +
=
+
 
 
Exercícios Propostos: 
 
1) Determinar a equação segmentária da reta que passa pelos 
pontos A(−4, 0) e B(0,8). 
2) Determine a equação geral e a equação reduzida das retas que 
passam pelos seguintes pontos: 
a) A(1, 2) e B (−3, 1) 
b) A(2, −6) e B (1, 0) 
c) A(−4, −1) e B (−2, 2) 
3) Qual é a distância da origem do sistema cartesiano à reta de 
equação 3x −4y = 10 ? 
4) As retas r: −2x + y + 3 = 0 e s: x − y − 1 = 0 se encontram no 
ponto P(x, y). Determine as coordenadas de P. 
5) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 3) e tem 
coeficiente angular m = − 23 . 
6) Determinar o ângulo agudo θ formado pelas retas de equações: 
2x − 9 = 0 e − 3 x + y − 2 = 0. 
7) Determinar o ângulo agudo θ formado pelas retas de equações: 
4x + 3y − 8 = 0 e x + 7y − 27 = 0. 
8) Determine o valor de α para o qual as retas 2y − x − 3 = 0 e 
3y + αx − 2 = 0 sejam perpendiculares. 
9) Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm 
as seguintes coordenadas: A(1,5), B(−2,1) e C(4,1). 
 
10) Classifique quanto aos lados o triângulo formado pelos vértices 
A(8,2), B(4,2) e C(8, −2). 
11) Os pontos (1,0), (0,1) e (m,n) do plano cartesiano estão sobre 
uma mesma reta. Determine m em função de n. 
 
12) Determine o valor de n de forma que o ponto A(10, 2n−4), 
pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
13) As retas r: x − 2y − 1 = 0 e s: 2x + 2y − 8 = 0 se encontram no 
ponto. P(x,y). Determine as coordenadas de P. 
14) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(−1, 2) e 
forma com o eixo das abscissas um ângulo de 45º. 
15) Encontrar o valor de m para que o ponto P(m, 4) pertença à reta r, 
cuja equação é 2x + y − 3 = 0. 
16) Determine a equação da reta r paralela à reta s de equação: 
3x + 2y − 4 = 0 e que passa pelo ponto P(−3, 2).